Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bài giảng Điều khiển tự động dành cho các sinh viên chuyên ngành kỹ thuật tham khảo với các nội dung như: Tổng quan về điều khiển tự động, mô tả toán học phần tử và hệ thống điều kh
11BaBàøi giai giảûngngmôn homôn họïccĐĐieiềàu Khieu Khiểån Tn TựựĐĐoộängngGV: Nguyễn ThếHùng 01/2009GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 201/2009Chương 44.1_ Khái niệm tính ổn định4.2_ Tiêu chuẩn ổn định đại số(Routh, Hurwitz)4.3_ Tiêu chuẩn ổn định tần số (Nyquist, Bode)4.4_ Phương pháp quỹ đạo nghiệmKhảo sát tính ổn định của hệ thống 2GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 301/20094.1 Khái niệm tính ổn địnhn Ổn định làyêu cầu cơ bản của hệ thống ĐKTĐ. n Ổn định BIBO: (Bound Input-Bound Output, vào ch ặn ra chặn) Hệ thống được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn thìtín hiệu ra cũng hữu hạn. Tức lànếu |r(t)|<∞ thì|y(t)|< ∞.Vídụ: hệổn định BIBO ⇔ với r(t) = 1(t) thìy(∞) = const.Hệ thốngr(t)y(t)Hệổn địnhkhông ổn địnhgiới hạn ổn địnhGV. NGUYỄN THẾ HÙNG 401/20094.1 Khái niệm tính ổn địnhn Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệổn định tiệm cận nếu như khi cónhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái cân bằng thì sau đó hệ cókhả năng tự quay về trạng thái cân bằng ban đầu.ổn địnhgiới hạn ổn địnhkhông ổn địnhn Với hệ tuyến tính thìhai khái niệm ổn định nêu trên là tương đương. Hệ tuyến tính đạt ổn định BIBO thìcũng sẽổn định tiệm cận và ngược lại. 3GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 501/20094.1 Khái niệm tính ổn địnhn Xét hệ thống tuyến tính cóPTVP:y0(t)_ lànghiệm riêng của PTVP.yqđ(t)_ Lànghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0.y(t) = y0(t) + yqđ(t)11101011nnnnnnmmmmmmdydydrdraa .ay(t)bb .br(t)dtdtdtdt−−−−−−+++=+++ Đáp ứng của hệ cũng lànghiệm PTVP:Nếu tín hiệu vào làhữu hạn thìy0(t) cũng hữu hạn. Vìvậy: Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ yqđ(t).Vídụ, xét hệ cóPTVP: 5()()()ytytrt+=&Với r=1(t) thìy(t)= 1-e-t/5trong đó y0(t)=1 ; yqđ(t)=-e-t/5GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 601/20094.1 Khái niệm tính ổn địnhTừ nhận xét nêu trên ta cóth ể định nghĩa cách khác vềổn định:Một hệ thống tuyến tính được gọi là ổn định nếu quátrình quá độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng dần. Hệ thống ở giới hạn ổn định nếu QTQĐ không đổi hoặc dao động với biên độ không đổi .Tổng quát: Ci_làhằng số phụ thuộc thông số của hệ và điều kiện đầu.si_lànghiệm của phương trình đặc tính:sicũng gọi làcực của hệ thống.sicóthể làsốthực (= αi) hay số phức (= αi ± jωi)110 .0nnnnasasa−−+++=Hệổn định ⇔10instittilim(t)limCe→∞→∞===∑qñy1()instiiytCe==∑qñ 4GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 701/20094.1 Khái niệm tính ổn địnhHệổn địnhKhông ổn địnhGiới hạn ổn định-Hệổn định ⇔ Mọi αi = Re{si} <0 ⇔ Mọi si đều lànghiệm trái.-Hệkhông ổn định ⇔ ∃ si có αi>0 ⇔∃silànghiệm phải.-Hệởgiới hạn ổn định ⇔ ∃αi= 0, các nghiệm còn lại có αi<0. ⇔∃sinằm trên trục ảo , các nghiệm còn lại lànghiệm trái.Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm sicủa PTĐT.Xét các trường hợp cụ thể, ta có:GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 801/20094.1 Khái niệm tính ổn địnhVídụ, xét hệ cóhàm truyền:2(s8)(s6s13)0+++=Phương trình đặc tính:22s5G(s)(s8)(s6s13)+=+++PTĐT có3 nghiệm: s1= -8 vàs2,3= -3 ±2j Cả 3 nghiệm đều cóphần thực âm nên hệ thống ổn định.