Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi ,đáp án đề thi đại học, cao đẳng môn toán giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!
S GD-T VNH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Khi A,A1 V NH PHÚC Thi gian: 180 phút (Không k giao ) I. PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH Câu 1. Cho hàm s 3 2 (2 1) 1y x m x m= − + + − − (m là tham s). 1. Kho sát s bin thiên và v th ca hàm s khi 1.m = 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s th c m th c a hàm s ã chi ti p xúc v i ng th ng 2 1.y mx m= − − Câu 2. Gi i ph ng trình ( ) ( ) 2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − = . Câu 3. Gi i h ph ng trình 2 1 1 3 2 4 x y x y x y + + − + = + = ( ,x y ∈ ) Câu 4. Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i th hàm s 1, x y e= + tr c hoành và hai ng th ng ln3, ln8.x x= = Câu 5. Cho hình l ng tr .ABC A B C ′ ′ ′ có áy là tam giác u c nh a, hình chi u c a nh A ′ trên m t ph ng ( ) ABC trùng v i tâm O c a tam giác ABC. Bi t r ng kho ng cách gi a hai ng th ng BC và AA ′ b ng 3 4 , a hãy tính th tích c a hình l ng tr và di n tích c a thi t di n khi c t l ng tr b i m t ph ng i qua BC vuông góc v i AA ′ . Câu 6. Cho các s th c , , a b c b t k . Ch ng minh r ng 2 2 2 2 ( 2)( 2)( 2) 3( ) a b c a b c+ + + ≥ + + II. PHN RIÊNG (Thí sinh ch c mt trong hai phn riêng, phn A hoc phn B ) A. Theo chng trình chun Câu 7a. Trong m t ph ng v i h t ! a " Oxy , cho ng tròn 2 2 ( ) : 2 4 27 0 C x y x y+ + − − = và i m (1; 2). M − Hãy vi t ph ng trình c a ng th ng ∆ i qua M , c t ng tròn ã cho t i hai i m A và B sao cho các ti p tuy n c a ( ) C t i A và B vuông góc v i nhau. Câu 8a. Trong không gian v i h tr c t ! a " Oxyz cho m t ph ng ( ) :3 2 4 0 P x y z− + − = và hai i m (1;3;2), (2;3;1). A B G ! i I là trung i m c a o n th ng AB . Tìm t ! a " i m J sao cho IJ vuông góc v i m t ph ng ( ) P ng th i J cách u g c t ! a " O và m t ph ng ( ). P Câu 9a. Tìm h s c a 4 x trong khai tri n 2 (1 3 ) n x x+ − , bi t r ng n là s nguyên d ng th # a mãn 1 2 3 156. n n n A A A+ + = B. Theo chng trình nâng cao Câu 7b. Trong m t ph ng v i h t ! a " Oxy, cho tam giác ABC v i các ng th ng ch a ng cao k $ t % B, phân giác trong k $ t % A l & n l ' t có ph ng trình 33 4 0, 12 0.x y x y+ − = + − = Bi t r ng i m (0;2)M là m " i m n m trên ng th ng AB và cách nh C m " t kho ng b ng 2 10, tìm t ! a " các nh c a tam giác. Câu 8b. Trong không gian v i h t ! a " Oxyz cho i m (3;2;1),A m t ph ng ( ) : 2 0P x y z+ + + = và ng th ng 1 1 1 2 1 : . y x z − + = = − ∆ Vi t ph ng trình c a ng th ng d i qua A, c t ∆ và ( )P theo th t t i B và C sao cho A là