Hướng dẫn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội Phần 2: Hệ hữu hạn bậc tự Question 1: Cho kÕt cÊu nh­ h×nh vÏ EI = Const Bỏ qua trọng lượng thân dầm Với bậc tự thứ i biểu diễn theo hướng mũi tên P(t) m 2m L L 2L  X¸c định ma trận khối lượng, ma trận độ cứng hệ Ma trân khối lượng m M      2m   Ma trận độ cứng Ta xác định theo ma trận độ mềm Còn cách tính trực tiếp để hỗ trợ việc tính toán nhanh phục vụ câu hỏi bên ta nên sử dụng phương pháp tính gián tiếp thông qua ma trận độ mềm  K   E      1      11 12  Víi [E] ma trận độ mềm 21 22 Vẽ biểu đồ mômen đơn vị vị trí đặt khối lượng P=1 P=1 3L L (M1) 2L (M2) Pic Uno Tính toán thông sè  12L3  2 M1  3L.3L .3L  L.3L .3L   EI  3 EI     11  M1 buddha93uct@gmail.com  NORTH SAINT - AMITABHA H­íng dÉn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội     L  2L  L.3L 2L  20L 2L.2L    EI  3 3EI    4L  2  2L.2L .2L  L.2L .2L   EI  3 EI     12   21  M1 M2      22  M2 M2 VËy ta cã ma trËn ®é cøng lµ   12 E   L    EI 20  3  20     K  EI   20 20 L  12.4  3   20     3EI  5         20  8L     12     Ta vÉn xác định ma trận độ cứng cách xác định trực tiếp Xác định k11 k21 ta giải hệ sau " Chuyển vị vị trí thứ = 1" " Chuyển vị vị trÝ thø hai = 0"  or ta cã thÓ hiểu sau lực đơn vị P =1 đặt phương chuyển vị thứ chuyển vị = 1, phương chuyển vị lại =0 Ta cọi k11 k21 tải trọng rùi vẽ biểu đồ mômen kết cấu bình thường rùi nhân biĨu ®å k11 k21 3Lk11+2Lk21 Lk11 (MP) P=1 L P=1 3L (M1) 2L (M2) Ta nhân biểu đồ để xác định hệ số tương ứng buddha93uct@gmail.com NORTH SAINT - AMITABHA Hướng dẫn giải tập đLHCT Đại häc GTVT Hµ Néi 1     L.Lk L  L.2L Lk  2Lk  2Lk   11 11 11 21      2    1  MP M1      EI  2  2L.2L Lk11  2Lk11  2Lk21   L 3Lk11  2Lk21  3L     3     20k21  20k21 L  EI  12k    12k   (1) 11 11 EI   L3     Lk  2Lk  2Lk   L 3Lk  2Lk  2L 2  MP M2   2L.2L 11 21  11 21   11  EI     L  20k11    k   5k11 Thay vµo (1)  k  9EI  k   15EI   4k 21  21 11 21 EI  3 8L3 8L3 Tương tự xác định k22 k12 ta giải hệ sau  1   Còng xem k22 vµ k12 tải trọng vẽ biểu đồ tải trọng gây k12 k22 3Lk12+2Lk22 Lk12 (MP) Việc tính toán tương tự nên ta có hệ 20k22  L3       M M  12k  0 k  27EI    P 12    EI     22  8L3       15EI L3  20k12   1 k12     M M   4k      P 22     8L3 EI        Note tÝnh to¸n tÝnh chÊt ma trận k12 = k21 Vì ta xét ma trận vuông Theo cách vất vả chút Chúc bạn có lựa chọn thông minh or ép buộc từ giảng viên giảng dạy Xác định tần số dao động riêng hệ cách giải phương trình đặc trưng : det(K - M) = 8L3 m2 Ta đặt x 3EI buddha93uct@gmail.com NORTH SAINT - AMITABHA Hướng dẫn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội phương trình đặc tr­ng cã d¹ng det K  2M  5 m2  x 0 x 5  2x viÕt dạng phương trình bậc hai x : 2x  15x   Hai nghiÖm phương trình x1 0,136 x2 7, 364 Ta tính tần số riêng: 1  0, 226 EI mL3 vµ 2  1, 662 EI mL3 Xác định ma trận dạng dao động riêng Vẽ dạng dao động Ma trận dạng dao động riêng Với tần số riêng thứ  0, 226 EI øng víi x1  0,136 vµ cho 11  ta cã: mL3 3  0,136   5         0, 573 21  5     2.0,136    21  Víi tần số riêng thứ hai 1, 662 EI øng víi x2  7, 364 vµ cho 12  ta cã: mL3 3  7, 364   5         0, 873 22  5  2.7, 364 22     1, 000 1, 000  Vậy ma trận dạng dao động riêng lµ   1 2      0, 573 0, 873 Vẽ dạng dao ®éng 0,873 0,543 D¹ng dao ®éng thø nhÊt Dạng dao động thứ hai Giả sử thời điểm t = 0, hệ có điều kiện ban đầu: u(0) u0 ;  3     buddha93uct@gmail.com    1  v(0)    v  1    NORTH SAINT - AMITABHA H­íng dẫn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội Bằng cách khai triển theo dạng dao động, xác định phương trình dao động khối lượng Ta xác định tọa độ tổng quát q i (0) q i (0) q 1(0)  q (0)  q 1(0)  q (0)     1 0, 573  m  2  u    2m   3 1T Mu(0) 5, 438mu        3, 283u m    1, 657m   1T M1 m 1 0, 