Đang tải... (xem toàn văn)
Nội dung đầy đủ , dễ đoc đó là các bài toán đã được chọn lọc. Nó giúp ích rất nhiều cho những bạn có ý định tham gia thi OMLYPIC
1 NHỮNG BÀI TOÁN GIẢI TÍCH CHỌN LỌC 2 Nhà xuất bản mong bạn đọc đóng góp ý kiến, phê bình 3HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NHỮNG BÀI TOÁN GIẢI TÍCH CHỌN LỌC NHÀ XUẤT BẢN QUÂN ĐỘI NHÂN DÂN HÀ NỘI - 2005 Dùng cho các Nhà trường Quân đội 4 Biên soạn TS. TÔ VĂN BAN 5MỤC LỤC Trang Lời giới thiệu Một số ký hiệu sử dụng trong sách 9 Chương I. Số thực, giới hạn dãy số, chuỗi số 11 §1.0 Tóm tắt lý thuyết 11 §1.1. Số thực 17 §1.2. Tìm giới hạn theo định nghĩa 24 §1.3. Các phép toán với giới hạn - Thay tương đương 28 §1.4. Dãy đơn điệu 31 §1.5. Định lý kẹp 40 §1.6. Tiêu chuẩn Cauchy 45 §1.7. Tìm biểu thức của số hạng tổng quát 47 §1.8. Thông qua giới hạn hàm số 53 §1.9. Phương pháp tổng tích phân 54 §1.10. Tốc độ phát triển 61 §1.11. Định lí Stolz 66 §1.12. Dãy truy hồi tuyến tính với hệ số hằng số; §1.12a. Cấp 1 70 §1.12b. Cấp 2 71 §1.13. Dãy truy hồi cấp 1 dạng un+1 = f(un,n ); 79 §1.13a. Trường hợp dễ tìm số hạng tổng quát 79 §1.13b. Trường hợp dễ suy được tính đơn điệu 85 §1.13c. Trường hợp ánh xạ co 90 §1.13d. Khảo sát độ lệch 93 §1.13e. Trường hợp tổng quát 96 §1.13f. Lập dãy mới - Dãy qua dãy 105 §1.14. Dãy truy hồi cấp 2 dạng un+2 = f(un+1, un, n) 110 §1.15. Nghiệm các phương trình fn(x) = 0 114 §1.16. Sơ lược về chuỗi số 119 Chương II. Hàm số - Giới hạn - Liên tục 125 §2.0. Tóm tắt lý thuyết 125 §2.1. Giới hạn - liên tục theo ngôn ngữ "ε - δ", theo ngôn ngữ dãy 130 §2.2. Giới hạn - liên tục trái, phải 132 §2.3. Tìm giới hạn - Thay tương đương - Quy tắc L' Hôpital 134 §2.4. Giới hạn - liên tục của hàm đơn điệu 137 §2.5. Các phép toán với các hàm có giới hạn, với các hàm liên tục 141 §2.6. Hàm liên tục trên đoạn đóng - Định lý giá trị trung gian 141 §2.7. Liên tục đều 149 §2.8. Liên tục với hàm ngược 153 6 §2.9. Liên tục và tuần hoàn 155 §2.10. Phương trình hàm không sử dụng tính liên tục, khả vi 167 §2.11. Phương trình hàm với tính liên tục 167 Chương III. Đạo hàm - Vi phân 181 §3.0. Tóm tắt lý thuyết 181 §3.1. Tính đạo hàm của hàm số - Đạo hàm tại một điểm 186 §3.2. Sự khả vi 190 §3.3. Tính đạo hàm cấp cao 192 §3.4. Ứng dụng đạo hàm; §3.4a. Tính đơn điệu của hàm số 196 §3.4b. Cực trị 198 §3.4c. Khảo sát đường cong dưới dạng hiện, tham số và trong toạ độ cực. 202 §3.4d. Bất đẳng thức - Hàm số lồi 213 §3.5. Định lý về giá trị trung bình; §3.5a. Định lý Rolle 219 §3.5b. Định lý Lagrange 229 §3.6. Khai triển Taylor; §3.6a. Phần dư 236 §3.6b. Chọn điểm khai triển - Điểm áp dụng 238 §3.6c. Cấp khai triển 242 §3.6d. Khai triển thành chuỗi Taylor 244 §3.7. Phương