Để tránh phải giải PTĐT, ta cócác phương pháp xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn. Đólà:- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz.-Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode.- Phương pháp quỹ đạo nghiệm.-… 5GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 901/20094.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số- Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ sốcủa phương trình đặc tính để hệ thống ổn định.-Áp dụng được cho cả hệ hở vàhệkín.Vídụ, xét hệ có PTĐT:32s4s5s70−++=42s5s6s20+++=432s4s5s6s20++++=→Không ổn định vìhệsố a2<0→ Không ổn định vìhệsố a3=0→ Chưa kết luận được, mới thoả ĐK cần 4.2.1 Điều kiện cầnĐK cần để hệổn định là Tất cả các hệ số của PTĐT đều >0.PTĐT: ansn + an-1sn-1 +…+a0=0 → ĐK cần: a0,a1,…,an>0 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1001/20094.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số4.2.2 Tiêu chuẩn RouthXét hệ có phương trình đặc tính:110 .0nnnnasasa−−+++=Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng: 6GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1101/20094.2 Tiêu chuẩn ổn định đại sốPhát biểu tiêu chuẩn Routh:- Cần và đủ để hệ thống ổn định làcác hệ sốởcột một bảng Routh đều dương.-Sốlần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương trình đặc tính cóphần thực dương (=số nghiệm phải).Vídụ1. Xét ổn định hệ thống có PTĐT:432s2s7s4s30++++=Vídụ2. Xét ổn định hệ thống có PTĐT:4322s5ss10s30++++=Vídụ3. Xét hệ thống có sơ đồ khối:Hãy tìm khoảng giátrị của K để hệ thống ổn định.21G(s)s(3s2)(s4s1)=+++rG(s)yKGV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1201/20094.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số1K.G(s)0+=K0K74/70214K113Giải. Phương trình đặc tính của hệ:32s(3s14s11s2)K0⇔++++=2K10s(3s2)(s4s1)⇔+=+++4323s14s11s2sK0⇔++++=7449K37−Điều kiện để hệổn định:7449K0K0−>>740K49⇔<<Bảng Routh: 7GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1301/20094.2 Tiêu chuẩn ổn định đại sốVídụ4. Xét hệ thống có sơ đồ khối:a) Cho KD=2; KP= 38. Tìm khoảng giátrị của KI để hệ thống luôn ổn định.rIPDKK++Kssy216s12s20++b) Cho KD=2. Tìm biểu thức quan hệ giữa KP vàKI đểhệthống luôn ổn định.IP0K44K55⇔<<+Đáp số:a)b)I0K1727⇔<<II(44)(628)16K0K0−>>PII44(2016K)16K0K0+−>>GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1401/20094.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.3.1 Nguyên lý góc quayXét PTĐT bậc n cócác nghiệm si( i=1,2,…,n) :nn1nn10A(s)asas .a0−−=+++=Đa thức đặc tính:n12nA(s)a(ss)(ss) .(ss)=−−−Thay s=jω ta được đa thức đặc tính tần số:n12nA(j)a(js)(js) .(js)ω=ω−ω−ω−Biểu diễn trên mặt phẳng phức: 8GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1501/20094.3 Tiêu chuẩn ổn định tần sốmii1arg(j-s)-m−∞<ω<∞=∆ω=π∑nmii1arg(j-s)(n-m)−−∞<ω<∞=∆ω=π∑4.3.1 Nguyên lý góc quay (tt)Dùng ký hiệu ∆arg để chỉ góc quay, ta có:i-arg(j-s)=0∞<ω<∞+π∆ω−πNếu silànghiệm tráiNếu silànghiệm phảiNếu siở trên trục ảonii1argA(j)arg(j-s)(n-2m)−∞<ω<∞ −∞<ω<∞=∆ω=∆ω=π∑Nếu PTĐT cóm nghiệm phải và(n-m) nghiệm trái thì:Góc quay của A(jω) = tổng góc quaycủa các véctơ (jω-si).GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1601/20094.3 Tiêu chuẩn ổn định tần sốTrong thực tế ta chỉ cần xét ω thay đổi từ 0 đến +∞. Khi đó:mi0i1arg(j-s)-m2<ω<∞=π∆ω=∑nmi0i1arg(j-s)(n-m)2−<ω<∞=π∆ω=∑0argA(j)(n-2m)2<ω<∞π∆ω=Suy ra: 9GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1701/20094.