SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hóa, Sinh trên MTCT LONG AN Môn Toán Lớp 10. Năm học 2011-2012 ------------- Ngày thi: 05-02-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Chú ý: - Các giá trị phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn. - Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính. Câu 1. Biết x, y là nghiệm của hệ phương trình: . x y x y ì ï + = + ï í ï = - ï î 1 2 2 3 Tính giá trị biểu thức A x y= + 3 3 . Câu 2. Tìm ba số thực a, b, c biết Parabol (P): y ax bx c= + + 2 có đỉnh nằm trên trục hoành và đi qua hai điểm ( ) ;A 0 2 và ( ) ;B 1 2 2 . Câu 3. Cho tam giác ABC, gọi M là điểm xác định bởi BM BC AB= - 3 uuur uuur uuur , N là điểm xác định bởi .CN m AC BC= - uuur uuur uuur . Tìm giá trị m để ba điểm A, M, N thẳng hàng. Câu 4. Giải phương trình: ( )x x x- + = + 2 3 2 3 2 3 8 Câu 5. Cho tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến bằng 15; 18; 21. Tính diện tích của tam giác ABC. Câu 6. Cho đa thức ( )f x x x= + + 5 2 1 có năm nghiệm , , , ,x x x x x 1 2 3 4 5 . Kí hiệu ( )p x x= - 2 81 . Hãy tìm tích ( ). ( ). ( ). ( ). ( )A p x p x p x p x p x= 1 2 3 4 5 . Câu 7. Giải hệ phương trình: x y y x y x y ì ï + = ï í ï + = ï î 3 3 3 2 2 8 27 18 4 6 Câu 8. Cho tam giác ABC có chu vi 58cm, µ 'B = 0 57 18 , µ 'C = 0 82 35 .Tính cạnh BC. Câu 9. Tính giá trị gần đúng của biểu thức: F= . . . .+ + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10 Câu 10. Cho ba số thực a, b, c đều dương và thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = abc(a+b)(b+c)(c+a). -HẾT- Họ và tên thí sinh:………………………………………Số báo danh:…………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích đề thi. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LONG AN NĂM HỌC 2011-2012 -------------- HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHỐI 10 Câu Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm 1 Dùng Viet, S x y= + = +1 2 , P = -2 3 ,A S PS= - » 3 3 16 37304 A= ,16 37304 1,0 2 Ta có 2 2 b 4ac 0 a b 2 c 2 c 2 a b c 2 2 b 4 2b 8 0 ì ì ï ï - = + = ï ï ï ï ï ï ï ï = =Û í í ï ï ï ï ï ï + + = + - = ï ï ï î ï î a 0,24264 a 8,24264 = = b 1,17157 b 6,82842 = =- c 1,41421= 1,0 3 Ta có BM BC 3AB 3AB AC AM AM AC 3AB= - = - = -Þ Þ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur CN m.AC BC AN m.AC AB= - = +Þ uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ba điểm A, M, N thẳng hàng AM và AN uuur uuur cùng phương 1 m 3 =-Û m 0,33333= - 1,0 4 Đặt u x x= - + ³ 2 2 4 0 , v x= + ³2 0 Suy ra x x u v- + = - 2 2 2 3 2 Ta có pt : ( )u v uv- = 2 2 2 3 ( )( )u v u v- + =Û 2 2 0 u v=Û 2 do u v+ >2 0 x x x- + = +Þ 2 2 4 2 2 ,x »Þ 6 60555 và ,x » - 0 60555 ,x » 6 60555 ,x » - 0 60555 1,0 5 Gọi a b c m 15;m 18;m 21= = = Ta có AG GD 10;BG 12;CG BD 14= = = = = ( ) ( ) ( ) GBC GBD S S 18 18 10 18 12 18 14 24 6= = - - - = V V Vậy ABC BCG S 3S 72 6= = V V 176,36326 1,0 6 Vì đa thức f(x) có 5 nghiệm , , , ,x x x x x 1 2 3 4 5 nên ( ) ( )( )( )( )( )f x x x x x x x x x x x= - - - - - 1 2 3 4 5 Suy ra ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) =(x )( )( )( )( ) A p x p x p x p x p x x x x x = - - - - - 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 81 81 81 81 81 = ( ). ( ) ( )(( ) ( ) )f f - = + + - + - + 5 2 5 2 9 9 9 9 1 9 9 1 = -3486777677 -3486777677 1,0 7 y=0 không là nghiệm của hpt Hpt⇔ x y x x y y 3 3 3 (2 ) 18 3 3 2 . 2 3     + =  ÷        + =  ÷     (1) Đặt a = 2x , b = y 3 . (1) trở thành a b ab 3 1  + =  =  Hệ đã cho có 2 nghiệm: (0,19098;1,14589); (1,30901;7,85410) (0,19098;1,14589) (1,30901;7,85410) 1,0 8 Áp dụng định lí sin: sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C + + = = = + + ( )sin , sin sin sin a b c A a BC A B C + + = = » + + 15 08464 ,15 08464 1,0 9 Khai báo: 1 A=A+1 : B=B+ : C=C B A CALC A=1, B=1, C=1. Nhấn = đến khi A=10. Đọc kết quả ở C. Kết quả: F ≈ 43,26008 43,26008 1,0 10 Do a,b,c đều dương nên 3 3 a b c P abc(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) 3 1 (a b) (b c) (c a) 1 8 . 27 3 27 27 + +   = + + + ≤ + + +  ÷   + + + + +   ≤ =     2 8 MaxP 27 ⇒ = , dấu ‘=’ xảy ra khi 1 a b c 3 = = = 0,01097 1,0 Ghi chú: - Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm. - Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả. - Chấm hướng giải đúng 0,2 điểm. - Không nêu tóm tắt cách giải trừ 0,2 điểm. . ABC, gọi M là đi m xác định bởi BM BC AB= - 3 uuur uuur uuur , N là đi m xác định bởi .CN m AC BC= - uuur uuur uuur . T m giá trị m để ba đi m A, M, N thẳng. c 1,41421= 1,0 3 Ta có BM BC 3AB 3AB AC AM AM AC 3AB= - = - = -Þ Þ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur CN m. AC BC AN m. AC AB= - = +Þ uuur uuur