Mục lục TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Giải toán cách lập hệ phương trình 1.1 Lý thuyết ví dụ minh họa Giải toán cách lập phương trình 3 22 MỤC LỤC Chương TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10 CHỦ ĐỀ 1.1 Giải tốn cách lập hệ phương trình Lý thuyết ví dụ minh họa Dạng Giải tốn cách lập hệ phương trình Bước Đặt ẩn x, y, ghi rõ đơn vị điều kiện (nếu có) Bước Dựa vào kiện tốn, lập hai phương trình với hai ẩn x, y Bước Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bước So điều kiện kết luận tốn Ví dụ Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hai lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị, viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại số (có hai chữ số) bé số cũ 27 đơn vị Lời giải Gọi số tự nhiên có hai chữ số x = ab, a, b ∈ 1, Ta có x = 10a + b Do hai lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị nên 2b = a + ⇔ a − 2b = −1 (1.1) Khi viết ngược lại số (có hai chữ số) bé số cũ 27 đơn vị tức ba = ab − 27 ⇔ 10b + a = 10a + b − 27 ⇔ 9a − 9b = 27 ⇔ a − b = Ta có hệ phương trình a − 2b = −1 ⇔ a−b=3 ✧ Vậy số cần tìm 74 a=7 b = (1.2) CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Ví dụ Một xe tải từ Sài Gòn đến Cần Thơ, quãng đường dài 189 km Sau xe tải xuất phát giờ, xe khách bắt đầu từ Cần Thơ Sài Gòn gặp xe tải sau 48 phút Tính vận tốc (trung bình) xe, biết xe khách nhanh xe tải 13 km Lời giải Gọi vận tốc xe tải xe khách x, y (km/h) Ta có 48 phút = 1,8 h Mỗi xe khách nhanh xe tải 13 km nên y = x + 13 (1.3) Thời gian xe tải + 1,8 = 2,8 h Quãng đường xe tải 2,8x Thời gian xe khách 1,8 h Quãng đường xe khách 1,8y Vì tổng quãng đường hai xe khoảng cách Sài Gòn - Cần Thơ nên 2,8x + 1,8y = 189 (1.4) Ta có hệ phương trình x − y = −13 ⇔ 2,8x + 1,8y = 189 x = 36 y = 49 ✧ Vậy vận tốc xe tải 36 km/h xe khách 49 km/h Ví dụ Hai đội cơng nhân A B làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày, phần việc đội A nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong đoạn đường bao lâu? Lời giải Gọi số ngày mà đội A đội B làm xong đoạn đường a, b (ngày) 1 Ta coi công việc 1, ngày đội A làm cơng việc đội B làm công a b việc Và phần việc đội A nhiều gấp rưỡi đội B nên 1 = 1,5 · ⇔ − · = a b a b Mỗi ngày, hai đội làm hết (1.5) cơng việc (do hồn thành 24 ngày) nên 24 1 + = a b 24 Từ (1.48) (1.49) ta có hệ phương trình   1    − · =0  = a b 40 ⇔ ⇔ a 1 1    + =  = a b 24 b 60 (1.6) a = 40 b = 60 ✧ Vậy đội A làm cần 40 ngày đội B cần 60 ngày Ví dụ Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 1006 lấy số lớn chia cho số nhỏ thương số dư 124 Lời giải GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Gọi x số lớn, y số nhỏ Điều kiện: x ∈ N; y ∈ N x > y > Do tổng hai số tự nhiên 1006 nên x + y = 1006 (1.7) Do số lớn chia cho số nhỏ thương số dư 124 nên x = 2y + 124 (1.8) Từ (1.7) (1.8) ta có hệ phương trình x + y = 1006 ⇔ x − 2y = 124 x = 712 (thỏa điều kiện) y = 294 ✧ Vậy hai số cần tìm 712 294 Ví dụ Giải toán cổ sau: Quýt, cam mười bảy tươi Đem chia cho trăm người vui Chia ba quýt Còn cam chia mười vừa xinh Trăm người, trăm miếng lành Quýt, cam loại tính rành bao? Lời giải Gọi x số quýt, y số cam Điều kiện: x, y số nguyên dương Do quýt, cam mười bảy tươi nên x + y = 17 (1.9) Do Chia ba quýt Còn cam chia mười vừa xinh Trăm người, trăm miếng lành Quýt, cam loại tính rành bao? Nên 3x + 10y = 100 (1.10) Từ (1.9) (1.10) ta có hệ phương trình x + y = 17 ⇔ 3x + 10y = 100 x = 10 (thỏa điều kiện) y = ✧ Vậy có 10 quýt cam Ví dụ Một ô-tô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ô-tô A CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Lời giải Gọi x (km) độ dài quãng đường AB y (giờ) thời gian dự định để từ A đến B lúc 12 trưa Điều kiện: x > 0, y > (do ô-tô đến B sớm giờ) Do xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm so với dự định nên x −y =2 35 (1.11) Do xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định nên y− Từ (1.11) (1.12) ta có hệ phương trình x  −y =2 35 ⇔  x − y = −1 50 x =1 50 (1.12) x = 350 (thỏa điều kiện) y = ✧ Vậy quãng đường AB 350 km thời điểm xuất phát ô-tô A 12 − = Ví dụ Tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông, biết tăng cạnh lên cm diện tích tam giác tăng thêm 36 c m2 , cạnh giảm cm, cạnh giảm cm diện tích tam giác giảm 26 c m2 Lời giải Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông Điều kiện: x > y > Do tăng cạnh lên cm diện tích tam giác tăng thêm 36 c m2 nên xy (x + 3)(y + 3) = + 36 2 (1.13) Do cạnh giảm cm, cạnh giảm cm diện tích tam giác giảm 26 c m2 nên (x − 2)(y − 4) xy = − 26 2 Từ (1.13) (1.14)  (x + 3)(y + 3)   =   (x − 2)(y − 4) = (1.14) ta có hệ phương trình xy + 36 ⇔ xy − 26 (x + 3)(y + 3) = xy + 72 ⇔ (x − 2)(y − 4) = xy − 52 3x + 3y = 63 ⇔ 4x + 2y = 60 x=9 (thỏa đk) y = 12 ✧ Vậy độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông cm 12 cm Ví dụ Hai vòi nước chảy vào bể nước cạn (khơng có nước) sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau đầy bể Hỏi từ đầu mở vòi thứ hai sau đầy bể? Lời giải GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Gọi x (giờ), y (giờ) thời gian để riêng vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy đầy bể Điều kiện: x > y > 1 Trong vòi thứ chảy bể, vòi thứ hai chảy bể x y 24 Cả hai vòi chảy đầy bể sau = nên hai vòi chảy 5 bể 24 Ta được: 1 + = (1.15) x y 24 bể x 1 + Trong hai vòi chảy được: 5 x y Trong vòi thứ chảy bể Theo đề vòi thứ mở chảy sau mở thêm vòi thứ hai sau đầy bể nên + x 1 + x y =1⇔ 51 + =5 x y (1.16) Từ (1.15) (1.16) ta có hệ phương trình  1 1     =  + = x y 24 x 12 ⇔ ⇔ 51    =   + =5 y x y x = 12 (thỏa điều kiện) y = ✧ Vậy từ đầu mở vòi thứ hai sau bể bơm đầy nước Ví dụ Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu? Lời giải Gọi x (giờ), y (giờ) thời gian để người thứ nhất, người thứ hai hồn thành cơng việc Điều kiện: x > y > 1 Trong người thứ làm công việc, người thứ hai làm công việc, hai x y làm chung cơng việc 16 Ta được: 1 + = (1.17) x y 16 công việc, người thứ hai làm công x y việc, hai làm 25% công việc hay công việc Ta được: + = (1.18) x y Trong người thứ làm CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Từ (1.17) (1.18) ta có hệ phương trình  1 1     =  + = x y 16 x ⇔    =   + = y x y 24 ⇔ 48 x = 24 (thỏa điều kiện) y = 48 ✧ Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 người thứ hai hồn thành cơng việc 48 Ví dụ 10 Nhà Lan có mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, luống trồng số cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm luống rau, luống trồng số tồn vườn 54 Nếu giảm luống, luống trồng tăng thêm số rau tồn vườn tăng thêm 32 Hỏi vườn nhà Lan trồng rau cải bắp? Lời giải Gọi x số luống rau y số rau cải bắp trồng luống Điều kiện: x > y > Tăng luống, luống trồng số tồn vườn 54 cây, ta được: (x + 8)(y − 3) = xy − 54 ⇔ −3x + 8y = −30 (1.19) Giảm luống, luống trồng tăng thêm số toàn vườn tăng thêm 32 cây, ta được: (x − 4)(y + 2) = xy + 32 ⇔ 2x − 4y = 40 (1.20) Từ (1.19) (1.20) ta có hệ phương trình − 3x + 8y = −30 ⇔ 2x − 4y = 40 x = 50 (thỏa điều kiện) y = 15 ✧ Vậy số rau cải bắp nhà Lan trồng 50 · 15 = 750 Ví dụ 11 (Bài tốn cổ Ấn Độ ) Số tiền mua yên táo rừng thơm 107 rupi Số tiền mua yên táo rừng thơm 91 rupi Hỏi giá yên táo rừng thơm rupi? Lời giải Gọi x (rupi), y (rupi) giá tiền yên, táo rừng thơm Điều kiện: x > y > Do số tiền mua yên táo rừng thơm 107 rupi nên 9x + 8y = 107 (1.21) Do số tiền mua yên táo rừng thơm 91 rupi nên 7x + 7y = 91 Từ (1.21) (1.22) ta có hệ phương trình 9x + 8y = 107 ⇔ 7x + 7y = 91 x=3 (thỏa điều kiện) y = 10 ✧ Vậy giá tiền yên rupi giá tiền táo rừng thơm 10 rupi (1.22) GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 12 Hai vật chuyển động đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát lúc, từ điểm Nếu chuyển động chiều 20 giây chúng lại gặp Nếu chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp Tính vận tốc vật Lời giải Gọi x (cm/s), y (cm/s) vận tốc hai vật Điều kiện: x > y > Khi chuyển động chiều, 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa quãng đường mà vật nhanh 20 giây quãng đường mà vật 20 giây vòng (bằng 20π cm) Ta có phương trình: 20x − 20y = 20π ⇔ x − y = π (1.23) Khi chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp nhau, nghĩa tổng quãng