Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
chủ đề 3 hàm số hợp và hàm số tuần hoàn I. Kiến thức cơ bản 1. Hàm số hợp Định nghĩa. Cho hàm số u=f(x) có miền xác định X, miền giá trị T và hàm số y=g(u) có miền xác định Y chứa T. Khi đó với mỗi giá trị xX ta có một giá trị xác định của u cho bởi f và với mỗi giá trị u này ta có một giá trị xác định y cho bởi g. Ta có y=g(u)=g[f(x)], và ta nói y là một hàm số h theo biến số x với: h(x) =g[f(x)] Rõ ràng miền xác định của h cũng là X. Hàm số h(x) gọi là hàm số hợp của các hàm số f và g theo thứ tự này. Ký hiệu h=g 0 f. 2. phơng pháp giải toán Bài toán 1. Tìm hàm số thoả mãn điều kiện cho trớc phơng pháp chung Muốn tìm hàm số thoả mãn điều kiện cho trớc, ta lựa chọn một trong bốn phơng pháp sau: Phơng pháp 1. Sử dụng định nghĩa. Phơng pháp 2. Dùng phơng pháp đổi biến và áp dụng định nghĩa hàm số hợp. Phơng pháp 3. Lựa chọn giá trị đặc biệt để đa bài toán về việc giải hệ phơng trình. Phơng pháp 4. Dự đoán hàm số , rồi chứng minh công thức đó bằng phơng pháp qui nạp toán học. Ví dụ 1: Cho hàm số f(x)= x , g(x)= 1x 1x + . a. Tìm hàm số g[f(x)] và miền xác định của nó. b. Tìm hàm số f[g(x)] và miền xác định của nó. Giải. a Ta có: g[f(x)]= 1)x(f 1)x(f + = 1x 1x + . Để hàm số g[f(x)] xác định ta phải có: 1x 0x 0x1. Vậy miền xác định của hàm số là D=[0, +)\{1}. b Ta có: Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 31 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số f[g(x)]= )x(f = 1x 1x + . Để hàm số f[g(x)] xác định ta phải có: 1x 1x + 0 > 1x 1x . Vậy miền xác định của hàm số là D=(-, -1](1, +). Ví dụ 2: Cho hàm số f(x)=-x 2 +4, g(x)= >+ 0xkhi1x 0xkhix1 . Tìm hàm số g[f(x)] và f[g(x)]. Giải. Ta có: g[f(x)]= >+ 0)x(fkhi1)x(f 0)x(fkhi)x(f1 = >++ ++ 04xkhi1x4 04xkhi4x1 22 22 = < 2|x|khix5 2|x|khi3x 2 2 . f[g(x)]=-[g(x)] 2 +4= >++ + 0xkhi4)1x( 0xkhi4)x1( 2 2 = >+ ++ 0xkhi3x2x 0xkhi3x2x 2 2 . Ví dụ 3: Cho hàm số f(x)=2x+1, tìm hàm số g(x) biết rằng: g[f(x)]=7x+5. Giải. Đặt u=f(x)=2x+1 x= 2 1u . Vì g[f(x)]=7x+5 g(u)=7. 2 1u +5 = 2 3u7 + . Vậy g(x)= 2 3x7 + . Ví dụ 4: Tìm các hàm số f(x) và g(x) biết: f(3x-1)+g(6x-1)=3x và f(x+1)+x 2 g(2x+3)=2x 2 +x. Giải. Đặt u+1=3x-1, hệ thức f(3x-1)+g(6x-1)=3x đợc viết thành: f(u+1)+g(2u+3)=u+2 f(x+1)+g(2x+3)=x+2 Từ đó ta có hệ: 32 Chñ ®Ò 3: Hµm sè hîp vµ hµm sè tuÇn hoµn +=+++ +=+++ )2(xx)3x2(gx)1x(f )1(2x)3x2(g)1x(f 22 Tõ (1) & (2) ⇒ (x 2 -1)g(2x+3)=2(x 2 -1). VËy: g(2x+3)= =− ≠− 01xkhik 01xkhi2 2 2 víi k tuú ý. (3) L¹i ®Æt v=2x+3 ⇒ x= 2 3v − , ta ®îc : g(v)= =− − ≠− − 01 2 3v khik 01 2 3v khi2 2 2 = == ≠≠ 5v&1vkhik 5v&1vkhi2 hay g(x) = == ≠≠ 5x&1xkhik 5x&1xkhi2 . Thay (3) vµo (1), ta ®îc: f(x+1)= =−−+ ≠− 01xkhik2x 01xkhix 2 2 L¹i ®Æt w=x+1 ⇒ x=w-1, ta ®îc : f(w)= [ ] [ ] =−−−+− ≠−−− 011wkhik21w 011wkhi1w 2 2 = ==−+ ≠≠− 2w&1wkhik1w 2w&1wkhi1w 33 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số hay f(x) = ==+ 2x&1xkhik1x 2x&1xkhi1x . Ví dụ 5: Cho hàm f 1 (x)= 3 3 x1 x + . Đặt: = = * 11nn 112 Zn)],x(f[f)x(f )]x(f[f)x(f . a. Tính f 2 (x), f 3 (x). b. Tính f n (x). Giải. a. Ta có: f 2 (x)= f 1 [f 1 (x)]= 3 3 1 1 )]x(f[1 )x(f + = 3 3 3 3 3 3 x1 x 1 x1 x + + + = 3 3 x21 x + . f 3 (x)= f 2 [f 1 (x)]= 3 3 1 1 )]x(f[21 )x(f + = 3 3 3 3 3 3 x1 x 21 x1 x + + + = 3 3 x31 x + . b. Chứng minh bằng quy nạp ta đợc f n (x)= 3 3 nx1 x + . 