trung i m BC. Câu 9b. Gi i ph ng trình 2 4 2 16 2 2 3 log ( 5) log | 1| 1 log ( 3 2) 2 x x x x+ + − = + − + Cán b coi thi không gii thích gì thêm! www.VNMATH.com S GD- T V NH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TR NG THPT CHUYÊN HD chm môn TOÁN 12 – Khi A,A1 VNH PHÚC H ng dn chung: - M ( i m " t bài toán có th có nhi u cách gi i, trong HDC này ch trình bày s l ' c m " t cách gi i. H ! c sinh có th gi i theo nhi u cách khác nhau, n u ý và cho k t qu úng, giám kh o v ) n cho i m t i a c a ph & n ó. - Câu (Hình h ! c không gian), n u h ! c sinh v hình sai ho c không v hình chính c a bài toán, thì không cho i m; câu (Hình h ! c gi i tích) không nh t thi t ph i v hình. - i m toàn bài ch m chi ti t n 0.25, không làm tròn. - HDC này có 04 trang. Câu Ni dung trình bày im 1 3 2 1. 1: 3 2m y x x= = − + − . TX : 0.25 Chi u bi n thiên: 3 (2 ), 0 0 2y x x y x x ′ ′ = − = ⇔ = ∨ = Xét d u y ′ và k t lu * n: hàm s ng bi n trên (0;2), ngh ch bi n trên các kho ng ( ;0),(2; )−∞ +∞ ; hàm s t c c i t i 2, (2) 2; cd x y y= = = hàm s t c c ti u t i 0, (0) 2 ct x y y= = = − 0.25 Nhánh vô c c: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = = −∞ = = +∞ , l * p b ng bi n thiên 0.25 V th 2 2 0.25 2. th hàm s ti p xúc v i ng th ng 2 1y mx m= − − khi và ch khi h sau có nghi m ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 2 1 (1) 3 2 2 1 2 (2) x m x m mx m x m x m − + + − − = − − − + + = 0.25 Ph ng trình (1) t ng ng v i 2 ( (2 1) 2 ) 0x x m x m− + + = do ó luôn có nghi m 0, 1x x= = và 2x m= 0.25 Do ó, h (1)-(2) có nghi m khi và ch khi ít nh t m " t trong ba nghi m c a (1) là nghi m c a (2). 0x = th # a mãn (2): 0m = ; 1x = th # a mãn (2): 1 2 m = ; 2x m= th # a mãn (2): tìm ' c 0m = và 1 2 m = 0.25 K t lu * n 0.25 2 Ph ng trình ã cho t ng ng v i ( ) ( ) 2 2 3 cos 2 3 2sin cos 3 cos 3sin 0x x x xx − − + + = ý r ng 2 2 sin cos 1,x x+ = nhân t + hóa, thu ' c ( )( ) cos 3sin 3 2sin 0x x x+ − = 0.25 www.VNMATH.com Gi i ph ng trình 3 2sin 0x− = thu ' c 2 · ( ) 3 x k k π π = + ∈ và 2 2 · ( ) 3 x m m π π = + ∈ 0.25 Gi i ph ng trình cos 3sin 0x x+ = thu ' c · ( ) 6 x n n π π = − + ∈ 0.25 K t lu * n nghi m 0.25 3 i u ki n: 2 1 0, 0x y x y+ + ≥ + ≥ 0.25 t 2 1 , , ( , 0),x y a x y b a b+ + = + = ≥ ý r ng 3 2 (2 1) ( ) 1,x y x y y x y+ = + + + + + − ta ' c h 2 2 1 (1) 5 (2) a b a b − = + = 0.25 Gi i h , v i chú ý , 0,a b ≥ thu ' c 2, 1.a b= = 0.25 T % ó, thu ' c 2 3 1 x y x y + = + = . Gi i h , thu ' c ( ; ) (2; 1)x y = − i chi u i u ki n và k t lu * n 0.25 4 Di n tích c & n tính b ng ln8 ln3 1 x S e dx= + 0.25 t 1 x e t+ = , khi ó 2 2 2 1 2 1 x x tdt e t e dx tdt dx t + = = = − . H n n a, ln3 ln8 ~ 2 3x t≤ ≤ ≤ ≤ 0.25 Suy ra 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 · 2 2 ln 1 1 2 tdt dt S t dt t t = = + = = + − − ( .v.d.t) 0.5 5 (Hình v trang cu i) Do tam giác ABC là tam giác u c nh a nên 2 3 4 ABC a S = . Ngoài ra, v i I là trung i m BC , thì 3 2 a AI = và 2 3 3 a AO AI= = . 