Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu CHUN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng tốn 1: Giải và biện luận phương trình 2 0ax bx c+ + = (1) Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau B1  Xét a = 0  m = ? Thay trực tiếp vào (1)  x = ? B2  Xét a ≠ 0 . Ta tính ∆ = b 2 – 4.a.c B3   ∆ < 0: phương trình vơ nghiệm.  ∆ = 0: phương trình có nghiệm số kép x 1 = x 2 = a2 b − = thay m vào tính nghiệm.  ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x 1 , 2 = a2 b ∆−  Từ đó ta suy ra: 1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là 0 0 a ≠   ∆ >  2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là 0 0 a ≠   ∆ =  3. Điều kiện để phương trình có đúng một nghiệm là 0 0 0 0 a b a  =    ≠    ≠    ∆ =    Câu 1. Giải và biện luận các phương trình a) (m – 2)x 2 – 2(m + 1)x + m + 5 = 0 b) x 2 – mx + 4 = 0 c) (m – 1)x 2 + (m – 1)x + m – 2 = 0 d) ax 2 – 2(a + 2)x + a – 1 = 0 e) (a –1)x 2 + 2(2 – a)x – 1 = 0 f) 2x 2 – (2m + 1)x + 2 1 m 2 = 0 g/ x 2 − (2m + 1)x + m = 0 h/ mx 2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0 i/ (m − 1)x 2 + (2 − m)x − 1 = 0 j/ (m − 2)x 2 − 2mx + m + 1 = 0 k/ (m − 3)x 2 − 2mx + m − 6 = 0 k/ (m − 2)x 2 − 2(m + 1)x + m − 5 = 0 l/ (4m − 1)x 2 − 4mx + m − 3 = 0 m/ (m 2 − 1)x 2 − 2(m − 2)x + 1 = 0 Câu 2. Đònh m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. a/ x 2 − 2mx + m 2 − 2m + 1 = 0 b/ x 2 − 2(m − 3)x + m + 3 = 0 c/ mx 2 − (2m + 1)x + m − 5 = 0 d/ (m − 3)x 2 + 2(3 − m)x + m + 1 = 0 e/ (m + 1)x 2 − 2mx + m − 3 = 0 f/ (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 g/ (m − 2)x 2 − 2mx + m + 1 = 0 h/ (3 − m)x 2 − 2mx + 2 − m = 0 Câu 3. Đònh m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. a/ x 2 − (2m + 3)x + m 2 = 0 b/ (m − 1)x 2 − 2mx + m − 2 = 0 c/ (2 − m)x 2 − 2(m + 1)x + 4 − m = 0 d/ mx 2 − 2(m − 1)x + m + 1 = 0 e/ x 2 − 2(m + 1)x + m + 7 = 0 f/ (m − 1)x 2 − 3(m − 1)x + 2m = 0 g/ (m + 2)x 2 + 2(3m − 2)x + m + 2 = 0 h/ (2m − 1)x 2 + (3 + 2m)x + m − 8 = 0 i) (m + 2)x 2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0 j)x 2 – (2m + 3)x + m + 2 = 0 k) x 2 + mx + 2(m – 2) = 0 l)(m + 1)x 2 – 2(m - 1)x + m - 2 = 0 Câu 4. Tìm m để phương trình có nghiệm. a/ x 2 − (m + 2)x + m + 2 = 0 b/ x 2 + 2(m + 1)x + m 2 − 4m + 1 = 0 c/ (2 − m)x 2 + (m − 2)x + m + 1 = 0 d/ (m + 1)x 2 − 2(m − 3)x + m + 6 = 0 Câu 5. Đònh m để phương trình có 1 nghiệm. a/ x 2 − (m − 1)x + 4 = 0 b/ x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m + 4 = 0 1 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu c/ (3 − m)x 2 + 2(m + 1)x + 5 − m = 0 d/ (m + 2)x 2 − (4 + m)x + 6m + 2 = 0 Dạng tốn 2.Tìm hệ thức độc lập liên hệ giữa các nghiệm của phương trình Phương pháp : B1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm :    ≥∆ ≠ 0 0a B2: Lập Định Lý Viet        = −=+ a c x.x a b xx 21 21 Khử tham số m biểu thức bằng mọi giá !!  GHI CHÚ : Nếu có S là hằng số hoặc P là hằng số thì đó là biểu thức liên hệ Câu 6. Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm và tìm lập hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x 1 ; x 2 độc lập đối với m a) (m + 1)x 2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 b) x 2 + mx + 2(m – 2) = 0 c) x 2 – 2(m – 1)x + m 2 – 3m + 4 = 0 d) x 2 – ( m – 2)x + m(m – 3) = 0 e) x 2 – 4x – m 2 -5 = 0 f) x 2 + (m 2 – 2m + 4)x – 3 = 0 g/ mx 2 − (2m − 1)x + m + 2 = 0 h/ (m + 2)x 2 − 2(4m − 1)x − 2m + 5 = 0 i/ (m + 2)x 2 − (2m + 1)x + 4 m3 = 0 j/ 3(m − 1)x 2 − 4mx − 2m + 1 = 0 k/ mx 2 + (m + 4)x + m − 1 = 0 l/ (m − 1)x 2 + 2(m + 2)x + m − 4 = 0 Dạng tốn 3: Điều kiện để phương trình có nghiệm cho trước x o Phương pháp: Thay x 0 vào phương trình giải ra tham số m Muốn tính nghiệm còn lại Dùng Viet cho tích số x 2 .x 1 = P suy ra nghiệm còn lại Câu 7. Tìm m để phương trình có một nghiệm cho trước, tính nghiệm kia? a/ 2x 2 − (m + 3)x + m − 1 = 0 ; x 1 = 3 b/ mx 2 − (m + 2)x + m − 1 = 0 ; x 1 = 2 c/ (m + 3)x 2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 ; x 1 = 2 d/ (4 − m)x 2 + mx + 1 − m = 0 ; x 1 = 1 e/ (2m − 1)x 2 − 4x + 4m − 3 = 0 ; x 1 = −1 f/ (m − 4)x 2 + x + m 2 − 4m + 1 = 0 ; x 1 = −1 g/ (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 ; x 1 = 2 h/ x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m = 0 ; x 1 = 0 Câu 8. Cho phương trình 2x 2 – (m + 3)x + m – 1 = 0 a)Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt ? b)Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 = 3. Tính nghiệm x 2 còn lại ? Câu 9. Cho phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ? b)Xác định m để phương trình có nghiệm x 1 = 2; tính nghiệm x 2 còn lại ? Câu 10.Cho phương trình : (m + 2)x 2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? b)Định m để phương trình có nghiệm là 1 ? Tính nghiệm còn lại ? Dạng tốn 4 Điều kiện phương trình có hai nghiệm thoả hệ thức f(x 1 , x 2 ) = 0 Phương pháp: 2 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu B1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 :    >∆ ≠ 0 0a  m (ĐK 1) B2 Giải hệ phương trình : 1 2 1 2 1 2 ( ; ) 0 b x x a c x x a f x x  + = −    =   =    tìm m, kết hợp với ĐK1 ta tìm được kết quả. Câu 11. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện cho trước. a/ x 2 + (m − 1)x + m + 6 = 0 đk : x 1 2 + x 2 2 = 10 b/ (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 đk : x 1 2 + x 2 2 = 2 c/ (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 đk : 4(x 1 + x 2 ) = 7x 1 x 2 d/ x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m + 4 = 0 đk : x 1 2 + x 2 2 = 20 e/ x 2 − (m − 2)x + m(m − 3) = 0 đk : x 1 + 2x 2 = 1 f/ x 2 − (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 đk : x 1 = 2x 2 g/ 2x 2 − (m + 3)x + m − 1 = 0 đk : 1 x 1 + 2 x 1 = 3 h/ x 2 − 4x + m + 3 = 0 đk : x 1 − x 2  = 2 Câu 12. Định m để phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 có hai nghiệm thoả 4(x 1 + x 2 ) = 7x 1 .x 2 Câu 13. Định m để phương trình x 2 + mx + 2(m – 2) = 0 có hai nghiệm thoả a) 21 x 1 x 1 + = 3b) x 1 2 + x 2 2 = 5 Câu 14. Định m để phương trình x 2 – 2(m – 1)x + m 2 – 3m + 4 = 0 có hai nghiệm thoả x 1 2 + x 2 2 = 20 ? Câu 15. Định m để phương trình x 2 – (m – 2)x + m(m – 3) = 0 có nghiệm x 1 ; x 2 thoả a) x 1 3 + x 2 3 = 0 b) x 1 + 2x 2 = 1 Câu 16. Định m để phương trình x 2 – 2x – m 2 – 2m – 5 = 0 có nghiệm x 1 ; x 2 thoả a) x 1 + 2x 2 = 0 b) x 1 – x 2 = 10 ĐS: a)m = 1 v m = -3 b) m = -5 v m = 3 Câu 17.Cho phương trình x 2 – 2mx + 4 = 0 Gọi x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình a) Tính theo m A = x 1 2 + x 2 2 ; B = x 1 3 + x 2 3 ; C = x 1 5 + x 2 5 ; D = 21 xx + ; E = 3 2 3 1 xx + b) Tìm m để : x 1 4 + x 2 4 ≤ 32 ĐS: b) m = ± 2 Câu 18. Cho x 2 – 2(m – 1)x + m 2 – 3m = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm là 0 ? tính nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả x 1 2 + x 2 2 = 8 ? ĐS : m = -1 v m = 2 Dạng tốn 5. Điều kiện nghiệm âm ; nghiệm dương của phương trình bậc hai Xét phương trình : a.x 2 + b.x + c = 0 u cầu: Suy luận dấu các nghiệm số từ các đại lượng ; ; ;a S P∆ Câu 19.