SỐ PHỨC Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b �R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vò ảo, i2 = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0) z ảo  phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo  Hai số phức nhau: � a  a' a  bi  a�  bi �� � (a, b, a', b'�R) b  b' � Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b �R) biểu diễn điểm r M(a; b) hay u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức:    b  b� i  bi �   a  a�   a  bi    a�    b b� i  bi �   a  a�   a  bi    a�  Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r  u biểu diễn z, u' biểu diễn z' u  u'biểu diễn z + z’ u  u' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức :  aa�    ab� ba� i �bb�   a  bi   a' b'i   �  k(a  bi )  ka  kbi (k �R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi laø z  a  bi �z � z z  z ; z �z'  z �z'; z.z'  zz '; �1 � �z2 � z2 ; z.z  a2  b2  z số thực  z  z ; z số  ảo  z   z Môđun số phức : z = a + bi uuuu r 2 z  0� z z  a  b  zz  OM   z �0, z�C , z z  '  z z'  zz  z' z'  z  z' �z �z' �z  z' Chia hai số phức: z1  z z  (z  0) z' z'.z z'.z  z' z1   z z.z z  Căn bậc hai số phức: z'  w � z'  wz z  �x2  y2  a � 2xy  b z  x  yi w  a  bi z  w  bậc hai số phức   �  w = có bậc hai z =  w �0 có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a > � a  Hai bậc hai a < � a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A �0)   B  4AC   �0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2   B � 2A , (  bậc hai )    : (*) có nghiệm kép: z1  z2   B 2A z Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) nghiệm (*) CÁCH SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC + Kích hoạt : MODE + Nhập đơn vị ảo i ta bấm phím ENG + Các phép toán cộng, trừ nhân chia sử dụng phím +, - , x , : + Phép nâng lũy thừa lũy thừa số phức z, thực số thực + Để tìm số phức liên hợp sơ phức z, ta bấm SHIFT 2 nhập số phức z bấm = cho kết + Để lấy môđun số phức z, ta bấm SHIFT Abs , nhập số phức ( biểu thức gồm phép tính số phức) bấm phím = Bài tập áp dụng: Dạng 1: Các phép toán số phức 1/ Cho z1   3i; z2   i Tính: a) z1  z2 b) z1  z2 c) z1.z2 2/ Tìm z , biết a) z  (1  2i)  (3  4i )(2  3i ) b) z  (1  2i )  (3  i)( 2  5i) z1 d) z2 e) z1 ; z2 ; z1  z2 f) z1.z2 c) z  (1  3i )  (2  3i )(1  2i )  (1  i ) 8 1 i � � 1 i � � z  � � � � 1 i � � 1 i � � f)  i �  2i � z  � � 1 i � 2i � e) (3  2i )  (4  3i )  (1  2i )  (1  2i )(3  5i )  (1  i )7 15 z  z  z   1 i  4i  4i g) h) i) z 3/ Xác định phần thực phần ảo số phức sau �1 � �2 �  3i 1 i z  2 i  �  2i � z    3i   �  i � z z 3 z  (4�) i  (2  i ) � (5  i ) � � c) � � 1 i  5i a) b) d) e) 1 i  2i z   3i i d) f) z   1 i z 2017 g)   i z  1 i     2i  2 h) (2  3i) z  (4  i ) z  (1  3i ) 4/ Chứng minh số nguyên dương Dạng 2: Giải phương trình tập số phức 1/ Tìm z , biết   2i  z    5i    3i a) iz   i  b) z    3i    2i d)  3i e) z  z   4i 2/ Giải phương trình sau tập số phức 2 a) 3z  z   b) z  z   f) c)   3i  z    5i     i  z � 1� � iz  � �2  i  z   i � � � � 