0.25 Do gi thi t, ( ) BC AIA ′ ⊥ . Suy ra 3 1 4 2 a IH AI= = ( H là hình chi u c a I trên AA ′ ), suy ra 0 30 A AI ′ ∠ = . Do ó 0 2 . cos30 3 AO a A O ′ = = V * y 3 . 3 6 ABC A B C a V ′ ′ ′ = = ( .v.t.t) 0.25 Tính ' c 3 4 a AH AA ′ = > nên A ′ n m gi a , A H và 12 a A H ′ = . G ! i J là giao i m c a IH v i m t ph ng ( ) A B C ′ ′ ′ , ( ) P là m t ph ng qua BC, vuông góc v i . AA ′ Khi ó, do ( ) ,BC A B C ′ ′ ′ nên giao tuy n c a ( ) P v i ( ) A B C ′ ′ ′ là ng th ng qua J song song v i BC , hay thi t di n là hình thang BCMN (hình v ). 0.25 Do 1 8 HJ A H JI IK ′ = = ( K là trung i m B C ′ ′ ) nên 8 2 9 3 3 a IJ IH= = và 1 . 8 MN BC= Suy ra ( ) 2 1 3 2 BCMN S BC MN IJ a= + ⋅ = ( .v.d.t) 0.25 6 B t ng th c c & n ch ng minh t ng ng v i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 8 6( ) a b b c c a a b c a b c ab bc ca+ + + + + + + ≥ + + 0.25 www.VNMATH.com Do 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 ab bc ca− + − + − ≥ nên 2 2 2 2 2 2 2( ) 6 4( ) a b b c c a ab bc ca+ + + ≥ + + Do ó, ta ch c & n ch ng minh 2 2 2 2 2 2 2 2( ) a b c a b c ab bc ca+ + + + ≥ + + là 0.25 Do trong ba s 2 2 2 1, 1, a b c− − luôn có hai s cùng d u, nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 0 c a b a b c c b c c a− − ≥ + ≥ + 0.25 B i v * y, ta c & n ch ng minh 2 2 2 2 2 2 2 2( ) a b b c c a ab bc ca+ + + + ≥ + + (1) ý r ng 2 2 2 (1) ( ) ( 1) ( 1) 0 a b bc ca⇔ − + − + − ≥ , luôn úng nên ta có ' c i u ph i ch ng minh. 0.25 7a +( ) C có tâm ( 1;2), I − bán kính 4 2R = 0.25 + Kh ng nh: ng th ng c & n tìm cách tâm I m " t kho ng b ng 4 2 R = 0.25 + : ( 1) ( 2) 0, a x b y∆ − + + = v i 2 2 0. a b+ ≠ 2 2 | 2 4 | ( ; ) 4 4 0 3 4 . a b d I a a b a b − + ∆ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ∨ = − + 0.25 + V i 0 a = thì 0, b ≠ tùy ý, do ó : 2 0. y∆ + = V i 3 4 a b= − thì ch ! n 4, 3 a b= = − , do ó : 4 3 10 0. x y∆ − − = 0.25 8a + 3 3 3 3 ;3; , ( ; ; ) ; 3; 2 2 2 2 I J x y z IJ x y z = − − − 0.25 + 3 3 (3; 2;1) 3 , 3 2 , . 