UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN- LỚP Thời gian làm bài:150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > Tính giá trị biểu thức: C  Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) x  3x   x   ; 2) 9x x  8 2x  x  2x  x  ab 4a  b 2 Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thoả mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 2) Cho đa thức f(x) = x - 3x + 3x - Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f(x) chia hết cho giá trị đa thức x + Câu 4: (3,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB2 = AC.BD; 2) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM; 3) Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  y  z  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16 x  y  z Hết UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN- LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm: câu, trang) Câu Đáp án Điểm (1điểm) x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + = x2 (x2 - 1)(x2 + 1)(x2 + 2) + = (x4 + x2)(x4 + x2 – 2) + 0,25 0,25 = (x4 + x2)2 – 2(x4 + x2) + 1 = (x4 + x2 – 1)2 (2 (1điểm) điểm) 4a2 + b2 = 5ab � (a – b)(4a – b) = 0,25 0,25 a b  ab � � �� �� 4a  b  4a  b � � 0,5 Do 2a > b > nên 4a = b loại Với a = b C  (2 điểm) 0,25 ab a   2 4a  b 4a  a (1điểm) * Với x (*) ta có phơng trình: x2 -3x + + x-1 = � x  x   �  x  1  � x  ( Tho¶ m·n ®iỊu kiƯn *) 0,25 0,25 0,25 * Víi x < (**) ta có phơng trình: x2 -3x + + - x = � x  x   �  x  1  x    + x - = � x  ( Không thỏa mãn điều kiện **) + x - = x ( Không thoả mãn điều kiện **) Vậy nghiệm phơng trình (1) lµ: x = (1điểm) 0,25 0,25 - Xét x = nghiệm - Xét x khác 9x x  8 2x  x  2x  x  �  8 3 2x 1  2x 1 x x 0,25 Đặt :  t , ta có phương trình: x  8 t 1 t 1 2x  0,25 ĐKXĐ x khác 1;-1 0,25 PT � 8t  8t   �  2t  1  � t  � 2x   x 2 � 4x  x   95 � (2 x  )  0 16 0,25 => PT vô nghiệm (1điểm) (2 Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = điểm)  4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = � (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = (*) 0,25 Ta thấy (2x + 2y + 7)2 �0 nên 4y2 �9 � y � y nguyên nên y � 0;1 � y � 0;1; 1 0,25 Với y = thay vào (*) ta được:  x    tìm x � 2; 5 Với y = thay vào (*) ta có : (2x + 9)2 = - khơng tìm x ngun Với y = -1 thay vào (*) ta có (2x + 5)2 = - khơng tìm x ngun Vậy (x;y) nguyên tìm (-2 ; 0) ; (-5 ; 0) 2 (1điểm) Chia f ( x) cho x  thương x - dư x + 0,25 0,25 0,25 (3 điểm) để f ( x) chia hết cho x  x + chia hết cho x  2 => (x + 2)(x - 2) chia hết cho x + 2 => x - chia hết cho x + 2 => x + - chia hết cho x + 2 => chia hết cho x + 2 => x + ước mà x  �2 => x  � 3;6  1; 2 => x α� Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa mãn Vậy với x = ; x = -2 f ( x) chia hết cho x  Vẽ hình ghi GT, KL 0,25 0,25 0,25 0,25 (1điểm) Chứng minh: ΔOAC : ΔDBO (g - g ) OA AC  � OA.OB  AC.BD DB OB AB AB �  AC.BD � AB2  4AC.BD (đpcm) 2 � 0,25 0,25 0,25 (1điểm) Theo câu a ta có: ΔOAC : ΔDBO (g - g) � Mà OA  OB � OC AC  OD OB OC AC OC OD  �  OD OA AC OA �  ACO � +) Chứng minh: ΔOCD : ΔACO (c - g - c) � OCD +) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) � AC  MC (đpcm) (1điểm) 0,25 0,25 0,5 Ta có ΔOAC = ΔOMC � OA  OM; CA  CM � OC trung trực AM OC  AM Mặt khác OA = OM = OB ∆AMB vuông M OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI Chứng minh C trung điểm AI MK BK KH   Do MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: � IC BC AC Mà IC = AC  MK = HK BC qua trung điểm MH (đpcm) �1 1 1 � �y x � �z x � �z y � 21     x  y  z �   � �  �  �  � �  � 16x y z 16x y z � � 16 x y � � 16 x z � �4 y z � 16 � y x Theo BĐT Cô Si ta có: 16 x  y �4 dấu “=” y = 2x; (1điểm Tương tự: z  x �1 dấu “=” z = 4x; z  y �1 dấu “=” z = 2y; 4y z 16 x z ) 49  P � Dấu “=” xảy x = ; y = ; z = 16 7 49 Vậy Min P = với x = ; y = ; z = 16 7 P= *Chú ý: Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆNKINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 8abc b) Cho abc  2017 Tính giá trị biểu thức: a b 2017c   P= ab  a  2017 bc  b  ac  2017c  2017 Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình, bất phương trình sau: 3x  40 3x  10 x  30 x  90     a) 50 40 20 10 x 1 �1 b) x 3 Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho a, b, c, d số nguyên dương đôi khác thỏa mãn: a b c d     Chứng minh rằng: abcd số phương ab bc cd da b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + = Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M điểm đối xứng H qua D Gọi I K hình chiếu M AB AC �  CED � a) Chứng minh