Đề số Bài 1: (2 điểm) 1) Chứng minh P 2P + số nguyên tố lớn 4P + hợp số 2) HÃy tìm BSCNN ba số tự nhiên liên tiếp Bài 2: (2 điểm) HÃy thay chữ số vào chữ x, y N = 20 x y 04 ®Ĩ N chia hÕt cho 13 Bài 3: (2 điểm) Vòi nớc I chảy vào đầy bể 30 phút Vòi nớc II chảy vào đầy bể 11 40 phút Nếu vòi nớc I chảy vào giờ; vòi nớc II chảy vào 25 phút lợng nớc chảy vào bể vòi nhiều Khi lợng nớc bể đợc phần trăm bể Bài 4: (2 điểm) Bạn Huệ nghĩ số có ba chữ số mà viết ngợc lại đợc số có ba chữ số nhỏ số ban đầu Nếu lấy hiệu số lớn số bé hai số đợc 396 Bạn Dung nghĩ số thoả mÃn ®iỊu kiƯn trªn Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chất trên, hÃy tìm số Bài 5: (2 điểm) Chứng minh rằng: số có chẵn chữ số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí chẵn tổng chữ số đứng vị trí lẻ, kể từ trái qua ph¶i chia hÕt cho 11 (BiÕt 102 n −1 vµ 10 n −1 +1 chia hÕt cho 11) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) Đề số Câu 1: (4 điểm) a) Tìm phân số tối giản lớn mà chia phân số 154 385 ; 195 156 ; 231 130 cho phân số ta đợc kết số tự nhiên b) Cho a số nguyên có dạng: a = 3b + Hỏi a nhận giá trị giá trị sau ? ? a = 11; a = 2002; a = 11570 ; a = 22789; a = 29563; a = 299537 Câu 2: (6 điểm) 1) Cho A = − + − + + 99 − 100 a) TÝnh A b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho không ? c) A có ớc tự nhiên Bao nhiªu íc nguyªn ? 2) Cho A = + + 22 + 23 + + 22002 B = 22003 So sánh A B 3) Tìm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 số nguyên tố Câu 3: (4 điểm) Có bình, đổ đầy nớc vào bình thứ rót hết lợng nớc vào hai bình lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy bình thứ ba đợc 1/3 dung tích Nếu bình thứ ba đầy bình thứ hai đợc 1/2 dung tích Tính dung tích bình, biết tổng dung tích ba bình 180 lít Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia ®èi cđa tia CB cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM b) Biết BAM = 800, BAC = 600 Tính CAM c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm Câu 5: (2 ®iĨm) Cho a = + + + + n vµ b = 2n + ( Víi n ∈ N, n ≥ ) Chøng minh: a b hai số nguyên tố Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) Đề số Câu 1: (4 điểm) HÃy xác định câu đúng, câu sai câu sau: a) Nếu p q số nguyên tố lớn p.q số lẻ b) Tổng hai số nguyên tố hợp số c) NÕu a < th× a2 > a d) Từ đẳng thức =12 ta lập đợc cặp phân số là: = 12 g) Nếu n số nguyên tố n/35 phân số tối giản h) Hai tia CA CB hai tia đối A, B, C thẳng hàng k) Nếu góc xoy nhỏ góc xoz tia ox nằm hai tia oy oz Câu 2: (6 điểm) Cho A = + 13 − 19 + 25 − 31 + a) BiÕt A = 181 Hái A cã số hạng ? b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n ? Cho A= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 So s¸nh A víi ? Tìm số nguyên tố p để p, p + p + số nguyên tố Câu 3: (5 điểm) Một lớp học có cha đến 50 học sinh Cuối năm xếp loại học lực gồm loại: Giỏi, Khá, Trung bình, ®ã 1/16 sè häc sinh cđa líp xÕp lo¹i trung bình, 5/6 số học sinh lớp xếp loại giỏi, lại xếp loại Tính số học sinh cđa líp Cã thĨ rót gän 5n + 8n + (n Z) cho số nguyên ? Câu 4: (3 điểm) Trên tia Ax lấy hai ®iĨm B, C cho AB = 5cm; BC = cm a) TÝnh AC b) §iĨm C n»m đờng thẳng AB biết góc AOB 550 gãc BOC b»ng 250 TÝnh gãc AOC ? 