Phần I: Mở đầu i. Đặt vấn đề: Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có một vị trí xứng đáng trong chơng trình dạy và học toán ở trờng trung học cơ sở ( THCS ). Các bài toán này rất phong phú, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Vì vậy, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất gọi chung là: " Bài toán cực trị " thờng xuyên xuất hiện trong sách giáo khoa, sách nâng cao của các lớp, các khối. Làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các bài toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phơng hớng chung để giải loại toán này nh thế nào. Giải quyết đợc vấn đề đó không phải dễ dàng khi mà trong phân phối chơng trình môn toán THCS không có một tiết nào dành cho giáo viên dạy một cách hệ thống cho học sinh những bài toán dạng này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ. Bài toán cực trị theo cá nhân tôi là một dạng bài toán rất hay, nó giúp cho học sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao. Trong suốt quá trình giảng dạy và học tập với kinh nghiệm của mình tôi mạnh dạn trình bày một số suy nghĩ của bản thân về " Bài toán cực trị " trong chơng trình toán của THCS. ii. Nội dung đề tài: 1. Mục đích yêu cầu: * Với giáo viên: - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị. - Phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu phơng pháp giải từng dạng: Hệ thống từ bài dễ đến bài khó. - Rèn luyện, nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu. - Trong quá trình giảng dạy phải chú ý tìm ra những vớng mắc, sai sót mà học sinh hay vấp phải trong khi giải bài tập. * Với học sinh: - Hiểu đợc cơ bản, bản chất loại toán. - Nhận dạng từng loại bài tập, vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán. - Phát huy khả năng t duy, sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải hay hơn. 2. Nội dung cơ bản: * Khái niệm về bài toán cực trị: Trong thực tế có những bài toán yêu cầu đi tìm cái " Nhất " trong những mối quan hệ cho biết. Đó là việc đi tìm giá trị lớn nhất ( Cực đại ), hay nhỏ nhất ( Cực tiểu ) của một đại lợng và đợc gọi chung là toán cực trị hay còn gọi chung là " Những bài toán cực trị " mà ta đang tìm hiểu. * Các loại toán thờng gặp: - Đại số: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. - Hình học: Các bài toán cực trị về độ dài đoạn thẳng, về chu vi và diện tích các hình. 1 Phần II : Nội dung A. Lý thuyết chung: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng ( nhỏ hơn hoặc bằng ) một số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k đợc gọi là giá trị nhỏ nhất ( giá trị lớn nhất ) của biểu thức ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên. Nh vậy: + Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh rằng A k với k là hằng số. - Chỉ ra dấu " = " có thể xảy ra. + Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh rằng A k với k là hằng số. - Chỉ ra dấu " = " có thể xảy ra. Nếu chỉ chứng minh đợc yêu cầu thứ nhất thì cha đủ để kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ta ký hiệu minA là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Ta ký hiệu maxA là giá trị lớn nhất của biểu thức A. Một biểu thức có thể có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất hoặc chỉ có một trong hai giá trị nêu trên.