2 2 IJ p x t y t z t= − = + = − = + 0.25 + 2 2 2 2 2 2 2 2 27 (3 2 4) (14 4) 14 , ( ;( )) 2 14 14 x y z t OJ x y z t d J P − + − − = + + = + = = 0.25 Do ( ;( )) OJ d J P= nên thu ' c ph ng trình 2 2 27 (14 4) 173 14 2 14 112 t t t − + = ⇔ = − . T % ó 519 285 5 ; ; 112 56 112 J − − 0.25 9a + 1 2 3 156 6 n n n A A A n+ + = ⇔ ⇔ = 0.25 + Khi 6 : n = 2 6 0 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 6 6 6 6 6 5 5 5 6 6 6 6 6 (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) x x C C x x C x x C x x C x x C x x C x x + − = + − + − + − + − + + − + − Trong khai tri n trên, 4 x ch xu t hi n trong các s h ng 6 (1 3 ) , k k k C x x− v i 2,3,4. k = Do ó h s c a 4 x ph i tìm là t , ng các h s c a 4 x trong các khai tri n trên 0.25 + V i 2 : k = h s c a 4 x b ng 2 6 9 C ; V i 3: k = h s c a 4 x b ng 3 6 9 C− ; V i 4 : k = h s c a 4 x b ng 4 6 C . 0.25 + H s c & n tìm b ng 2 3 4 6 6 6 9 9 30 C C C− + = − 0.25 7b G ! i , h theo th t là ng cao k $ t % B , phân giác trong k $ t % A ; ( ; ) N x y là i m i x ng v i M qua . Khi ó, x , y là nghi m c a h 0 2 3 2 3 12 0 2 2 x y x y − = − + ⋅ + − = . T % ó, tìm ' c (6;4) N 0.25 www.VNMATH.com Do , AC h AC AN⊥ nên t ! a " c a A là nghi m c a h 6 4 1 3 3 12 0 x y x y − − = + − = . T % ó, tìm ' c 13 ( ; 1) 3 A − 0.25 Do B là giao i m c a các ng th ng h và AM, nên …. tìm ' c 13 5 ( ; ) 7 7 B 0.25 Do 2 10MC = cà C n m trên AC, nên C có t ! a " là nghi m c a h ( ) 2 2 3 14 0 2 40 x y x y − − = + − = gi i h , thu ' c 1 2 18 16 ( ; ), (6;4) 5 5 C C− . T % ó, do AB AM nên ,AN AC do ó 2 (6;4)C C≡ 0.25 8b + a ph ng trình ∆ v d ng tham s , 1 2 , 1x t y t z t= = + = − − , do ó m ! i i m c a ∆ u có t ! a " d ng ( ;1 2 ; 1 )t t t+ − − 0.25 + Xét i m ( ;1 2 ; 1 )B t t t+ − − ∈ ∆ , l y C i x ng v i B qua A. Khi ó (6 ;3 2 ;3 )C t t t− − + 0.25 + ( ) 4.C P t∈ ⇔ ⇔ = 0.25 + Do ó … (1;7; 6)AB = − , suy ra ng th ng c & n tìm có ph ng trình 3 2 1 1 7 6 x y z− − − = = − 0.25 9b + i u ki n 5, 1, 2x x x> − ≠ ≠ 0.25 + a ph ng trình v d ng 2 2 2 2 log ( 5) log | 1| 1 log | 3 2 |x x x x+ + − = + − + 0.25 + T % ó, k t h ' p v i 1,x ≠ thu ' c ( 5) 2 | 2 |x x+ = − 0.25 + Gi i ph ng trình này, thu ' c 1 9 3 x x= ∨ = − . i chi u i u ki n và k t lu * n. 0.25 Hình v cho câu 5. K H A' O A I Hình 1 H M N J K C' B' C O A I B A' Hình 2 www.VNMATH.com S GD-T VNH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Khi B,D VNH PHÚC Thi gian: 180 phút (Không k giao ) I. PH N CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH (7 im) Câu 1. Cho hàm s 3 2 2 2 3 3(1 ) 2 2 1y x x m x m m= − + − + − − (m là tham s). 1. Kho sát s bin thiên và v th ca hàm s ã cho khi 1.m = − 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s th c m hàm s ã cho có c c i, c c ti u; ng th i hai i m c c tr c a th hàm s i x ng nhau qua ng th ng : 4 5 0.d x y− − = Câu 2. Gi i ph ng trình ( ) 2 1 4 4 4 cos 2 cos 2 sin 1 cos 2x x x x π π + − + + = v i 0 . 