Đang tải... (xem toàn văn)
Định lý: Nếu hệ thống ổn đinh tiệm cận (i.e., tất cả các cực của G(s) có phần thực âm) và với tín hiệu vào r(t) = Rsinωt, thì đáp ứng đầu ra y(t) ở trạng thái xác lập có dạng Chứng minh: Vì 2 2 ( ) sin ( ) ( ) s R r t R t R s L r t Do đó 2 2 R Y(s) G(s)R(s) G(s)
CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 4/22/2019 Automatic Control Systems CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ Nội dung 5.1 Đáp ứng tần số 5.2 Đồ thị miền tần số 5.3 Đặc tính miền tần số 5.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số 5.4 Độ dự trữ biên độ độ dự trữ pha 4/22/2019 Automatic Control Systems CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.1 Đáp ứng tần số Xét hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) có hàm truyền đạt G(s) Hàm đáp ứng tần số r(t) = Rsinωt G j G ( s ) |s j y(t) G(s) G(jω) hàm phức theo tần số, G j ReG j j ImG j G j G j Trong G j ReG ( j2 ImG ( j2 , G j tan 1 ImG ( j ReG ( j Định lý: Nếu hệ thống ổn đinh tiệm cận (i.e., tất cực G(s) có phần thực âm) với tín hiệu vào r(t) = Rsinωt, đáp ứng đầu y(t) trạng thái xác lập có dạng ys (t ) G j R sin t , G ( j ) Chứng minh: Vì Do r (t ) R sin t R ( s ) Lr (t ) Y(s) G(s)R(s) 4/22/2019 Automatic Control Systems R G(s) 2 s R s2 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.1 Đáp ứng tần số Chứng minh: (cond’t) Giả thiết G(s) có n điểm cực si, i = 1, 2, …, n, Y(s) biểu diễn sau: n Y(s) RG(s) a1 a2 bi s 2 s j s j i 1 s si y (t ) L Y ( s) a1e 1 n j t a2 e j t bi e sit ys (t ) yt (t ) i 1 Bởi hệ thống ổn định tiệm cận, tất điểm cực si có phần thực âm n Do đó: lim y t (t) lim bi esi t t t i 1 j t a e j t Đáp ứng trạng thái xác lập: ys (t) a1e Trong a1 a2 xác định a1 a2 RG ( s ) R s j G j , s2 2 j s j RG ( s ) R s j G j 2 s 2j s j 4/22/2019 Automatic Control Systems Nếu G(s) có k điểm cực bội sj, k yt (t ) b j t j 1 s j t e j 1 n b e si t i i k 1 lim yt (t ) t CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.1 Đáp ứng tần số Chứng minh: (cond’t) Giả sử G j G j e j a1 G ( j ) R 2j G j G j e j e j , a2 G ( j ) R 2j e j e j t e j t y s (t ) G ( j ) R G ( j ) R sin t 2j 4/22/2019 Automatic Control Systems CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.1 Đáp ứng tần số Ex 5.1 Tìm hàm đáp ứng tần số trạng thái xác lập hệ thống sau 10 1 0.1s 2 Phương trình đáp ứng tần số G j G s s j 10 1 0.1 j 2 10 j 0.2 0.01 G j 5 j 10 j5 5e j2 ys (t ) G ( j ) R sin t 25sin 10t 2 4/22/2019 Automatic Control Systems CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.2 Đồ thị miền tần số 5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist) Đồ thị cực hàm G(jω) đồ thị biên độ G(jω) theo góc pha G(jω) hệ tọa độ cực với 0, Phát họa (bằng tay) đồ thị cực • Điểm xuất phát đồ thị điểm ω = • Đồ thị kết thúc điểm ω = ∞ • Đồ thị cắt trục thực điểm ứng với Im{G(jω)} = • Đồ thị cắt trục ảo điểm ứng với Re{G(jω)} = • Tính tốn |G(jω)| ϕ giá trị đặc biệt ω cần thiết 4/22/2019 Automatic Control Systems H Nyquist (1889-1976) CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.2 Đồ thị miền tần số 5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist) Ex 5.2 Xây dựng đồ thị cực hệ thống có hàm truyền đạt G(s) 1 Ts Ta có G ( j ) 1 jT T j 2 2 jT T T T T Trong tan 1 4/22/2019 Automatic Control Systems ImG ( j ) tan 1 T ImG ( j ) CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.2 Đồ thị miền tần số 5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist) Ex 5.2 (cond’t) 1, tan 1 0 1 G ( j ) 0, tan 1 900 1 • Điêm thứ ω = 0: G ( j ) • Điểm thứ hai ω = ∞: • ImG ( j ) and • ReG ( j ) • Điểm thứ ω = 1/T: 1 G ( j ) , 11 tan 1 1 450 450 G 1/ Matlab num = [1]; den = [T 1]; G = tf(num,den); nyquist(G); 4/22/2019 Automatic Control Systems Note: Hàm nyquist cung cấp đồ thị cực đầy đủ, ứng với ω thay đổi từ - ∞ to +∞ CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.2 Đồ thị miền tần số 5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist) Đồ thị cực xây dựng cách xác định phần thực G(jω) (i.e., Re{G(jω)}) phần ảo G(jω) (i.e., Im{G(jω)}) theo ω mặt phẳng phức G(jω) 4/22/2019 Automatic Control Systems 10 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist jω 5.4.4 Đường cong Nyquist (Nyquist path) • Đường cong Nyquist đường biên Γs bao toàn nửa mặt phẳng bên phải mặt phẳng s • Nếu có điểm khơng điểm cực Δ(s) trục ảo jω, điểm phải bao nửa đường tròn bán kính vơ nhỏ • Chiều đường bao Γs chọn theo chiều kim đồng hồ 4/22/2019 Automatic Control Systems poles of Δ(s) j∞ ∞ R→ σ Γs -j∞ s-plane 35 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Cho hệ thống sơ đồ khối Hàm truyền đạt vòng (loop transfer function): L(s) = G(s)H(s) Hàm truyền đạt vịng kín: M (s) G (s) G (s) H (s) Gọi Δ(s) phương trình đặc tính hệ thống kín, ta có (s) G(s)H(s) L(s) b(s) a(s) b(s) 0 a(s) a(s) • Điểm khơng Δ(s) (i.e., nghiệm a(s)+b(s) = 0) điểm cực of M(s) • Điểm cực Δ(s) (i.e., nghiệm a(s) = 0) điểm cực L(s) 4/22/2019 Automatic Control Systems 36 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist ( s) G ( s) H ( s) L( s) b( s ) a ( s ) b( s ) 0 a( s) a( s) Các điều kiện ổn định Ổn định vòng hở : Một hệ thống ổn định vòng hở cực L(s) nằm nửa trái mặt phẳng s Ổn định vịng kín : Một hệ thống ổn định vịng kín điểm cực M(s) điểm zeros Δ(s) nằm nửa trái mặt phẳng s 4/22/2019 Automatic Control Systems 37 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Trước đưa tiêu chuẩn Nyquist, nhớ rằng: poles of • Đối với ổn định vịng hở, tất điểm cực Δ(s) Δ(s) (i.e., điểm cực L(s)) nằm bên trái mp phức Nó có nghĩa đường cong Nyquist bao quanh P = điểm cực Δ(s) jω j∞ R→ ∞ σ Γs • Đối với ổn định vịng kín, tất điểm không Δ(s) (i.e., điểm cực M(s)) nằm bên trái mp s Nó có nghĩa đường cong Nyquist bao quanh Z = điểm không Δ(s) -j∞ s-plane • The origin of the Δ(s)-plane corresponds to the (-1, j0) point in the L(s)-plane 4/22/2019 Automatic Control Systems 38 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Vịng hở khơng ổn định (i.e., P ≠ 0) Vịng kín hệ thống ổn định đồ thị Nyquist L(s) tương ứng với đường cong Nyquist bao quanh điểm (-1, j0) mặt phẳng L(s) N = – P = - P lần (hay P theo chiều kim đồng hồ) Vòng hở ổn định biên giới ổn định (i.e., P = 0) Vịng kín hệ thống ổn định đồ thị Nyquist L(s) tương ứng với đường cong Nyquist không bao điểm (-1, j0) mặt phẳng L(s) 4/22/2019 Automatic Control Systems 39 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Các bước xác định tính ổn định hệ thống sử dụng tiêu chuẩn Nyquist • Vẽ đường cong Nyquist Γs mặt phẳng s tương ứng vơi điểm không, điểm cực L(s) • Phát họa đồ thị Nyquist ΓL L(s) mặt phẳng L(s) tương ứng với đường cong Nyquist • Xác định số vòng bao N quanh điểm (-1,j0) tạo đồ thị Nyquist ΓL hướng 4/22/2019 Automatic Control Systems 40 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Ex 5.11 Phân tích tính ổn định hệ thống phản hồi đơn vị có hàm truyền đạt vòng hở sau k L( s ) s1 sT • Dễ dàng thấy L(s) có điểm cực s1 = and s2 = -1/T Do đó, vịng hở hệ thống ổn định Đường cong Nyquist vẽ bên • Để vẽ đồ thị Nyquist L(s), chia đường cong Nyquist thành vùng sau Vùng 1: s = jω, -∞ < ω ≤ 0k kT k L ( j ) L ( s ) s j 2 j j 1 jT T 1 T 2 : ReL( j ) 0; ImL( j ) 0 : ReL( j ) kT ; ImL( j ) 4/22/2019 Automatic Control Systems 41 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ Ex 5.11 (cond’t) s re j , r 0; : 900 900 k k k j L( s ) s re j j e j j j 2 r re re T re Tr e Vùng 2: Nó nửa vịng trịn với bán kính r = k/r →∞ jω Im{L(s)} ω = 0- Vùng 3: s = jω, 0+ ≤ ω ≤ +∞ Tương tự vùng 1, ta có : ReL( j ) 0; ImL( j ) -kT Vùng 4: s re j , r ; : 900 900 Re{L(s)} ω = -∞ ω = +∞ -1 0 : ReL( j ) kT ; ImL( j ) ΓL ω = 0+ Ta thấy vùng này, |L(s)| → 0, i.e., điểm gốc mp L(s) • Đồ thị Nyquist khơng bao điểm (-1,j0) Bởi vịng hở ổn định, nên hệ thống vịng kín ổn định theo tiêu chuẩn Nyquist 4/22/2019 Automatic Control Systems 42 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ Ex 5.12 Phân tích tính ổn định hệ thống vịng phản hồi đơn có hàm truyền đạt vịng hở sau k L( s ) , T1 T2 s 1 sT1 1 sT2 • L(s) có điểm cực s1 = 0, s2 = -1/T1, and s3 = 1/T2 Vòng hở, hệ thống ổn định Đường cong Nyquist vẽ sau • Vẽ đồ thị Nyquist L(s) Vùng 1: s = jω, -∞ < ω ≤ 0L ( j ) k j 1 jT1 1 jT2 k (T1 T2 ) k (1 2T1T2 ) j (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) : ReL( j ) 0; ImL( j ) 0 : ReL( j ) k (T1 T2 ); ImL( j ) 4/22/2019 Automatic Control Systems 43 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ Ex 5.12 (cond’t) at kT T , ImL( j ) 0; ReL( j ) T1T2 T1 T2 Đồ thị Nyquist L(s) tương ứng với vùng đánh dấu (1) mặt phẳng L(s) Vùng 2, 4: Xem Ex 5.11 Vùng 3: s = jω, 0+ ≤ ω < +∞ Đồ thị Nyquist L(s) tương ứng với vùng đối xứng với đường cong (1) qua trục thực, đánh dấu (3) kT 1T T1 T Hệ thống kín ổn đinh - kT1T2/(T1+T2) > -1, i.e., ΓL không bao điểm (-1,j0) 4/22/2019 Automatic Control Systems 44 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.5 Độ dự trữ biên độ độ dự trữ pha 5.5.1 Độ dự trữ biên độ (Gain margin) • • - Độ dự trữ biên độ (GM) tiêu chuẩn thường xuyên sử dụng để đo tính ổn định tương đối hệ thống với thay đổi độ lợi vòng GM dùng để đường giao phần trục thực âm tạo đồ thị Nyquist L(jω) điểm (-1, j0) Giả sử L(s) ổn định vòng hở Gọi ωp tần số cắt pha cho L( jp ) Độ dự trữ pha nghịch đảo |L(jωp)|, tính theo dB MG 20 log 20 log L( j p ) dB L ( j p ) L(jω) không cắt trục thực Re{L} |L(jωp)| = , GM = ∞ dB Hệ thống kín ln ổn định Về lý thuyết, giá trị độ lợi vịng tăng vơ trước chuyển sang ổn định 4/22/2019 Automatic Control Systems 45 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.5 Độ dự trữ biên độ độ dự trữ pha 5.5.1 Gain margin L(jω) cắt trục thực Re{L} khoảng điểm gốc điểm (-1, j0) < |L(jωp)| < 1, GM > dB Hệ thống kín ổn định Khi giá trị độ lợi vòng tăng lên, điểm giao tiến đến gần điểm (-1, j0), độ ổn định hệ thống kín giảm L(jω) qua điểm (-1, j0) : |L(jωp)| = , GM = dB Hệ thống kín biên giới ổn định Nếu độ lợi vịng tăng lên, hệ thống tính ổn định L(jω) bao kín điểm (-1, j0) : |(jωp)| > 1, GM < dB Hệ thống kín ổn định Giá trị độ lợi vòng phải giảm GM để đạt ổn định GM giá trị độ lợi tính theo dB mà thêm vào hệ thống trước hệ thống kín ổn định 4/22/2019 Automatic Control Systems 46 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.5 Độ dự trữ biên độ độ dự trữ pha 5.5.2 Độ dự trữ pha (Phase margin) • Độ dự trữ biên độ (GM) khơng đủ để xác định tính ổn đinh tương đối tham số khác hệ thống độ lợi vịng bị thay đổi • Độ dự trữ pha (PM) dùng để xác định ảnh hưởng pha lên độ ổn định - Giả sử L(s) ổn định vòng hở - Gọi ωg be the tần số cắt biên độ cho |L(jωg)| = - Độ dự trữ pha góc tính độ, xác định PM L( j g ) 1800 Chúng ta thấy hệ thống kín ổn định PM > 0, biên giới ổn định PM = 0, không ổn định PM < PM góc pha tính độ mà thêm vào trước hệ thống kín ổn định 4/22/2019 Automatic Control Systems 47 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.5 Độ dự trữ biên độ độ dự trữ pha 4/22/2019 Automatic Control Systems 48 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5.5 Độ dự trữ biên độ độ dự trữ pha Ex 5.13 Xác định GM PM hệ thống có hàm truyền đạt vòng hở sau 2500 L( s ) s( s 5)( s 50) Đồ thị Nyquist L(jω), ≤ ω < ∞, vẽ hình sau Bằng cách giải: ImL( j ) p 15.82 rad/sec L ( j ) g 6.22 rad/sec Từ đó, ta có L( j p ) L( j15.88) 0.182 GM 20 log L( j p ) 14.8 dB L( j g ) L( j 6.22) 211.720 PM L( j g ) 1800 31.720 Matlab: GM PM tính Matlab sau num = [2500]; den = [1 55 250 0]; 4/22/2019 Automatic Control Systems [GM, PM, wp, wg] = margin(num,den); 49 ...CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ Nội dung 5. 1 Đáp ứng tần số 5. 2 Đồ thị miền tần số 5. 3 Đặc tính miền tần số 5. 3 Tiêu chuẩn ổn định tần số 5. 4 Độ dự trữ biên độ độ... 22 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5. 3 Đặc tính tần số 5. 3.1 Đỉnh cộng hưởng Mr tần số cộng hưởng r (Resonant Peak) Đỉnh cộng hưởng Mr : giá trị lớn biên độ |M(jω)| Tần số cộng hưởng r: tần. .. băng thông thể tính lọc nhiễu hệ thống 4/22/2019 Automatic Control Systems 26 CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ 5. 3 Đặc tính tần số 5. 3.2 Đặc tính tần số khâu dao động bậc Trong miền giá trị