rằng: AEF b) Gọi giao điểm EF với AM N Chứng minh rằng: HN.AD=AN.HD c) Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm) Cho a,b,c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P b c c  a a b a b c      a b c bc c  a a b Họ tên thí sinh: .SBD: Chữ ký giám thị Chữ ký giám thị UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN: TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Câu (2,0đ) Ý Nội dung Điểm a Phân tích đa thức thành nhân tử: a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2+8abc 1,00 = ab2 + ac2 - 2abc + bc2 + ba2 - 2abc + ca2 + cb2 - 2abc + 8abc = (ab2 + ac2 + 2abc) + (bc2 + b2c) + (ca2 + ba2) =a(b + c)2 + bc(c + b) + a2(c + b) =(b + c)(ab + ac + bc + a2) = (b + c)(a + b)(c + a) Cho abc  2017 Tính giá trị biểu thức : a b 2017c b   P= ab  a  2017 bc  b  ac  2017c  2017 a b 2017c P   ab  a  2017 bc  b  ac  2017c  2017 a b abcc    ab  a  abc bc  b  ac  abcc  abc b bc    1 b   bc bc  b  1  bc  b a 3x  40 3x  10 x  30 x  90     50 40 20 10 �3x  40 � �3x  10 � �x  30 � �x  90 � ��  1� �  � �  � �  � � 50 � � 40 � � 20 � � 10 � 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,50 0,50 1,00 0,25 3x  90 3x  90 x  30 x  30    0 50 40 20 10 3 1 �  x  30  (    )0 50 40 20 10 � x  30 � Vậy phương trình có nghiệm x = 30 x 1 �1 x 3 x 1 ��۳ x 3 � 2x  �0 � � � �x   �� � b 2x  �0 � � � � �x   x 3 � �� x �2 � 0,25 0,25 1,00 2x  x 3 Vậy bất phương trình có nghiệm là: x > x ≤ 0,25 Cho a, b, c, d số nguyên dương đôi khác thỏa mãn : a b c d     a a b bc cd da Chứng minh rằng: abcd số phương a b c d    2 a b bc cd da a b c d � 1  1  0 ab bc cd da b b d d �    0 a b bc cd da b(c  a) d(a  c) �  0 (a  b)(b  c) (c  d)(d  a) � b.(c  d)(d  a)  d.(a  b)(b  c)  0(do a �c) � abc-acd+bd  b 2d  � (b  d)(ac  bd)  0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 � ac  bd  0(do b �d) � ac=bd Nên abcd=(ac)(bd)=(ac)2 số phương (với a, c nguyên dương) Vậy abcd số phương b Tìm số ngun x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + = Ta có: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + =  (x - y - 1)2 + (y + 2)2 = Từ suy ra: x - y - = y + = Vậy x = - 1, y = - 0,25 1,00 0,5 0,5 Vẽ hình : �  FAC � ( góc chung), Xét VAEB VAFC có : EAB �  AFC( �  900 ) AEB VAFC( g.g) � AE  AB Do VAEB AF AC �  BAC � Xét VAEF VABC có : EAF ( góc chung), a AE AF AE AB   ( ) AB AC AF AC �  ABC � VABC (c.g.c) � AEF Do VAEF �  CBA � Chứng minh tương tự : CED �  CED � Do : AEF �  AEF �  BED �  CED( �  900 ,BE  AC E) nên BEF b Vì BEF �  BED � � EB tia phân giác góc DEF 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 Tam giác NED có EB tia phân giác góc DEF hay EH tia phân � giác DEN nên theo tính chất đường phân giác ta có : HN EN  (1) HD ED � Vì EA  EB, EB tia phân giác DEN nên EA tia phân giác đỉnh E VDEN AN EN �  (2) ( Tính chất đường phân giác ngoài) AD ED HN AN  Từ ( 1) (2) suy : HD AD Nên HN.AD  AN.HD Do HN.AD  AN.HD Mà HD = DM nên HN.AD = AN.DM HN AN AN  HN AH AN AH �    �  DM AD AD  DM AM AD AM AF AH  (định lí Talet) VAMI có HF//MI (cùng  AB ) � AI AM c AN AH AF AN   � FN / /ID (định lí Talet đảo) Mà nên AD AM AI AD Hay ID//FE ( N thuộc FE) AE AH  (định lí Talet), VAMK có HE//MK(  AC ) � AK AM AF AH AE   � IK / /FE ( Định lí Talet đảo) (2) VAIK có AI AM AK Từ (1) (2) suy I, K, D thẳng hàng Cho a,b,c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: bc c a a b a b c      a b c bc ca ab bc ca ab a b c P      a b c bc c  a a b �b  c c  a a  b � � a bc � P �    � � � 4�a b c � �b  c a � ca�� c a b � �b   � � � � �c  a b � �a  b c � P � � �b a � �c a � �c b � P  � �  � �  � �  � � � �a b � �a c � �b c � � bc � � b ca � � c ab� �a    � � � � � � �b  c a � �c  a b � �a  b c � 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: b a b c c a  �2;  �2;  �2 a b c b a c 0,25 Dấu xảy a=b=c a bc  �2  ; Dấu xảy b+c=2a bc a b ca  �2  ; Dấu xảy a+c=2b ca b 0,25 c a b  �2  ;Dấu xảy a+b=2c ab c 15 P �  � Dấu xảy a=b=c 15 Vậy giá trị nhỏ P a=b=c 0,25 ... c)(a + b)(c + a) Cho abc  2017 Tính giá trị biểu thức : a b 2017c b   P= ab  a  2017 bc  b  ac  2017c  2017 a b 2017c P   ab  a  2017 bc  b  ac  2017c  2017 a b abcc    ab ...UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017- 20 18 MÔN: TOÁN- LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm: câu, trang) Câu Đáp... nhân tử: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 8abc b) Cho abc  2017 Tính giá trị biểu thức: a b 2017c   P= ab  a  2017 bc  b  ac  2017c  2017 Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình, bất