BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG I HC S PHM DNG TH HNG THY ă BI TỐN BJORLING VÀ CÁC ÁP DỤNG Chun ngành: Hình học - Tơpơ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU Huế, năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Tác giả ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Đoàn Thế Hiếu Tơi xin gửi đến Thầy kính trọng sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, q thầy giáo khoa Tốn, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường ĐHSP Huế quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa K20 Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THCS Phú Mậu tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khóa học Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn người thân, bạn học viên lớp Cao học khóa K20, K21 thành viên lớp Hình học K20 động viên, quan tâm, giúp đỡ thời gian học tập vừa qua Trân trọng chân thành cảm ơn! Tác giả iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Chương 1.1 1.2 Một số kiến thức sở Các kiến thức giải tích phức 1.1.1 Trường số phức C 1.1.2 Module argument số phức z 1.1.3 Dạng lượng giác dạng mũ số phức Hàm chỉnh hình 1.2.1 Đạo hàm phức hàm chỉnh hình 1.2.2 1.3 Điều kiện Cauchy-Riemann ∂ ∂ 1.2.3 Toán tử ∂z ∂ z¯ Hàm điều hòa Liên hợp điều hòa 10 1.3.1 1.4 Miền đơn liên ∂ 1.3.2 Mối liên hệ ∆ , ∂z Một số định lý cần dùng 10 ∂ 10 ∂ z¯ 12 1.5 1.6 1.4.1 Thác triển chỉnh hình hàm giải tích thực 12 1.4.2 Chuỗi Taylor 12 1.4.3 Nguyên lý đồng hàm chỉnh hình 12 Lý thuyết mặt cực tiểu Mặt cực tiểu liên hợp 13 1.5.1 Mặt tham số 13 1.5.2 Dạng thứ 14 1.5.3 Ánh xạ Gauss 14 1.5.4 Dạng thứ hai 15 1.5.5 Độ cong Gauss độ cong trung bình 15 1.5.6 Mặt cực tiểu mặt cực tiểu liên hợp 17 1.5.7 Mặt cực tiểu đường đẳng hướng 19 Biểu diễn Weierstrass mặt cực tiểu 19 1.6.1 Biểu diễn Weierstrass mặt cực tiểu 1.6.2 Các ví dụ biểu diễn Weierstrass mặt cực tiểu 22 Chương Bi toỏn Bjă orling v cỏc ỏp dng 19 29 2.1 Bi toỏn Bjăorling 29 2.2 Bi toỏn Bjăorling phng 34 2.3 Một s ỏp dng ca bi toỏn Bjăorling 41 2.3.1 Đối xứng mặt cực tiểu 41 2.3.2 Đường thẳng đường cong phẳng mặt cực tiểu 43 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 LỜI NÓI ĐẦU Mặt cực tiểu đối tượng nghiên cứu nhiều hình học vi phân Vào kỷ 19, với thí nghiệm khung kim loại nhúng vào nước xà phòng Joseph Plateau đưa nhận xét nhiều tính chất màng xà phòng Các màng xà phòng có độ cong trung bình khơng (tính cực tiểu diện tích địa phương) số màng xà phòng cực tiểu diện tích tồn cục Do sau tốn "Tìm mặt có diện tích nhỏ với biên đường cong Jordan cho trước" gọi toán Plateau Năm 1930, Jesses Douglas đưa nghiệm tổng quát toán Một toán khác lý thuyết mặt cc tiu l bi toỏn Bjăorling (do E G Bjăorling đặt giải nó) Bài tốn đặt vấn đề "Có hay khơng mặt cực tiểu chứa đường cong giải tích cho trước đường trắc địa" Nghiệm tốn ln tồn tại, mặt địa phương biểu diễn cách rõ ràng Áp dụng toán có liên quan đến mặt cực tiểu bit nh l Catenoid, Helicoid Bi toỏn Bjăorling nghiên cứu cho mặt spacelike timelike không gian Lorentz-Minkowski [5, 4, 1] mặt có độ cong [2] Được gợi ý PGS.TS Đồn Thế Hiếu, tơi chọn đề tài "Bài tốn Bjăorling v cỏc ỏp dng" lm nghiờn cu luận văn Dựa thơng tin đó, hướng nghiên cứu luận văn sử dụng kiến thức học, tài liệu tham khảo nội dung luân văn chia làm hai chương Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: Bài toỏn Bjăorling v cỏc ỏp dng ... Jordan cho trước" gọi toán Plateau Năm 1930, Jesses Douglas đưa nghiệm tổng quát toán Một toán khác lý thuyết mặt cực tiểu toán Bjăorling (do E G Bjăorling t v gii quyt nó) Bài tốn đặt vấn đề "Có... nghiên cứu nhiều hình học vi phân Vào kỷ 19, với thí nghiệm khung kim loại nhúng vào nước xà phòng Joseph Plateau đưa nhận xét nhiều tính chất màng xà phòng Các màng xà phòng có độ cong trung... 19 1.6.1 Biểu diễn Weierstrass mặt cực tiểu 1.6.2 Các ví dụ biểu diễn Weierstrass mặt cực tiểu 22 Chng Bi toỏn Bjă orling v áp dụng 19 29 2.1 Bi toỏn Bjăorling