(Ví dụ: Xét biểu thức A = x 2 : Ta thấy x 2 > 0 ( x 0 ); x 2 = 0 (khi x = 0 ). Vậy biểu thức x 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0 hay minA = 0 x = 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất). Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức là vấn đề không đơn giản. ở đây chúng ta chỉ đề cập tới một số dạng phổ biến trong chơng trình toán THCS. B. Phân loại bài tậ p và ví dụ minh hoạ: 1. Cực trị của hàm đa thức một biến: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4( y + 5 ) 2 - 7. Bài giải: Ta thấy ( y + 5 ) 2 0 với y 4(y + 5) 2 0 với y 4(y + 5) 2 -7 -7 với y. min A = - 7 y + 5 = 0 hay y = - 5. Vậy min A = - 7 y = - 5. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = ( x - 2 ) 2 + ( x - 6 ) 2 . Bài giải: Ta có B = ( x - 2 ) 2 + ( x - 6 ) 2 = x 2 - 4x + 4 + x 2 - 12x + 36 = 2x 2 - 16x + 40 = 2( x 2 - 8x + 16 ) + 8 = 2( x - 4) 2 + 8 Mà ( x - 4 ) 2 0 với x 2( x - 4 ) 2 0 với x 2( x - 4 ) 2 + 8 8 với x minB = 8 x - 4 = 0 hay x = 4 Vậy minB = 8 x = 4 Chú ý: ở bài này học sinh dễ mắc sai lầm khi làm bài nh sau: Ta thấy ( x - 2 ) 2 0 với x ( 1 ) ( x - 6 ) 2 0 với x ( 2 ) Từ (1), (2) suy ra min B = 0 ở đây kết luận min B = 0 là sai vì không đồng thời xảy ra đẳng thức ở (1), (2). 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của C = - x 2 + 4x - 8. Bài giải: Ta có C = - x 2 + 4x - 8 = - ( x 2 - 4x + 8 ) = - ( x 2 - 4x + 4 + 4 ) = - [ ( x - 2 ) 2 + 4 ] Vì ( x - 2 ) 2 0 với x ( x - 2 ) 2 + 4 4 với x - [ ( x - 2 ) 2 + 4 ] - 4 x max C = - 4 khi x-2 = 0 hay x = 2 Vậy max C = - 4 x = 2. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) Bài giải: Cách 1: Ta có D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) = [ ( x - 1 ) ( x - 4 ) ] [ ( x - 2 ) ( x - 3) ] = ( x 2 - 5x + 4 ) ( x 2 - 5x + 6 ) = ( x 2 - 5x + 4 ) + 2( x 2 - 5x + 4 ) + 1 - 1 = [ ( x 2 - 5x + 4 ) + 1 ] 2 - 1 Vì [ ( x 2 - 5x + 4 ) + 1 ] 2 0 với x [ ( x 2 - 5x + 4 ) + 1 ] 2 - 1 - 1 với x Dấu " = " xảy ra ( x 2 - 5x + 4 ) + 1 = 0 x 2 - 5x + 5 = 0 Ta có = ( -5 ) 2 - 4 .5. 1 = 25 - 20 = 5 x 2 - 5x + 5 = 0 x = 2 55 Vậy minD = - 1 x = 5 5 2 Cách 2: Đổi biến x 2 -5x + 4 = t để giải: Ta có D = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) = [ ( x - 1 ) ( x - 4 ) ] [ ( x - 2 ) ( x - 3 ) ] = ( x 2 - 5x + 4 ) ( x 2 - 5x + 6 ) Ta đặt x 2 - 5x + 4 = t khi đó ta có: D = t ( t + 2 ) = t 2 + 2t = t 2 + 2t + 1 - 1 = ( t 2 + 2t + 1 ) - 1 = ( t + 1 ) 2 - 1 Vì ( t + 1 ) 2 0 với t ( t + 1 ) 2 - 1 - 1 với t Do đó min D = -1 t + 1 = 0 hay t = -1 x 2 - 5x + 4 = -1 x 2 - 5x + 5 = 0 Ta có = ( -5 ) 2 - 4 .5. 1 = 25 - 20 = 5 x 2 - 5x + 5 = 0 x = 2 55 Vậy minD = - 1 x = 2 55 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9. Bài giải: Ta có M = x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9 = ( x 4 - 6x 3 + 9x 2 ) + ( x 2 - 6x + 9 ) = ( x 2 - 3x ) 2 + ( x - 3 ) 2 0 3 Dấu " = " xảy ra = = 03 03 2 x xx = = 03 0)3( x xx = = = 3 3 0 x x x x = 3 Vậy minM = 0 khi x = 3. Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của N = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1 Bài giải: Ta có N = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1 = ( x 4 - x 3 + x 2 ) + ( - x 3 + x 2 - x ) + ( x 2 - x + 1) = x 2 ( x 2 - x + 1 ) - x ( x 2 - x + 1 ) + ( x 2 - x + 1) = ( x 2 - x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) = ( x 2 - x + 1 ) 2 Lại có: x 2 - x + 1 = x 2 - 2.x. 2 1 + 4 1 + 4 3 = ( x - 2 1 ) 2 + 4 3 > 0 Nên N đạt giá trị nhỏ nhất x 2 - x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất x = 2 1 min N = 16 9 x = 2 1 Qua các ví dụ trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức bậc hai: P = ax 2 + bx + c Hoặc có thể đa về tam thức bậc hai đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng bằng bất đẳng thức: A 2 0 hoặc -A 2 0. + Chú ý 1: Tam thức bậc hai P = ax 2 + bx + c ( a 0 ) sẽ đạt đợc giá trị cực tiểu nếu a > 0 và đạt giá trị cực đại nếu a < 0. Giá trị cực tiểu hoặc cực đại của P là: a bac 4 4 2 ( khi x = - a b 2 ) + Chú ý 2: Học sinh có thể mắc sai lầm ở ví dụ 4: N = ( x 2 - x + 1 ) 2 0 với x min N = 0, điều này không thể xảy ra vì không có giá trị nào của x để N = 0. Hoặc học sinh có thể mắc sai lầm: N = x 2 ( x - 1 ) 2 + 2 ( x - 2 1 ) 2 + 2 1 0 min N = 2 1 khi x = 1; x = 2 1 . Điều này là sai vì x không đồng thời nhận 2 giá trị: 1 và 2 1 đợc. * Các bài toán tơng tự: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + 2x + 3 C = x( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3) B = 2x 2 + 3x + 1 D = x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9 H = x 2 - x + 1 K = x 2 - 2x + 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = - 2x 2 + 5x - 19 N = - 5x 2 - 4x + 1 E = - x 2 + 4x - 10 G = - x 2 + x - 2 1 T = - x 2 +5x - 4 K = - x 2 + x - 3 2. Cực trị của hàm đa thức nhiều biến: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x 2 + y 2 - 2xy - 2x + 3. 4 Bài giảI: Ta có: A = 2x 2 + y 2 - 2xy - 2x + 3 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 - 2x + 1 + 2 = ( x - y ) 2 + ( x - 1 ) 2 + 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = 01 0 x yx = = 1x yx 1 == yx Vậy minA = 2 x = y = 1. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x 2 + xy + y 2 - 3x - 3y. Bài giảI: Ta có: B = x 2 + xy + y 2 - 3x - 3y = x 2 - 2x + 1 + y 2 - 2y + 1 - x - y +xy + 1 - 3 B +3 = ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( x - 1 ) ( y - 1 ) Đặt x - 1 = a; y - 1 = b B + 3 = a 2 + b 2 + ab B + 3 = ba bb a ,0 4 3 2 2 2 + + B - 3 a,b. Dấu bằng xảy ra a = b = 0 x = y = 1 Vậy minB = - 3 x = y = 1 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của D = - x 2 - y 2 +xy + 2x + 2y Bài giải: Ta có: D = - x 2 - y 2 +xy + 2x + 2y 2D = - 2x 2 - 2y 2 + 2xy + 4x + 4y = ( - x 2 + 2xy - y 2 ) - ( x 2 - 4x + 4 ) - ( y 2 - 4y +4 ) + 8 = 8 - ( x - y ) 2 - ( x - 2 ) 2 - ( y - 2 ) 2 8 2D 8 D 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = = 02 02 0 y x yx = = = 2 2 y x yx x = y = 2 Vậy max D = 4 x = y = 2 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = xy ( x - 2 ) ( y + 6 ) + 12x 2 - 24x + 3y 2 + 18y + 36 Bài giải: Ta có: E = xy ( x - 2 ) ( y + 6 ) + 12x 2 - 24x + 3y 2 + 18y + 36 = x ( x - 2 ) y ( y + 6 ) + 12 ( x 2 - 2x) + 3 ( y 2 + 6y + 12 ) = ( x 2 - 2x ) ( y 2 + 6y ) + 12 ( x 2 - 2x) + 3 ( y 2 + 6y + 12 ) = ( x 2 - 2x + 3 ) ( y 2 + 6y + 12 ) Ta thấy: x 2 - 2x + 3 = x 2 - 2x + 1 + 2 = ( x - 1 ) 2 + 2 2 > 0 với x y 2 + 6y + 12 = y 2 + 6y + 9 + 3 = ( y + 3 ) 2 + 3 3 > 0 với y ( x 2 - 2x + 3 ) ( y 2 + 6y + 12 ) 6 với xy E 