2i � c) z  z  11  g) z  z  10  �z  2i � � � z  i � � g) d) 3z  z   h) z  z   e) z  z  13  f) z  z   3/ Giải phương trình sau tập số phức 2 a) x  3x   b) 3x  x   c) x  3x   d) x �8  4/ Giải phương trình sau tập số phức  i x  i   2i 3x   i    2ix   i   3i   4i  x    2i    i  a) b) c) 5/ Biết z1 z2 hai nghiệm phương trình z  z   Hãy tính 1 z1 z2   2 3 z1  z2 z1  z2 z z z z1 2 a) b) c) d)   x    4i  x  5i   6/ Giải phương trình sau tập số phức 7/ Cho phương trình x  2mx   2i  Tìm m thuộc tập số phức C cho phương trình có nghiệm thỏa mãn x12  x22  Dạng 3: Giải hệ phương trình sau Giải hệ phương trình sau a) b) Dạng 4: Chứng minh tính chất số phức 1 zz zz 1/ CMR : phần thực số phức z , phần ảo số phức z 2i 2/ CMR : số phức z số ảo z   z     3/ CMR : với số phức z, z’ ta có : z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ' Dạng 5: Tập hợp điểm 1/ Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn sô phức thỏa mãn điều kiện sau z i 1 z  z   4i z i 1 z  i  (1  i ) z z  i a) b) c) d) Một số tập tổng hợp: 2 z  z2 1/ Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z  z  10  Tính z  (2  i )  10 z  2/ Tìm số phức z thỏa mãn a) z.z  25 b) z số ảo z  (3  4i )  3/ Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn 4/ Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn 2 a) (1  i) z   5i  b) (1  i ) (2  i) z   i  (1  2i ) z b) (2  3i) z  (4  i) z  (1  3i ) 5/ Tìm phần ảo số phức z, biết z  i    2i  6/ Cho số phức z thỏa mãn z  2(1  i) z  2i  Tìm phần thực phần ảo z 5i z 1  z2  z  z z 7/ Tìm tất số phức z thỏa mãn a) b) c) z  (2  3i) z   9i ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG IV – SỐ PHỨC 1/ Thực phép tính  2i  i    3i     3i  (1  i)3   2i a) b)  5i c) 2/ Giải phương trình sau a) (1  i ) z   2i  b) z  z   4i c) z  z   2 e) z  (1  3i ) z  2(1  i)  f) (2  i) (1  i) z   3i  (3  i) z 3/ Tìm số thực x y biết yi  x  y   xi  x   xi  yi  3i  y 4/ Tìm số phức z, biết phần ảo z gấp đơi phần thực bình phương mơ đun z z2  iz 5/ Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn 2016 z   1 i 6/ Chứng minh số thực dương Bài tập trắc nghiệm ( PART 1) Câu 1: Số phức liên hợp z số phức z  1  2i A z  1  2i B z   2i C z   2i D z  2  i d) z  z  27  Câu 2: Mô đun z số phức: z   3i Câu 3: Cặp số thực x, y thỏa: A x  1; y  A z 7  x  y    x  y  i   6i B x  1; y  4 C y  1; x  B z 5 C z  25 D D x  1; y  4 z  Câu 4: Thu gọn số phức z Câu 5: Mô đun số phức Câu 6:   3i  được: A z  5 B z  11  2i C z  1  2i z    4i   2i  Số phức liên hợp số phức B 14  10i A là: z    3i    2i  1 A.10  i B.10  i D z  7  2i C 74 D C 10  3i D 2i Câu 7: Gọi A điểm biểu diễn số phức z   5i B điểm biểu diễn số phức z  2  5i Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai điểm A B đối xứng với qua trục tung B Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành D Hai điểm A B nằm đường thẳng x  C Hai điểm A B đối xứng với qua gốc toạ độ O z1 z  3 4i ; z2   i Số phức z2 bằng: Câu Cho số phức 16 13 13 16 13  i  i  i A 17 17 B 15 15 C 5  4i z   3i   6i Câu 9: Tìm phần thực a phần ảo b số phức 73 17 17 73 73 17 a , b a ,b a  , b   i 15 5 15 15 A B C z Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn: z(1 2i)  7 4i Tính A w3 B w  z  2i w5 C 16 13  i D 25 25 D Câu 12: Gọi w D Câu 13: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình P i A P B ta có kết là: D P  26 C P  13 B P  22 w  29 D a  P  z1  z hai nghiệm phức phương trình z  z  13  Tính A P  73 17 , b 15 z z2 Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn  2i Phần thực a số phức w  z  z là: A a  5 B a  C a  z1 , z2 a 2z  3z   Tính giá trị biểu thức P C P P D z1 z2  z2 z1 Câu 14: Trong tập số phức Gọi z1 , z2 , z3 ba nghiệm phương trình z  3z  8z   Tính P  z1 z2 z3 A P  B P  59 D P  36 C P  4 z  Câu 15 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa z số ảo a  �1 � � b  �1 A � a  �1 � � b 1 B � a  1 � � b  �1 C � a  �1 � � b  1 D � z i  Câu 16 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng Câu 17 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức là: D Một hình vng z1  -1+3i; z  -3-2i, z  4+i Khi đó, tam giác ABC là: A tam giác cân B tam giác C tam giác vuông D tam giác vuông cân Câu 18 Gọi A 10 z1 , z hai nghiệm phức phương trình z  2z  10  Tính A  z1  z2 B 20 C 20 D 10 Câu 19 Trong tập số phức, phương trình z  z   có nghiệm là: A z1,2  1 � B z1,2  1 �i C z1,2  1 �i 3  i  i Câu 20 số phức liên hợp z  1 3i A 4 B 2 z1    i   2i  3 , z2   i  1   2i  Câu 21 Cho hai số phức A z1.z2 �� D Vô nghiệm C + D 1 3i 3i Mệnh đề đúng? B z1.z21 �� C z1.z2 �� D zi    i   Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện A  x  1   y  2   x  1 B   y  2   x  1 C 2   y  4  z1  z2 �� D x  y  x  y   z 2 Câu 23 Trên mp Oxy,tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện A đường tròn có tâm gốc tọa độ O bán kính B đường thẳng: x  y   C đường tròn có tâm gốc tọa độ O bán kính D là đường thẳng: x  y   Câu 24 Môđun số phức Câu 25 Nếu ta có A x  2; y  z   2i    i  A z  41  x     y  1 i   y  1   x   i B z  C z  D z  hai số thực x, y bằng: B x  5; y  C x  1; y  D x  4; y  uuur Câu 26 Giả sử A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z1, z2 Khi độ dài véctơ AB A z1  z2 z1  z2 B C z1  z2 D z1  z2 z   2i ; Câu 27 Trong mặt phẳng phức cho ΔABC vuông C Biết A, B biểu diễn số phức : z1  2  4i Khi đó, C biểu diễn số phức : A z   4i Câu 28 Cho số phức z thỏa mãn: B z  2  2i z   3i  2i   z A Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  C z   4i D z   2i Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z B Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  C Một đường có phương trình: y  20 x  y  20  D Một đường thẳng có phương trình: 20 x  32 y  47  Câu 29 Khẳng định không A Tập hợp số thực tập số phức B Nếu tổng hai số phức số thực hai số số thực C Hai số phức đối có hình biểu diễn hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ O D Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn hai điểm đối xứng qua trục Ox Câu 30 Tìm tích nghiệm ảo phương trình z  z   A 6 B C 2 D 3 Câu 31 Trong