H QG H ni GII THI MễN TON KHI A K THI TUYN SINH H C NM 2009 I. Phn chung cho tt c thớ sinh Cõu I: (2,0) Cho hm s: x 2 y (1) 2x 3 + = + 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1). 2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit tip tuyn ú ct trc honh, trc tung ln lt ti hai im phõn bit A, B v tam giỏc OAB cõn ti gc to O. Bi gii ( ) 3 x 2 x 2 3 1. TXé: \ 2 S bi n thiờn x 2 3 Tỡm ti m c n ng: lim th hm s (1) cú ti m c n ng x 2x 3 2 x 2 1 1 Tỡm ti m c n ngang: lim th hm s (1) cú ti m c n ngang y 2x 3 2 2 1 Tớnh y' 0 v 2x 3 + = = + + = = + = < + Ă ự ế ệ ậ đứ đồ ị ố ệ ậ đứ ệ ậ đồ ị ố ệ ậ ớ 3 3 3 i x hm s luụn ngh ch bi n trờn ; v ; khụng cú c c tr 2 2 2 + ữ ữ ố ị ế ự ị. Bng bin thiờn th: bng bin thiờn ph V th: H QG H ni -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y Nhn xột: th nhn giao im ca 2 tim cn l im 3 1 I , 2 2 ữ lm tõm i xng. ( ) ( ) 2. G i A a;0 Ox; B 0;b Oy theo gi thi t ta cú: |a| |b| nh ng vỡ hm s lu n ngh ch bi n nờn ti p tuy n ch cú th cú d ng y kx m v i k < 0 nờn a b 0. x y Ph ng trỡnh ng th ng AB: 1 a b x y 1 y x a ti p xỳc v a a = = + = + = + = = + ọ ả ế ư ố ô ị ế ế ế ỉ ể ạ ớ ươ đườ ẳ ế ớ 2 2 x 2 x a 2x 3 i (1) 1 1 (2x 3) x 1 a 0 (lo i) 1 T ph ng trỡnh 1 2x 3 1 (2x 3) x 2 a 2 V y ph ng trỡnh ti p tuy n c a (1) l y x 2 + = + + = + = = = + = + = = = ạ ừ ươ ậ ươ ế ế ủ Cõu II: (2,0 ) 1. Gii phng trỡnh: ( ) ( ) ( ) 1 2sinx cosx 3 1 2sinx 1 sinx = + ĐH QG Hà nội 2. Giải phương trình: ( ) 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0 x− + − − = ∈ ¡ Bài giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x k2 6 1 1 2sinx 0 sinx 7 u ki n : x k2 2 1 sinx 0 6 sinx 1 x k2 2 1 2sinx cosx 3 1 2sinx 1 sinx cos x 2sinx cos x 3 1 sinx 2sinx 2sin x cosx 2sinxcosx 3 2sin x sinx +1 cos x 3 sinx 3 cos2x s π  ≠ − + π    + ≠ ≠ −  π   ⇔ ⇔ ≠ + π    − ≠    ≠  π  ≠ + π   − = + − ⇔ − = − + − ⇔ − = − + ⇔ − = + 1. §iÒ Ö ( ) in2x 1 3 3 1 cos x sin x cos2x sin2x 2 2 2 2 sin x sin 2x 6 3 k2 x 2x k2 x 6 3 18 3 2 x 2x k2 x k2 lo i 6 3 2 ⇔ − = + π π     ⇔ − = +  ÷  ÷     π π π π   − = + + π = − +   ⇔ ⇔   π π π   − = − + π = + π     ¹ ĐH QG Hà nội ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2) 2 3x 2 3 6 5x 8 0 Ð t 3x 2 u 3x 2 u 6 5x v 0 6 5x v 3 u 4 v 2u 3v 8 2 3 5u 3v 8 5 4 v 3v 8 2 3 Gi i ph ng trình: 5 4 v 3v 8 2 135v 1104v 2880v 2496 0 v 4 135v 564v 624 0 v 4 Vì 135v − + − − = − = ⇒ − = − = ≥ ⇒ − =  = −  + =   ⇔   + =     − + =  ÷       − + =  ÷   ⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔ = − Æ ¶ ­¬ 564v 624 