6 với xy Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1, y = - 3 5 Vậy min E = 6 x = 1, y = - 3 * Nhận xét: Với hàm đa thức nhiều biến ta có thể giải quyết nh đối với hàm đa thức một biến về phơng pháp. 3. Các cực trị của hàm đa thức có dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3 ( x - 7 ) 2 - 2 | x - 7 | + 1 Bài giải: Ta đặt: | x - 7 | = t ( với t 0 ) Khi đó ta có A = 3t 2 - 2t + 1 = 3 [ t 2 - 3 2 t + 3 1 ] = 3 [ t 2 - 2.t. 3 1 + 9 1 + 9 2 ] = 3 [ t - 3 1 ] 2 + 3 2 3 2 với t min A = 3 2 t = 3 1 hay | x - 7 | = 3 1 min A = 3 2 = = 3 2 6 3 1 7 x x Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = | x - 2 | + | x - 4 | Bài giải: Cách 1: Trong khoảng x< 2 B = - x + 2 - x + 4 = 6 - 2x. Do x < 2 - 2x > - 4 6 - 2x > 2 Trong khoảng x > 4 B = x - 2 + x - 4 = 2x - 6. Do x > 4 2x > 8 2x - 6 > 2 Trong khoảng 42 x B = x - 2 - x + 4 = 2 So sánh các giá trị của B trong trên ta thấy min B = 2 42 x . Cách 2: Ta có: B = | x - 2 | + | x - 4 | = | x - 2 | + | 4 - x | | x - 2 + 4 - x | 2 min B = 2 ( x - 2 ) ( 4 - x ) 0 42 x . Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = ( x- 2 ) 2 + | y - 3 | - 5 Bài giải: Ta có: C = ( x- 2 ) 2 + | y - 3 | - 5 đạt giá trị nhỏ nhất C 1 = ( x- 2 ) 2 + | y - 3 | đạt giá trị nhỏ nhất Ta thấy: ( x- 2 ) 2 0; | y - 3 | 0 ( x- 2 ) 2 + | y - 3 | 0 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = 2 và y = 3 Vậy minC 1 = 0 x = 2 và y = 3 Do đó min C = - 5 x = 2 và y = 3 * Nhận xét: Với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối điển hình là 3 ví dụ nêu trên ta tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất bằng các cách: Đổi biến để đa về tam thức bậc hai. Xét khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối, sau đó so sánh giá trị của hàm đợc trong các khoảng để chọn lựa giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ). Dùng tính chất: | a + b | | a | + | b |. Dùng cách này sẽ nhanh hơn. Đa về dạng thông thờng, dựa vào tính chất x 2 0; | x | 0 để lập luận. * Các bài tập t ơng tự: 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A = yy + 7 B = 20072006 + xx C = 5 4 3 2 xx D = ( ) 513413 2 + xx 4. Cực trị của hàm căn thức: Ví dụ 1: Tìm giá trị của hàm: ( ) ( ) 112112 3333 ++++++= xxxxy ; ( TXĐ: 1 x ) Bài giải: Ta có: ( ) ( ) 112112 3333 ++++++= xxxxy 112)1(112)1( 3333 ++++++++= xxxxy ( ) ( ) 2 3 2 3 1111 ++++= xxy 11111111 3333 +++++++++= xxxxy 2 y 0112min 3 += xy 012min = xy Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x - 2007 x . Miền xác định: x 2007. Bài giải: Ta có: y = x - 2007 x = ( x - 2007 ) - 2 2007 x . 2 1 + 4 1 + 2007- 4 1 = 4 3 2006 4 3 2006 2 1 2007 2 + x Dấu " = " xảy ra 0 2 1 2007 = x 2 1 2007 = x 4 1 2007 = x x = 4 1 + 2007 x = 2007 4 1 Vậy min y = 2006 4 3 x = 2007 4 1 * Các bài tập tơng tự: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: )11(2)11(2 ++++++= xxxxA 4 1 44 22 +++= xxxxB 5. Cực trị của hàm phân thức: a) Phân thức có mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 114 5 2 + xx 7 Bài giải: Ta có: A = 114 5 2 ++ xx = 114 5 2 + xx = 7)44( 5 2 ++ xx = 7)2( 5 2 + x Thấy ( x- 2) 2 0 với x (x-2) 2 + 7 7 7 5 7)2( 5 2 + x 7)2( 5 2 + x 7 5 A 7 5 với x Vậy min A = 7 5 x - 2 = 0 x = 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của 32 