đường hai vật giây vòng Ta có phương trình: 4x + 4y = 20π ⇔ x + y = 5π (1.24) Từ (1.50) (1.51) ta có hệ phương trình x−y =π ⇔ x + y = 5π x = 3π (thỏa điều kiện) y = 2π ✧ Vậy vận tốc hai vật 3π cm/s 2π cm/s Ví dụ 13 Nếu hai vòi nước chảy vào bể nước cạn (khơng có nước) bể đầy 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút vòi thứ hai 12 phút bể nước Hỏi mở riêng vòi thời gian để vòi chảy đầy bể bao 15 nhiêu? Lời giải Ta có: 20 phút = 80 phút Gọi x (phút) thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể y (phút) thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể (x, y > 0) 1 Trong phút vòi thứ chảy bể vòi thứ hai chảy bể Ta có hệ phương trình: x y  1    + = x y 80 10 12   =  + x y 15 x = 120 y = 240 Vậy vòi thứ chảy đầy bể 120 phút (2 giờ) vòi thứ hai chảy đầy bể 240 phút (4 giờ) Giải hệ phương trình ta Ví dụ 14 Một người mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% loại hàng thứ 8% loại hàng thứ hai Nếu thuế VAT 9% hai loại hàng người phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi khơng kể thuế VAT người phải trả tiền cho loại hàng? 10 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Lời giải Gọi x (triệu đồng) số tiền phải trả cho loại hàng thứ y (triệu đồng) số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT Khi đó, số tiền phải trả cho loại hàng thứ (kể 108 110 x triệu đồng, cho loại hàng thứ hai (kể thuế VAT 8%) y triệu thuế VAT 10%) 100 100 đồng Ta có phương trình: 110 108 x+ y = 2, 17 hay 1,1x + 1,08y = 2,17 100 100 Khi thuế VAT 9% cho hai loại hàng số tiền phải trả là: 109 (x + y) = 2,18 hay 1,09x + 1,09y = 2,18 100 Ta có hệ phương trình: 1,1x + 1,08y = 2,17 1,09x + 1,09y = 2,18 x = 0,5 y = 1,5 Vậy khơng kể thuế VAT người phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai Giải hệ ta Ví dụ 15 Hai người hai địa điểm A B cách 3,6 km khởi hành lúc, ngược chiều gặp địa điểm cách A km Nếu hai giữ nguyên vận tốc trường hợp trên, người chậm xuất phát trước người phút họ gặp quảng đường Tính vận tốc người Lời giải Gọi vận tốc người xuất phát từ A v1 (m/phút), người từ B v2 (m/phút) Điều kiện: v1 > 0, v2 > Khi gặp địa điểm cách A km, người xuất phát từ A 2000 m, người xuất phát từ B 1600 m Ta có phương trình: 1600 2000 = v1 v2 (1) Điều cho thấy người xuất phát từ B chậm Khi người tứ B xuất phát trước người phút hai người gặp quảng đường, nghĩa người 1,8 km = 1800 m Ta có phương trình: 1800 1800 +6= (2) v1 v2 100 100 Đặt = x = y, từ (1) (2) ta có hệ phương trình: v1 v2 20x = 16y 18x + = 18y Giải hệ ta nghiệm (x; y) = ; Từ suy ra: 3 100 100 = ⇔ v1 = 75; = ⇔ v2 = 60 v1 v2 Các giá trị tìm v1 v2 thỏa mãn điều kiện toán Vậy vận tốc người từ A 75 m/phút, người từ B 60 m/phút GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 21 Ví dụ 39 Một xí nghiệp chi 650 000 đồng thưởng cho 11 công nhân Giải thưởng gồm loại: 150 000 đồng, 250 000 đồng, 350 000 đồng, 400 000 đồng 500 000 đồng Hỏi có người thưởng loại 150 000 đồng? Biết tất loại giải thưởng trao cho cơng nhân Lời giải Do tất loại giải thưởng trao cho cơng nhân nên số tiền chi 150 000 + 250 000 + 350 000 + 400 000 + 500 000 = 650 000 đồng Như vậy, cơng nhân số tiền 000 000 đồng Nếu có người nhận 500 000 đồng 400 000 đồng 350 000 đồng số tiền lại khơng đủ trao cho thành viên Do đó, phương án × 150 000 + 250 000 = 000 000 đồng ✧ Vậy có giải thưởng 150 000 đồng Ví dụ 40 Một vận động viên thi bắn súng Vận động viên bắn 11 viên bắn vào vòng 8, 10 điểm Tổng số điểm mà vận động viên đạt 100 điểm Hỏi vận động viên bắn viên kết bắn vào vòng sao? Lời giải Gọi x, y, z ∈ N∗ số viên đạn bắn vào vòng 8, 10 điểm Khi ta có hệ phương trình x + y + z > 11 8x + 9y + 10z = 100 Ta có, 100 = 8(x + y + z) + y + 2z > 88 + y + 2z Nếu x + y + z = 13 100 > 104 + y + 2z (vơ lý) Do đó, x + y + z = 12 Thay vào 8x + 9y + 10z = 100 ⇔ 96 + y + 2z = 100 ⇔ y + 2z = Nhận thấy, có trường hợp y = 2, z = thỏa suy x = 12 − − = ✧ Vậy x = 9, y = 2, z = Ví dụ 41 Tìm số có ba chữ số biết tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng trăm 10 đơn vị Tích chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị bớt 10 lần chữ số hàng trăm