Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh ********************************* Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê rông,định lý hàm số côsin và công thức đờng trung tuyến trong tam giác **************************************** Trờng thcs thạch kim Họ và tên: phan đình ánh Năm học: 2007 - 2008 1 Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh ********************************* Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê rông,định lý hàm số côsin và công thức đờng trung tuyến trong tam giác ****************************** Hà tĩnh, ngày 20 tháng tháng năm 2008 2 I.Đặt vấn đề: Chúng ta biết rằng công thức hê rông,định lý về hàm số côsin và công thức đ- ờng trung tuyến trong tam giác đợc đa vào chơng trình sách giáo khoa lớp 10 nhng việc chứng minh lại nhờ vào công cụ véc tơ. Nhng thực tế ta có thể chứng minh các công thức đó nhờ vào kiến thức THCS. Sau đây tôi xin trình bày cách chứng minh nhờ vào kiến thức THCS . II.GIảI QUYếT VấN Đề: Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.Các đờng cao và các đờng trung tuyến ứng với các đỉnh A,B,C lần lợt là h a , h b , h c , m a , m b , m c .S và p lần lợt là diện tích và nữa chu vi của tam giác ABC Chứng minh: a, S = ))()(( cpbpapp (1) b, b 2 = a 2 + c 2 - 2acCosB (2) a 2 = b 2 + c 2 - 2bcCosA (3) c 2 = a 2 + b 2 - 2abCosC (4) A Bài giải: h a x a - x B H C a, Giả sử: AH = h a (hình 1) khi đó ta có: BC = BH + CH (*) Đặt BH = x (0 x a).Từ (*) ta có: HC = a - x. áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ABH và ACH ta có hệ sau: =+ =+ 22 2 22 2 )( bxah cxh a a (I) Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ (I) ta có: 2ax - a 2 = c 2 - b 2 x = a cba 2 222 + (5) Thay (5) vào phơng trình đầu của hệ (I) ta đợc: h 2 a + ( a cba 2 222 + ) 2 = c 2 h 2 a = (c + a cba 2 222 + )(c - a cba 2 222 + ) = a cbaac 2 2 222 ++ . a cbaac 2 2 222 + 3 = a bca 2 )( 22 + . a cab 2 )( 22 = 2 4 ))()()(( a acbcbabcacba +++++ Vì p là nữa chu vi của tam giác ABC nên a + b + c = 2p,a + b - c = 2(p - c), a + c - b = 2(p - b),b + c - a = 2(p - a) . Do đó: h 2 a = 2 ))()((4 a cpbpapp h a = a 2 . ))()(( cpbpapp ah a . 2 1 = ))()(( cpbpapp S = ))()(( cpbpapp Vậy công thức (1) đã đợc chứng minh. Bằng cách thay đổi vai trò của a,b,c ta đợc: h b = b 2 . ))()(( cpbpapp h c = c 2 ))()(( cpbpapp . Chú ý:Trờng hợp điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC cũng chứng minh tơng tự Nh vậy ta có thể tính đợc độ dài đờng cao và diện tích của một tam giác thông qua đọ dàI 3 cạnh của một tam giác. b, Giả sử trung tuyến AM = m a A h a m a B C (hình2) H M *Trờng hợp1:Tam giác ABC có hai góc B và C đều nhọn áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có: AH 2 + CH 2 = AC 2 và AH 2 + BH 2 = AB 2 Trừ theo từng vế của hai đẳng thức trên ta có: CH 2 - BH 2 = AC 2 - AB 2 (BC - BH) 2 - BH 2 = AC 2 - AB 2 BC 2 - 2BC.BH = AC 2 - AB 2 Hay a 2 - 2a.BH = b 2 - c 2 BH = a bca 2 222 + (6) Trong tam giác vuông ABH có cosB = AB BH kết hợp với (6) suy ra cosB = ac bca 2 222 + hay b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB (i) Tráo đổi vị trí của điểm B với điểm C ta cũng đợc: 4 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC (ii) *Giả sử AB < AC thì BH < BM nên HM = BM - BH = 2 a - a bca 2 222 + = a bc 2 22 HM = a bc 2 22 Từ đó m 2 a = AM 2 = AH 2 + HM 2 = AB 2 - BH 2 + HM 2 = c 2 - ( a bca 2 222 + ) 2 + ( a bc 2 22 ) 2 = c 2 - 2 2224 4 )(2 a bcaa + m 2 a = 42 222 abc + (iii) Nếu AB > AC tráo đổi ký hiệu giữa điểm B với điểm C (hình 2) thì công thức (iii) chỉ đổi vị trí b với c nên ta vẩn có công thức (iii) Nếu AB = AC thì H trùng với M và lúc đó : m 2 a = b 2 - 4 2 a nghĩa là công thức (iii) vẩn đúng *Bây giờ ta xét các trờng hợp tam giác ABC có góc A nhọn hoặc tù hoặc vuông . 