Đònh m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu a/ x 2 + 5x + 3m − 1 = 0 b/ mx 2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0 c/ (m + 1)x 2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0 d/ (m + 2)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 e/ (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 Câu 20.2. Đònh m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm. a/ x 2 − 2(m + 1)x + m + 7 = 0 b/ x 2 + 5x + 3m − 1 = 0 3 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu c/ mx 2 + 2(m + 3)x + m = 0 d/ (m − 2)x 2 − 2(m + 1)x + m = 0 e/ x 2 + 2x + m + 3 = 0 Câu 21.3. Đònh m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương. a/ mx 2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0 b/ x 2 − 6x + m − 2 = 0 c/ x 2 − 2x + m − 1 = 0 d/ 3x 2 − 10x − 3m + 1 = 0 e/ (m + 2)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 Câu 22.4. Đònh m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu. a/ (m − 1)x 2 + 2(m + 1)x + m = 0 b/ (m − 1)x 2 + 2(m + 2)x + m − 1 = 0 c/ mx 2 + 2(m + 3)x + m = 0 d/ (m + 1)x 2 − 2mx + m − 3 = 0 e/ (m + 1)x 2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0 Câu 23. Cho phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm số trái dấu và nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn ? ĐS : -1 < m < 1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ? ĐS :m < -1 v 2 < m < 3 Câu 24. Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2mx + m – 1 = 0 a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm ? ĐS : ∅ b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm có trị tuyệt đối bằng nhau ? ĐS : m = 2 ; 0 Câu 25.Cho phương trình m x 2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 a) Định m để phương trình có hai nghiêm âm phân biệt ? ĐS : ∅ b) Định m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu? ĐS : m < 0 v 3 < m < 4 Câu 26.Cho phương trình (m – 1)x 2 + 2(m + 2)x + m – 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương ? ĐS : - 2 < m < 1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 nằm trên trục số cách nhau 1 đơn vị ? ĐS : m = 5/8 Dạng tốn 6: Điều kiện để PT có một nghiệm âm hoặc một nghiệm dương Xét phương trình : a.x 2 + b.x + c = 0 1  Xét a = 0  m thay trực tiếp  x nhận xét âm ; dương để nhận m ? 2  Xét ∆ = 0  m tính nghiệm kép nhận xét âm ; dương để nhận m ? 3  Xét P < 0 4  Xét P = 0 và S > 0 nếu 1 nghiệm dương ( S < 0 nếu có 1 nghiệm âm )  Nếu u cầu đề bài “ Định m để phương trình có nghiệm âm ( dương ) “ tức là có thể có một hoặc hai nghiệm ta cần làm thêm bước tìm ĐK cho phương trình có hai nghiệm âm (dương). Câu 27.Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2mx + m – 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có một nghiệm dương ? b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương ? Câu 28.Cho phương trình mx 2 – 2(m – 3)x + m – 4 = 0 . Định m để phương trình có một nghiệm âm ? Câu 29.Cho phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 a) Tìm m để phương trình có một nghiệm âm ? b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm ? c) Tìm m để phương trình có nghiêm âm ? Câu 30.Xác định các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiêm âm : (m – 1)x 2 + 2(m + 2)x + m – 1 = 0 4 . nghiệm.  ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x 1 , 2 = a2 b ∆−  Từ đó ta suy ra: 1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là 0 0 a. trình có hai nghiệm thoả hệ thức f(x 1 , x 2 ) = 0 Phương pháp: 2 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu B1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm