TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI QUANH TA Bài toán 1: Đề thì giải tích 2006: Cho tập * 1 | n n n   Α = ∈Ν     .Tìm tập điểm tụ của A Giải : Có nhiều định nghĩa cho điểm tụ , ta sẽ chọn lựa điều nào trong đó ? Qua một bài toán khởi đầu và vài bài toán khác : 1/Tìm tập điểm tụ của : 1 1 1 A= 1, , , ., , 2 3 n       ( thầy Đạt ) 2/ Tập hợp bài toán cùng yêu cầu của một bạn TT1 a) * ( 1) A= | n n n   − ∈Ν     b) A=Ν c) { } 1 A= 0 [ ,1] 2 U d) * 2 1 A= ,| n n   ∈Ν     Bây giờ bắt đầu với bài toán 1: Qua việc suy nghĩ , giải bài toán 2, ta rút ra : nên chọn định nghĩa : #* là điểm tụ ( ) { } 0, , \θa a A a ε ε ε ⇔ ∀ > − + ≠U (*) Việc tìm điểm tụ , bao gồm các thao tác sau: 1/ Cm một giá trị nào đó là điểm tụ : ( Vấn đề này ta chứng minh theo con đường : a là điểm tụ khi và chỉ khi: 0 : : 0 | |y A y a ε ε ∀ > ∃ ∈ < − < ) 2/CM một điểm không là điểm tụ , ta chọn theo ý (*), tức là ( ) { } 0, , \θa a A a ε ε ε ∃ > − + =U ( quá trình này là quá trình chọn lựa , việc làm này , liên hệ với thủ thuật , dùng ngôn ngữ , ε δ trong các bài toán giới hạn ) TH1:a<0. Khi đó ta chọn : 0 a ε < < − . Khi đó : ( ) sup , 0a a ε ε − + ≤ Suy ra ( ) { } 0, , \θa a A a ε ε ε ∃ > − + =U Suy ra trong th này a (<0) không là điểm tụ TH2: a> 1 4 : Ta chọn 1 , 0 4 a ε ε − > > chẳn hạn : 1 1 4 , 0, = 0 4 2 a a ε ε ε − − > > > TH3: 0<a 1 4 ≤ 0 0 1 1 0 : : ,0 | | n m N n m N n m ε ε ∀ > ∃ ∀ > > < − < ( định lí cauchy , do dãy hội tụ ) Điều này có tác dụng gì ? Nếu a là điểm tụ thì : với 0 : : 0 | |y A y a ε ε ∀ > ∃ ∈ < − < . Hay: { } 1 0 : \ 0,1 : 0 | | m m N a m ε ε ∀ > ∃ ∈ < − < (1) (1) 1 m a a m ε ε ⇔ − < < + Vời mỗi giá trị ε ta sẽ có một phần tử m như trên , như vậy ta xây dựng một dãy { } , 0 n n ε ε > và có một dãy ( xây dựng sau) 1 m y m − = ( ứng với 1 0const ε = > ,) sau đó chọn tiếp + Nếu 1 m a m < , với m là giá trị khởi tạo! Khi ấy :ta chọn : 2 2 1 : 0 m a m ε ε < < − Ta có thề xây dựng : 2 1 0 2 m a m ε − < = , khi đó : 2 1 , k y k m k = ≥ ( giá trị k ờ đây có thể không xác định rỏ ràng , mà đó chỉ là dạng mà thôi!) Lúc đó: ta lại có: 2 2 1 1 1 2 2 m m k a a m m a a a k ε ε − + − < < + = + = ……………. Bài 1: Gọi a là một điểm tụ của A *a<0 và chọn 0 a ε < < − thì mâu thuẩn *a=0 thì cm nó l2 điểm tụ! *1>a>0: 1 0, : 0 | |y a y ε ε ∀ > ∃ ∈Ν < − < 1 a a y ε ε − < < + Chọn: 1 1 0 a y a a ε ε ε < < ⇒ < < + − 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 0 1 1a a a a a ε ε ε ε ε ε ε − = − < ⇔ + < ⇔ < < + − − − + ___+++++____ Nếu a>0 thì luôn tồn tại m sao cho : 2 1 0 1 0 1 0 n a n a n a n > > > > > > Xem như g(n): a>g(n)>0 g(n) đơn điệu giảm ! a-g(n)<a-g(n+k),k>0 Nên: chỉ việc chọn 0 ( )a g n ε < < − , suy ra : Không thể chọn …n>… Với những giá trị nhỏ hơn !? **a=g(k) thì sao ? Nếu a>g(k), mọi k thì ổn g/s: điều này không đúng!!! Vậy tồn tại : g(l)>a>g(l+1), điều này suy ra a không là điểm tụ chọn epsilon=min(g(l)-a),a-g(l+) *a>1 không là điểm tụ . chứng minh theo con đường : a là điểm tụ khi và chỉ khi: 0 : : 0 | |y A y a ε ε ∀ > ∃ ∈ < − < ) 2/CM một điểm không là điểm tụ , ta chọn theo ý (*),