1, Tam giác ABC có 3 góc nhọn Tam giác ABC có góc B , C đều nhọn nên đã có các công thức (i),(ii),(iii) Nếu góc A nhọn thì áp dụng kết quả chứng minh trên đối với tam giác có các góc A,C ta có công thức m b và a, với tam giác có các góc A,B nhọn ta có công thức m c .Nh vậy với tam giác ABC có ba góc nhọn ta có các công thức sau: a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC 5 m 2 a = 42 222 abc + m 2 b = 42 222 bca + m 2 c = 42 222 cba + 2,Tam giác ABC có góc A tù Khi tam giác ABC có góc A tù thì các góc B,C đều nhọn nên vẫn có các công thức (i),(ii),(iii).Ta chỉ cần xét thêm công thức của a, m b , m c . Gọi BK là đờng cao của tam giác ABC (hình 3) áp dụng định lý Pitago trong tam giác BCK có BK 2 + CK 2 = BC 2 và trong tam giác BAK có BK 2 + AK 2 = AB 2 Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên ta có CK 2 - AK 2 = BC 2 - AB 2 (AC + AK) 2 - AK 2 = BC 2 - AB 2 K A (hình 3) N B C AC 2 + 2AC.AK = BC 2 - AB 2 Hay b 2 + 2b.AK = a 2 - c 2 AK = b cba 2 222 Xét tam giác ABK có Cos(180 0 - Â) = AB AK . Từ đó suy ra: Cos(180 0 - Â) = bc cba 2 222 hay a 2 = b 2 + c 2 + 2bcCos(180 0 - Â) Tính m 2 b = BN 2 = BK 2 + KN 2 = AB 2 - AK 2 + (AK + AN) 2 = AB 2 + AN 2 + 2AN.AK 6 Hay m 2 b = c 2 + 4 2 b + 2 222 cba = 42 222 bca + . Tráo đổi kí hiệu điểm B với điểm C trên (hình 3) Từ công thức m 2 b trên ta thấy lại công thức m 2 c = 42 222 cba + đối với m 2 c Nh vậy với tam giác ABC có góc A tù ta vẩn có các công thức đờng trung tuyến m 2 a = 42 222 abc + m 2 b = 42 222 bca + m 2 c = 42 222 cba + Còn với các cạnh thì có các công thức: a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos(180 0 - Â) b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC 3,Tam giác ABC có góc A vuông Khi góc A vuông (hình 4) thì theo định lý Pitago có a 2 = b 2 + c 2 còn các góc B,C nhọn nên các công thức b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC m 2 a = 42 222 abc + vẩn đúng Công thức m 2 a = 42 222 abc + trở thành m 2 a = 4 2 a (do a 2 = b 2 + c 2 ) m a = 2 a Ta có m 2 b = BN 2 = AB 2 + AN 2 m 2 b = c 2 + 4 2 b . B Tráo đổi vị trí điểm B với điểm C và điểm N P M với điểm P trên (hình 3) từ công thức m 2 b = c 2 + 4 2 b ta có m 2 c = b 2 + 4 2 c A N C Nh vậy với tam giác vuông ABC ta có các công thức: b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC a 2 = b 2 + c 2 7 m a = 2 a m 2 c = b 2 + 4 2 c , m 2 b = c 2 + 4 2 b III.KếT LUậN: Sử dụng các công thức trên ta có thể giải quyết đợc nhiều bài toán về hệ thức l- ợng trong tam giác bằng kiến thức THCS.Nh vậy nếu chúng ta chịu khó tìm tòi suy nghĩ thì những kiến thức ở lớp cao hơn chúng ta chỉ cần sử dụng kiến thức THCS là chứng minh đợc.Trên đây chỉ là ví dụ nhỏ nhoi trong vô vàn những kiến thức mà chúng ta có thể làm điều tơng tự mong các thầy cô , đồng nghiệp cùng tham khảo và góp ý. Xin trân trọng cám ơn ! 8 . thcs để chứng minh công thức hê rông,định lý hàm số côsin và công thức đờng trung tuyến trong tam giác **************************************** Trờng thcs. (hình 3) áp dụng định lý Pitago trong tam giác BCK có BK 2 + CK 2 = BC 2 và trong tam giác BAK có BK 2 + AK 2 = AB 2 Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên