GI í GII TON KHI A NM 2009 GV: Phm Quc Khỏnh Trng THPT Lờ Quý ụn - Thỏi Bỡnh Cõu 1: Cho hm s: 2 2 3 x y x + = + 1. Kho sỏt v v th 2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit tip tuyn ny ct trc hong v trc tung ti hai im AB sao cho tam giỏc OAB cõn. HD: 1. T gii 2. Ta cú 2 1 ' (2 3) y x - = + Gi s im ( ; )M a b l im nm trờn th hm s 2 2 3 a b a + ị = + Vy phng trỡnh tip tuyn ti M l d cú phng trỡnh: 2 1 2 ( ) (2 3) 2 3 a y x a a a + =- - + + + * 0A d x= ầ . Vy to A tho món h: 2 2 1 2 ( ) 2 8 6 (2 3) 2 3 0 0 a y x a x a a a a y y ỡ + ù ù ỡ =- - + ù = + + ù ù ù + + ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ 2 (2 8 6;0)A a aị + + 2 2 8 6OA a aị = + + * 0B d y= ầ . Vy to B tho món h: ( ) 2 2 2 2 8 6 1 2 ( ) (2 3) 2 3 2 3 0 0 a a a y y x a a a a x x ỡ ỡ ù + + + ù ù ù = =- - + ù ù ù ù + + + ớ ớ ù ù ù ù = ù ù = ù ợ ù ợ ( ) 2 2 2 8 6 0; 2 3 a a B a ổ ử + + ữ ỗ ữ ỗ ị ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ + ố ứ 2 2 2 8 6 (2 3) a a OB a + + ị = + Vỡ tam giỏc OAB cõn ti O nờn OA=OB 2 2 2 2 2 8 6 2 8 6 (2 3) 1 (2 3) 1 2 a a a a a a a a + + + + = + = + ộ =- ờ ờ =- ở Vi a=-1 ta cú OA=OB=0 (loi) Vi a=-2 ta cú OA=OB=2 (t/m) Vy a=-2. Cõu 2: Gii cỏc phng trỡnh: 1. (1 2sinx).cosx 3 (1 2sinx)(1-sinx) - = + 2. 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x- + - - = Gii: 1. iu kin: 2 6 1 sinx - 7 2 2 6 sinx 1 2 2 x k x k x k ỡ p ù ù ạ - + p ù ù ù ỡ ù ù ù ạ p ù ù ù ạ + p ớ ớ ù ù ù ù ạ ù ù ợ ù p ù ạ + p ù ù ù ợ 2 osx-sin2x= 3 3sinx-2 3sin osx- 3sinx=sin2x+ 3 3(1 os2x) cosx- 3sinx=sin2x+ 3 os2x cos x+ os 2x- 3 6 2 2 2 6 3 2 ( ) 2 2 2 18 3 6 3 c x c c c c x x k x k k Z x k x x k + - - ổ ử ổ ử p p ữ ữ ỗ ỗ = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ộ ộ p p p - = + + pờ ờ = + p ờ ờ ẻ ờ ờ p p p p ờ ờ =- + - =- - + p ờ ờ ởở 2. K: 6 5 x Ê t: 3 3 2 15 10 5 3 2 18 15 3 6 5 0 x a a x x b b x b ỡ ù - = ù ỡ ù ù = - ù ù ị - = ớ ớ ù ù = - ù ù ợ ù ù ợ Vy ta cú h phng trỡnh: 3 2 2 3 8 5 3 8 a b a b ỡ + = ù ù ớ ù + = ù ợ 3 2 3 2 2 8 2 8 2 3 3 5 3 8 15 4 32 40 0 8 2 3 ( 2)(15 26 20) 0(1) a a b b a b a a a a b a a a ỡ ỡ - - ù ù ù ù = = ù ù ớ ớ ù ù ù ù + = + - + = ù ù ợ ợ ỡ - ù ù = ù ớ ù ù + - + = ù ợ Xột 2 15 26 20 0a a- + = cú 2 ' 13 15.20 131 0D = - =- < 2 15 26 20 0a aị - + = vụ nghim Vậy 8 2 2 ( / ) 3 4 2 a a b t m b a ì - ï ì ï =- = ï ï ï Û Û í í ï ï = ï î ï =- ï î Vậy ta có: 6 5 4 6 5 16 2x x x- = Û - = Û =- Vậy phương trình có nghiệm x=-2 Câu 3: Tính 2 3 2 0 ( os 1) osI c x c xdx p = - ò Ta có 2 2 2 3 2 5 2 0 0 0 (cos 1)cos cos cosI x xdx xdx xdx p p p = - = - ò ò ò 2 2 2 2 0 0 2 2 2 4 0 0 2 2 3 5 0 0 1 cos2x (1-sin x) cos 2 1 (1-2sin x+sin x) (sin ) (1 cos2x) 2 2 1 1 1 sinx- sin sin sin 2 3 5 2 2 2 1 1 8 1 3 5 2 2 15 4 xdx dx d x dx x x x x p p p p p p + = - = - + æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + - + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø æö p p ÷ ç = - + - = - ÷ ç ÷ ç è ø ò ò ò ò Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB=AD=2a, CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . I là trung điểm AD. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích S.,ABCD theo a. K I A B D C S H Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SBI ABCD SCI ABCD SI ABCD SBI SCI SI ì ^ ï ï ï ï ^ Þ ^ í ï ï Ç = ï ï î Ta có: 2 2 2 2 2 2 5 5 2 BC a IB a IC a ì ï = ï ï ï = í ï ï ï = ï î · 2 2 2 2 2 8 4 cosIBC 2. . 10 5 IB BC IC a IB BC a + - Þ = = = Hạ IH BC^ · · 0 16 3 5 sin 5. 1 25 5 60 SH BC IH IB IBC a a SHI ì ^ ï ï ï ï ï ï Þ = = - = í ï ï ï ï = ï ï î 0 3 15 .tan60 5 a SI HIÞ = = Và 2 1 ( ). 3 2 ABCD S AB CD AD a= + = W 3 . 1 3 15 . 3 5 S ABCD ABCD a V S SIÞ = = W (đvtt) Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z dương thoả mãn x(x+y+z)=3yz, ta có: 3 3 3 ( ) ( ) 3( )( )( ) 5( )x y x z x y x z y z y z+ + + + + + + £ + HD: 2 ( ) 3 x 4x x y z yz xy xz yz yz+ + = Û + + + = ( ) ( ) 4x x y z x y yzÛ + + + = E I C D A B M ( )( ) 4x y y z yzÛ + + = Đặt u x y v x z ì = + ï ï í ï = + ï î . 4u v yz u v y z ì = ï ï Þ í ï - = - ï î Ta có: 3 3 3 3 2 2 ( ) ( ) ( )( )x y x z u v u v u uv v+ + + = + = + - + Áp dụng BDT Bunhiacopsky ta có: ( ) 2 2 2 (1 1)( )u v u v+ £ + + Vậy : 2 2 2 2 2 ( )( ) 2( ) ( )u v u uv v u v u v uv é ù + - + £ + - + ë û ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 8 4 2 ( ) 4 ( ) u v uv u v uv y z yz y z yz y z yz y z é ùé ù £ - + - + ë ûë û é ù é ù £ - + - + ê ú ë û ë û é ù £ + + + ë û Ta có: 2 2 ( )yz y z£ + (Bất đẳng thức Côsi) ( ) 2 2 2 2 ( )( ) 4 ( )u v u uv v y z y z+ - + £ + + 3 2( )y z£ + Vậy 3 3 3 ( ) ( ) 2( )x y x z y z+ + + = + ( ) 3 2 3( )( )( ) 3.4 ( ) 3.( ) ( ) 3x y x z y z yz y z y z y z y z+ + + = + £ + + = + Vậy 3 3 3 ( ) ( ) 3( )( )( ) 5( )x y x z x y x z y z y z+ + + + + + + £ + Phần tự chọn: Câu 6A. 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x+y-5=0. Viết phương trình đường thẳng AB. 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z+ + - - - - = . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó. Vì : 5 0 ( ;5 )E x y E a aÎ D + - = Þ - Gọi F là điểm đối xứng của E qua I ta có: 2 12 (12 ; 1) 2 1 F I E F I E x x x a F a a y x x a ì = - = - ï ï Þ - - í ï = - = - ï î Vậy ta có: ( 11;6 ) ( 6;3 ) FM a a FI a a ì ï = - - ï ï í ï = - - ï ï î uuur uur Ta có: . 0FM FI FM FI^ Û = uuur uur ( 11)( 6) ( 6)( 3) 0 ( 6)(2 14) 0 6 7 a a a a a a a a Û - - + - - = Û - - = é = ê Û ê = ë Với a=6 ta có: ( 5,0) : 5 0FM AB y= - Þ - = uuur Với a=7 ta có: ( 4, 1) : 1 4( 5) 0 4 19 0FM AB x y x y= - - Þ - - - = Û - + = uuur 2. Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=5 Và khoảng cách từ tâm I đến (P) là: d= 2.1 2.2 3 4 3 3 R - - - = < Vậy (P) cắt (S) theo thiết diện là hình tròn có tâm H là hình chiếu của I trên (P) và bán kính 2 2 25 9 4r R d= - = - = Gọi ∆ là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) 3 0 1 2 3 : 2 7 0 2 2 1 x y x y z x z ì + - = ï - - - ï Þ D = = Û í ï + - = - - ï î -2x+2=2y-4 -x+1=2z-6 Tâm 2 2 4 0 3 ( ) 3 0 0 2 7 0 2 x y z x H P x y y x z z ì ì - - - = = ï ï ï ï ï ï ï ï =D Ç Û + - = Û = í í ï ï ï ï + - = = ï ï ï ï î î (3;0;2)HÞ Câu 7a. Gọi z 1 ; z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z+ + = . Tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 A z z= + . Ta có 9D =- Vậy phương trình có nghiệm là: 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 3 ) 10 1 3 20 1 3 ( 1) (3 ) 10 z i z i z z z i z i ì ï ì = - + - = =- - ï ï ï ï Þ Þ + = í í ï ï =- + = - + = ï î ï ï î Câu 6b. 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ 0xy, cho đường tròn (C): 2 2 4 4 6 0x y x y+ + + + = và đường thẳng : 2 3 0x my mD + - + = , với m là số thực. Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt AB sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ 0xyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 và hai đường thẳng 1 2 1 9 1 3 1 : , : 1 1 6 2 1 2 x y z x y z+ + - - + D = = D = = - . Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆ 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ 2 và khoảng cách từ M đến (P) bàng nhau. HD: 1. H I B A ng trũn (C) cú tõm I(-2;-2) bỏn kớnh 2R = Gi H l hỡnh chiu ca I trờn AB Khi ú ta cú 1 . . 2 IAB S AB IH HI HA D = = 2 2 2 2 1 2 2 2 HI HA IB R+ Ê = = = IAB axS =1 R 2 HI=HA= 1 2 M D ị = [ ] ; 1d Iị D = 2 2 2 2 2 2 2 3 1 16 8 1 1 1 0 15 8 0 8 15 m m m m m m m m m m - - - + = - + = + + ộ = ờ - = ờ ờ = ờ ở 2. 1 ( 1 ; ; 9 6 )M M t t tẻ D ị - + - + [ ] 11 20 ;( ) 3 t d M P - ị = Ta cú ( ) 2 2 (1;3; 1) 2 ;3 ;8 6 (2;1; 2) N MN t t t vtcpu D ỡ ù - ẻ D ị = - - - ù ù ớ ù = - ù ù ợ uuur uur 2 3 8 6 8 6 2 2 3 . ; ; 1 2 2 2 2 1 t t t t t t MN u D ổ ử - - - - - - ữ ộ ự ỗ ữ ị = ỗ ữ ờ ỳ ỗ ở ỷ ữ ỗ - - ố ứ uuur uur ( ) 14 8 ;20 14 ; 4t t t= - + - - + [ ] 2 2 2 2 2 2 . (8 14) (20 14 ) (4 ) ; 3 MN u t t t d M u D D ộ ự ờ ỳ - + - + - ở ỷ ị D = = uuur uur uur = 2 261 792 612 3 t t- + Theo bi ra ta cú: 2 11 20 261 792 612 3 3 t t t - - + = 2 140 352 212 0t t - + = 1 (0;1; 3) 53 18 53 3 ; ; 35 35 35 35 t M t M ộ = ị - ờ ờ ổ ử ữ ỗ ờ = ị ữ ỗ ữ ỗ ờ ố ứ ở Cõu 7b: Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 2 2 log ( ) 1 log ( ) 3 81 x xy y x y xy - + ỡ ù + = + ù ớ ù = ù ợ K: ; 0 0 x y xy ỡ ạ ù ù ớ ù > ù ợ 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x y xy x xy y x y x y x y x ỡ ù + = ù ớ ù - + = ù ợ ỡ ộ = = = ù ù ờ ị ớ ờ ù = =- = ở ù ợ . 8 6 (2 3) 1 (2 3) 1 2 a a a a a a a a + + + + = + = + ộ =- ờ ờ =- ở Vi a= -1 ta cú OA=OB=0 (loi) Vi a= -2 ta cú OA=OB=2 (t/m) Vy a= -2. Cõu 2: Gii cỏc phng. 6 7 a a a a a a a a Û - - + - - = Û - - = é = ê Û ê = ë Với a= 6 ta có: ( 5,0) : 5 0FM AB y= - Þ - = uuur Với a= 7 ta có: ( 4, 1) : 1 4( 5) 0 4 19 0FM AB