573       2m  0, 573        1 0, 873 m  2  u    2m  3 2T Mu(0) 3,238mu        1, 283u m    2, 524m   2T M2 m 1 0, 873       2m  0, 873        1 0, 573 m  1 v    2m 1 1T Mv(0) 2,146mv        1, 295v m    1, 657m   1T M1 m 1 0, 573       2m  0, 573        1 0, 873 m  1 v    2m  1 2T Mv(0) 0, 746mv        0, 296v m    2, 524m   2T M2 m 1 0, 873       2m  0, 873   Ta có phương trình dao động hệ buddha93uct@gmail.com NORTH SAINT - AMITABHA Hướng dẫn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội   3, 283u cos 0, 226 EI t       mL         q i (0)        u(t)   i q i (0) cos i t  sin  i t    1, 295v  EI  i sin 0, 226 t   0, 573     mL     0, 226 EI   mL3              0, 296v EI EI      1, 283u cos 1, 662   t  sin 1, 662 t      0, 873  mL  mL  EI      1, 662   mL3           3, 283u cos 0, 226 EI t   1, 283u cos 1, 662 EI t         0         mL  mL    1                 0, 873    3 0, 573  mL EI mL EI      5, 73v  0,178v sin 0, 226 t  sin 1, 662 t 0      EI EI mL mL            Cho t¶i träng điều hòa tác dụng lên khối lượng hình vẽ P(t) = P0sin t víi  = 0, EI mL3 Xác định khối lượng tổng quát, độ cứng tổng quát, lực tổng quát? Khối lượng tổng quát m       1, 657m   1T M1  1 0, 573  m    2m 0, 573    m       2, 524m   2T M2  1 0, 873  m    2m  0, 873 Độ cứng tổng quát 5   0, 08EI     TK  1 0, 573 3EI  k 1   8L3 5   0, 573  L3        5   6, 97EI   TK  1 0, 873 3EI  k  2   8L3 5  0, 873 L3    Lùc tỉng qu¸t buddha93uct@gmail.com  NORTH SAINT - AMITABHA Hướng dẫn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hµ Néi 0 1  1T p(t)  1 0, 573   sin t  0, 573P0 sin t p    P0    0 T    p2  2 p(t)  1 0, 873   sin t  0, 873P0 sin t    P0    TÝnh c¸c täa độ tổng quát qi(t) xác định véc tơ chuyển vị khối lượng dựa vào khai triển theo dạng dao động? Tọa độ tổng quát p 0, 573P0 sin t q 1(t)  1 R ®1  k1 0, 08EI L3  EI   0, mL3    EI  0, 226  mL3  p 0, 873P0 sin t q (t)   R ®2  k 6, 97EI L3          9, 4P0L3 EI   sin 0, t  EI mL3   0,13P0 L3 EI    sin 0, t  EI mL3    EI    0, 3   mL   1  EI  1, 662   mL3  VÐc t¬ chuyển vị khối lượng  9, 4P L3 EI   9,  P0L EI      u1(t)  1q 1(t)   sin 0, t  sin 0, t  mL3  5, 386 EI mL3    0, 573 EI     0,13P L3 EI  0,13 P0L EI      u2 (t)  2q (t)   sin 0, t     EI sin 0, mL3 t   0, 873  0, 013 EI mL   Xác định lực đàn hồi trạng thái động, vẽ biểu đồ mômen uốn động? Lực đàn hồi động 3EI  5  9,  P0 L EI   0, 476 EI    fs1(t)  Ku1(t)   sin 0, t  P0 sin 0, t   8L 5  5, 386 EI mL3   0, 553 mL3    3EI  5 0,13 P0 L EI  0,171 EI    fs2 (t)  Ku2 (t)   sin 0, t  P sin , t    8L 5   0, 013  EI mL3   0, 288  mL3    VÏ biểu đồ mômen uốn động Ta vẽ biểu đồ mômen đơn vị tải trọng P0 gây kÕt cÊu buddha93uct@gmail.com  NORTH SAINT - AMITABHA H­íng dÉn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội Biểu đồ mômen đơn vị thực Pic Uno Ta vẽ biểu đồ tải trọng P0 P0 2LP0 (MP)  * Z   Z   12 1P Ta có hệ phương trình chÝnh t¾c  11  21Z1   *22Z2 2P Trong thông số xác định sau: * 11 11 12L3   EI m12  *22   22  4L3   EI m 2 1P   EI   m 0,   mL3  8L3 ; 9EI  12  21  20L3 3EI 14L3 9EI  EI   2m 0,   mL3  20P0L3 4P0L3  M1 MP    21P0  ; 2P  M2 MP   22P0  3EI EI Z 0, 808P Thay số vào giải hÖ ta cã  Z2  0, 892P0 Vậy biểu đồ mômen uốn ®éng M®   M Z1  M Z2  MP  0,808LP 2,208LP0 (M®) buddha93uct@gmail.com  NORTH SAINT - AMITABHA ... 3Lk11  2Lk21  3L     3     20 k21  20 k21 L  EI  12k    12k   (1) 11 11 EI   L3     Lk  2Lk  2Lk   L 3Lk  2Lk  2L 2  MP M2   2L.2L 11 21  11 21 ... k 12 k 22 3Lk 12+ 2Lk 22 Lk 12 (MP) Việc tính toán tương tự nên ta có hệ   20 k 22  L3       M M  12k  0 k  27 EI    P 12    EI     22  8L3       15EI L3  20 k 12. ..Hướng dẫn giải tập đLHCT Đại học GTVT Hà Néi     L  2L  L.3L 2L  20 L 2L.2L    EI  3 3EI    4L  2  2L.2L .2L  L.2L .2L   EI  3 EI      12   21  M1 M2  