Lời giải Gọi x, y, z (x ∈ N∗ , y, z ∈ N) ba chữ số số cần tìm Tức xyz = 100x + 10y + z số cần tìm Khi ta có hệ phương trình y + z = 10 + x yz − = 10x Nhận thấy rằng, y + z = 10 + x ≥ 11 (do x ≥ 1), giả sử y ≥ z suy y ≥ Ta chia thành trường hợp y ∈ {6, 7, 8, 9} thấy y = thỏa mãn, dẫn đến x = 8, z = ✧ Vậy số cần tìm 899 tổng hai chữ số Nếu cộng thêm 99 vào số ta số có chữ số đứng theo thứ tự ngược lại Ví dụ 42 Tìm số có ba chữ số biết tổng chữ số 14, chữ số hàng đơn vị 22 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Lời giải Gọi xyz = 100x + 10y + z số cần tìm, x, y, z ∈ 0, 9, x = Khi ta có hệ phương trình     x + y + z = 14      x = x + y + z = 14  x + y + z = 14 ⇔ 3x + 3y − 4z = ⇔ y = z = (x + y) ⇔ 3x + 3y − 4z =      z = x − z = −1 100x + 10y + z + 99 = 100z + 10y + x  xyz + 99 = zyx ✧ Vậy số cần tìm 536 Ví dụ 43 Một ca nơ chạy xi dòng với 96 km ngược dòng 16 km tổng cộng Nếu ca nơ chạy xi dòng 75 km ngược dòng 30 km thời gian Hỏi vận tốc ca nơ vận tốc dòng nước bao nhiêu? Lời giải Gọi x, y ( km/h) vận tốc ca nô vận tốc nước Khi đó, ta có hệ phương trình  16 96   + =4  x = 25 x + y = 30 x+y x−y ⇔ ⇔ 30 75  y = x − y = 20  + =4  x+y x−y ✧ Vậy vận tốc ca nơ vận tốc dòng nước 25 km/h km/h Ví dụ 44 Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 36 km Lúc từ B quay A người nên vận tốc lúc giảm km/h so với vận tốc lúc Biết vận tốc lúc lớn vận tốc trung bình chuyến 7,2 km/h Tìm vận tốc trung bình chuyến Lời giải Gọi x ( km/h) vận tốc lúc Khi đó, vận tốc lúc x − ( km/h) Gọi y ( km/h) 36 36 vận tốc trung bình chuyến Thời gian lúc h thời gian lúc h Ta x x−9  x = 7, + y    x = 12 72 2x(x − 9) ⇔ y = x − 7,2 ⇔ có y = =  (x − 7,2)(2x − 9) = 2x(x − 9) y = 4,8 36 36 2x −   + x x−9 ✧ Vậy vận tốc trung bình chuyến 4,8 km/h CHỦ ĐỀ Giải toán cách lập phương trình Dạng Giải tốn cách lập phương trình Bước 1: Lập phương trình: - Chọn ẩn số, đặt điều kiện cho ẩn số có nghĩa - Dùng ẩn số số biết để tìm số chưa biết cần thiết Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Nhận xét trả lời GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 23 Ví dụ Một xưởng may phải may xong 3000 áo thời gian quy định Để hoàn thành sớm kế hoạch, ngày xưởng may nhiều áo so với số áo phải may ngày theo kế hoạch Vì ngày trước hết thời hạn, xưởng may may 2650 áo Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong áo? Lời giải Gọi số áo phải may ngày theo kế hoạch x (x ∈ N, x > 0) 3000 Thời gian quy định may xong 3000 áo (ngày) x Số áo thực tế may ngày x + (áo) Thời gian may xong 2650 áo trước hết hạn ngày nên ta có phương trình 3000 2650 −5= x x+6 (1.50) Giải phương trình (1.50) ta được: 3000(x + 6) − 5x(x + 6) ⇔ x2 − 64x − 3600 = ⇔ x1 = 100 x2 = −36 (Loại) ✧ Theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong 100 áo Ví dụ Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh bạn Lan người chọn số cho hai số tích chúng phải 150 Vậy hai bạn Minh Lan phải chọn số nào? Lời giải Gọi x số mà bạn (Minh Lan) chọn số chọn x + Khi tích hai số x(x + 5) Theo đề bài, ta có phương trình: x(x + 5) = 150 ⇔ x2 + 5x − 150 = (1.51) Giải phương trình (1.51) ta x1 = 10; x2 = −15 ✧ Nếu bạn Minh chọn số 10 bạn Lan chọn số 15 ngược lại Nếu bạn Minh chọn số −15 bạn Lan chọn số −10 ngược lại Ví dụ Bác Thời vay 2000000 đồng ngân hàng để làm kinh tế gia đình thời hạn năm Lẽ cuối năm bác phải trả vốn lẫn lãi Song bác ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm năm nữa, số lãi năm đầu gộp vào với vốn để tính lãi năm sau với lãi suất cũ Hết hai năm bác phải trả tất 2420000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm? Lời giải Gọi x(%) lãi suất ngân hàng cho vay năm Điều kiện x > x Khi đó, tiền lãi sau năm là: 2000000 × = 20000x (đồng) 100 Sau năm đầu vốn lẫn lãi là: 2000000 + 20000x (đồng) Tiền lãi năm thứ hai là: (20000x + 200x2 ) (đồng) Sau hai năm bác Thời phải trả vốn lẫn lãi cho ngân hàng là: 2000000 + 20000x + 20000x + 200x2 = 2000000 + 40000x + 200x2 24 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Theo đề ta có phương trình: 2000000 + 40000x + 200x2 ⇔ x2 + 200x − 2100 = Giải phương trình ta được: x1 = 10; x2 = −210 Vì x > nên ta chọn x = 10 ✧ Lãi suất ngân hàng cho vay 10%/ năm Ví dụ Một canơ du lịch từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo đường sông dài 120 km Trên đường đi, canô nghỉ lại thị trấn Năm Căn Khi về, canô theo đường khác dài đường lúc km với vận tốc nhỏ vận tốc lúc km/h Tính vận tốc canô lúc đi, biết thời gian thời gian Lời giải Gọi x ( km/h) vận tốc canô lúc Điều kiện x > Khi vận tốc lúc x − ( km/h) Thời gian từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi, có thời gian nghỉ Năm Căn, 120 + (giờ) x 125 Đường dài: 120 + = 125 ( km) thời gian (giờ) x−5 Theo đề bài, ta có phương trình: 120 125 +1= ⇔ x2 − 10x − 600 = x x−5 Giải phương trình ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = −20 (loại) ✧ Vận tốc ca nô lúc 30 km/h Ví dụ Đố em tìm số mà nửa trừ nửa đơn vị nhân với nửa nửa đơn vị Lời giải Gọi số phải tìm x Khi nửa trừ nửa đơn vị là: x − 2 Theo giả thiết, ta có phương trình: x − 2 x = ⇔ x2 − x − = 2 Giải phương trình ta x1 = −1; x2 = ✧ Số phải tìm −1 Ví dụ Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số Lời giải Gọi số tự nhiên bé x Điều kiện x ≥ Khi đó, số tự nhiên liền sau là: x + Tích hai số x(x + 1) tổng chúng x + (x + 1) = 2x + Theo đề , ta có phương trình: x(x + 1) = 2x + + 109 ⇔ x2 − x − 110 = Giải phương trình ta x1 = 11 (nhận); x2 = −10 (loại) ✧ Hai số phải tìm 11 12 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 25 Ví dụ Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2 Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích mặt đất khơng đổi Tính kích thước mảnh đất Lời giải Gọi x (m) chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật Điều kiện: x > 240 (m) Diện tích mảnh đất 240 m2 nên chiều dài hình chữ nhật là: x Khi tăng chiều rộng lên 3m giảm chiều dài 4m mảnh đất có chiều rộng (x + 3) (m), 240 240 − (m) diện tích (x + 3) − ( m2 ) chiều dài x x Theo đề ta có phương trình: (x + 3) 240 −4 x = 240 ⇔ x2 + 3x − 180 = Giải phương trình ta được: x1 = 12 (nhận); x2 = −15 (loại) ✧ Chiều rộng mảnh đất 12 (mét) chiều dài 240 : 12 = 20 (mét) Ví dụ Bác Hiệp cô Liên xe đạp từ làng bên lên tỉnh với quãng đường dài 30 km, khởi hành lúc Vận tốc xe bác Hiệp lớn vận tốc xe cô Liên km/h nên bác Hiệp đến tỉnh trước cô Liên nửa Tính vận tốc xe người Lời giải Gọi x ( km/h) vận tốc xe bác Hiệp Điều kiện x > Khi đó, vận tốc xe cô Liên (x − 3) ( km/h) 30 30 Thời gian Bác Hiệp từ làng lên tỉnh (giờ) thời gian cô Liên từ làng lên tỉnh x x−3 (giờ) Theo đề ta có phương trình 30 30 − = ⇔ x2 − 3x − 180 = x−3 x Giải phương trình ta được: x1 = 15 (nhận); x2 = −12 (loại) Ví dụ Từ miếng tơn hình chữ nhật người ta cắt bốn góc hình vng có cạnh dm để làm thành thùng khơng có nắp có dung tích 1500 dm3 (hình dưới) Hãy tính kích thước miếng tơn lúc đầu, biết chiều dài gấp đôi chiều rộng dm dm dm dm Lời giải Gọi x (dm) chiều rộng miếng tôn lúc đầu Điều kiện x > 10 Khi đó, chiều dài 2x (dm) 26 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Khi làm thành thùng khơng nắp chiều dài thùng (2x − 10) (dm), chiều rộng (x − 10) (dm) chiều cao (dm) Khi đó, dung tích thùng là: 5.(2x − 10)(x − 10) (dm3 ) Theo đề bài, ta có phương trình 5.(2x − 10)(x − 10) = 1500 ⇔ x2 − 15x − 100 = Giải phương trình ta được: x1 = 20 (nhận); x2 = −5 (loại) ✧ Miếng tơn lúc đầu có chiều rộng 20 dm chiều dài 40 dm Ví dụ 10 Một đội quét sơn nhà Nếu họ làm ngày xong việc Nếu họ làm riêng đội I hồn thành cơng việc nhanh đội II ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong việc? Lời giải Gọi x ( ngày) thời gian đội I hồn thành cơng việc (x > 0) Khi đó, thời gian để đội II hồn thành cơng việc x + ngày 1 công việc Suy ra, ngày, đội I làm công việc; đội II làm x x+6 Vì hai đội làm hồn thành cơng việc ngày nên ta có 1 + = x x+6 ⇔4x + 4(x + 6) = x(x + 6) ⇔x2 − 2x − 24 = ⇔ x=6 x = −4 (loại) Vậy đội I hồn thành cơng việc ngày đội II hồn thành cơng việc 10 ngày Ví dụ 11 Miếng kin loại thứ nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g Thể tích miếng thứ nhỏ thể tích miếng thứ hai 10cm3 , khối lượng riêng miếng thứ lại nặng khối lượng riêng miếng thứ hai 1g/cm3 Tìm khối lượng riêng