4 x π ≤ ≤ Câu 3. Gi i h ph ng trình 3 3 3 2 2 27 7 8 9 6 x y y x y y x + = + = ( ,x y ∈ ) Câu 4. Tính tích phân 1 ln 2 ln e x x x x I dx − + = Câu 5. Cho hình chóp . S ABCD có áy ABCD là hình bình hành, v i 2 2 SA SB AB a BC= = = = và 0 120 . ABC∠ = G i H là trung i m c a c nh AB và K là hình chi u vuông góc c a H trên m t ph ng ( ), SCD K n m trong tam giác SCD và 3 5 .HK a= Tìm th tích c a hình chóp theo a. Câu 6. Cho a , b là các s th c d ng th a mãn 3. ab a b+ + = Ch ng minh r ng 2 2 3 3 3 1 1 2 a b ab b a a b a b + + + + + ≤ + + II. PHN RIÊNG (3 im): Thí sinh ch c mt trong hai phn riêng, phn A hoc phn B. A. Theo chng trình chun Câu 7a. Trong m t ph ng v i h t a Oxy , cho ng tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 1) 16 C x y− + + = có tâm I và i m (1 3; 2).A + Vi t ph ng trình ng th ng ∆ i qua A và c t ( )C t i hai i m B, C phân bi t sao cho tam giác IBC không có góc tù ng th i có di n tích b ng 4 3. Câu 8a. Trong không gian v i h t a Oxyz, cho i m (0;4;2)M và hai m t ph ng ( ),( )P Q l n l t có ph ng trình 3 1 0, 3 4 7 0.x y x y z − − = + + − = Vi t ph ng trình c a ng th ng ∆ i qua M và song song v i giao tuy n c a ( )P và ( ).Q Câu 9a. Tìm t t c các s th c a, b sao cho s ph c 2 3z i = + là nghi m c a ph ng trình 2 0.z az b + + = B. Theo chng trình nâng cao Câu 7b. Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho i m (3;4)M và ng tròn 2 2 : 6 2 2 0.x y x y ω + − + + = Vi t ph ng trình c a ng tròn Γ v i tâm M, c t ω t i hai i m A, B ssao cho AB là c nh c a m t hình vuông có b n nh n m trên . ω Câu 8b. Trong không gian v i h t a Oxyz, vi t ph ng trình c a m t c u có tâm (1;2;3)I và ti p xúc v i ng th ng 2 : . 1 2 2 x y z d + = = − Câu 9b. Hãy gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c 2 2 2 ( ) ( ) 5 5 0.z i z i z − + − − = Cán b coi thi không gii thích gì thêm! www.VNMATH.com S GD- T V NH PHÚC THI KHO SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN HD chm môn TOÁN 12 – Khi B,D V NH PHÚC Hng dn chung: - M i mt bài toán có th có nhiu cách gii, trong HDC này ch trình bày s lc mt cách gii. Hc sinh có th gii theo nhiu cách khác nhau, nu ý và cho kt qu úng, giám kho vn cho im ti a ca phn ó. - Câu (Hình hc không gian), nu hc sinh v hình sai hoc không v hình chính ca bài toán, thì không cho im, nhng không nht thit phi v hình 1; câu (Hình hc gii tích) không nht thit phi v hình. - im toàn bài chm chi tit n 0.25, không làm tròn. - HDC này có 04 trang. Câu N i dung trình bày im 1 1. 3 2 31: 3m y x x− = − += . TX: 0.25 Chi!u bin thiên: 3 ( 2), 0 0 2y x x y x x ′ ′ = = − = ⇔ = ∨ = Xét d u y ′ và k t lu n: hàm s ng bi n trên ( ; 0), (2; )−∞ +∞ , ngh ch bi n trên (0;2) Hàm s t c c i t i 0, 3 cd x y= = ; hàm s t c c ti u t i 2, 1 ct x y= = − 0.25 Nhánh vô c c: lim , lim x x y y →+∞ →−∞ = = +∞ = = −∞ ; l p b ng bi n thiên 0.25 V th 4 2 0.25 2. 2 2 3 6 3(1 )y x x m ′ = − + − Hàm s có c c i, c c ti u khi và ch khi 0y ′ = có hai nghi m phân bi t và " i d u khi qua hai nghi m ó. i ! u này t ng ng v i ph ng trình 2 2 2 1 0x x m− + − = có hai nghi m phân bi t, t c là 0.m ≠ 0.25 Khi ó, th c a hàm s có hai i m c ctr 3 2 3 2 (1 ; 2 1), (1 ; 2 1)A m m m B m m m+ − − + − − + 0.25 Hai i m này i x ng nhau qua d khi và ch khi trung i m c a AB n m trên d và AB d⊥ . i ! u này t ng ng v i 2 2 1 4(1 ) 5 0 2 2 4 m m m − − − = ⇔ = ± − = − 0.25 K t lu n 0.25 2 Bi n " i tích thành t " ng, thu c 1 cos( ) cos 4 (1 cos 2 )(1 cos 2 ) 2 2 x x x π + + − + = 0.25 2 1 cos 4 1 cos 2 cos 4 0 , 2 8 4 k x x x x k π π ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = + ∈ 0.5 Do 0; 4 x π ∈ nên 8 x π = 0.25 www.VNMATH.com 3 Nh n xét 0,y ≠ nhân hai v ph ng trình th hai v i 7y, tr # i ph ng trình th nh t, c 3 2 (3 ) 7(3 ) 14(3 ) 8 0xy xy xy− + − = T # ó tìm c ho c 1xy = ho c 2xy = ho c 4xy = 0.25 V i 1,xy = thay vào ph ng trình th nh t, c 3 19 7 y = − do ó 3 7 19 x = − 0.25 V i 2,xy = thay vào ph ng trình th nh t, c 3 26 2 7 y = − do ó 3 7 26 x = − 0.25 V i 4,xy = thay vào ph ng trình th nh t, c 3 215 2 7 y = − do ó 3 7 2 215 x = − 0.25 4 Vi t l i bi u th c d i d u tích phân ln 2 · ln 1 x dx x x − + 0.25 t ln x t= th thì khi 1 2x≤ ≤ thì 0 1t≤ ≤ và , dx dt x = 0.25 Khi ó 1 1 0 0 2 3 1 1 1 t I dt dt t t − = = − + + 0.25 Tính c 1 3ln 2 1 ln 8I = − = − 0.25 5 G i I là trung i m CD. Ch ra các tam giác , , ,ADH HDI IHB BCI là các tam giác ! u c nh a. Suy ra 2 2 3 4 3 4 ABCD a S a= × = ( .v.d.t) G i J là trung i m DI. Khi ó ,HJ AB CD⊥ và do ó ( )CD SHJ⊥ . 0.25 Suy ra .K SJ∈ Ngoài ra 3 2 a HJ = . H n n $ a, do tam giác SAB là tam giác ! u c nh 2a và H là trung i m AB nên SH AB⊥ và 3.SH a= 0.25 Suy ra 2 2 2 2 1 1 5 1 3SH HJ a HK + = = do ó tam giác SHJ vuông t i H . 0.25 T # ó, do ,SH AB HJ⊥ nên ( )SH ABCD⊥ hay SH là ng cao c a hình chóp. 0.25 a a a a a a a a C I B H A D Hình 1 a 2a 2a J I H D B A C S K Hình 2 www.VNMATH.com V y 3 .S ABCD V a= = ( .v.t.t) 6 T # gi thi t suy ra (1 )(1 ) 1 4 a b ab a b+ + = + + + = . t , 0 a b x x+ = > th thì 2 2 ( ) 4 4(3 ) 2 x a b ab x x= + ≥ = − ≥ (do 0 x > ) 0.25 B t ng th c c n ch ng minh t ng ng v i ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 1 3 3 12 1 3 10 0 2 1 1 a a b b a b a b a b a b a b a b + + + + + ≥ + − ⇔ + − + − + ≥ + + + + (1) 0.25 Do 2 2 2 ( ) 2a b a b ab+ = + − nên 2 2 2 2 2(3 ) 2 6,a b x x x x+ = − − = + − do ó (1) tr % thành 2 3 2 12 2 6 3 10 0 4 12 0x x x x x x x + − − − + ≥ ⇔ − + − ≥ 0.25 ý r ng 3 2 2 4 12 ( 2)( 6) 0x x x x x x− + − = − + + ≥ nên b t ng th c cu i cùng luôn úng. Suy ra i ! u ph i ch ng minh. 0.25 7a ng tròn ( )C có tâm (1; 1)I − và bán kính 4R = 0.25 Do 1 · · ·sin 4 3 2 ICB IC IB CIB S∠ = = nên 3 sin 2 CIB∠ = . T # ó, do 0 90CIB∠ ≤ và IC IB= nên tam giác CIB ! u, v i dài ba c nh b ng 4. B % i v y, bài toán quy v ! vi t ph ng trình ng th ng ∆ i qua (1 3; 2) A + và cách (1; 1) I − m t kho ng b ng 2 3. 0.25 ng th ng ∆ có ph ng trình ( 1 3) ( 2) 0 a x b y− − + − = v i 2 2 0. a b+ ≠ Ta có ph ng trình 2 2 | 3 3 | 2 3 a b a b − − = + , t # ó tìm c 3 b a= 0.25 Ch n 1, 3 a b= = , suy ra : 3 1 3 3 0. x y∆ + − − = 0.25 8a M t ph ng ( ) P có véct pháp tuy n (3; 1;0) p = − và m t ph ng ( ) Q có véct pháp tuy n (1;3;4) q = 0.25 Giao tuy n d c a ( P ) và ( Q ) có véct ch ph ng [ ; ] ( 4; 12;10) 2(2;6; 5) u p q= = = − − = − − 0.25 Do d∆ nên ∆ có véct ch ph ng 1 · (2;6; 5) 2 v u= − = − 0.25 Do ó, ∆ có ph ng trình 4 2 2 6 5 x y z− − = = − 0.25 9a Tính 2 1 6 , 2 (3 ) z i az a a i= + = + 0.25 Suy ra 2 (2 1) (3 6) z az b a b a i+ + = + + + + 0.25 T # ó, có h 2 1 0 3 6 0 a b a + + = + = 0.25 Gi i h , thu c 2, 3 a b= − = và k t lu n. 0.25 7b ng tròn ω có tâm (3; 1) I − và bán kính 2 2R = . 0.25 Gi s & tìm c ng tròn 2 2 2 : ( 3) ( 4) x y ρ Γ − + − = th a mãn yêu c u. Khi ó, do AB là dây cung chung, nên , AB IM⊥ hay ng th ng AB nh n (0;5) IM = làm véct pháp tuy n. H n n $ a, I và M % v ! hai phía c a AB. Do ó, ng th ng AB có ph ng trình d ng 5 0 y c+ = v i 20 5 c− < < (1) 0.25 www.VNMATH.com AB là c nh c a hình vuông n i ti p ω khi và ch khi ( ; ) 2 2 R d I AB = = . T # ó, k t h p v i (1), tìm c 5 c = − . Suy ra : 1 0. AB y − = 0.25 M t khác AB là tr ' c ng ph ng c a , ω Γ nên AB có ph ng trình 2 23 . 0. 10 y ρ − + = T # ó 2 13 ρ = , b % i v y 2 2 : ( 3) ( 4) 13 x yΓ − + − = 0.25 8b + ng th ng d i qua (0; 2;0) M − , có véct ch ph ng (1; 2;2) u = − . Tính c (1;4;3) MI = 0.25 + Kh ng nh và tính c [ ; ] 233 ( ; ) | | 3 MI u d I d u = = = 0.5 + Kh ng nh m t c u c n tìm có bán kính b ng ( ; ) d I d và vi t ph ng trình 2 2 2 233 ( 1) ( 2) ( 3) 9 x y z− + − + − = 0.25 9b Vi t l i ph ng trình v ! d ng 2 2 2 ( 1) 5 5 0 z z+ − − = 0.25 Khai tri n, rút g n, nhân t & hóa 2 2 ( 1)( 4) 0 z z+ − = 0.5 Gi i các ph ng trình, thu c z i= ± và 2 z = ± r i k t lu n. 0.25 www.VNMATH.com . SH là ng cao c a hình chóp. 0.25 a a a a a a a a C I B H A D Hình 1 a 2a 2a J I H D B A C S K Hình 2 www.VNMATH.com V y 3 .S ABCD V a= = ( .v.t.t). gi thi t, ( ) BC AIA ′ ⊥ . Suy ra 3 1 4 2 a IH AI= = ( H là hình chi u c a I trên AA ′ ), suy ra 0 30 A AI ′ ∠ = . Do ó 0 2 . cos30 3 AO a A O
