Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM B. CC TR CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 6 cực trị của hàm số lợng giác I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số lợng giác y=f(x). phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc 2 : Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x 0 . Bớc 3 : Khi đó: Tìm đạo hàm y''. Tính y''(x 0 ) rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 2. Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y=sinx(1+cosx). Giải. Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'= (1+cosx)cosx+sinx.(-sinx)=2cos 2 x+cosx-1. y'=0 2cos 2 x+cosx-1=0 = = 2 1 xcos 1xcos + = += k2 3 x k2x , kZ. y''=-4sinx.cosx-sinx. Ta có: - Với x=+2k thì y''(+2k)=0. x=+2k không phải là điểm cực trị của hàm số. - Với x= 3 +2k thì y''( 3 +2k)<0 hàm số đạt cực đại tại các điểm x= 3 +2k, kZ. - Với x=- 3 +2k thì y''(- 3 +2k)>0 hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=- 3 +2k, kZ. Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y=e x .cosx. Giải. Miền xác định: D=R. Đạo hàm: y'=e x .cosx-e x .sinx y'=0 e x .cosx-e x .sinx =0 cosx-sinx=0 x= 4 + k, kZ. y''= e x .cosx-e x .sinx-( e x .sinx+ e x .cosx)=-2e x .sinx. 2 Chủ đề 6: Cực trị của hàm số l ợng giác Ta có: với x= 4 + k thì: -Nếu k=2l y''( 4 + k)= y''( 4 + 2l)=2 + l2 4 e .sin( 4 + 2l)>0. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x= 4 + 2l, lZ. -Nếu k=2l+1 y''( 4 + k)= y''[ 4 + (2l+1)]=2 + l2 4 e .sin( 4 5 + 2l)<0. Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x= 4 + (2l+1), lZ. Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị phơng pháp chung Ta có: Miền xác định D. Đạo hàm: y' & y''. a. Hàm số có cực trị hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D = 0''y 0'y . b. Hàm số có cực tiểu hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D > = 0''y 0'y . c. Hàm số có cực đại hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D < = 0''y 0'y . Bài 2 (ĐHNT TP.HCM- 96): Cho hàm số y= xcosa 1xcosxsina . Xác định a để hàm số đạt cực trị tại ba điểm phân biệt thuộc (0, 4 9 ). Giải. Điều kiện cosx0 x 2 +k (kZ). Vậy D=R\{ x= 2 +k (kZ)}. Đạo hàm: 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số y'= xcosa xsina 2 y'=0 sinx=a. (1) y''= xcosa 1xsina2xsin 3 2 + . Hàm số đạt cực trị tại ba điểm phân biệt thuộc (0, 4 9 ) trớc hết phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt thuộc (0, 4 9 )\{ 2 , 2 3 } sinx=a có ba nghiệm phân biệt thuộc (0, 2 )( 2 , 2 3 )( 2 3 , 4 9 ) 0<a< 2 2 . Nhận xét rằng khi đó y''0 (bởi ' y'' =a 2 -1<0). Vậy 0<a< 2 2 thoả mãn. II.Các bài toán chọn lọc Bài 1 (Đề 11): Tìm cực trị của hàm số y= 3 sinx+cosx+ 2 3x2 + . bài giải Miền xác định: D=R. Đạo hàm: y'= 3 cosx-sinx+1 y'=0 sin(x- 3 )= 2 1 + = + = k2 6 7 x k2 2 x , kZ. y''=- 3 sinx-cosx. Với x= 2 +2k thì y''( 2 +2k)=- 3 <0 hàm số đạt cực đại tại các điểm x= 2 +2k, kZ. Với x= 6 7 +2k thì y''( 6 7 +2k)= 3 >0 hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x= 6 7 +2k, kZ. Bài 2: Cho hàm số y=msinx-x. a. Với m=2 tìm cực trị của hàm số. b. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số. 4 Chủ đề 6: Cực trị của hàm số l ợng giác bài giải a. Với m=2, hàm số có dạng: y=2sinx-x. Miền xác định: D=R. Đạo hàm: y'=2cosx-1 y'=0 2cosx-1=0 cosx= 2 1 x= 3 +2k. y''=-2sinx. Với x= 3 +2k y''( 3 +2k)=-2sin( 3 +2k)=-2sin 3 =- 3 <0 hàm số đạt cực đại tại các điểm x= 3 +2k, kZ. Với x=- 3 +2k y''(- 3 +2k)=-2sin(- 3 +2k)=-2sin(- 3 )= 3 >0 hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=- 3 +2k, kZ. b. Ta có: Miền xác định: D=R. Đạo hàm: y'=mcosx-1; y''=-msinx. y'=0 mcosx-1=0 (1) Trờng hợp 1. Với m=0 y'=-10 xD hàm số không có cực trị. Trờng hợp 2. Với m0, kh đó: (1) cosx= m 1 (2) Ta xét các khả năng: Khả năng 1. Nếu m 1 >1 |m|<1 thì : (2) vô nghiệm hàm số không có cực trị. Khả năng 2. Nếu m=1 thì: (2) cosx=1 sinx=0 y"=0 hàm số không có cực trị. Khả năng 3. Nếu m>1 thì: (0, 2 ) sao cho m 1 =cos. Khi đó: (2) cosx=cos x=+2k, kZ. Với x=+2k y''(+2k)=-msin(+2k)=-msin<0 hàm số đạt cực đại tại các điểm x=+2k, kZ. Với x=-+2k y''(-+2k)=-msin(-+2k)=msin()>0 hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=-+2k, kZ. Khả năng 4. Nếu m<-1 thì: ( 2 , ) sao cho m 1 =cos. Khi đó: (2) cosx=cos x=+2k, kZ. 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số Với x=-+2k y''(-+2k)=-msin(-+2k)=msin<0 hàm số đạt cực đại tại các điểm x=-+2k, kZ. Với x=+2k y''(+2k)=-msin(+2k)=-msin>0 hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=+2k, kZ. III. Bài tập đề nghị Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số: a. y=cosx(1+sinx). b. y=cosx+ 2 1 cos2x. c. y=cotg(x+ 3 ). d. y= xsin1 xsin1 + . e. y=e x .sinx. f. y= xcos xsin1 . g. y=tg(2x- 6 ). Bài tập 2. Cho hàm số y=mcosx-x. a. Với m=2 tìm cực trị của hàm số. b. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số. 6 . Cho hàm số y=msinx-x. a. Với m=2 tìm cực trị của hàm số. b. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số. 4 Chủ đề 6: Cực trị của hàm số. sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 6 cực trị của hàm số lợng giác I.