1 2003 + + + + = 10 n( n +1) 2004 Câu 5: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết: Đề số Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) Câu 1: (2 điểm) A = 1) Rút gọn 2) Cho S= + 27 +21.36 14 21.27 +42.81 +63.108 3 3 + + + + n ∈N * 1.4 4.7 7.10 n( n + 3) Chøng minh: S < 3) So s¸nh: 2003 2004 2003.2004 2004 2005 2004.2005 Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm số nguyên tố P cho số nguyên tố P + P +10 số nguyên tố 2) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ 10 x y cho 3x - 4y = - 21 3)Cho ph©n sè: n− A= n +1 ( n ∈ ; n ≠−1) Z a) Tìm n để A nguyên b) Tìm n để A tối giản Câu 3: (2 điểm) Xếp loại văn hoá lớp 6A có loại giỏi cuối học kì I tỉ số học sinh giỏi cuối học kì II có thêm học sinh trở thành loại giỏi Nên tỉ số học sinh giỏi TÝnh sè häc sinh cđa líp ? Câu 4: (3 điểm) Cho góc AOB tia phân giác Ox Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB Với bờ đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy cho : AOy > AOB Chøng tá r»ng : a) Tia OB n»m gi÷a tia Ox, Oy b) xOy = (AOy + BOy ) : Câu 5: (1điểm) Cho n z chứng minh rằng: 5n -1 chia hết cho Đề số Bài 1: (2 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS t©n LG (0976471036) a) TÝnh 5.415.99 − 4.320.89 5.29.619 − 7.2 29.27 b) T×m x biÕt: −  1 1  1  :  24 − 24  − =  −  :  −  30   x −  15   3 Bµi 2: (2 điểm) So sánh: A= B= 2 2 + + + + 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 + + + + 40.44 44.48 76.80 2003 Bài 3: (2 điểm) Chứng minh r»ng sè: 222 222 00 333 333        2001 c / s 2003 c / s hợp số Bài 4: (2 điểm) Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia sè kĐo ®ùng gãi Gãi thø nhÊt cã 31 chiÕc, gãi thø hai cã 20 chiÕc, gãi thø ba cã 19 chiÕc, gãi thø t cã 18 chiÕc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ có 15 Hồng Lan đà nhận đợc gói số kẹo Hồng gấp đôi số kẹo Lan Tính số kẹo nhận đợc bạn Bài 5: (2 điểm) Cho điểm O đờng thẳng xy, nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ tia Oz cho gãc xOz nhá h¬n 900 a) Vẽ tia Om, On lần lợt tia phân giác góc xOz góc zOy Tính góc MON ? b) Tính số đo góc nhọn hình số đo góc mOz 350 Đề số Câu 1: (6 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) Tính cách hợp lí giá trị biểu thức sau: A = + + + 12 + + 2007 B = 2.53.12 + 4.6.87 − 3.8.40 2006 2006 2006 2006 + + + + 2007 C= 2006 2005 2004 + + + + 2006 Câu 2: (5 điểm) 1) Tìm giá trị a để số 123a5 a) Chia hÕt cho 15 b) Chia hÕt cho 45 2) Ba xe ô tô bắt đầu khởi hành lóc giê s¸ng, tõ cïng mét bÕn Thêi gian xe thứ 42 phót, cđa xe thø hai lµ 48 phót, cđa xe thứ ba 36 phút Mỗi chuyến trở bÕn, xe thø nhÊt nghØ råi ®i tiÕp, xe thø hai nghØ 12 råi ®i tiÕp, xe thø ba nghØ råi ®i tiÕp Hái xe lại khởi hành từ bến lần thứ hai lúc ? Câu 3: (3 điểm) Cho P số nguyên tố lớn 5p +1 số nguyên tố Chứng minh 7p +1 hợp số Câu 4: (3 điểm) Tia OC phân giác góc AOB, vẽ tia OM cho gãc BMO = 200 BiÕt gãc AOB = 1440 a) Tính góc MOC b) Gọi OB tia đối tia OB, ON phân giác góc AOC Chứng minh OA phân giác góc NOB Câu 5: (2 điểm) Thay chữ số thích hợp (các chữ khác thay chữ số khác nhau) abc cba = 6b3 Đề số Câu 1: (2 điểm) Chọn kết câu sau: Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) 1) Sè 32450 cã sè íc lµ: A 18 ; B 24 ; C 75 ; D 42 2) Biết ƯCLN(a, b) = BCNN(a, b) = 210 tích a.b là: A 1470 ; B 217 ; C 2107 ; D 30 3) Cho abc kh«ng chia hết cho Hỏi phải viết số ngày liên tiếp lần để tạo thành mét sè chia hÕt cho ? A lÇn ; B lÇn ; C lÇn 4) Cho N = 1494 x 1495 x 1496 