Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC TRÌNH LÝ THUYẾT SỐ Đề số 1 1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số ( ) ( ) ( ) ( ) 16 2 4 8 5 4 5 1 5 1 5 1 5 1a = − + + + + và 2005 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 16 2 4 8 5 4 5 1 5 1 5 1 5 1a = − + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 2 4 8 16 16 5 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 5 1 1 a = − − + + + + = − − = UCLN(a,2005) = 1 2.Cho UCLN(a,b) = 1 và n là ước chung của a - b và ac – bd. Chứng minh rằng n \ c – d. (Sách bài tập số học) 3. Tìm các số tự nhiên m và n sao cho mn = 252 và UCLN(m,n) = 2. Với mọi n , m ∈ N, giả thiết n < m. Đặt m = 2a và n = 2b. Vì UCLN(m,n) = 2 nên UCLN(a,b) = 1. Mặt khác mn = 252 → 4ab = 252 → ab = 63 Từ đó ta có a = 1; b = 63 → m = 2 ; n = 126 a = 7; b = 9 → m = 14 ; n = 28 4. Tìm số nguyên dương n để A = n 4 + n 2 +1 là số nguyên tố. Ta có A = n 4 + n 2 +1 = n 4 + 2n 2 +1 – n 2 =( n 2 + 1) 2 – n 2 = (n 2 + n + 1)(n 2 – n + 1) - Nếu n = 1 thì A = 3 là số nguyên tố. - Nếu n > 1 thì n 2 + n + 1 > 1, n(n – 1) + 1 > 1, do đó A là hợp số. 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 16 n – 15n - 1 chia hết cho 225. Với n = 0 ta có 16 0 – 15.0 – 1 = 0 chia hết cho 225 Giả sử 16 n – 15n - 1 chia hết cho 225. Ta CM 16 n+1 – 15(n+1) - 1 chia hết cho 225. Thật vậy, ta có 16 n+1 – 15(n+1) - 1 = 16(16 n – 15n – 1) + 15.15n chia hết cho 225. Đề số 2 1. Chứng minh rằng nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n chia hết mq + np với m, n, p, q ∈ Z Với m, n, p, q ∈ Z , Ta có mp + nq = mq + np – (m – n) (q – p) suy ra mp + nq – (mq + np) = (m – n) (q – p) hay m – n chia hết mp + nq – (mq + np) mà theo gth m – n chia hết mp + nq nên ta có m – n chia hết mq + np. 1 Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009 2. Tìm bội chung nhỏ nhất của n , n + 1 , n +2 với n ∈ N (Sách bài tập số học) 3. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho BCNN(a,b) = 756 và UCLN(a,b) = 36 Với mọi a , b ∈ N, giả thiết a < b. Đặt a = 36n và b = 36m. Vì UCLN(a,b) = 36 nên UCLN(n,m) = 1 và n < m . Mặt khác ta có ab = BCNN(a,b). UCLN(a,b) = 756.36 → mn =21 Từ đó suy ra n = 1; m = 21 → a = 36 ; b = 36.21 n = 3; m = 7 → a = 3.36 ; b = 36.7 4. Tìm số nguyên tố p sao cho các số 24p 2 + 1 và 3p 2 + 1 là các số nguyên tố Nếu p = 2 thì 24p 2 + 1 = 24.4 +1 = 97 và 3p 2 + 1 = 13 Nếu p > 3 thì p là số lẻ suy ra 3p 2 + 1 không là số nguyên tố Vậy p = 2 thì các số 24p 2 + 1 và 3p 2 + 1 là các số nguyên tố. 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n 5 – 5n 3 + 4n chia hết cho 120. 120 = 3.8.5 Với mọi n ∈ N , Ta có A = n 5 – 5n 3 + 4n = n( n 4 – 5n 2 + 4) = n(n 2 – 1)(n 2 – 4) = (n - 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) Nên A chia hết cho 3( Chứa tích của ba số tự nhiên liên tiếp) , 5( tích của 5 số tự nhiên liên tiếp) và 8( chứa tích của hai số chẵn liên tiếp) Vì UCLN(3,5,8) = 1 nên A = n 5 – 5n 3 + 4n chia hết cho 120. Đề số 3 1. Chứng minh rằng UCLN(a + b, m) = UCLN(a,b) với m = BCNN(a,b) (Sách bài tập số học) 2. Chứng minh rằng BCNN(1,2, .,2n-1,2n) = BCNN(n+1,n+2, ., 2n- 1,2n) Ta thấy rằng một số bất kỳ trong các số 1,2, ., n luôn là ước của số nào đó trong các số n + 1, n + 2, ., 2n. Từ đó ta có BCNN(1,2, .,2n-1,2n) = BCNN(n+1,n+2, ., 2n-1,2n) 3. Tìm các số tự nhiên m và n sao cho m.n = 252 và UCLN(m,n) = 2. 