742 2 2 ++ ++ = xx xx B Bài giải: Ta có 32 742 2 2 ++ ++ = xx xx B = 32 1642 2 2 ++ +++ xx xx = 32 1)32(2 2 2 ++ +++ xx xx = 2 + 32 1 2 ++ xx = 2 + 212 1 2 +++ xx = 2 + 2)1( 1 2 ++ x Ta thấy 2)1( 1 2 ++ x 2 1 B 2 2 1 B 2,5 Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = -1 Vậy max B = 2,5 x = -1 b) Phân thức có mẫu ở dạng bình phơng nhị thức: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = 2 2 )1( 33 + x xx Bài giải: Ta có C = 2 2 )1( 33 + x xx = 2 2 )1( 1)1()12( ++ x xxx = 2 2 )1( 1)1()1( + x xx = 2 )1( 1 1 1 1 + x x Ta đặt t = 1 1 x t 2 = 2 )1( 1 x Khi đó C = 1 - t + t 2 = t 2 - 2.t. 2 1 + 4 1 + 4 3 = ( t - 2 1 ) 2 + 4 3 4 3 với t Dấu bằng xảy ra t - 2 1 = 0 t = 2 1 1 1 x = 2 1 x = 3 Nhận xét: Các ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp chủ yếu ở đây là viết những phân thức đầu bài dới dạng tổng của các biểu thức mà mỗi biểu thức trong đó ta đều có thể xác định ngay đợc giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất dựa vào tính chất a b ba 11 với a, b cùng dấu ( ví dụ 1 và ví dụ 2 ). Phơng pháp thứ hai là biến đổi phân thức, đặt ẩn phụ để dẫn đến tam thức bậc 2 ( đã biết cách làm phần cực trị hàm đa thức một biến ). * Các phân thức dạng khác: + Cách 1: A = y y y y yy y yyy y y + = + + = + + = + 11 1 )2( 1 )1()2( 1 144 1 43 2 2 2 22 2 22 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y - 2 = 0 y = 2 Vậy min A = -1 y = 2 8 + Cách 2: B = 1 )144()44( 1 41444 1 34 2 22 2 22 2 + ++ = + ++ = + + y yyy y yyy y y = y y y y yy + = + + 4 1 )12( 4 1 )12()1(4 2 2 2 22 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2y - 1 = 0 y = 2 1 Vậy max B = 4 y = 2 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y = 1 43 2 + x x Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y ta có thể làm theo phơng pháp nêu trên song cách viết dới dạng đó có phần thiếu tự nhiên (3 - 4x = x 2 - 4x + 4 - x 2 - 1) Trong trờng hợp phân thức có mẫu là đa thức bậc hai và tử lhông quá bậc hai nh ví dụ 4, ta có phơng pháp xác định đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (nếu có) đó là phơng pháp tìm miền giá trị của hàm số nh sau: Cho hàm số y = f(x) có miền xác định D. Miền giá trị của hàm số là tập hợp những y sao cho tồn tại x D để f(x) = y. Nói cách khác miền giá trị của hàm số là tập hợp những y để phơng trình f(x) = y có nghiệm x D . Bài giải: y 0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phơbng trình y 0 = 1 43 2 + x x ẩn x có nghiệm phơng trình y 0 x 2 - 4x + y 0 - 3 = 0 ( 1 ) ẩn x có nghiệm. +) Nếu y 0 = 0 thì x = 4 3 ( 2 ) +) Nếu y 0 0. Khi đó ( 1 ) có nghiệm = ( - 2 ) 2 - y 0 .( y 0 - 3 ) = 4 - y 0 2 + 3y 0 = - ( y 0 2 - 3y 0 - 4 ) = - ( y 0 +1) ( y 0 - 4 ) 0 ( y 0 + 1 ) ( y 0 - 4 ) 0 - 1 y 0 4 ( 3 ) Từ (2) và ( 3 ) - 1 y 0 4 Vậy min y = -1 và max y = 4 . Ví dụ 5: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức F = x x 3 12 có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó? Bài giải: Có F = x x 3 12 = xx x += + 3 9 1 3 39 F lớn nhất khi và chỉ khi x 3 9 lớn nhất. Vì vậy ta xét các trờng hợp sau: Xét x > 3 thì x 3 9 < 0 Xét x < 3 thì x 3 9 > 0 . Phân thức x 3 9 có tử số và mẫu số đều là những số dơng, tử số không đổi nên phân thức x 3 9 có giá trị lớn nhất khi có mẫu nhỏ nhất. Số nguyên dơng 3 - x nhỏ nhất khi 3 - x = 1 x = 2. Vậy với x = 2 thì F đạt giá trị lớn nhất là F = 1 + 9 = 10 Hay với x = 2 thì max F = 10. 