miếng kim loại Lời giải Gọi x cm3 thể tích miếng kim loại thứ Khi đó, thể tích miếng kim loại thứ hai x + 10 cm3 880 Khối lượng riêng miếng kim loại thứ x 858 Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai x + 10 Ta có 880 858 − =1 x x + 10 ⇔ 880(x + 10) − 858x = x(x + 10) ⇔ x2 − 12x − 8800 = x = 100 ⇔ x = −88 (loại) 880 DO đó, khối lượng riêng miếng kim loại thứ = 8, g/cm3 Khối lượng riêng miếng 100 858 kim loại thứ hai = 7, g/cm3 110 GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 27 Ví dụ 12 Người ta đổ thêm 200g nước vào dung dịch chứa 40g muối nồng độ dung dịch giảm 10 Hỏi trước đổ thêm nước dung dịch chứa nước Lời giải 40 Gọi x (gam) lượng nước có dung dịch ban đầu Khi đó, nồng độ dung dịch x + 40 40 Nồng độ dung dịch lúc sau thêm 200g nước 240 + x Ta có 40 40 − = x + 40 x + 240 10 ⇔x + 280x − 70400 = ⇔ x = 160 x = −440 (loại) Vậy lượng nước dung dịch ban đầu 160g Ví dụ 13 Khoảng cách hai bến sông A B 30 km Một ca nô từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút bến B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến tới bến A hết tất Hãy tìm vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc nước chảy 3km/h Lời giải Gọi x km/h vận tốc ca nô nước n lặng Do đó, vận tốc ca nơ xi dòng x + (km/h) vận tốc ca nơ ngược dòng x − (km/h) Ta có 30 30 + + =6 x+3 x−3 ⇔16x2 − 180x − 144 =  x = 12  ⇔ x = − (loại) Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 12 km/h Ví dụ 14 Trong hai năm, số dân thành phố tăng từ 2000000 người lên 2020050 người Hỏi trung bình năm, dân số thành phố tăng phần trăm? Lời giải Gọi x tỉ lệ tăng dân số thành phố năm Dân số thành phố sau năm 2000000 + 2000000 · x = 2000000(x + 1) ( triệu người) Dân số thành phố sau hai năm 2000000(x + 1) + 2000000(x + 1) · x = 2020050 ⇔2000000x2 + 4000000x − 20050 =  x=  200 ⇔ 401 x=− (loại) 200 Vậy tỉ lệ gia tăng dân số thành phố năm 0, 5% 28 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Ví dụ 15 Bài tốn u cầu tìm tích số dương với số lớn đơn vị, bạn Quân lại nhầm đầu lại tính tích số dương với số bé đơn vị Kết bạn Quân 120 Hỏi làm đầu cho kết phải bao nhiêu? Lời giải Gọi x số ban đầu, x > Ta có x · (x − 2) = 120 ⇔x2 − 2x − 120 = ⇔ x = −10 (loại, x>0) x = 12 Vậy bạn Quân làm đúng, kết phải 12 · 14 = 168 Ví dụ 16 Một xe lửa từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quãng Ngãi) Sau giờ, xe lửa khác từ Bình Sơn Hà Nội với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ km/h Hai xe lửa gặp ga qng đường Tìm vận tốc xe, giả thiết quãng đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900 km Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc xe lửa từ Hà Nội vào Bình Sơn Vị trí gặp cách Hà Nội 450 km 450 (km/h) Vận tốc xe lửa từ Bình Sơn Hà Vận tốc xe lửa từ Hà Nội vào Bình Sơn x 450 Nội (km/h) x+5 Ta có 450 450 − =1 x x+5 ⇔x2 + 5x − 2250 = ⇔ x = 45 x = −50 (loại) Vậy vận tốc xe lửa từ Hà Nội vào Bình Sơn 45 km/h; vận tốc xe lửa từ Bình Sơn Hà Nội 50 km/h Ví dụ 17 Cho tam giác ABC có BC = 16 cm, đường cao AH = 12 cm Một hình chữ nhật M N P Q có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC hai đỉnh P Q thuộc cạnh BC(h.17) Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật 36c m2 ? A M B N K Q H P C GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Lời giải Đặt AK = x (0 < x < 12) Vì ABC đồng dạng với 29 AM N nên ta có AM AK x MN = = = BC AB AH 12 16x 4x = Ta có M Q = KH = 12 − x 12 Diện tích hình chữ nhật M N P Q Suy M N = 4x · (12 − x) = 36 ⇔ − 4x2 + 48x − 108 = ⇔ x=3 x=9 AM = = Do đó, M nằm cạnh AB cho AB = · AM AB 12 AM AM Với x = 9, suy = = Do đó, M nằm cạnh AB cho = AB 12 AB Với x = 3, suy Ví dụ 18 Tìm hai số biết số lớn lớn số bé đơn vị tổng bình phương chúng 4153 Lời giải Gọi x số bé hai số Ta có (x + 5)2 + x2 = 4153 ⇔ 2x2 + 10x − 4128 = ⇔ x = 43 x = −48 Với x = 43, hai số cần tìm 43 48 Với x = −48, hai số cần tìm −48 −43 Ví dụ 19 Một trường dự tính phát 280 cho học sinh tiên tiến Nhưng phát có ba học sinh vắng mặt Vì học sinh nhận nhiều 12 Hỏi số học sinh dự tính ban đầu em? Lời giải Gọi số học sinh dự tính phát thưởng ban đầu x, (x ∈ N∗ x > 3) Số học sinh lúc phát thưởng x − 280 Số học sinh nhận lúc dự tính là: x−3 280 Số học sinh nhận lúc phát thưởng là: x Theo đề ta có phương trình: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 280 280 − = 12 x−3 x 280x − 280(x − 3) = 12x(x − 3) 280x − 280x + 840 = 12x2 − 36x 12x2 − 36x − 840 = x1 = 10 (nhận) x2 = −7 (loại) 30 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Vậy số học sinh dự tính phát thưởng ban đầu phát thưởng 10 học sinh Ví dụ 20 Một mảnh đất hình chữ nhật có hiệu hai cạnh 12 (m) Tính chu vi mảnh đất đó, biết diện tích 640 m2 Lời giải Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật x (m), x > Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật x + 12 (m) Theo đề ta có phương trình: x(x + 12) = 640 ⇔ x2 + 12x − 640 = x1 = 20 (nhận) ⇔ x2 = −32 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật 20 (m) Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật 32 (m) Chu vi mảnh đất hình chữ nhật 104 (m) Ví dụ 21 Một tam giác vng có chu vi 30 (m) Cạnh huyền 13 (m) Tính độ dài hai cạnh góc vng Lời giải Gọi độ dài cạnh góc vuông thứ x (m), x > Độ dài cạnh góc vng thứ hai 17 − x (m) Theo đề ta có phương trình: (17 − x)2 + x2 = 132 ⇔ 289 − 34x + x2 + x2 = 169 ⇔ 2x2 − 34x + 120 = x1 = 12 (nhận) ⇔ x2 = (nhận) Vậy độ dài hai cạnh góc vng 12 (m) (m) Ví dụ 22 Một ruộng hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm m giảm chiều cao tương ứng m diện tích ruộng không thay đổi Lời giải Gọi độ dài cạnh đáy ruộng x (m), x > 360 Chiều cao ruộng lúc đầu (m) x Tăng cạnh đáy thêm (m) (x + 4) (m) 360 Giảm chiều cao tương ứng (m) ( − 1) (m) x GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 31 Theo đề ta có phương trình: (x + 4) 360 − = 180 x 360 ⇔ (x + 4) − = 360 x ⇔ x2 + 4x − 1440 = x1 = 36 (nhận) ⇔ x2 = −40 (loại) Vậy độ dài cạnh đáy ruộng 36 (m) Ví dụ 23 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 600 m2 Tính kích thước khu vườn biết giảm cạnh m diện tích lại 416 m2 Lời giải Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật x (m), x > 600 Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật (m) x Nếu giảm cạnh (m) Chiều rộng x − (m) 600 − (m) Chiều dài x Theo đề ta có phương trình: 600 − = 416 x ⇔ x2 − 50x + 600 = x1 = 20 (nhận) ⇔ x2 = 30 (nhận) (x − 4) Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật 20 (m), chiều dài mảnh đất hình chữ nhật 30 (m) Ví dụ 24 Một lâm trường dự định trồng 75 rừng số tuần lễ Do tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên trồng 80ha hoàn thành sớm tuần so với dự định Hỏi lâm trường dự định tuần trồng rừng? Lời giải Gọi x (ha) số rừng lâm trường dự định trồng tuần (điều kiện: x > 0) Số rừng thực tế trồng tuần: x + (ha) 75 Số tuần lễ dự định trồng 75 (ha) rừng: x 80 Số tuần lễ thực tế lâm trường thực là: x+5 32 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Do hoàn thành sớm tuần so với dự định nên ta có phương trình: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 75 80 − =1 x x+5 75(x + 5) − 80x = x(x + 5) 75x + 375 − 80x = x2 + 5x x2 + 10x − 375 = x1 = 15 (nhận) x2 = −25 (loại) Vậy lâm trường dự định trồng tuần 15 rừng Ví dụ 25 Hai cơng nhân làm chung hồn thành công việc ngày Người thứ làm nửa cơng việc sau người thứ hai làm hết cơng việc lại tồn công việc làm xong ngày Hỏi người làm riêng hồn thành tồn cơng việc bao lâu? Lời giải Gọi x, y số ngày hai công nhân làm xong cơng việc (ĐK: < x, y < 18) 1 Số công việc hai công nhân làm ngày: + = (1) x y Do người thứ làm nửa công việc sau người thứ hai làm hết cơng việc lại tồn cơng việc làm xong ngày nên ta có phương trình: 1 x + y = ⇔ x + y = 18 ⇒ x = 18 − y (2) 2 Thay (2) vào (1) ta được: 1 + = 18 − y y ⇔ 4y + 4(18 − y) = y(18 − y) ⇔ 4y + 72 − 4y = 18y − y ⇔ y − 18y + 72 = y = 12 (nhận) ⇔ y = (nhận) Khi y = 12 x = Khi y = x = 12 Vậy làm riêng hai người hồn thành cơng việc ngày, 12 ngày Ví dụ 26 Một ca nô xuôi khúc sông dài 50 km ngược dòng sơng lại vị trí ban đầu hết Tính vận tốc ca nơ biết vận tốc dòng nước km/h Lời giải Gọi x ( km/h) vận tốc ca nô (điều kiện: x > 4) Vận tốc ca nô xi dòng: x + km/h 50 Thời gian ca nơ xi dòng là: (giờ) x+4 Vận tốc ca nơ ngược dòng: x − km/h 50 Thời gian ca nơ ngược dòng (giờ) x−4 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 33 Do ca nơ xi khúc sơng dài 50 ( km) ngược dòng sơng lại vị trí ban đầu hết nên ta có phương trình: 50 50 + =5 x+4 x−4 ⇔ 50(x − 4) + 50(x + 4) = 5(x + 4)(x − 4) ⇔ 50x − 200 + 50x + 200 = 5x2 − 80 ⇔ x2 − 20x − 16 = Giải phương trình ta được: x1 ≈ 20, 77 (nhận), x2 ≈ −0, 77(loại) Vậy vận tốc ca nơ số xấp xỉ 20 km/h Ví dụ 27 Một xe từ A đến B cách 24 km Khi từ B A, ngược gió nên vận tốc giảm km/h thời gian lâu thời gian Tính vận tốc xe lúc Lời giải Gọi x ( km/h) vận tốc xe lúc (x > 4) Khi đó, vận tốc xe lúc x − ( km/h) 24 24 Thời gian lúc thời gian lúc x x−4 Vì thời gian lâu thời gian nên ta có phương trình: x = 12 24 24 = − ⇔ 24(x − 4) = 24x − x(x − 4) ⇔ x2 − 4x − 96 = ⇔ x x−4 x = −8 Vậy vận tốc xe lúc 12 km/h Ví dụ 28 Tìm hai số biết số lớn số bé đơn vị tổng bình phương hai số 369 Lời giải Gọi x số bé Khi số lớn x + Vì tổng bình phương hai số 369 nên ta có phương trình: x2 + (x + 3)2 = 369 ⇔ 2x2 + 6x − 360 = ⇔ x = 12 x = −15 Vậy hai số cần tìm 12, 15 −15, −12 Ví dụ 29 Hai cạnh hình chữ nhật 10m Tính chu vi hình chữ nhật biết diện tích 1200m2 Lời giải Gọi x(m) chiều rộng hình chữ nhật (x > 0) Khi chiều dài hình chữ nhật x + 10 Vì hình chữ nhật có diện tích 1200m2 nên ta có phương trình: x(x + 10) = 1200 ⇔ x2 + 10x − 1200 = ⇔ Vậy chu vi hình chữ nhật P = 2(30 + 40) = 140 (m) x = 30 x = −40 34 CHƯƠNG TỐN THỰC TẾ - ƠN THI LỚP 10 Ví dụ 30 Một hình chữ nhật có chu vi 120 cm Nếu giảm chiều dài cm tăng chiều rộng thêm cm hình chữ nhật có diện tích 925cm2 Tìm kích thước ban đầu hình chữ nhật Lời giải Gọi x(m) chiều dài ban đầu hình chữ nhật (30 < x < 60) Khi chiều rộng ban đầu hình chữ nhật 60 − x Vì giảm chiều dài cm tăng chiều rộng thêm cm hình chữ nhật có diện tích 925cm2 nên ta có phương trình: (x − 3)(60 − x + 5) = 925 ⇔ x2 − 68x + 1120 = ⇔ x = 40 x = 28 Vậy chiều dài, chiều rộng ban đầu hình chữ nhật 40m, 20m Ví dụ 31 Một đồn xe tơ cần chở 30 hàng theo dự định, xe chở Khi bắt đầu khởi hành có thêm tơ đến nên xe chở 0,5 so với dự định Hỏi lúc đầu đồn xe có ô tô? Lời giải Gọi x số xe ô tơ lúc đầu đồn xe có (x ∈ N∗ ) Suy số xe ô tô lúc khởi hành x + 30 30 khởi hành xe chở Lúc đầu xe dự định chở x x+2 Theo đề bài, ta có phương trình: x = 10 30 30 = + ⇔ 60(x + 2) = 60x + x(x + 2) ⇔ x2 + 2x − 120 = ⇔ x x+2 x = −12 Vậy lúc đầu đồn xe có 10 ô tô Ví dụ 32 Một phân xưởng dự định dệt 3000 thảm Trong ngày đầu, họ thực kế hoạch đề ngày, ngày lại họ dệt vượt mức ngày 10 thảm nên hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch, phân xưởng phải dệt ngày thảm? Lời giải Gọi x số thảm ngày phân xưởng phải dệt theo kế hoạch (x ∈ N∗ ) 3000 Số ngày phân xưởng phải dệt theo kế hoạch ngày x 3000 − 8x Số ngày phân xưởng dệt vượt mức x + 10 Theo đề bài, ta có phương trình: 3000 3000 − 8x −2=8+ ⇔ 3000(x + 10) = 10x(x + 10) + (3000 − 8x)x x x + 10 ⇔ 2x2 + 100x − 30000 = ⇔ x = 100 x = −150 Vậy theo kế hoạch, phân xưởng phải dệt ngày 100 thảm GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 35 Ví dụ 33 Lúc 30 phút, tô khởi hành từ A Đến B, ô tô nghỉ 30 phút tiếp, đến C lúc 30 phút Biết quãng đường AB dài 30 km, quãng đường BC dài 50 km vận tốc quãng đường AB lớn vận tốc quãng đường BC 10 km/giờ Tính vận tốc tơ quãng đường AB, BC Lời giải Gọi x( km/h) vận tốc ô tô quãng đường AB (x > 10) Suy vận tốc ô tô quãng đường BC x − 10 50 30 thời gian ô tô hết quãng đường BC Thời gian ô tô hết quãng đường AB x x − 10 Theo đề bài, ta có phương trình: 30 50 + + = ⇔ 60(x − 10) + 100x + x(x − 10) = 4x(x − 10) x x − 10  x = 60  ⇔ 3x − 190x + 600 = ⇔ 10 x= Vậy vận tốc ô tô quãng đường AB, BC 60 km/h, 50 km/h Ví dụ 34 Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B dài 36 km Lúc người tăng tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc lúc người Lời giải Gọi x ( km/h) vận tốc lúc người xe đạp (x > 0) Khi vận tốc lúc người xe đạp x + 36 36 Thời gian lúc thời gian lúc x x+3 Vì thời gian thời gian 36 phút nên ta có phương trình: x = 12 36 36 = + ⇔ 60(x + 3) = 60x + x(x + 3) ⇔ x2 + 3x − 180 = ⇔ x x+3 x = −15 Vậy vận tốc xe lúc 12 km/h