Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
chủ đề 2 ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và Chứng minh bất đẳng thức I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số . phơng pháp chung Cho hàm số y=f(x) xác định trên D. a. Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu: f(x)M với xD f . f(x 0 )=M với ít nhất một giá trị x 0 D. Ta ký hiệu M=Maxy. b. Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu: f(x)m với xD f . f(x 0 )=m với ít nhất một giá trị x 0 D. Ta ký hiệu m=Miny. Vậy: Miny=myM=Maxy. Do đó từ tập giá trị I dễ dàng suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số. Ví dụ 1 (Đề 67): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 4xsinxcos2 3xsin2xcos + ++ với -<x<. Giải. Đặt t=tg 2 x , vì -<x< - 2 < 2 x < 2 do đó t nhận giá trị trên toàn R, thì: y= 4 t1 t2 t1 )t1(2 3 t1 t4 t1 t1 22 2 22 2 + + + + + + + = 3tt 2t2t 2 2 + ++ . Để tìm miền giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình 3tt 2t2t 2 2 + ++ =y có nghiệm đối với ẩn t. Phơng trình (y-1)t 2 -(y+2)t-3y-2=0 (1) Trờng hợp 1 : y=1 Khi đó: (1) -3t+1=0 t= 3 1 . Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 27 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Trờng hợp 2 : y1. Phơng trình (1) có nghiệm 0 1y + 0)2y3)(1y(4)2y( 1y 2 2y 11 2 0y 11 2 y2. Vậy: y max =2 đạt đợc t= )1y(2 2y + =4 tg 2 x =4=tg x=2+2k. kZ y min = 11 2 đạt đợc t= )1y(2 2y + =- 3 8 tg 2 x =- 3 8 = tg x=2+2k. kZ Bài toán 2. ứng dụng tập giá trị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. phơng pháp chung Ta có các kết quả sau: Để chứng minh f(x)<B luôn đúng Chứng minh Maxf(x)<B. Để chứng minh f(x)>B luôn đúng Chứng minh Minf(x)>B. Do đó có thể ứng dụng tập giá trị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. Ví dụ 2 (Đề 139): CMR với mọi x và mọi a ta có: 2x3cos 1x3sinax3cos + ++ 3 a311 2 ++ . Giải. Xét hàm số y= 2x3cos 1x3sinax3cos + ++ . Hàm số xác định với mọi x. Để tìm miền giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình 2x3cos 1x3sinax3cos + ++ =y có nghiệm đối với ẩn x. Phơng trình asin3x+(1-y)cos3x=2y-1 (1) Pt (1) có nghiệm a 2 +(1-y) 2 (2y-1) 2 3y 2 -2y-a 2 0 3 a311 2 + y 3 a311 2 ++ . Vậy, |y| 3 a311 2 ++ (đpcm). II. Các bài toán chọn lọc Bài 1. (ĐHGT/Đề 2-97): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=1+ xcos2 xsin3 + . 28 Chủ đề 2: ứ ng dụng tập giá trị của hàm số để tìm gián trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và chứng minh bất đẳng thức bài giải Ta đi tìm y để phơng trình y=1+ xcos2 xsin3 + có nghiệm đối với ẩn x. Phơng trình 3sinx+(1-y)cosx=2(y-1) (1) Pt (1) có nghiệm 3 2 +(1-y) 2 4(y-1) 2 3y 2 -6y-60 1- 3 y1+ 3 . Vậy: y max =1+ 3 đạt đợc khi 3sinx- 3 cosx=2 3 x= 3 2 +2k, kZ. y min =1- 3 đạt đợc khi 3sinx+ 3 cosx=-2 3 x=- 3 2 +2k, kZ. Bài 2. (ĐHSP QN-99): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y= xcos2 xsin + với x[0, ]. bài giải Ta đi tìm y để phơng trình y= xcos2 xsin + có nghiệm đối với ẩn x. Phơng trình sinx-ycosx=2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm 1 2 +y 2 4y 2 - 3 1 y 3 1 . Mặt khác vì x[0, ] y0, do đó điều kiện là 0y 3 1 . Vậy: y max = 3 1 đạt đợc khi sinx- 3 1 cosx= 3 2 sin(x- 6 )=1 x= 3 2 . y min =0 đạt đợc khi sinx=0 x=0 hoặc x=. Bài 3. (HVCNBCVT/Đề 1-99): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin 2 x+4sinx.cosx+ 5 . bài giải Ta đi tìm y để phơng trình 2sin 2 x+4sinx.cosx+ 5 =y có nghiệm với ẩn x. Phơng trình 2sin2x-cos2x=y-1- 5 (1) Phơng trình (1) có nghiệm 2 2 +1 2 (y-1- 5 ) 2 3y 2 1 1y1+2 5 . Vậy y min =1 đạt đợc khi 2sin2x-cos2x=- 5 x=- 4 +k, kZ, với cos2= 5 2 . Bài 4. (HVNH TPHCM-98): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= 1x2x3 3x10x20 2 2 ++ ++ . bài giải 29 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Ta đi tìm y để phơng trình y= 1x2x3 3x10x20 2 2 ++ ++ có nghiệm với ẩn x. Phơng trình (3y-20)x 2 +2(y-5)x+y-3=0 (1) Trờng hợp 1 : y= 3 20 . Khi đó: (1) 3 10 x+ 3 11 =0 x=- 10 11 . Trờng hợp 2 : y 3 20 . Khi đó (1) có nghiệm 0' 3 20 y 0)20y3)(3y()5y( 3 20 y 2 7y 2 5 3 20 y . Từ đó, (1) có nghiệm khi 2 5 y7. Vậy: y max =7 đạt đợc khi x=- 20y3 5y =-2 y min = 2 5 đạt đợc khi x=- 20y3 5y =- 5 1 . Bài 5. (ĐHQG-96): Cho hàm số : y= 2xsinxcos 1kxcosk2 ++ ++ . a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với k=1. b. Xác định k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. bài giải Ta đi tìm y để phơng trình 2xsinxcos 1kxcosk2 ++ ++ =y có nghiệm đối với ẩn x. Phơng trình ysinx+(y-2k)cosx=k+1-2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm y 2 +(y-2k) 2 ( k+1-2y) 2 2y 2 -4y-3k 2 +2k+10 1- 2 1 2k4k6 2 + y1+ 2 1 2k4k6 2 + . Vậy: y max =1+ 2 1 2k4k6 2 + & y min =1- 2 1 2k4k6 2 + . a. Với k=1, thì: y max =2 đạt đợc khi 2sinx=-2 sinx=-1 x=- 2 +2k, kZ. 30 Chủ đề 2: ứ ng dụng tập giá trị của hàm số để tìm gián trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và chứng minh bất đẳng thức y min =0 đạt đợc khi -2cosx=2 cosx=-1 x=+2k, kZ. b. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất 6k 2 -4k+2 nhỏ nhất k= 12 4 = 3 1 . Vậy, với k= 3 1 thì giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. III.Bài tập đề nghị Bài tập 1 Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: a. (Đề 31) y= 2ixcosxsin xcos2 + + . b. y=x 2 +2x+2 2 xx23 . c. (Đề 115) y= 4/3 2 36x )ax(x12 + . Bài tập 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a. y= 4xsinxcos2 3xsin2xcos + ++ . b. y= 3x2x 20x10x3 2 2 ++ ++ . Bài tập 3 (Đề 34): Tìm K để giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2xcos 1xsinK + + nhỏ hơn -1. Bài tập 4 Cho hàm số : y= 2xsinxcos kxsink2 ++ + . a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với k=1. b. Xác định k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. 31 . chủ đề 2 ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và Chứng minh bất đẳng thức I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. ứng dụng. 2-97): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=1+ xcos2 xsin3 + . 28 Chủ đề 2: ứ ng dụng tập giá trị của hàm số để tìm gián trị lớn nhất, nhỏ nhất của