4. Tìm số tự nhiên n sao cho các số n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số nguyên tố. Nếu n = 0 thì n + 1 = 1, n + 77 = 77 , n + 99 = 99 Nếu n = 1 thì n + 1 = 2 , n + 77 = 78 , n + 99 = 100 Nếu n = 2 thì n + 1 = 3, n + 77 = 79, n + 99 = 101 là các số nguyên tố. Nếu n > 3 thì n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số chẵn không là số nguyên tố. Vậy ta có n = 2. 2 Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009 5. Chứng minh rằng với n ∈ Z, ta có n 3 + 23n chia hết cho 6. Với n ∈ Z, ta có n 3 + 23n = n 3 – n + 24n = (n – 1)n(n + 1) + 24n chia hết cho 6. Đề số 4 1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số m + n và m – n với m , n ∈ Z , UCLN(m,n) = 1 (Sách bài tập số học) 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a 2 - b 2 = 7344 và UCLN(a,b) = 12. 3. Cho A = n! + 1 và B = n + 1 với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố. 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n 5 - n chia hết cho 10. Với mọi số tự nhiên n thì A = n 5 –n = n( n 4 – 1) = n(n 2 – 1)( n 2 – 4) +5 n(n 2 – 1) = (n - 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n – 1)n(n + 1) chia hết cho 10. 5.Giải phương trình 40x + 31y = 1 Đề số 5 1. Cho phân số ( ) 2 2 1 1 n n n + − với n ∈ N , n > 1.Với những giá trị nào của n thì phân số tối giản? không tối giản? Đặt d = UCLN( n, n 2 +1). Ta có d \ n nên d \ n 2 suy ra d là ước của (n 2 + 1) – n 2 = 1. vậy d = 1. Từ đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1, 1 1, 1 (2, 1) UCLN n n n UCLN n n UCLN n D + − = + − = − = Khi n lẻ ta có D = 2 vì n 2 – 1 là số chẵn. Khi n chẵn ta có D = 1 vì n 2 – 1 là số lẻ. 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a + b = 30 và UCLN(a,b) = 6. 3. Chứng minh rằng với m > 2 giữa m và m! có ít nhất một số nguyên tố. (Sách bài tập số học) 4. Phân tích A = n 4 + n 2 +1 thành tích hai thừa số nguyên tố cùng nhau. Tìm số nguyên dương n để A = n 4 + n 2 +1 là số nguyên tố. 3 Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009 Ta có A = n 4 + n 2 +1 = ( n 2 + n +1).( n 2 - n +1) Đặt d = UCLN ( n 2 + n +1, n 2 - n +1) = UCLN ( n 2 + n +1, 2n) = UCLN ( n(n +1) + 1, 2n ) Do n(n +1) + 1 là số lẻ nên d là số lẻ và UCLN(d,2) = 1 do đó d = UCLN ( n 2 + n +1, n) = 1. Với n = 0 thì A = 1 Với n > 1 ta có n 2 - n +1 = n( n – 1) + 1 > 1. Do đó A không thể là số nguyên tố. Với n = 1 ta có A = 3 là số nguyên tố. Vậy n = 1 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n(2n + 1).(7n + 1) chia hết cho 6. Ta thấy một trong hai thừa số n và 7n + 1 là số chẵn . Do đó n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 2. Với n = 3k thì n chia hết cho 3 Với n = 3k + 1 thì 2n + 1 chia hết cho 3 Với n = 3k + 2 thì 7n + 1 chia hết cho 3 Do đó n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 3 với mọi n. Từ đó suy ra n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 6. Cách khác: Ta có n(2n + 1)(7n + 1) = . n(2n + 1)(6n + n + 1) = 6n 2 (2n + 1) + n( n + 1)(2n + 1) = 6n 2 (2n + 1) + n( n + 1)(n – 1) + n( n + 1)(n + 2). = 6n 2 (2n + 1) + (n – 1) n( n + 1) + n( n + 1)(n + 2). Đề số 6 1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số a = n 3 + n 2 + 1 và b = n 2 + 2n với n ∈ N Đặt c = 2n + 1. Ta có a = b(n – 1) + c và 4b = (2n + 3)c – 3. Do đó UCLN(a,b) = UCLN(b,c) và UCLN(4b,c) = UCLN(c,3) = d Ta có d = 1 hoặc d = 3. d = 1 thì UCLN(4b,c) = 1 d = 3 thì UCLN(4b,c) = 3. Vì UCLN(4,3) = 1 do đó UCLN(b,c) = 3 = UCLN(3,c) Vậy ta luôn có UCLN(a,b) = UCLN(b,c) = UCLN(3,c) = UCLN(3, 2n + 1) 4 Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009 2. Tìm bội chung nhỏ nhất của n , n + 1 , n +2 với n ∈ N 3. Chứng minh rằng nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n chia hết mq + np với m, n, p, q ∈ Z 4. Tìm số nguyên tố p sao cho các số 24p 2 + 1 và 3p 2 + 1 là các số nguyên tố Nếu p = 2 thì 24p 2 + 1 = 97 và 3p 2 + 1 = 13 là các số nguyên tố. Nếu p > 2 thì p là số lẻ. Do đó 3p 2 + 1 là số chẵn lớn hơn 2 nên không thể là số nguyên tố. Vậy p = 2. 5. Chứng minh rằng với mọi số lẻ n thì A = n 2 + 4n + 5 không chia hết cho 8. Vì n lẻ nên n = 2k + 1 Ta có A = n 2 + 4n + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 2 1 5 4 1 8 1 2 k k k k k = + + + + = + + + + Ta thấy ( ) ( ) 1 8, 1 8k k k k+ +M M nhưng 2 không chia hết cho 8. Vậy A không chia hết cho 8. Đề số 8 1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số m ab ba= + và 55 Ta có m ab ba= + = (10a + b) + (10b + a) = 11(a +b) và 55 = 11.5 Nếu 5a b+ M thì UCLN(m, 55) = UCLN( 11( a+ b), 11.5) = 55 Nếu 5a b+ O thì UCLN(m, 55) = UCLN( 11( a+ b), 11.5) = 11 2. Chứng minh rằng UCLN(a + b, m) = UCLN(a,b) với m = BCNN(a,b) 3. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a + b = 30 và UCLN(a,b) = 6. 4. Tìm số tự nhiên n sao cho các số n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số nguyên tố. 5. Chứng minh rằng với n ∈ N, ta có n 4 +6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24. Ta có n 4 +6n 3 + 11n 2 + 6n = n (n 3 +6n 2 + 11n + 6) 5 Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8( một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4) UCLN(3,8) = 1 Suy ra n 4 +6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 8.3 = 24 Đề số 7 1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số m + n và m – n với m , n ∈ Z , UCLN(m,n) = 1 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a 2 - b 2 = 7344 và UCLN(a,b) = 12. 3. Cho A = n! + 1 và B = n + 1 với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố. Giả sử B không phải là số nguyên tố. Do đó B có ước số nguyên tố p , p < B suy ra p ≤ n. Vậy p \ n! Mặt khác, A chia hết cho B nên p \ A. Do đó p \ A – n! = 1. Điều này không thể xảy ra vì vậy nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố. 4. Chứng minh rằng 4a 2 + 3a + 5 chia hết cho 6 khi và chỉ khi a và 6 nguyên tố cùng nhau. Ta có 4a 2 + 3a + 5 = 3a(a + 1) + 6 + ( a 2 – 1) 4a 2 + 3a + 5 chia hết cho 6 ↔ a 2 – 1 = (a – 1)(a + 1) chia hết cho 6 ↔ a và 6 nguyên tố cùng nhau. 5. Cho UCLN(a,b) = 1 và n là ước chung của a - b và ac – bd. Chứng minh rằng n \ c – d. 6 . Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC TRÌNH LÝ THUYẾT SỐ Đề số 1 1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số ( ) ( ) ( ) ( ) 16 2 4 8 5 4 5 1 5. 2 + 1 không là số nguyên tố Vậy p = 2 thì các số 24p 2 + 1 và 3p 2 + 1 là các số nguyên tố. 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n 5 – 5n