trình hàm có sử dụng đạo hàm 246 Chương IV. Tích phân 255 §4.0. Tóm tắt lý thuyết 255 §4.1. Tích phân, đạo hàm theo cận trên 262 §4.2. Đổi biến số 267 §4.3. Tích phân từng phần 278 §4.4. Giá trị trung bình tích phân 284 §4.5. Bất đẳng thức tích phân; §4.5a. Đánh giá hàm dưới dấu tính phân 285 §4.5b. Tách miền lấy tích phân thành các đoạn thích hợp 297 §4.5c. Tích phân từng phần để tăng bậc của hàm dưới dấu tích phân 309 §4.5d. Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski - Schwartz 312 §4.5e. Tính dương của tích phân 315 §4.6. Số gia hàm số qua tích phân - Khảo sát nguyên hàm 317 Chương V. Sơ lược về hàm nhiều biến 325 §5.0. Tóm tắt lí thuyết 325 §5.1. Giới hạn 331 §5.2. Sự liên tục 333 §5.3. Đạo hàm riêng 339 §5.4. Hàm ẩn 352 §5.5. Cực trị 355 Tài liệu tham khảo 365 7 7LỜI GIỚI THIỆU Nhằm góp phần giúp cho sinh viên với một nỗ lực nhất định tiệm cận được tới một số phương pháp luận của toán học, chúng tôi xin ra mắt bạn đọc cuốn "Những bài toán giải tích chọn lọc". Sách là bộ sưu tập những bài tập hay, khá khó, điển hình và rất đa dạng từ các cuộc thi Olympic sinh viên trong nước và quốc tế, từ các cuốn sách của các tác giả nổi tiếng trong và ngoài nước, các tạp chí Americal Mathematical Monthly, Putnam Problem, Delta . với những lời giải đôi khi được cải tiến cùng một số bài tập khác của chúng tôi. Để khắc phục tình trạng thiếu thời gian nghiêm trọng của sinh viên, chúng tôi đã dẫn ra toàn bộ các lời giải - dẫu rằng chúng tôi không bao giờ khuyên độc giả chỉ đọc những lời giải này. Chúng tôi đã cố gắng trình bày theo ý chủ đạo xuyên suốt: Sách không chỉ giúp độc giả biết được lời giải của bài toán, mà hơn cả, làm thế nào để giải được nó, những suy luận nào tỏ ra "có lý" ., các kết luận, nhận xét từ bài tập đưa ra, những thủ pháp chủ đạo thường dùng để giải bài toán liên quan. Để tiện theo dõi, ở đầu mỗi chương chúng tôi đưa vào phần tóm tắt lý thuyết và ở đầu mỗi mục nhỏ chúng tôi đưa ra những cách giải chính. Nội dung được phân làm năm chương. Ở chương một chúng ta có thể tìm thấy những bài toán liên quan đến số thực và chuỗi số cũng như nhiều bài toán liên quan đến dãy số. Chương hai gồm những bài liên quan đến sự liên tục của hàm số. Chương ba chứa đựng những kiến thức về đạo hàm cũng như các ứng dụng của nó. Chương bốn dành cho tích phân xác định: các phương pháp lấy tích phân, các bất đẳng thức tích phân, các ứng dụng .Chúng ta sẽ thấy một số kết quả về hàm nhiều biến như giới hạn, liên tục, hàm ẩn, cực trị . ở chương năm. Hy vọng rằng sách là tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên năm đầu ít nhiều có năng khiếu về toán, cho sinh viên các lớp tài năng, cũng như là tài liệu tốt phục vụ các kỳ thi Olympic toán sinh viên. Sách cũng là tài liệu cho học sinh và giáo viên luyện học sinh giỏi ở các trường phổ thông trung học. Tác giả chân thành cảm ơn Nhà xuất bản, Ban chủ nhiệm Khoa CNTT - Học viện KTQS, Ban Chủ nhiệm Bộ môn Toán Khoa CNTT đã đề ra chủ trương xuất bản và tạo những điều kiện tốt nhất dể tài liệu này có thể nhanh chóng hoàn thành. Đặc biệt tác giả bày tỏ lòng qúy trọng với PGS TS Nguyễn Xuân Viên, TS Nguyễn Thanh Hà, TS Nguyễn Bá Long, CN Tạ Ngọc Ánh, CN Tô Văn Đinh, CN Nguyễn Hồng Nam, CN Phạm Văn Khánh, CN Nguyễn Quốc Tuấn đã đọc toàn bộ hoặc từng phần bản thảo cũng như bản đánh máy. Tác giả 8 Trang chẵn bỏ 9MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG SÁCH • R, +R, *+R tập các số thực, tập các số thực không âm, tập các số thực dương. • N, *N tập các số nguyên không âm, tập các số nguyên dương. • Z tập các số nguyên {0; ± 1; ± 2; .}. • Q tập các số hữu tỉ. • C tập các số phức. • (a; b) khoảng mở {x ∈ R, a < x < b}. • [a; b) khoảng nửa mở { x ∈R, a ≤ x < b}. • [a; b] đoạn { x ∈R, a ≤ x ≤ b}. •[x], E(x) phần nguyên của số thực x. •{x} phần phân (lẻ) của số thực x {x} = x - [x] ; tập hợp gồm 1 phần tử x • n ! giai thừa n ! = 1. 2. 3 . n. • n!! giai thừa kép (2n-1)!! = 1. 3. 5 . (2n-1); (2n)!! = 2. 4. 6 . (2n). • knC số tổ hợp chập k của n phần tử, chính là hệ số của khai triển Newton: ()!kn!k!nCkn−= 0 ≤ k ≤ n, k, n ∈N. • Max A(MinA) phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của tập A. • Sup A (Inf A) cận trên đúng (cận dưới đúng) của tập A. • x giá trị tuyệt đối của số thực x, modul của số phức x. • Re(z), Im(z) phần thực, phần ảo của số phức z. • f(x)- hàm số; - giá trị của hàm f tại điểm x. • ()axxf=- giá trị của hàm f tại điểm x = a. • BA:f →- Ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định là A, tập giá trị chứa trong B. • ∞→nnxlim giới hạn của dãy số {xn}. • ∞→=nnkxlim hay xn → k (n → ∞) dãy xn dần đến k khi n dần đến ∞. •nnxx lim,limgiới hạn trên, giới hạn dưới của dãy {xn}. [...]... Bài 1.1.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S= n ∑a2 k k =1 n với điều kiện ∑ a k = 1 k =1 Giải Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có 2 ⎞ 1 n 2 1 ⎛ n 2 ⎞⎛ n ⎞ 1 ⎛ n ⎜ ∑ a k ⎟⎜ ∑1⎟ ≥ ⎜ ∑ a ⎟ = 1 S= ∑a kn = n k =1 n ⎜ k =1 ⎟⎜ k =1 ⎟ n ⎜ k =1 k ⎟ n ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Đẳng thức xảy ra với ak = 1/n, k = 1, 2, , n Do đó giá trị nhỏ nhất cần tìm là 1/n Bài 1.1.4 Chứng minh rằng tập {n sin n : n ∈ N} không bị chặn Giải. .. n 0 tùy ý cố định Từ giả thiết, có số... ⎜ + + ⎟ 2n ⎠ n → ∞⎝ n + 1 Bài 1.4.4 Tìm un = Hướng dẫn: Đặt 1 1 + + , n +1 2n u n = C + ln 2n + ε 2n − (C + ln n + ε n ) → ln 2 (n → ∞ ) Cách khác: Dựa vào bất