UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : A = 2x2 – 3x + với x = 2 b) Tìm x, biết: x + x + = x + Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức P = 3a + b + c a + 3b + c a + b + 3c = = a b c a+b b+c c+a + + c a b b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với x Chứng minh f(x) có bốn nghiệm Câu 3: (2,0 im) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa m·n x - 3y +2xy = b) Chøng minh không tồn số tự nhiên n để n + 2018 số phơng Cõu 4: (3,0 điểm) 1) Cho ∆ ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ tam giác ABC tam giác vuông cân A ∆ ABM ∆ ACN a) Chứng minh rằng: MC = BN BN ⊥ CM; b) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN 2) Cho tam giác ABC vuông cân B Điểm M nằm bên tam giác cho MA: MB: MC = 1: 2: Tính số đo ·AMB ? Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2016 số nguyên dương a1 , a2, a3 , , a2016 thỏa mãn : 1 1 + + + + = 300 a1 a2 a3 a2016 Chứng minh tồn số 2016 số cho Hết Họ tên thí sinh: SBD: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC : 2017 – 2018 MƠN : TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm gồm: câu, 04 trang) Câu Đáp án a (1,0đ) 1 Vì x = nên x = x = 2 1 * Với x = A = 2.( )2 – + = 2 1 *Với x = - A = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 1 Vậy A = với x = A = với x = - (2,0đ) 2 x + x + > b (1,0đ) nên ta có: x + x + = x + => x + x + = x + => x + = => x + = x + = - * Trường hợp 1: x + = => x = * Trường hợp 2: x + = - 5=> x = - Vậy x = - x = a (1,0đ) (2,0đ) Theo ra: 3a + b + c a + 3b + c a + b + 3c = = (1) víi a, b, c kh¸c ta cã a b c 3a + b + c a + 3b + c a + b + 3c −2= −2 = −2 => a b c 3a + b + c − 2a a + 3b + c − 2b a + b + 3c − 2c = = => a b c a+b+c a+b+c a+b+c = = => (2) a b c + NÕu a+ b + c ≠ th× tõ (2) ta cã a = b = c a+b b+c c+a 2c 2a 2b + + + + = 2+2+2 = Khi ®ã P = = c a b c a b + NÕu a + b + c = th× =-b Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a + b = - c; b + c = - a; c + a a+b b+c c+a −c −a −b + + + + = −1 − − = −3 Khi ®ã P = = c a b c a b b (1,0đ) Vì đa thức (x - 1) f (x) = (x +4) f(x +8) với x nên *) Với x = ta có: (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(9) ⇒ f(1) = f(9) ⇒ f( 9) = Suy x = nghiệm đa thức f(x) 0,25 0,25 *) Với x = - ta có : -5 f(-4) = f(4) ⇒ f(-4) = Suy x = - nghiệm đa thức f(x) *) Với x = ta có: f(9) = 13 f(17) ⇒ f(17) = (vì f(9) = 0) Suy x = 17 nghiệm đa thức f(x) *) Với x = 17 ta có: 16 f(17) = 21 f(25) ⇒ f(25) = (vì f(17) = 0) Suy x = 25 nghiệm đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có nghiệm ; - 4; 17; 25 a (1,0đ) Ta có: x - 3y + 2xy = => 2x+ 4xy - 6y = => 2x + 2x.2y - 3.2y - = - => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = => (2x - 3)(1 + 2y) = V× x, y ∈ Z nªn 2x - ; + 2y ∈ Z nên 2x - ; + 2y Ư(5) Ta cã b¶ng sau 2x – -1 -5 + 2y -5 -1 x -1 y -3 -1 V× x, y nguyªn nªn cặp số nguyên thỏa mãn là: (x; y) ∈ { (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0) } (2,0đ) b (1,0đ) Giả sử n2 + 2018 số phương với n số tự nhiên Khi ta có n2 + 2018 = m2 (m ∈ N * ) Từ suy : m2 - n2 = 2018 ⇔ m2 – mn + mn - n2 = 2018 ⇔ m(m - n) + n(m – n) = 2018 ⇔ (m + n) (m – n) = 2018 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn ⇒ (m + n) (m – n)  2018 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để n2 + 2018 số phương Vẽ hình phần a a) Xét ∆ AMC ∆ ABN, có: 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3,0đ) F N D M E A I K B H C AM = AB ( ∆ AMB vuông cân) · · · (= 900 + BAC ) MAC = BAN AC = AN ( ∆ ACN vuông cân) Suy ∆ AMC = ∆ ABN (c.g.c) => MC = BN ( cạnh t ứng) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC Vì ∆ AMC = ∆ ABN (c.g.c) · ⇒ ·ANI = KCI · mà ·AIN = KIC (đối đỉnh) · · · ⇒ KCI + KIC = ·ANI + AIN = 900 đó: MC ⊥ BN 0,25 0,25 0,25 b) Kẻ ME ⊥ AH E, NF ⊥ AH F Gọi D giao điểm MN AH · · · - Ta có: BAH = 900 (vì MAB = 900) (1) + MAE · Lại có MAE (2) + ·AME = 90 · Từ (1) (2) ⇒ ·AME = BAH Xét ∆ MAE ∆ ABH, vuông E H, có: ·AME = BAH · (chứng minh trên) MA = AB( ∆ AMB vuông cân) Suy ∆ MAE = ∆ ABH (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ ME = AH - Chứng minh tương tự ta có ∆ AFN = ∆ CHA (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ FN = AH · · Ta có ME// NF (cùng vng góc với AH)=> EMD (hai góc so le trong) = FND Xét ∆ MED ∆ NFD, vuông E F, có: ME = NF (= AH) 0,25 0,25 · · EMD = FND ⇒ ∆ MED = ∆ NFD( g.c.g) ⇒ MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D trung điểm MN 0,25 Vậy AH qua trung điểm MN Theo ra: MA: MB: MC = 1: 2: ⇒ Đặt 0,25 MA MB MC = = MA MB MC = = = a ( a > 0) => MA = a; MB = 2a; MC = 3a Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K A nằm phía BM) => BK= BM = 2a Xét ∆ ABK ∆ CBM có: 0,25 0,25 AB = BC ( ∆ ABC vuông cân B) · MBC = ·ABK ( phụ với góc ABM) BM = BK Do ∆ABK = ∆CBM ( c.g.c ) suy CM = KA = 3a Xét tam giác vuông MBK vuông B ta có MK = MB + MK = ( 2a ) + ( 2a ) = 8a 2 Xét tam giác AMK có AM + MK = a + 8a = 9a = ( 3a ) = AK 2 Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông M ⇒ ·AMK = 900 · => ·AMB = ·AMK + KMB = 900 + 450 = 1350 Vậy ·AMB = 1350 0,25 0,25 Giả sử 2016 số cho khơng có số nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử a1 < a2 < a3 < < a 2016 Vì a1 , a2, a3 , , a2016 số nguyên dương 0,25 nên: a1 ≥ 1; a2 ≥ 2; a3 ≥ 3; , a2016 ≥ 2016 1 1 1 Suy ra: a + a + a + + a < + + + 2016 2016 (1,0đ) 0,25 1  1 1 1 1 1  = +  + ÷+  + + + ÷+ +  + + + + ÷ 2016   3  7  1024 1025 1026 1 1 < + + + + + 512 + 993 512 1024 1 1 < + + 22 + 23 + + 10 210 = 11 < 300 2 2 Mâu thuẫn với giả thiết Do điều giả sử sai Vậy 2016 số cho phải có số Ghi chú: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Hết UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: ( 2,0 điểm) 0,25 0,25 3 − + 11 13 + 1) Tính M = 5 − + 11 13 2) Tính A= + + + + 1 − + 5 − + 1 2017 2018 A + + + + + ; B= Tính 2019 2018 2017 2016 B Câu 2: ( 2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 2) CMR với n nguyên dương 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10 Câu 3: ( 2,0 điểm ) ( ( a 2018 + b 2018 a c 1) Cho số dương a,b,c,d; c ≠ d = CMR 2018 2018 b d c +d ) ) 2019 2019 (a = (c 2019 − b 2019 2019 − d 2019 ) ) 2018 2018 2018 2) Cho biết 3x − y + z − x + ( xy + yz + xz − 500) = Tính giá trị biểu thức A = (3x - y - z)2019 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC 1) Chứng minh rằng: DC = BE 2) Gọi M N trung điểm CD BE Tính số đo góc BIK, góc AMN 3) Chứng minh IA phân giác góc DIE Câu (1,0đ) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab+bc+ca ≤ a + b + c < 2(ab+bc+ca) -Hết - UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn lớp Năm học: 2015 – 2016 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (2,5 điểm) 1) Tìm x, y biết: x+4 = x + y = 11 7+ y 2) Tính giá trị biểu thức: a3(a + b)(a5 – b5)(a2 – b) a = 5, b = 25 3) Tính A = 212.35 − 46.92 ( 22.3) + 84.35 − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 Câu (1,5 điểm) 1) Tìm nghiệm đa thức f(x) = x2 - 2) Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c với a, b, c số nguyờn, v a khác Biết với giá trị nguyên x f(x) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho Câu (2,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên a,b cho: 2a + 37 = | b – 45 | + b - 45 a b c 2) = = Cho a, b, c thoả mãn: Chứng tỏ: 4(a - b)(b - c) = (c – a)2 2014 2015 2016 Câu (3,0 điểm) µ = 2C µ Kẻ AH vng góc với BC( H µ < 900 B 1)Cho tam giác ABC có B thuộc BC) Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a) Chứng minh DH = DC = DA b) Chứng minh AE = HC 2) Cho tam ABC cân A có góc A 1000 Lấy điểm M thuộc miền tam giác ABC cho góc MCB 200, góc MBC 100 Tính số đo góc AMB Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 2336 , với x < y < z Hết HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm trang) Bài Câu 1 Đáp án Từ x+4 x y = ⇒ 7(x + 4) = 4(7 + y) ⇒ 7x = 4y ⇒ = 7+ y 7 Điểm thành phần 0,5 Tổng điểm 1,0 x y x + y 11 = = = =1 11 11 ⇒ x = y =7 Thay a = 5, b = 25 vào biểu thức ta được: = 53(5 + 25)(55 – 255)(52 – 25) ( 3) + − 0,75 0,25 = 53(5 + 25)(55 – 255).0 = A= 0,25 0,25 = 53(5 + 25)(55 – 255).(25 – 25) 212.35 − 46.9 0,5 510.7 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 10 212.35 − 212.34 510.73 − = 12 12 − 9 3 + + 212.34 ( − 1) 510.73 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 0,25 0,75 0,25 10 212.34.2 ( −6 ) −10 = 12 − = − = 59.73.9 2 x2 – = ⇒ x2 = ⇒ x = ±3 0,25 Vậy đa thức có hai nghiệm 3; - f(0) = c M7 ⇒ c M7 0,25 0,25 f(1) = a + b + c M7 ; f(-1) = a – b +c M7 0,25 ⇒ 2( a + c ) M7; cM7 ⇒ aM7 0,25 a + b + c M7, c M7, aM7 ⇒ b M7 Có | b – 45 | + ( b – 45 ) số chẵn với số tự nhiên b ⇒ 2a + 37 số chẵn ⇒ 2a số lẻ ⇒ a = Với a = ta tìm b = 64 0,25 a −b b −c c − a a b c = = = = Từ = −1 −1 2014 2015 2016 c − a) ⇒ (a - b)(b – c) = ( ⇔ (a – b) (b -Ac) = (c - a)2 0,25 Hình vẽ: B E D H B’ C 0,5 1,0 0,25 1,0 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 1,0 µ =H µ (1) ∆ BEH cân B nên E µ = 2C µ = 2E µ ⇒E µ =C µ Ta có B (2) µ 1=H µ (đối đỉnh) Mà H (3) µ =C µ ⇒ ∆ HDC cân D ⇒ DH = Từ (1), (2), (3) suy H DC (4) · · µ2 Khẳng định HAD phụ H = DHA ⇒ ∆ HDA cân D ⇒ DH = DA (5) Từ (4) (5) ⇒ DH = DA = DC Lấy B’thuộc BC cho H trung điểm BB’ µ ∆ABB ' cân A ⇒ ·ABB ' = ·AB ' B = 2C µ ⇒ ∆AB 'C cân B’ µ Vậy µA = C Mà ·AB ' B = µA1 + C ⇒ AB’ = B’C AB = AB’ = CB’ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H ⇒ AE = HC 0,25 Vẽ tam giác BEM 0,25 +) Chứng minh: ∆MCB = ∆MCE (c-g-c) ⇒ Góc MCA = Góc MCE = 200 ⇒ C,A,E thẳng hàng 0,25 ⇒ Góc AEM = Góc AME = góc MBC = 100 0,25 ⇒ Góc AMB = 700 x + y + z = 2336 ⇒ x ( + y − x + z − x ) = 25.73 0,25 x Vì + y − x + z − x số lẻ nên = ⇒ x = + y − x + z − x = 73 ⇒ y − x + z − x = 72 y − x ( + z − y ) = 23.9 Suy 1+ z− y y−x = ⇒ y − x =3⇒ y = x+3=5+3=8 =9 ⇒ z− y 0,25 0,25 0,25 = ⇒ z − y = ⇒ z = y + = + = 11 x = ; y = ; z = 11 (TMĐK) 10 0,25 ... 0,25 f(1) = a + b + c M7 ; f(-1) = a – b +c M7 0,25 ⇒ 2( a + c ) M7; cM7 ⇒ aM7 0,25 a + b + c M7, c M7, aM7 ⇒ b M7 Có | b – 45 | + ( b – 45 ) số chẵn với số tự nhiên b ⇒ 2a + 37 số chẵn ⇒ 2a số lẻ... Câu 3: ( 2,0 điểm ) ( ( a 2018 + b 2018 a c 1) Cho số dương a,b,c,d; c ≠ d = CMR 2018 2018 b d c +d ) ) 2019 2019 (a = (c 2019 − b 2019 2019 − d 2019 ) ) 2018 2018 2018 2) Cho biết 3x − y +... f( 17) ⇒ f( 17) = (vì f(9) = 0) Suy x = 17 nghiệm đa thức f(x) *) Với x = 17 ta có: 16 f( 17) = 21 f(25) ⇒ f(25) = (vì f( 17) = 0) Suy x = 25 nghiệm đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có nghiệm ; - 4; 17;