th× N chia hÕt cho: A 140 ; B 195 ; C 180 Câu 2: (2 điểm) a) Cho đẳng thức: 152 - 53 = 102 Đẳng thức hay sai ? Nếu sai hÃy chuyển vị trí chữ số để đợc đẳng thức ? b) Tìm số tự nhiên, biết số chia cho 26 ta đợc số d hai lần bình phơng số thơng Câu 3: (2 điểm) a) Một ngời nói với bạn: Nếu sống đến 100 tuổi lín h¬n cđa cđa 10 số tuổi thời gian phải sống Hỏi ngời bao nhiªu ti ? b) Mét sè tù nhiªn chia cho th× d 3, chia cho 17 th× d chia cho 19 d 13 Hỏi số chia cho 1292 d ? Câu 4: (2 ®iĨm) Ngêi ta viÕt d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp: 4; 11; 18; 25….Hái: a) Sè 2007 cã thuéc d·y số không ? Vì ? b) số thứ 659 số ? Câu 5: (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chøng tá OA < OB b) Trong điểm M, O, N điểm nằm hai điểm lại c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O Đề số Câu 1: (6 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) TÝnh nhanh a) x x x x x x 25 x 125 b) 2004 2004 + 3006 2005 2005 −1003 c) 19001570 (20052005 2004 20042004 2005) Câu 2: (3 điểm) Tìm giá trÞ cđa x d·y tÝnh sau: ( x + 2) + ( x + 7) + ( x + 12) + + ( x + 42) + ( x + 47) = 655 Câu 3: (3 điểm) Hai bạn Trang Giang mua 18 gói bánh 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan Giang đa cho cô bán hàng tờ 100000 đồng đợc trả lại 72000 đồng Trang nói Cô tính sai Bạn hÃy cho biết Trang nói hay sai ? Giải thích ? Câu 4: ( điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB lấy hai ®iÓm M, N cho AM = MN = NB P điểm chia cạnh CD thành hai phần ND cắt MP O, nối PN Biết diện tích tam giác DOP lớn diện tích tam giác MON 3,5 cm HÃy tính diện tích hình chữ nhật ABCD Câu 5: (3 điểm) Tìm tất chữ số a b để số a459b chia cho 2; d Đề số Câu 1: (2 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) a) Tính A= 1 1 1 + + + + + 10 40 88 154 238 340 b) So sánh: 200410 + 2004 200510 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x cho 4x-3 chia hết cho x-2 b) Tìm số tự nhiên a b để thoả mÃn 5a + 7b 29 = 6a + 5b 28 vµ (a, b) = Câu 3: (2 điểm) Số học sinh trờng học xếp hàng, xếp hàng 20 ngời 25 ngời 30 ngời thừa 15 ngời Nếu xếp hàng 41 ngời vừa đủ Tính số häc sinh cđa trêng ®ã biÕt r»ng sè häc sinh trờng cha đến 1000 Câu 4: (3 điểm) Cho hai góc xOy xOz, Om tia phân gi¸c cđa gãc yOz TÝnh gãc xOm c¸c trêng hỵp sau: a) Gãc xOy b»ng 1000; gãc xOz b»ng 600 b) Gãc xOy b»ng α ; gãc xOz ( > ) Bài 5: (1 điểm) Chøng minh r»ng: A = 10 n + 18n − chia hết cho 27 (n số tự nhiên) Đề số 10 Câu 1: (2 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân LG (0976471036) a) TÝnh tæng: S= b) Chøng minh: 1 + + + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 11 1  57 A=  + + + + >  24 60 9240  462 C©u 2: (2 ®iĨm) Cho A = n + 3n + 2n a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho với số nguyên n b) Tìm giá trị nguyên dơng n với n < 10 để A chia hết cho 15 Câu 3: (2 điểm) a) Có hay không số K nguyên dơng cho chia cho 1993 có chữ số tận 0001 b) Vòi nớc thứ chảy đầy bể 30 phút vòi thứ hai chảy đầy bể 45 phút Lúc đầu ngời ta mở vòi thứ cho chảy thời gian thời gian cần thiết để hai vòi chảy đầy bể, sau mở vòi thứ hai Hỏi phút sau mở vòi thứ bể đầy nớc Câu 4: (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M1 trung điểm đoạn thẳng AB M2 trung ®iĨm cđa M1B a) Chøng tá r»ng M1 n»m gi÷a hai điểm A, M2 Tính độ dài đoạn thẳng AM2 b) Gäi M1, M2 , M3 , M4 ,… lần lợt trung điểm đoạn AB, M1B, M2B, M3B, Tính độ dài đoạn thẳng AM8 Câu 5: (1 điểm) Tìm ba số tự nhiên a, b, c khác thoả mÃn: 1 + + = a b c Đề số 11 Câu 1: (2 điểm) a) Tính tổng: S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001 Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 10 HVH_THCS tân LG (0976471036) Giải phơng trình: a) x x − x − x − x − x − + + = + + 99 97 95 98 96 94 b) ( x + x + 1) + ( x + x + 1) 12 = Câu 4: (3 điểm) Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt E, K, G Chøng minh r»ng: 1) AE = EK EG 2) 1 = + AE AK AG 3) Khi đờng thẳng d xoay quanh điểm A Chøng minh: BK DG = const C©u 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ có biểu thøc sau: B= 16 x + x + 2x (với x > 0) Đề số 13 Câu 1: (6 điểm) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư; a) x − y − x + xy − y b) xy + x − y − y 2 c) x − xy + y + 3x − y 10 Câu 2: (4 điểm) Cho a + b + c = vµ abc ≠ Chøng minh r»ng: P= 1 + 2 + =0 2 a + b − c b + c − a c + a2 b2 Câu 3: (4 điểm) Cho biểu thức Q = x4 + x x + 3x + +1− x +1 x2 − x +1 ( x ≠ −1 ) a) Rót gän biĨu thøc Q b) Tìm giá trị nhỏ Q Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 81 HVH_THCS tân LG (0976471036) Câu 4: (6 điểm) Vẽ phía tam giác nhọn ABC tam giác ABD ACE Gọi M, N lần lợt trung điểm AD CE H hình chiếu N AC, từ H kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC I a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng víi tam gi¸c HIN b) TÝnh c¸c gãc cđa tam giác MNI c) Giả sử góc BAC = 900 , AB = a, AC = b TÝnh diÖn tÝch tam giác MIN theo a, b Đề số 14 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: b) Rút gän: (a + b + c) − a − b − c x − x − 12 x + 45 3x − 19 x + 33x − C©u 2: (2 ®iĨm) Chøng minh r»ng: A = n (n − 7) − 36n chia hÕt cho 5040 với số tự nhiên n Câu 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nớc giếng Nếu làm máy bơm A hút hết nớc 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc 15 máy bơm C hút hết nớc 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B Tính xem giếng hết nớc b) Giải phơng trình: x +a − x −2a =3a (a lµ h»ng sè) Câu 4: (3 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 82 HVH_THCS tân LG (0976471036) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng víi tam gi¸c CBN b) So s¸nh hai tam gi¸c ABC vµ INC c) Chøng minh: gãc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích tam giác IMN lớn gấp đôi diện tích tam giác ABC Câu 5: (1 điểm) Chứng minh số: 22499 9100          09 n-2 sè n sè lµ số phơng ( n ) Đề số 15 Câu 1: (2 điểm) Cho a 4a − a + P= a − 7a + 14a − a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thøc: P = ( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 3: (2 điểm) a) Giải phơng trình: 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng; Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 83 HVH_THCS tân LG (0976471036) A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c C©u 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D vµ E Chøng minh: a) BD.CE = BC b) DM, EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED Câu 5: (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi Đề số 16 Bài 1: (2 điểm) Giải phơng trình a) ( x − x + 9) + (1 − x ) + (6 x − 10) = b) Cho x, y tho¶ m·n: x + y + xy − x − y + 13 = Tính giá trị cđa biĨu thøc: H = x − xy + 52 x−y víi x, y ≠ ; x , y Bài 2: (2 điểm) Cho x −3 y y − 3x = x (1 − y ) y (1 − x ) Chøng minh r»ng: ; x≠ y 1 + =x+y+ x y Bài 3: Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên Với y = 4x + x2 +1 Bµi 4: (3 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 84 HVH_THCS tân LG (0976471036) Cho tam giác ABC cân A (AB = AC > BC) Trên cạnh BC lấy M cho MB < MC Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua đờng thẳng EF a) Cho AB =1002,5 cm TÝnh chu vi tø giác AEMF b) Chứng minh tứ giác ANEF hình thang cân c) AN cắt BC H Chứng minh HB HC = HN HA Bài 5: (1 điểm) Cho ®a thøc f ( x) = x + ax + bx + c T×m a, b, c biÕt f (1) = ; f ( 2) = ; f (3) = Đề số 17 Bài 1: (2 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x + x + b) (4 x +1)(12 x −1)(3x + 2)( x +1) − 2) Cho a + b + c = vµ a + b + c = Tính giá trị biểu thức: M = a4 + b4 + c4 Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thøc: M = x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x) (1 + x )(1 − y ) a) Rút gọn M b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Bài 3: (2điểm) Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vòi sau 42 phút bể đầy nớc Còn đóng vòi chảy mở vòi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy 1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 85 HVH_THCS tân LG (0976471036) 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G a) Chứng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AKF đồng dạng với ∆CAF vµ AF2 = FK FC c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Bài 5: (1 điểm) Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số (n số tự nhiªn, n ≥ ) Chøng minh r»ng: a + b + c + số phơng Đề số 18 Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình sau: a) x + x = b) x − − x −3 =5 C©u 2: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: A = x4 − x x2 − x a) Rót gän biĨu thøc A b) Tìm x để A > Câu 3: (2 ®iĨm) Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cc mét mảnh vờn, hoàn thành 50 Nhng sau giê lµm chung Trung bËn viƯc khác nên không làm nữa, anh thành phải làm tiếp cuốc xong mảnh vờn Hỏi làm anh phải làm bao lâu? Câu 4: (3 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh rằng: Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 86 HVH_THCS tân LG (0976471036) a) EF song song víi AB b) AB2 = CD EF Câu 5: (1 điểm) Chứng minh biểu thức: 10 n + 18n − chia hÕt cho 27 với n số tự nhiên Đề số 19 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích thành nhân tử: x + 3x − x − 12 b) TÝnh: A = 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 2003.2005 Câu 2: (2 điểm) a) Cho a, b, c hai số khác khác thoả mÃn: 3a + b = 4ab Tính giá trị biểu thức: b) Giải phơng trình: A= a b a +b x +2 + =3 Câu 3: (2 điểm) Cho A = n + 3n + 2n (n ∈ N) a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15 Câu 4: (3 điểm) Cho ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F lần lợt điểm đối xứng H qua AB, AC a) Chøng minh E, A, F th¼ng hàng Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 87 HVH_THCS tân LG (0976471036) b) Chứng minh BEFC hình thang c) Tìm vị trí H BC để BEFC hình thang vuông, hình bình hành Câu 5: (1 ®iÓm) Cho  a + 3ab = 14   b + 3a b = 13 Tính giá trị : P = a b Đề số 20 Bài 1: (2 điểm) a) Cho x > 0, y > tho¶ m·n: Tính giá trị biểu thức: b) Với x = x − xy = y A Rót gän biĨu thøc: x − y = x + y