9 Nhận xét: ở ví dụ trên ta áp dụng tính chất A P 1 = ( với A > 0 ) min A P max 1 = , max A P min 1 = Ta chỉ áp dụng trong trờng hợp P > 0. Còn nếu P < 0 thì nhận xét trên sẽ không chính xác, vì lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm. Ví dụ phân thức 3 1 2 = x P Ta có thể tìm min của x 2 - 3 là -3 khi x = 0. Nhng với x = 0 thì 3 1 = P không phải là giá trị lớn nhất của P. Chẳng hạn với x = 2 thì P = 1 > 3 1 * Một số bài tập tơng tự: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A = 2 956 3 yy B = 12 683 2 2 + + yy yy C = 54 662 2 2 ++ ++ yy yy Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất - lớn nhất của hàm số: a) y = 1 1 2 ++ + zz z b) y = 4 13 2 + + z z c) u = x 2 + y 2 với x,y thoả mãn ( x 2 -y 2 +1 ) 2 + 4x 2 y 2 - x 2 - y 2 = 0 Dùng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm cực trị. Nh vậy tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số thờng xuất hiện ở dạng đa thức hoặc phân thức. Có nhiều phơng pháp để giải quyết với từng loại xuất hiện ở hai dạng đó ( đã có nhận xét ở từng loại ). Tuy nhiên còn một phơng pháp đợc sử dụng rất phổ biến khi giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức ta cha nói đến: Đó là viếc sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki. Thờng khi sử dụng các bất đẳng thức này việc tìm cực trị của biểu thức sẽ nhanh hơn, dễ dàng hơn. Sau đây là một số ví dụ áp dụng hai bất đẳng thức này: * Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a 1 , a 2 , .,a n . ta có bất đẳng thức: n n n aaa n aaa . . 21 21 +++ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = .= a n Chú ý: Từ đó suy ra hai mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của tổng sau: +) Nếu a 1 + a 2 + .+ a n là hằng số a 1 a 2 . a n max a 1 = a 2 = .= a n +) Nếu a 1 a 2 . a n là hằng số a 1 + a 2 + .+ a n min a 1 = a 2 = .= a n * Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho n cặp số bất kỳ a 1 , a 2 , ., a n ; b 1 , b 2 , ., b n ta có bất đẳng thức: ) .() .() .( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++++++ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 7 + + = x x P với x 0; x 9. Bài giải: 10 [...]... tự: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: a) A = b) B = x 2 6 x + 25 x 3 2 x + 2x +1 x+2 b( a + b) (x>3) ( x > -2 ) Bài tập 2: Cho 2 số dơng a, b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=(a+b) 1 1 + a b * Chú ý: Học sinh thờng mắc sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy là không cần chú ý đến điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Cauchy 13 14 Phần Iii: Kết luận: Đề tài " Bài toán cực trị " tuy là một vấn... Bài giải: *) x = 0 thì A = 0 Giá trị này không phải là giá trị lớn nhất của A vì x 0 luôn có A > 0 *) Do x 0 nên chia tử số và mẫu số cho x2 ta đợc: 1 A = x2 + 5 + 1 2 x áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x2 + 1 2 x2 A 1 7 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x2 = Vậy max A = 1 7 1 x2 x4 = 1 x = 1 x=1 Ví dụ 3: Cho 2 số x, y thoả mãn điều kiện xy = 1 và x > y Tìm giá trị nhỏ nhất của N = x2 + y2 xy Bài... giá trị nhỏ nhất khi Do 16 >0 x +3 x + 3 > 