0 VN u 2 6 5x 16 x 2 + = = − ⇔ − = ⇒ = − Câu III: (1,0 đ) ĐH QG Hà nội ( ) ( ) /2 3 2 0 /2 /2 5 2 1 2 0 0 /2 /2 5 4 1 0 0 /2 2 2 0 /2 4 2 0 5 3 Tính tích phân I (cos x 1)cos x dx Gi i I cos x dx cos x dx I I Tính I cos x dx cos x.cos x dx 1 sin x d(sinx) sin x 2sin x 1 d(sinx) / 2 sin x 2sin x sinx 5 3 0 1 2 8 1 5 3 15 π π π π π π π = − = − = − = = = − = − + π   = − +  ÷   = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ¶ ( ) /2 /2 2 2 0 0 1 2 1 Tính I cos x dx 1 cos2x dx 2 / 2 1 sin2x 4 4 0 4 8 Ta c : I I I 15 4 π π = = + π π π = + = π = − = − ∫ ∫ ®­î Câu IV: (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải Hình thang ABCD. ĐH QG Hà nội ĐH QG Hà nội µ µ ( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Hình thang ABCD. A D 90 AB AD 2a A D a A B l tam gi c vu ng B A AB a 4a 5a vu ng DC : C a a 2a T C k CH AB CHB l tam gi c vu ng. CH 2a, CD a HB a BC HC HB 4a a 5a BIC l tam gi c c n BC B 5a K = = = = ⇒ Ι = Ι = ∆ Ι ⇒ Ι = Ι + = + = ∆ Ι Ι = + = ⊥ ⇒ ∆ = = ⇒ = = + = + = ⇒ ∆ = Ι = µ ¸ « « õ Î µ ¸ « µ ¸ © Î ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 K CB : T nh K. a 2 G i J l trung m C J 2 a 9a BJ B J 5a 2 2 3a BJ , 2 BJ. C Ta có BJ. C K.BC K BC 3a a 2 3a 2 K a 5 5 S C , S C ABCD S ABCD IK BC SK BC SKI 60 3a S K.tan60 . 3 5 AB CD AD 2a a .2a Di n t ch ABCD 3a 2 2 Ι ⊥ Ι Ι ⇒ Ι = ⇒ = Ι − Ι = − = = Ι Ι = Ι ⇒ Ι = Ι = = Ι Ι ⊥ ⇒ Ι ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ Ι = Ι = + + = = = Ý ä µ ®iÓ Ö Ý 2 3 3 2 1 3a 3a 3 3a 15 V 3a . . 3 . 3 5 5 5 = = = Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có : (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z) 3 . Bài giải ĐH QG Hà nội ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 x xt t t y z, gi thi t suy ra yz 3 y z 3 Vì yz x x y z 3yz y z 4 4 3 x tx t 2x t 4t 4 2x t 2t 2x t B T ph i ch ng minh 2x y z 3 x y x z 2x y z 3 x y x z y z 5 y z 2x y z 3 x y x z .2x 5 x z 2x y z 6x x x y z yz 5 + = + = + ≤ ⇒ + + = ≤ + ⇒ + ≤ ⇒ + ≤ ⇒ + ≤ ⇒ ≤ ⇔ + + − + + + + + + + + ≤ + ⇔ + + − + + ≤ +   ⇔ + + − + + + ≤   §Æ ¶ Õ § ¶ ø ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 Vì t 0 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x xt 2x t 6x x xt 5t 3 2t 2x 3xt 2t 0 2x 3xt 2t 0 t t 3t Vì 0 x 2x 3xt 2t 2 2 2 2x 3xt 2t 0 pcm D u " " x y ra x y z 0. > +   + ⇔ + − + + ≤     ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ < ≤ ⇒ + ≤ + = ⇒ + − ≤ = ⇔ = = > ® Ê ¶ Phần riêng (3,0) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng: ∆: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Bài