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquistn Tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín (hình a) dựa vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b).n Tiện dụng vì đáp ứng tần số cóthể thu được từ thực nghiệm.n Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống cókhâu trễ e-τs .RG(s)YH(s)RG(s)YH(s)Y1a) Hệ kín b) Hệ hở (vòng hở)khGGG1GH1G==++hGGH=4.3.2 Tiêu chuẩn Mikhailov (xem GT.ĐKTĐ trang 114)GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1801/20094.3.3 Tiêu chuẩn ổn định NyquistPhát biểu tiêu chuẩn:n Hệ kín ổn định nếu hệ hởổn định hay ở giới hạn ổn định vàđường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0).n Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở bao điểm (-1,j0) một góc bằng mπ theo chiều ngược kim đồng hồ khi ω thay đổi từ 0 đến ∞; trong đó m làsốnghiệm của PTĐT cóphần thực dương (nghiệm phải).n Hệ kín ở giới hạn ổn định nếu đường Nyquist hệ hở đi qua điểm (-1,j0) .Chứng minh:Ứng dụng nguyên lý góc quay. (xem GT. ĐKTĐ trang 116-117) 10GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1901/20094.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist- Đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0) ⇔ Tổng góc quay của vectơ 1+G(jω) bằng 0.-Góc bao điểm (-1,j0) của đường Nyquist cũng chính làtổng góc quay của vectơ 1+G(jω).Chúý: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2001/20094.3.3 Tiêu chuẩn ổn định NyquistVídụ4.9. (trang 118)Cho hệ hở cóhàm truyền:510G(s)(s3)(s1,24)=++vàbiểu đồ Nyquist hệ hở như hình bêncạnh. Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín tương ứng.Giải. PTĐT của hệ hở:5(s3)(s1,24)0++=- PTĐT cómột nghiệm s=-3 và năm nghiệm s= -1,24-Các nghiệm này đều lànghiệm thực, âm nên hệ hởổn định.-Hệhởổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)nên hệ kín tương ứng cũng ổn định. [...]... v Các tần số gãy: ω = 4, 10, 25, 100 [rad/s] v Gọi L 4 , Lω10 ,…là giá trị L tại các tần số ω = 4, 10, …[rad/s] 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 30 15 4. 3 .4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode Lω10 = Lω 4 − 20lg(10 / 4) = 12 − 20 lg(2,5) = 4dB Lω 25 = Lω10 − 60lg(25 /10) = 4 − 60 lg(2,5) = −20dB Lω100 = Lω 25 − 40 lg(100 / 25) = −20 − 40 lg 4 = − 44 dB 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 31 4. 3 .4 Độ dự trữ ổn định, tiêu... tại tần số cắt biên − 14 Lωc − Lω 20 − 14 = 0,35 = = -4 0 [dB/dec] ⇒ lg(ωc /20) = 40 lg( ωc / 20) lg( ωc / 20) 0,35 Tần số cắt biên: ωc = (20)(10 ) = 44 ,8 ≈ 45 [rad/s] 1 ω 1 1 1 20 ∅(ω) = arctg ω −arctg ω −arctg ω −arctg 1 − 1 ω2 10 5 100 40 0 ∅(ωc ) = arctg ( 4, 5 ) − arctg (9 ) −arctg (0 ,45 ) −arctg ( −0,55 ) = 77,5° − 83, 7 ° − 24, 2 ° − 151, 2 ° = −181,... 16 4. 3 .4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Xét tính ổn định của hệ kín Phương trình đặc tính hệ hở: ( s + 4) ( s + 100 ) ( s2 + 12s + 100) = 0 Phương trình đặc tính có 4 nghiệm: 2 nghiệm thực s= -4 và s = -1 00 2 nghiệm phức s =-6 ±8j Cả 4 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ hở ổn định Hệ hở ổn định và độ dự trữ pha PM > 0 nên hệ kín ổn định 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 33 4. 4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm 4. 4.1... ωg=100 ωg=20 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 27 4. 