3. Hàm tuần hoàn 3.1. Định nghĩa Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số d- ơng T sao cho với mọi xD ta có: x-TD và x+TD (1) f(x+T)=f(x) (2) Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kỳ cơ sở của hàm tuần hoàn f(x). 3.2. Phơng pháp Bài toán 2. CMR hàm số y=f(x) tuần hoàn. 34 Chủ đề 3: Hàm số hợp và hàm số tuần hoàn phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: 1. Xét hàm số y=f(x), tập xác định là D. Với mọi xD, ta có: x-T 0 D và x+T 0 D (1) f(x+T 0 )=f(x) (2) Vậy hàm số y=f(x) là tuần hoàn. 2. Ta đi chứng minh rằng T 0 là chu kỳ của hàm số, tức là chứng minh T 0 là số nhỏ nhất (1), (2). Ta đi chứng minh bằng phản chứng. Giả sử có số T sao cho 0<T< T 0 thoả mãn tính chất (2), tức là: xD, f(x+T)=f(x) . mâu thuẫn với giải thiết 0<T<T 0 . Mâu thuẫn này chứng tỏ T 0 là số dơng nhỏ nhất thoả mãn (2). Vậy hàm số y=f(x) là tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T 0 . Ví dụ 6: CMR hàm số y=sinx tuần hoàn. Giải. Xét hàm số y=sinx, tập xác định là R. Với mọi xR, ta có: x-2R và x+2R (1) f(x+2)=f(x) (2) Vậy hàm số y=sinx là tuần hoàn. Ta đi chứng minh rằng 2 là chu kỳ của hàm số, tức là chứng minh 2 là số nhỏ nhất thoả mãn (1), (2). Ta đi chứng minh bằng phản chứng. Giả sử có số T sao cho 0<T<2 thoả mãn tính chất (2), tức là: xR, sin(x+T)=sinx sin( 2 +T)=sin 2 =1 T=2k, kZ. Điều này mâu thuẫn với giải thiết 0<T<2. Mâu thuẫn này chứng tỏ 2 là số dơng nhỏ nhất thoả mãn tính chất (2). Vậy hàm số y=sinx là tuần hoàn với chu kỳ cơ sở 2. 3.3. Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn Hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm: a. Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn. b. Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x>a hoặc x<a. c. Phơng trình f(x)=k có nghiệm nhng số nghiệm hữu hạn. d. Phơng trình f(x)=k có vô số nghiệm sắp thứ tự <x n <x n+1 < mà | x n -x n+1 |0 hay . Ví dụ 7: Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kỳ nhỏ nhất của chúng: a. f(x)=Acosx+Bsinx. b. f(x)=sinx+ 2 1 sin2x+ 3 1 sin3x. c. f(x)=2tg 2 x -3tg 3 x . d. f(x)=sin 2 x. e. f(x)=sin(x 2 ). f. f(x)= tgx . g. f(x)=tg x . h. f(x)=sinx+sin(x 2 ). 35 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Giải. a. Ta có: f(x+T)=Acos(x+T)+Bsin(x+T) =A[cosx. cosT- sinx.sinT]+ B[sinx. cosT- cosx.sinT] = Acosx+Bsinx=f(x) nếu: cosT=1 T=2k, kZ. Vậy, T= 2 là chu kỳ bé nhất. b. Ta có: hàm sinx tuần hoàn với chu kỳ 2, hàm sin2x tuần hoàn với chu kỳ , hàm sin3x tuần hoàn với chu kỳ 3 2 . Do đó: hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ là bội chung nhỏ nhất, nghĩa là số 2, là chu kỳ nhỏ nhất của hàm f(x). c. Ta có: hàm tg 2 x tuần hoàn với chu kỳ 2, hàm tg 3 x tuần hoàn với chu kỳ 3. Do đó: hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ là bội chung nhỏ nhất, nghĩa là số 6, là chu kỳ nhỏ nhất