SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHOÁ NGÀY 18 – – 2017 Đề thức Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017 Bài (6,0 điểm) Cho biểu thức: P = 2m  16m   m2 m 3 m2  m 1 2 m3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Bài (5,0 điểm) a) Chứng minh rằng: với số thực x, y dương, ta ln có: 1   x y x y b) Cho phương trình: x2  3mx   (m tham số) Có hai nghiệm x1 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =  x1  x2    x12  x22     x2   x1 Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1         x  yz y  xz z  xy  xy yz zx  Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường tròn a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng thức: MH + MI + MK =  S + 2S'  3R Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn FD, lấy N tia DE cho MAN = BAC Chứng minh MA tia phân giác góc NMF Lbinhpn thcsphuochoa ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) 1a) Rút gọn P = m 1 (với m  0, m  1) m 1 1b) P= m 1 = 1+ m 1 Ta có: P  N  m 1 N  m 1 m  ước dương  m  4; 9 (TMĐK) Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm 2) a + b + c (a, b, c  Z) Đặt a + b + c = 4k (k  Z)  a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = 16k  4ak  ack  ac   4k  b   abc = 64 k  16bk  16ak  4abc  16ck  4bck  4ack  abc  abc = 16k  4bk  4ak  abk  4ck  bck  ack   2abc (*) Giả sử a, b, c chia dư  a+ b + c chia dư (1) Mà: a + b + c  a + b + c (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn  Điều giả sử sai  Trong ba số a, b, c có số chia hết cho  2abc (**) Từ (*) (**)  P Bài (5,0 điểm) a) 1 ab 2     a  b   4ab   a  b   (đúng)   ab ab x y x y b) PT có a, c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Ta có: x1  x2   3m x1.x2   2   x12  x22  x  x   M =  2   = = x x2   2    x1 x2    x1 x2     2      x1  x2   x1 x2  1    x1  x2  1  2  x1 x2     x1 x2      2 =   m       Dấu “=” xảy m = Vậy GTNN M  m = Bài (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho số dương x yz, ta có: x + yz  x yz  x yz  1 1   x  yz x yz x yz Lbinhpn thcsphuochoa Tương tự, ta có: 1 1 1   z  xy z xy y  xz y xz 1 1 1         x  yz y  xz z  xy  x yz y xz z xy  yz  xz  xy 1   Ta có: = (2) xyz x yz y xz z xy Suy ra: (1) Ta có: yz  xz  xy  x + y + z (3) Thật vậy: (*)  yz  xz  xy  x  y  z   x   y   z  x y  x   (BĐT đúng) Dấu “=” xảy x = y = z Từ (2) (3) suy ra: 1 x yz 1   (4)     xyz yz xz xy x yz y xz z xy Từ (1) (4) suy ra: 1 1 1 1        x  yz y  xz z  xy  xy yz zx  Bài (7,0 điểm) 1.a) Cách 1: Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Ta có:  BEM tam giác  BE = BM = EM A  BMA =  BEC  MA = EC Do đó: MB + MC = MA Cách 2: O Trên AM lấy điểm E cho ME = MB E Ta có:  BEM tam giác B  BE = BM = EM  MBC =  EBA (c.g.c)  MC= AE M Do đó: MB + MC = MA 1.b) Kẻ AN vng góc với BC N Vì  ABC tam giác nên O trọng tâm tam giác  A, O, N thẳng hàng  AN = A O B C M E A R Ta có: AN = AB.sin ABN  AB  AN  3 R: R 2 sin ABN 2S 2S I N Ta có: MH AB  S ABM  MH  ABM = ABM B AB R H 2S ACM S ACM = MK AC  S ACM  MK  M AC R 2S S BCM 2S ' = MI BC  S BCM  MI  BCM = BC R R 2 2S ' 2S ' Do đó: MH + MK + MI = + + S ABMC  S ABM  S ACM  = R R R R = C  S  2S ' 2S ' +  S  S '  3R R R Lbinhpn thcsphuochoa O K C Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE K Tứ giác AEDB nội tiếp  CDE  BAC Mà: MKD  CDE (vì MK // BC) Do đó: MKD  MAN  Tứ giác AMKN nội tiếp  AMN  AKN Ta có: D3  D4 (= BAC )  D1  D2  DMK có DA phân giác vừa đường cao nên cân D  DM = DK  AMD =  AKD (c.g.c)  AMD  AKD F Nên: AMF  AKN Ta có: AMF  AMN  AKN  A N  E H Vậy: MA phân giác góc NMF K M B Lbinhpn thcsphuochoa D C SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016 (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) - (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho A  3  3  3  3 x  x x  x  x  x 1 x  x 1 2 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình : x  x   x  x   x3 2) Giải phương trình: x2  5x  12  x2  3x   x  Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + khơng phải lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2  25  y( y  6) Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH a) Chứng minh CIJ CBH b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c  Chứng minh a b c    bc ca ab -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… GD-ĐT Quảng Ngãi Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn thi : Tốn Nội dung Câu 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A= A=  3 2(  3)  (  1) 2  3 3   3  2(3  5)  (  1) = Điểm 3   3 2(  3) 2 62   2(3  5) 0,75 2 62 2(  3) 2(3  5)  3 3 0,5 0,5 A= 2 x2  x x2  x  x  x 1 x  x 1 a) ĐKXĐ: x  A  Bài (4 đ)    0,25 0,5  x x3 1 x x3 1 x2  x x2  x A    x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 Câu (2,25)  x  x     x   x 1 x  x 1 x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x 1  x   0,5 x   x  x  x  x  2 x b) B = A + x – 1= 2 x  x   x  x    x  1   2 0,5 Dấu “=” xảy  x 1   x  ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 0,25 0,25 1) Giải phương trình : x  x   x  x   x3 ĐKXĐ : x  0,25 x  x 1  x  x 1  Bài (4 đ) Câu (2đ) x3 x3  x 1  x 1   x 1  x 1   2 x3  x 1   x 1 1  x3  x 1   x 1 1  (*) Nếu x  phương trình (*) x3 x3  x 1   x 1 1   x 1   x 1  x  2     0,5 0,25 0,25 0,25  16( x  1)  x2  x   x2  10 x  25   ( x  5)2   x  (TM) Nếu  x  phương trình (*) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x2  5x  12  x2  3x   x  0,25 Đặt u  x2  5x  12, v  x2  3x  ( u  0, v  0) 0,25  u  x2  5x  12, v  x  3x   u  v  x  10  2( x  5) 0,25 0,25 0,25 x3 x3  x 1    x 1  2   x   x  ( TM) 2 Từ (1)  2(u  v)  (u  v2 )  (u  v)(u  v  2)  (2) Vì u  0, v  , từ (2) suy ra: u  v   Vì x2  5x  12  x2  3x   (3) Câu (2đ) Bình phương vế thu gọn ta phương trình 2 x  3x   x  0,25  x  3  x  3  x        2 2 x  3x   x  7 x  x   (7 x  7)  (6 x  6)   x  3  ( x  1)(7 x  1)  0,5  x  3    x  1, x   tm   x  1, x  Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Câu (1,5đ) Bài (3 đ) 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1;2; 2;3; 3 Trong tất trường hợp ta có a3 – không chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 –  2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Câu (1,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 x2  25  y( y  6) Từ x2  25  y( y  6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 0,25 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x  y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 Vì ph-ơng trình cho có nghiệm : ( x,y)   5,0 ;  5, 6  ;  4, 3  0,5 0,25 0,5 D Bài (7 đ) C E I A Câu a (1,5 đ) J H B O + Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC  BC Suy BC  CD (1) 0,5 + Lập luận để IJ // CD (2) + Từ (1) (2) suy IJ BC + Suy CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) (3) 0,5 0,5 +) Trong  vng CBH ta có: tan CBH Câu b (2 đ) 0,5 CH (4) BH + Lập luận chứng minh CJ // AB + Mà CH  AB (gt) + Suy CJ  CH +) Trong tam giác vng CIJ ta có tan CIJ + Từ (3), (4), (5)  CH CJ  HB HI 0,5 CJ CI CJ CI HI HI (5) 0,5 + Xét CJH HIB có HCJ  BHI  900 + Nên CJH đồng dạng với CH CJ (cmt)  HB HI 0,5 HIB 0,5 + Lập luận để chứng minh HEI  90 + Chứng minh HEI đồng dạng với HCJ Câu c (1,5 đ) 0,5 HE HI + Suy  HC HJ + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 + Mà HJ  HD; HI  HC + Suy HE.HD = HC2 C M 450 A Câu d (2 đ) H O K B N + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM 450 + Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK  AB K + Chứng minh MON vuông cân M KM = KN Suy ANC  450 Xét C M Ta có