3 .4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode Hệ số khuếch đại chung: K Σ=10 ⇒ Biên độ 20lgKΣ = 20dB n Các tần số gãy: ω = 5, 10, 20, 100 [rad/s] n n Gọi Lω5 , Lω10 ,…là giá trị L tại các tần số ω = 5, 10, …[rad/s] Lω10 = 20 − 20 lg(10 / 5) = 14dB ; Lω20 = Lω10 = 14dB Lω100 = 14 − 40 lg(100 / 20) = −14dB 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 28 14 4.3 .4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn... độ: R0 = ∑ cöïc − ∑ zero = [0 + (−1) + (−3)] = − 4 n−m 3−0 3 - Xác định điểm tách: Viết lại PTĐT: s(s + 1)(s + 3) + K = 0 ⇔ (s3 + 4s2 + 3s) + K = 0 K = − (s3 + 4s2 + 3s) ⇒ dK / ds = −(3s 2 + 8s + 3) dK / ds = 0 ⇔ − (3s2 + 8s + 3) = 0 Giải ra ta được hai nghiệm s1 =-0 ,45 1 ; s 2= -2 ,215 Ta chỉ nhận giá trị phù hợp s1= -0 ,45 1 là điểm tách Điểm giá trị s2= -2 ,215 không thu ộc về QĐN (kiểm tra tổng số cực... GV NGUYỄN THẾ HÙNG 40 20 Ví dụ 4. 13 (tr.1 24) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ∞ - Giao điểm giữa QĐN và trục ảo: Thay s=jω vào PTĐT ta được: (jω)3 + 4( jω)2 + 3( jω) + K = 0 ⇔ − jω3 − 4 2 + 3jω + K = 0 4 2 + K = 0 (phần thực =0) ⇔ 3 −ω + 3 ω = 0 (phần ảo =0) ω = 0; K = 0 ⇔ ω = ± 3 ; K = 12 Xét tính ổn định: - Hệ thống ổn định khi K 12 - Hệ thống ở giới hạn... 5π / 3 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 45 Ví dụ 4. 15 - Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ: R0 = ∑ cöïc − ∑ zero = [0 + ( 4 + 2j) + ( 4 − 2 j)] = − 8 ≈ −2,67 3−0 n−m 3 - Xác định Điểm tách: 2 Viết lại PTĐT: s(s + 8s + 20) + K = 0 ⇔ K = − (s3 + 8s2 + 20s) dK / ds = 0 ⇔ − (3s2 + 16s + 20) = 0 Giải ra ta được hai nghiệm s1 =-2 ; s2 = -1 0/3 = -3 ,33 Cả hai nghiệm đều thoả điều kiện tổng số cực và zero... âm ta xác định được A( - )=1/GM v Từ giao điểm giữa đường Nyquist và đường tròn đơn vị ta xác định được góc γ = PM v 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG Hệ bậc 1, bậc 2 có đường Nyquist không cắt trục thực âm nên GM=1/0=∞ 24 12 4. 3 .4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode n Xác định GM và PM từ biểu đồ Bode GM = − L(ω−π ) 26 -2 0 -8 0° -2 30° PM = 180°+∅ (ωc) 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 25 4. 3 .4 Độ dự trữ ổn định, tiêu... Góc xuất phát từ cực phức p2 ( -4 +2j): θp2 = 180° − [arg(p2 − p1 ) + arg(p2 − p3 )] arg(p 2 − p1 ) = arg[( 4 + 2j) − 0] = arctg[2 / ( 4) ] = −26,6 ° arg(p 2 − p3 ) = arg[( 4 + 2j) − ( 4 − 2 j)] = arctg (4 / 0) = 90 ° ⇒ θp2 = 180 − (−26,6 + 90) = 116,6° hay -6 3 ,4 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 47 24 ... bởi: - Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để tìm K giới hạn (Kgh) rồi thay Kgh vào phương trình đặc tính và giải tìm nghiệm ảo - Cách 2: Thay s=jω vào phương trình đặc tính rồi cho phần thực và phần ảo bằng 0, sau đó giải ra tìm ω và K 01/2009 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 37 4. 4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm 4. 4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm (tt) 10 Góc xuất phát và góc đến của các nhánh được xác định từ m n điều . hệ:32s(3s14s11s2)K0⇔++++=2K10s(3s2)(s4s1)⇔+=++ +43 23s14s11s2sK0⇔++++= 744 9K37 Điều kiện để hệổn định: 744 9K0K0−>> 740 K49⇔<<Bảng Routh: 7GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1301/200 94. 2 Tiêu. Bode2510LL60lg(25/10 )46 0lg(2,5)20dBωω=−=−=−10025LL40lg(100/25)2 040 lg 444 dBωω=−=−−=−104LL20lg(10 /4) 1220lg(2,5)4dBωω=−=−=GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3201/200 94. 3 .4 Độ dự trữổn định, tiêu