khẳng định sau, khẳng định ? Trong tập số phức C A bậc hai -9 3i B bậc hai  i  ` C bậc hai � D bậc hai -1 i Câu 32 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  2i  3 x  y - m  A m  7; m  đường tròn tâm I Tất giá trị m để khoảng cách từ I đến d : B m  8; m  8 C m  7; m  D m  8; m  Câu 33 Cho số phức Điểm biểu diễn mặt phẳng số phức có mơ đun nhỏ có tọa độ A B C D Câu 34 Biết số phức thỏa mãn điều kiện u  ( z   i )( z   3i ) số thực Giá trị nhỏ |z| A B C D Câu 35 Trong số phức thỏa mãn điều kiện Mô đun nhỏ số phức A B C D � 1 i � z � � � 1 i � � � là: Câu 36 Phần thực phần ảo số phức A a  2; b  B a  2; b  2 C a  2; b  Câu 37 Trong tập số phức, gọi z1 A P  z2 D a  2; b  2 2 P  z1  z2 hai nghiệm phương trình z  2z   Tính B P  10 C P  6 D P  Câu 38: Cho số phức z  a  bi ; a, b �R thỏa mãn z (1  i )  iz    7i Tính S  a  b A S  B S  ( 1+ i ) Câu 39 Tìm phần thực số phức Câu 41: Giả sử z 1 i  M  z B z   4i C 2017 D Câu 40: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 2z  i.z   5i A z   4i D S  5 2017 1008 B A - C S  C z   3i D z   3i điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M  z thỏa mãn điều kiện đường tròn: I  1; 1 I  1; 1 I  1; 1 I  1; 1 A R  B R  C R  D R  Câu 42 : Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z   3i w  2  i mặt phẳng tọa độ Tính độ dài đoạn thẳng AB A B C D 13 2 Câu 43 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | z  ( z ) | là: A Một đường tròn bán kinh R=2 B Hai đường tròn có tâm O(2;1), O’(-2;-1) Một hyperbol có phưng trình ( H1 ) : y  2x D Hai hyperbol có phương trình ( H1 ) : y  1 (H ) : y   x x C z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z  16 z  17  Trên mặt phẳng toạ độ, w  iz0 ? điểm điểm biểu diễn số phức Câu 44 Kí hiệu �1 � M1 � ; � �2 � A �1 � M � ;1� �4 � D 2 Câu 45 Gọi z nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z  25  Khi đó, giả sử z  a  bi tích ab là: A 168 B 12 C 240 D 5 z   4i  z  2i z z Câu 46.Trong số phức A z  2i �1 � M2 �  ; 2� �2 � B �1 � M � ;1 � �4 � C thỏa mãn điều kiện Tìm số phức B z   i z ,z ,z ,z Câu 47 Phương trình z  3z   có bốn nghiệm Tính A S  B S S 25 B Câu 49: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn A PMax  12 B PMax  D z   3i 1 1    z1 z2 z3 z C S  Câu 48: Cho điểm M biểu diễn số phức z   4i điểm M’ biểu diễn số phức OMM’ (với O gốc tọa độ) 15 A có mơ đun bé C z   2i 25 C z   4i  C D z' 13 1 i z Tính diện tích tam giác 31 D PMax Tìm giá trị lớn PMax  S D biểu thức PMax  P z ... độ O z1 z  3 4i ; z2   i Số phức z2 bằng: Câu Cho số phức 16 13 13 16 13  i  i  i A 17 17 B 15 15 C 5  4i z   3i   6i Câu 9: Tìm phần thực a phần ảo b số phức 73 17 17 73 73 17 a... 2  5i) z1 d) z2 e) z1 ; z2 ; z1  z2 f) z1.z2 c) z  (1  3i )  (2  3i ) (1  2i )  (1  i ) 8 1 i � � 1 i � � z  � � � � 1 i � � 1 i � � f)  i �  2i � z  � � 1 i � 2i � e) (3 ... Câu 18 Gọi A 10 z1 , z hai nghiệm phức phương trình z  2z  10  Tính A  z1  z2 B 20 C 20 D 10 Câu 19 Trong tập số phức, phương trình z  z   có nghiệm là: A z1,2  1 � B z1,2  1 �i