C M nên H K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 0,5 + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do ANC ANM 450 + HNC có NHC 900 nên HNC HCN 900 Mà HNC 450 nên HCN 450 Suy HNC HCN Suy HC < HN 0,5 0,5 0,5 + Do AH + CH < AH + HN = AN + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC 450 AH + CH đạt giá trị lớn Chứng minh a b c    bc ca ab Áp dụng BĐT Cauchy ta có a  b  c  a b  c   Bài (2 đ) 0,5 a 2a  bc abc Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c  ;  ca abc ab abc 2a  b  c a b c    2 Suy bc ca ab abc a  b  c Dấu xảy  b  c  a  a  b  c  (Trái với giả thiết) c  a  b  Vậy dấu = không xảy suy đpcm 0,5 0,5 0,5 1 Ta có :      a c b  (theo câu a) abc 1  9 Nên       x 1 y 1 z 1  x 1 y 1 z 1 P  3  4 Vậy GTLN P x  y  z  Câu a) Điều kiện x  0; x  y Đặt a  x y ;b  x y   3a  5b  a   x  y  x  Hệ trở thành  thỏa điều kiện   3 y  3a  4b  3 b  x  y      b) Gọi x quãng đường AB (x>0) Quãng đường ô tô với vận tốc ban đầu : Quãng đường ô tô với vận tốc tăng lên x  120 80 x  120 Thời gian ô tô lúc tăng vận tốc là: 100 Thời gian ô tô lúc ban đầu là: Theo đề ta có phương trình: x  120 x  120 x   1 80 100 40 Giải phương trình x = 280 Vậy quãng đường AB dài 280 km x  60 x  60 Câu T A F L H E O C B K M D a) DB  AB,CE  AB nên CE // DB DC  AC,BF  AC nên DC // BF Tứ giác ABDC hình bình hành, M trung điểm BC nên M trung điểm DH b) AE  HL (a) EAL  LCB (1) (góc nội tiếp chắn cung) EHA đồng dạng KHC  LCB  HAB(2) (K giao điểm AH BC) Từ (1) (2) suy AE phân giác HAL (b) Từ (a) (b) suy E trung điểm HL Vậy H, L đối xứng qua AB c) Kẻ tiếp tuyến từ A đường tròn tâm (O) (3) TAC  ABC (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung) Tứ giác EFCB nội tiếp  ABC  EFC  1800 EFC  EFA  1800 nên ABC  AFE  TAC suy EF//AT (4) Từ (3) (4) suy EF vng góc với AO Câu E A B K H F C D a) CD=CB, DF=BK, FDC  CBK  900 nên DFC  BKC  CK  CF b) Gọi H chân đường cao kẻ từ C tam giác CEF HEC  BEC  HE  EB HFC  BKC nên FH = BK Cộng vế theo vế suy EF = EK Do HEC  BEC  CB  CH EF  CH Vậy tam giác EFC ln tiếp xúc đường tròn cố định tâm C bán kính CH = c) S DFC  S HFC ;S HEC  S BEC 1 S CEF  S CDFEB  16  S AEF   S CEF  2 S CEF lớn Khi E  A,F  D SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút Ngày thi: 22/3/2017 Câu 1.(2 điểm) Cho a  1 1 Tính a  b7 ;b  2 Câu (4 điểm) a) Cho hàm số y = ax+b (a khác 0) có đồ thi (d) Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) qua điểm A(1;2) cắt trục hồnh điểm B có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm C có tung độ dương thỏa mãn  OB  OC  nhỏ (O gốc tọa độ) b) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 3x  16y  24  9x2  16x  32 Câu 3 điểm Giải phương trình 4x3  5x2   3x   3x Câu (3 điểm) 2  y 2x    5y  6x  Giải hệ phương trình   2y 5x  17x    15x   Câu (6 điểm) Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB  M  A,M  B,MA  MB  Tia phân giác AMB cắt AB C Qua C vẽ đường vng góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự D, H a) Chứng minh CA = CH b) Gọi E hình chiếu vng góc H tiếp tuyến A (O), F hình chiếu vng góc D tiếp tuyến B (O) Chứng minh E, M, F thẳng hàng c) Gọi S1 ,S thứ tự diện tích tứ giác ACHE BCDF Chứng minh CM2  S1.S Câu (2 điểm) Cho ba số a, b,c  thỏa mãn 32abc  18(a  b  c)  27 Tìm giá trị lớn biểu thức P a2  b2  c2    a b c ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HƯNG YÊN 2016-2017 Câu 1 Ta có : a  b  ;ab  ; a  b2  a  b   2ab    Lại có a  b7  a3  b3 a  b4   a 3b3 a  b     a  b   3ab(a  b)  a  b2      2a b2   a 3b3 (a  b)  1 17 169                 16  16 64 64     Câu a) Do (d) qua điểm A(1;2) nên (d) có dạng y  ax   a a2  Có (d) cắt trục Ox B  ;0  cắt trục Oy C  0;2  a   a  Vì điểm B có hồnh độ dương C có tung độ dương nên a