0; ( ( ( 16 = x 3+ x +3 16 đạt giá trị x +3 x + 3) + 16 2 ( x + 3) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi -6+ -6+ 16 x +3 16 x +3 x +3+ x +3+ 16 x +3 nhỏ nhất nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x +3 16 x + 3) + 2 16 x +3 16 x + 3) + 8 x +3 16 = 6 + x + 3 + x +3 x +3 = 4 16 x +3 x =4-3 x =1x=1 -6+8 2 P 2 x TXĐ Vậy min P = 2 x = 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị. .. = 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ( x2 - 3x + 1 ) (-x2 + 3x + 21 ) Bài giải: 2 2 Ta thấy: ( x - 3x + 1 ) + (-x + 3x + 21 ) = 22 Là số không đổi nên A lớn nhất x2 - 3x + 1 = -x2 + 3x + 21 2x2 -6x + 20 = 0 x2 - 3x + 10 = 0 x1 = 5; x2 = -2 Vậy max A = 11.11 = 121 x = 5; x = -2 ( Bài này dựa vào phần chú ý trên để giải ) Ví dụ 6: Cho xy + yz + zx = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu... số nói riêng Nhng trong quá trình tìm hiểu, tham khảo tài liệu và nghe thầy hớng dẫn viết đề tài, tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên trờng THCS Việc tìm hiểu nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi có cơ sở lý luận việc giải toán, nắm vững các dạng bài tập thông dụng cùng với phơng pháp giải phù hợp, biết những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải điều này giúp tôi rất nhiều trong quá... tập 7, 8, 9 ( Nhà xuất bản giáo dục ) 3 Một số vấn đề phát triển Đại số 7, 8, 9 ( Tác giả: Vũ Hữu Bình ) 4 Bất đẳng thức chọn lọc cấp II ( Tác giả: Nguyễn Vũ Thanh ) 5 Các phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất - giá trị lớn nhất ( Tác giả: Giáo S Phan Huy Khải ) 6 Tài liệu ôn tập toán 9 ( Sở giáo dục Hà Nội ) 7 Rèn luyện kỹ năng giải toán THCS ( Tác giả: Lê Thống Nhất ) 8 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại... đẳng thức Cauchy với 2 số dơng x - y và 2 x y ta có: (x-y)+ 2 x y 2 ( x y ) 2 x y 11 Vậy min N = 2 (x-y)+ 2 x= 2 x y 2 2 6+ 2 2 Ví dụ 4: Cho x, y là hai số thay đổi sao cho 0 x 3; 0 y 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = ( 3 - x ) ( 4 - y ) ( 2x + 3y ) Bài giải: Ta có: M = ( 3 - x ) ( 4 - y ) ( 2x + 3y ) = = 1 2(3 x ).3( 4 y ).(2 x + 3 y ) 6 1 (6 2 x).(12 3 y ).( 2 x + 3 y ) 6 Vì 0 ... y4 + z4 ) 16 x4 + y4 + z4 12 16 3 Dấu bằng xảy ra x = y = z = Vậy min Q = 16 3 x=y=z= 2 3 2 3 Ví dụ 7: Cho x, y, z, t thoả mãn: 1 1 1 1 1 x x + y y + z z + t t 4 4 4 4 2 Tìm giá trị lớn nhất của tổng S = x + y + z + t Bài giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x + y + z + t )2 ( 12 + 12 + 12 + 12 ) ( x2 + y2 + z2 + t2 ) Hay 1 4 (x + y + z + t )2 x2 + y2 + z2 + t2 (... 2 0 -1 S 2 1 2 (x + y + z + t ) 1 4 (x + y + z + t ) 1 2 1 2 Vậy max S = 2 khi x = y = z = t = Ví dụ 8: Cho a, b > 0 cho trớc và x, y > 0 thay đổi sao cho a b + =1 x y Tìm x, y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất Bài giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x+y=(x+y) x+y= ( x+y( a b + x y Vì a b + x y 2 2 b a y2 + y x ) x2 + =1 a x x + y b y 2 a + b)2 Dấu bằng . + bx + c ( a 0 ) sẽ đạt đợc giá trị cực tiểu nếu a > 0 và đạt giá trị cực đại nếu a < 0. Giá trị cực tiểu hoặc cực đại của P là: a bac 4 4 2 (. đại ), hay nhỏ nhất ( Cực tiểu ) của một đại lợng và đợc gọi chung là toán cực trị hay còn gọi chung là " Những bài toán cực trị " mà ta đang