giải H QG H ni ' ' ' ' ' ' ' ' M M M I M M M M M I ' ' E E E E Ph ờ I l giao c a ACv BD nờn M ỡ M CD x x 1 x x 6 x 11 2 2 y y 5 y y 1 y 2 2 2 M t khỏc: ME IE nờn: EM.IE 0 (11 x )(x 6) (1 y )(y + + = = = + + = = = = + uuuur uur ần ri ng câu 6a (1) ủ đối xứng với M quaIth ặ 2 2 E E E E E E 2 2 E E E E E E E E E E 2) 0 x y 17x y 64 0(1) M E :x y 5 0 x y 5 0 (2) T ta c -x y 17x y 64 0 x 5 y y 1 E(6; 1) x 6 y 2 E(7; 2) x 7 Ph ng trỡnh ngth ng AB : y 5 x 4y 19 0 = + + = + = + = + + = = = = = = = + = ừ (1)và(2) ó ươ đườ ẳ ĐH QG Hà nội 2 2 2 P C u6a(2) PT(S) (x 1) (y 2) (z 3) 25 T án kính R = 5 | 2 4 3 4 | có:d(I;P) 3 4 4 1 có:d(I;P) 3 R 5 m òn. Có n (2; 2; 1) ph ình ⇔ − + − + − = ⇒ − − − = = + + = < = ⇒ = − − ⇒ r © ©m I(1;2;3); b Æt ph¼ng (P) c¾t (S) theo mét ®­êng tr ­¬ngtr ®­êng th¼ng qua I(1;2;3)v '2 à vu ng góc v à: x = 1+2t y = 2 - 2t z = 3 - t G E(1 2t; 2 2t;3 t) (P) 2(1 2t) 2(2 2t) (3 t) 4 0 t 1 E(3;0;2) G án kính ó: R 25      ⇒ + − − ∈ ⇒ + − − − − − = ⇒ = ⇒ = ' 2 2 « íi(P) l äi E lµ t©m ®­êng trßn giao tuyÕn äi R lµ b ®­êng trßn (E) c = R -IE ' 9 16 R 4− = ⇒ = Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 2 + |z 2 | 2 Bài giải ( ) 2 2 ' 1 1 2 2 2 2 1 2 PT : z 2z 10 0 1 10 9 3i z 1 3i | z | 10 z 1 3i | z | 10 A | z | | z | 10 10 20 + + = ∆ = − = − = = − − ⇒ = =− + ⇒ = ⇒ = + = + = B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b. (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: x + my – 2m + 3 = 0, với m là [...]...H QG H ni tham s thc Gi l tõm ca ng trũn (C) Tỡm m ct (C) ti hai im phõn bit A v B sao cho din tớch tam giỏc IAB ln nht 2 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 1 = 0 v hai ng thng 1 : x +1 y z + 9 x 1 y 3 z +1 = = , 2 : = = 1 1 6 2 1 2 Xỏc nh to im M thuc ng thng 1 sao cho khong cỏch t M n ng thng 2 v khong cỏch... x = 1 ( thoả mãn ) 2 2 m = 0 ( thoả mãn ) = 1 15m 8m = 0 m = 8 thoả mãn 2 1+ m ( ) 15 | 1 4m | 2 H QG H ni ( 6b.2 ) x = 1 + t 1 : y = t z = 9 + 6t r x 1 y 3 z +1 = = đi qua A ( 1; 3 ; 1) và u 2 = ( 2 ; 1 ; 2 ) 2 1 2 M 1 M ( 1 + t ; t ; 9 + 6t ) uu r ur 2 2 2 AM,u2 ( 14 8t ) + ( 14t 20 ) + ( 4 t ) d ( M, 2 ) = = r 3 u 2 2 : d ( M, (P) ) = 1 + t 2t 18 + 12t 1 1 + ( 2) + 2 . ni GII THI MễN TON KHI A K THI TUYN SINH H C NM 2009 I. Phn chung cho tt c thớ sinh Cõu I: (2,0) Cho hm s: x 2 y (1) 2x 3 + = + 1. Kho sỏt s bin thi n. TXé: 2 S bi n thi n x 2 3 Tỡm ti m c n ng: lim th hm s (1) cú ti m c n ng x 2x 3 2 x 2 1 1 Tỡm ti m c n ngang: lim th hm s (1) cú ti m c n ngang y 2x 3 2