đẳng thức 1 ⎛ 1⎞ 1 hoặc phương pháp < ln ⎜ 1 + ⎟ < k +1 ⎝ k⎠ k tổng tích phân Bài 1.4.5 Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau: a n =1 + a) b n =1 + b) 1 2 2 1 22 1 + 2 + 3 1 33 + + + + 1 n2 1 nn , n∈ N; , n∈ N Giải a) Rõ ràng {a n } , {b... nên theo câu (a), {b n } bị chặn trên Bài 1.4.6 Tìm Giải Đặt n! lim n→∞ an = n! 2 n2 2 n2 Thế thì a n +1 n +1 = < 1 Vậy {a n } đơn điệu giảm Rõ nó bị chặn dưới an 2 2 n +1 Gọi λ là giới hạn của dãy, chuyển qua giới hạn đẳng thức a n +1 = n +1 2 2 n +1 an, ta được 33 n +1 λ = lim n → ∞ 2 2n +1 λ= 0 Bài 1.4.7 Cho s > 0; p > 0 Chứng minh rằng lim ns ( ) n→∞ 1+ p n Giải Đặt a n = ns (1 + p )n =0 s ,... xác định bởi: g(1) = h1 , , g(n ) = h n , g(n + 1) = f (1), g(n + 2 ) = f (2 ), Rõ ràng g là song ánh, vậy E ∪ H đếm được Bài 1.1.9 Chứng tỏ rằng ánh xạ f : N× N → N* xác định bởi: f (m , n ) = (2m + 1) 2 n là một song ánh Suy ra rằng N × N ; Z 2 ; Q đều là những tập đếm được Giải * Cho N ∈ N* , tồn tại (duy nhất) n ∈ N sao cho N Μ n và N Μ 2 n +1 2 Đặt p = N / 2 n thì p là một số nguyên lẻ, do đó... trọng là ta phải làm trội u n − λ bởi g(n) nào đó sao cho dễ giải được bất đẳng thức g(n) < ε, hoặc dễ chỉ ra nó nghiệm đúng với n > N nào đó + Có thể ta làm trội u n − λ bởi tổng h(n) + k(n) rồi giải riêng ε với n > N1, 2 ε k (n ) < với n > N2 2 h (n ) < Khi đó với N = max(N1, N2) thì u n − λ < ε Các kiến thức về bất đẳng thức luôn cần thiết Bài 1.2.1 a) Chứng minh rằng nếu u1 + + u n = a n n→∞ lim... sao cho lim n →∞ n =1 Nếu λ < 1 thì chuỗi ∞ ∑un n u = λ n hội tụ; λ > 1 thì chuỗi phân kì n =1 * Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm f(x) liên tục, không âm, đơn điệu giảm trên +∞ [a ; + ∞ ) Khi đó tích phân suy rộng ∫a f (x )dx và tổng ∞ ∑un với un = f(n) cùng n =1 hội tụ hoặc cùng phân kì §1.1 SỐ THỰC Bài 1.1.1 Tìm Inf, Sup, Min, Max (nếu có) của các tập: a) A = {[x ] + [1 / x ]: x > 0 }; ⎧ ⎪1 b) B = ⎨ ⎪... hay un −λ ≤ ε, ∀n > N vn un = λ n → ∞ vn Vậy lim Bài 1.2.6: Cho { u n }, { v n } là hai dãy thoả mãn a) lim v n = + ∞; {vn} tăng thực sự; n→∞ 27 u n +1 − u n = λ n → ∞ v n +1 − v n b) lim un = λ n → ∞ vn Chứng minh rằng lim Bài 1.2.7 Cho dãy { a n } hội tụ về a Với mỗi n nguyên dương đặt bn = n 2 ∑iai n (n + 1) i =1 Chứng minh rằng { b n } hội tụ về a Giải ∀ ε > 0, ∃ N1 , Lưu ý rằng ε ∀i > N1 thì a... > N2, L (n(n + 1)) < ε 2 Vậy với n > N = max (N1, N2) ta có bn −a . phương pháp luận của toán học, chúng tôi xin ra mắt bạn đọc cuốn " ;Những bài toán giải tích chọn lọc& quot;. Sách là bộ sưu tập những bài tập hay, khá. lời giải của bài toán, mà hơn cả, làm thế nào để giải được nó, những suy luận nào tỏ ra "có lý"..., các kết luận, nhận xét từ bài tập đưa ra, những