B= − x + 6x − 5 x n − x n+1 Bµi 2: (2 điểm) Chứng minh với giá trị nguyên x th× biĨu thøc P ( x ) = 1985 x3 x2 x + 1978 + có giá trị nguyên Bài 3: (2 điểm) Một ngời xe đạp, ngời xe máy, ngời ®i « t« cïng ®i tõ A vỊ B khëi hành lần lợt lúc giờ, giờ, víi vËn tèc thø tù lµ 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h Hỏi lúc ô tô cách ngời xe đạp xe máy Bài 4: (3 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB ≠ AC ) có O giao điểm ba đờng trung trực, vẽ phía tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH BiÕt OE = OH TÝnh sè ®o gãc BAC ? Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: Tài liệu båi dìng HSG To¸n ( x − x + 11)( y + y + 4) = − z + z + 88 HVH_THCS tân LG (0976471036) Đề số 21 Câu 1: (2 ®iĨm) a) Rót gän biĨu thøc: A= a + a −  (a + 2) − a  −  n +1 n  a − 3a  4a − a a b) Tính giá trị biểu thức: B = x19 − x18 + x17 − x16 + − x + x + 1886 với x = Câu 2: (2 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình x + x −12 y = b) Cho a, b, c số tự nhiên không nhỏ Chøng minh r»ng: 1 + ≥ 2 + a + b + ab Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải tõ A ®Õn B víi vËn tèc 45 km/h Sau ®ã mét thêi gian mét « t« cịng ®i từ A đến B với vận tốc 60 km/h thay đổi đuổi kịp ô tô tải B Nhng sau đợc nửa quÃng đờng AB, xe tải giảm bớt km/h nên hai xe gặp C cách B 30 km Tính quÃng đờng AB Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 89 HVH_THCS tân LG (0976471036) Câu : (3 điểm) Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thø tù ë E, K, G Chøng minh r»ng: a) AE2 = EK EG b) 1 = + AE AK AG c) Khi đờng thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhng qua A tích BK.DG = Const Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: x − x + 2005 M= x2 Đề số 22 Câu 1: (2 điểm) a) Chứng minh với số nguyên dơng ta cã: A= x5 x x3 5x x + + + + 120 12 24 12 b) Rút gọn: B = luôn số nguyên d¬ng x 24 + x 20 + x16 + + x + x 26 + x 24 + x 22 + + x + C©u 2: (2 điểm) Bạn A hỏi bạn B: năm bố mẹ anh tuổi ? B trả lời: bố mẹ tuổi Trớc tổng số tuổi bố mẹ 104 tuổi tuổi ba anh em lµ 14; 10 vµ HiƯn tỉng sè ti bố mẹ gấp lần tổng số tuổi cđa ba anh em t«i” TÝnh xem ti cđa bè mẹ bạn B ? Câu 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu: x + y = z + t A = x2 + y + z + t (x, y, z, t ∈ Z ) số : tổng bình phơng ba số nguyên Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 90 HVH_THCS tân LG (0976471036) b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong có ®iỊu kiƯn ®óng, ®iỊu kiƯn sai: N + 45 bình phơng số tự nhiên N có chữ số tận N - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm) Hai đờng chéo AC BD hình thoi ABCD cắt O Đờng trung trực AB cắt BD AC O1 O2 Đặt O2A = a ; O1B = b TÝnh diƯn tÝch ABCD theo a, b C©u 5: (1 điểm) Tìm x, y, z Z thoả m·n: ( x + y + 1)(2 x + y + x + x) = 105 §Ị số 23 Câu 1: (2 điểm) a) Cho ak = 3k + 3k + (k + k ) TÝnh tỉng S = víi k ∈ N* a1 + a2 + a3 + + a2007 b) Chøng minh r»ng: A = n (n − 7) − 36n chia hÕt cho víi mäi n nguyên Câu 2: (3 điểm) a) Cho ba số x, y, z thoả mÃn đồng thời: x2 + y +1 = ; y + 2z +1 = Tính giá trị biểu thức: ; z2 + 2x + = A = x 2005 + y 2006 + z 2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y ∈ Z th× P = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y số phơng c) Tìm số d phÐp chia: ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 2007 cho x + x + Câu 3: ( điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 91 HVH_THCS tân LG (0976471036) Phơng Hng có 110.000 đồng Hai ngời rủ chợ Phơng tiêu 1/5 số tiền Hng tiêu 1/6 số tiền Số tiền lại Hng nhiều số tiền lại Phơng 10.000 đồng Hỏi ngời có tiền Câu 4: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD 1) Tứ giác DFBE hình ? ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC = AB AH + AD AK §Ị sè 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình: a) 1 1  + + + + .x 2005  2 = 2005 2004 2003 2002 + + + + 2004 b) x − + x −3 =4 C©u 2: (2 ®iĨm) T×m tØ lƯ ba ®êng cao cđa mét tam giác Biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác tỉ lệ kết : : Câu 3: (2 điểm) a) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thøc: P ( x ) = (2004 − 2005 x + x ) 2004 (2004 + 2005 x + x ) 2005 b) Tìm số tự nhiên n để n + n + số nguyên tố Câu 4: (3 điểm) Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 92 HVH_THCS tân LG (0976471036) Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C ®iĨm ®èi xøng cđa H qua AB, B’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua AC Gäi giao ®iĨm cđa B’C’ víi AC vµ AB lµ I vµ K Chøng minh IB, CK đờng cao tam giác ABC Câu 5: (1 điểm) [ Cho a, b, c 0; 1] vµ a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c §Ị sè 25 Câu 1: ( điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x9 x7 x6 x5 + x + x3 + x − b) Rót gän biĨu thøc:   3y2 y x2     y +  − −  x − xy x − xy x + x y + xy   x+ y    C©u 2: (2 điểm) a) Có tồn cặp số tự nhiên (x, y) để số 4x4 + y4 số nguyên tố không b) Giải phơng trình: y2 y + = x + 2x + Câu 3: (2 điểm) Một ngời từ A ®Õn B råi ®i tư B vỊ A mÊt 17 phút, đoạn đờng AB dài km gồm đoạn lên dốc, tiếp đoạn đờng bằng, cuối đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đờng dài km Nếu vận tốc ng- Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 93 HVH_THCS tân LG (0976471036) ời lúc lên dốc 4km/h, lúc đoạn đờng km/h, lúc xuống dốc km/h Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đờng chéo BD Kẻ ME vuông góc với AB, MF vu«ng gãc víi AD a) Chøng minh: DE = CF DE CF b) Chứng minh đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c ba số dơng Chứng minh rằng: 1< a b c + + x >0 x + y 10 = xy b) Rút gọn biểu thức Tính giá trị biểu thøc M = x−y x+y      1 +  +  11 +   4  4 A=        +  +  12 +   4  4  C©u 2: (2 điểm) a) Giải phơng trình: x x − 19 x + 106 x − 120 = b) Cho x4 y + = a b a+b vµ Chøng minh r»ng: x + y =1 x 2004 y 2004 + 1002 = 1002 a b (a + b)102 C©u 3: (2 điểm) Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà ®Ĩ ®i ®Õn nhµ An víi vËn tèc km/h An gặp Bình đờng hai nhà Bình Khi trở đến nhà An tính Tài liệu bồi dỡng HSG Toán 95 HVH_THCS tân LG (0976471036) ... nghị häc sinh giái, sè häc sinh n÷ chiÕm 2/5, 3/8 số nữ học sinh lớp Trong số học sinh nam dự hội nghị 2/9 số häc sinh líp BiÕt sè häc sinh dù héi nghị khoảng từ 100 đến 150 Tính số học sinh nam,... hoá lớp 6A có loại giỏi cuối học kì I tỉ số học sinh giỏi cuối học kì II có thêm học sinh trở thành loại giỏi Nên tỉ số học sinh giỏi TÝnh sè häc sinh cđa líp ? C©u 4: (3 điểm) Cho góc AOB tia... hai số b) Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không 130 em tham gia Sau chấm thấy số em đạt điểm giỏi chiếm 14 , đạt điểm chiếm , đạt ®iĨm u chiÕm tỉng sè thÝ sinh dù thi, cßn lại đạt điểm