của hàm f(x). d. Ta có: sin 2 x= 2 1 (1-cos2x) mà cos2x là hàm tuần hoàn với chu kỳ , nên hàm f(x)=sin 2 x cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ . e. Hàm f(x)=sin(x 2 ) không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới 0: + )1k( - k = ++ k)1k( 0 khi k (dấu hiệu d). f. Hàm số xác định với kx< 2 +k (k=0, 1, 2, .) Ta có: hàm tgx tuần hoàn do đó hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ là số T nhỏ nhất thoả mãn: f(x+T)= )Tx(tg + = tgx =f(x) tg(x+T)=tgx T=. g. Hàm f(x)=tg x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới +: (k+1) 2 2 -k 2 2 khi k (dấu hiệu d). h. Ta có: hàm sinx tuần hoàn với chu kỳ 2, hàm sin(x 2 ) tuần hoàn với chu kỳ 2 2 , Nhng vì 1 và 2 không khả ớc, nghĩa là không tồn tại bội số chung bé nhất đối với các chu kỳ 2 và 2 2 , nên hàm f(x) không tuần hoàn. 36 Chủ đề 3: Hàm số hợp và hàm số tuần hoàn 3.4. Các bài toán cơ bản Bài toán 3. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f(x) không phải là hằng số, tuần hoàn trên R nhng không có chu kỳ cơ sở. Giải. Xét hàm Dirichle: f(x)= Qxkhi1 Qxkhi0 Khi đó f(x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ aQ + tuỳ ý. Vì trong Q + không có số nhỏ nhất nên hàm f(x) không có chu kỳ cơ sở. Bài toán 4. Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kỳ lần l- ợt là a và b với b a Q. CMR F(x)=f(x)+g(x) và G(x)= f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên M. Chứng minh. Từ giả thiết m, nN + , (m, n)=1 sao cho b a = n m . Đặt T=na=mb. Khi đó: xM thì xTM. Ta có: F(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x+na)+g(x+mb)= f(x)+g(x)=F(x), xM. G(x+T)=f(x+T)g(x+T)=f(x+na)g(x+mb)= f(x)g(x)=G(x), xM. Vậy F(x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên M. Mở rộng: hàm F(x)=mf(x)+ng(x) tuần hoàn với chu kỳ T là bội số chung nhỏ nhất của a, b. II. Bài tập đề nghị Bài tập 1 Cho hàm số f(x)=lnx, g(x)= 1x 1x + . a. Tìm hàm số g[f(x)] và miền xác định của nó. b. Tìm hàm số f[g(x)] và miền xác định của nó. Bài tập 2 Cho hàm số f(x) xác định với x 2 1 . Tìm hàm số này biết rằng f(x)+x.f( 1x2 x )=2. Bài tập 3 Tìm hàm số f(x) biết rằng f(1+ x 1 )=x 2 -1, x0. Bài tập 4 Cho hàm f 1 (x)= x1 1 . Đặt : 37 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số = = * 11nn 112 Zn)],x(f[f)x(f )]x(f[f)x(f . Tính f 2 (x), f 3 (x) từ đó suy ra f n (x). Bài tập 5 Giả sử f n (x)= lann )))x(f( .f(f . Tìm f n (x) nếu f(x)= 2 x1 x + Bài tập 6 Chứng minh rằng hàm Dirichle: f(x)= Qxkhi1 Qxkhi0 là hàm tuần hoàn có chu kỳ là số hữu tỷ bất kỳ. Bài tập 7 Chứng minh rằng nếu hàm f(x) (xR) thoả mãn đẳng thức f(x+T)=kf(x), trong đó k và T là các hằng số dơng, thì f(x)=a x g(x), trong đó a là hằng số và g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. 38 . chủ đề 3 hàm số hợp và hàm số tuần hoàn I. Kiến thức cơ bản 1. Hàm số hợp Định nghĩa. Cho hàm số u=f(x) có miền xác định X, miền giá trị T và hàm số. b. Ta có: hàm sinx tuần hoàn với chu kỳ 2, hàm sin2x tuần hoàn với chu kỳ , hàm sin3x tuần hoàn với chu kỳ 3 2 . Do đó: hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu