BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - TRỊNH HIẾU ĐÔNG NGHIÊN CỨU NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM VĂN ĐẠT Hải Phòng, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Trịnh Hiếu Đông LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Phạm Văn Đạt tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia ngồi trường Đại học Dân lập Hải phòng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả luận văn Trịnh Hiếu Đông MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN THƯỜNG DÙNG TRONG CƠ HỌC 1.1 Phép tính biến phân [1, 2, 3] 1.2 Nguyên lý biến dạng tối thiểu 11 1.3 Nguyên lý công bù cực đại 12 1.4 Nguyên lý công ảo [4, 5] 13 1.5 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 14 1.5.1 Nguyên lý Gauss 14 1.5.2 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 16 1.5.2.1 Cơ học chất điểm 16 1.5.2.2 Cơ học môi trường liên tục 18 1.5.3 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss (tiếp theo) 24 1.5.4 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân cân dầm 28 1.5.5 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân dao động dầm 29 1.5.6 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân cân thẳng chịu uốn dọc 31 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT DẦM CHỊU UỐN 33 2.1 Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli [1] 33 2.1.1 Dầm chịu uốn túy phẳng 33 2.1.2 Dầm chịu uốn ngang phẳng 35 2.2 Lý thuyết dầm xét biến dạng trượt ngang 38 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN TÍNH TỐN DẦM CHỊU UỐN 44 3.1 Phương pháp sai phân hữu hạn 44 3.1.1 Biểu diễn đạo hàm cấp phương pháp sai phân hữu hạn 44 3.1.1.1 Biểu diễn đạo hàm parabôn nội suy 44 3.1.1.2 Biểu diễn đạo hàm phép triển khai Taylor 46 3.1.1.3 Sai phân lùi (sai phân lệch trái) 49 3.1.1.4 Sai phân tiến 54 3.1.1.5 Sai phân trung tâm 57 3.2 Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tính tốn dầm chịu uốn có điều kiện biên khác 62 3.2.1 Phương trình vi phân cân dầm 62 3.2.2 Các bước thực 63 3.2.3 Các ví dụ tính tốn 63 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 MỞ ĐẦU Lý nghiên cứu đề tài Trong lĩnh vực thiết kế kết cấu cơng trình, kết cấu máy v.v kỹ thuật tính tốn đại tạo nên khả mặt chất lượng Những khả tận dụng cách đầy đủ qua sử dụng phương pháp rời rạc hóa phương pháp số học kết cấu Các phương pháp cho phép lập chương trình tính tốn máy tính điện tử kết cấu chịu lực có mức độ phức tạp với điều kiện biên tải trọng Theo sơ đồ tính tốn thực nghiên cứu tĩnh học, động học ổn định kết cấu, kể đến cách hiệu đặc trưng phi tuyến vật liệu, đặc thù kết cấu chuyển vị lớn tác động phức tạp động đất, nổ Trong học kết cấu cổ điển mục đích tìm nghiệm liên tục, mà điều thực số hạn chế toán Do vậy, với toán lại vận dụng phương pháp riêng để tìm lời giải cho Khác với phương pháp học kết cấu cổ điển, vận dụng số loại phương pháp số theo sơ đồ tương đối thống dẫn đến chương trình tính máy tính điện tử với tính chất vạn Phương pháp sai phân hữu hạn hai phương pháp số với phương pháp phần tử hữu hạn mà ngày dùng phổ biến không cần bàn cãi tốn kỹ thuạt nói chung tốn kết cấu cơng trình nói riêng Phương pháp sai phân hữu hạn giải hầu hết toán học kết cấu đưa giải phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Nghiệm xác phương trình xác định cho số trường hợp riêng đơn giản với đặc trưng vật lý điều kiện biên chọn trước kết cấu Thực tế ứng dụng đa dạng, mà nghiệm xác dạng tường minh phần lớn tốn kết cấu khơng có Khi phương pháp số tạo khả phong phú để tìm lời giải Phương pháp sai phân dạng cổ điển theo hướng Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả dùng phương pháp sai phân hữu hạn để nghiên cứu nội lực chuyển vị dầm chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài “Tính tốn nội lực chuyển vị dầm phương pháp sai phân hữu hạn” Nội dung nghiên cứu - Trình bày nguyên lý biến phân thường dùng học - Trình bày lý thuyết dầm chịu uốn - Trình bày phương pháp sai phân hữu hạn ứng dụng để giải toán xác định nội lực chuyển vị dầm chịu tác dụng tải trọng tĩnh CHƯƠNG CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN THƯỜNG DÙNG TRONG CƠ HỌC Trong chương trình bày nguyên lý biến phân thường dùng học, trình bày phép tính biến phân, nguyên lý biến dạng tối thiểu, nguyên lý công bù cực đại, nguyên lý chuyển vị ảo, nguyên lý cực trị Gauss cuối phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 1.1 Phép tính biến phân [1, 2, 3] Định nghĩa biên phân δy: Biến phân δy hàm y(x) biến độc lập x hiệu hàm Y(x) với hàm y(x) δy = Y(x) -y(x) (1.1) Từ (1.1) ta thấy biến phân δy làm thay đổi quan hệ hàm y(x) khơng nên nhầm số gia Δy có số gia Δx, Δy =y(x+Δx)-y(x) Trong trường hợp quan hệ hàm y(x) không thay đổi Biến phân δy:’ Nếu hàm y biến phân δy có đạo hàm theo x biến phân δy’ có biến phân δy là: δy′ = δ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 δy = Y'(x)−y′(x) Trong (1.2) ký hiệu biến phân δ ký hiệu đạo hàm (1.2) 𝑑 𝑑𝑥 hốn đổi vị trí cho (tính chất giao hoán) Nếu cho hàm 𝐹 = 𝐹(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … 𝑦𝑛 ; 𝑥) số gia ΔF có biến phân 𝛿𝑦𝑖 xác định sau 𝐹(𝑦1 + 𝛿𝑦1 , 𝑦2 + 𝛿𝑦2 , 𝑦3 + 𝛿𝑦.3 , … 𝑦𝑛 + Δ𝐹 = { … 𝛿𝑦𝑛 ; 𝑥) − 𝐹(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … 𝑦𝑛 ; 𝑥) } ; Nếu cho hàm 𝐹 = 𝐹(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … 𝑦𝑛 , 𝑦 ′1 , 𝑦 ′ , 𝑦 ′ , … 𝑦 ′ 𝑛 ; 𝑥) số gia ΔF có biến phân 𝛿𝑦𝑖 , 𝛿𝑦′𝑖 xác định sau Δ𝐹 = 𝑦1 + 𝛿𝑦1 , 𝑦2 + 𝛿𝑦2 , 𝑦3 + 𝛿𝑦.3 , … 𝑦𝑛 + 𝛿𝑦𝑛 , 𝑦 ′1 + ( ′ )− ′ ′ ′ ′ ′ ′ 𝐹 { 𝛿𝑦 , … 𝑦 + 𝛿𝑦 , 𝑦 + 𝛿𝑦 , … + 𝑦 𝑛,… + 𝛿𝑦 𝑛 ; 𝑥 }+ (𝑦 ′1 + 𝛿𝑦 ′1 , 𝑦 ′ + 𝛿𝑦 ′ , 𝑦 ′ + 𝛿𝑦 ′ , … , 𝑦 ′ 𝑛 + 𝛿𝑦 ′ 𝑛 ; 𝑥) −𝐹{𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … 𝑦𝑛 , 𝑦 ′1 , 𝑦 ′ , 𝑦 ′ , … 𝑦 ′ 𝑛 ; 𝑥} Nếu hàm F liên tục đến đạo hàm bậc hai thi số gia ΔF viết tương tự theo cơng thức Taylor hàm 𝐹 = 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ) với ý đại lượng biến thiên 𝑥𝑖 trường hợp xét hàm 𝑦𝑖 có hai đại lượng biến thiên biến phân 𝛿𝑦𝑖 , 𝛿𝑦𝑖 ′ Ta có: ΔF=∑𝑛1{ 𝜕𝐹 𝜕𝑦𝑖 𝛿𝑦𝑖 + 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ 𝑖 𝜕2 𝐹 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑦𝑘 𝛿𝑦 ′ 𝑖 } + { ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑘=1 𝛿𝑦𝑖 𝛿𝑦𝑘 + 𝜕2 𝐹 𝜕2 𝐹 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ∑ ∑ +∑𝑖=1 𝑘=1 𝛿𝑦𝑖 𝛿𝑦′𝑘 +∑𝑖=1 𝑘=1 𝛿𝑦′𝑖 𝛿𝑦′𝑘 } 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑦 ′ 𝑘 𝜕𝑦′𝑖 𝜕𝑦 ′ 𝑘 +𝜀(𝜌2 ) (1.3) Biểu thức 𝜀(𝜌2 ) vô bé bậc hai 𝜌 𝜌 = √𝛿𝑦12 + 𝛿𝑦′12 + 𝛿𝑦22 + 𝛿𝑦′22 + ⋯ 𝛿𝑦𝑛2 + 𝛿𝑦′2𝑛 Thành phần có đạo hàm bậc (1.3) gọi biến phân bậc F ký hiệu 𝛿𝐹, thành phần có đạo hàm bậc hai (1.3) khơng có hệ số ½ gọi biến phân bâc hai ký hiệu 𝛿 𝐹 Như vậy, biến phân 𝛿𝐹, 𝛿 𝐹 số gia hàm F có biến phân 𝛿𝑦𝑖 , 𝛿𝑦′𝑖 Phương trình Euler: Tìm cực trị (giá trị max) phiếm hàm sau 𝑥2 𝑍 = ∫𝑥1 𝐹(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑥)𝑑𝑥 (1.4) với hai cận tích phân , x1 x2, cho Trong toán hàm y(x) y’(x) hàm chưa biết , cần tìm cho phiếm hàm Z đạt cực trị Theo qui tắc tìm cực trị số gia bậc Z phải không hay 𝛿𝑍 = Đưa biến phân bậc Z lấy theo (1.3) vào (1.4), ta có: 𝑥2 𝑥2 𝜕𝐹 𝛿𝑍 = ∫𝑥1 𝛿𝐹 𝑑𝑥 = ∫𝑥1 ( 𝜕𝑦 𝛿𝑦 + 𝜕𝐹 𝜕𝑦′ 𝛿𝑦′)𝑑𝑥 = (1.5) Lấy tích phân phần tích phân thứ hai phương trình (1.5), ta có: 𝑥2 𝜕𝐹 ∫𝑥1 𝜕𝑦 ′ 𝑥2 𝜕𝐹 𝛿𝑦 ′ 𝑑𝑥 = ∫𝑥1 𝜕𝑦 ′ 𝑑(𝛿𝑦) = 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ 𝑥2 𝑑 𝑥2 𝛿𝑦|𝑥1 − ∫𝑥1 ( 𝜕𝐹 𝑑𝑥 𝜕𝑦 ′ Phương trình (1.5) viết lại sau: 𝑥2 𝜕𝐹 𝑥2 𝜕𝐹 𝑑 𝜕𝐹 𝛿(𝜕𝑦| ) + ( − )𝛿𝑦𝑑𝑥 = ∫ 𝑥1 𝜕𝑦 𝑥1 𝜕𝑦 ′ 𝑑𝑥 𝜕𝑦 ′ ) 𝛿𝑦𝑑𝑥 (1.6) Bởi 𝛿𝑦 đại lượng từ (1.6) ta có 𝜕𝐹 𝜕𝑦 − 𝑑 ( 𝜕𝐹 𝑑𝑥 𝜕𝑦′ )=0 (1.7) Phương trình (1.7) gọi phương trình Euler Thành phần đầu (6) điều kiện tai cận cận x1 x2 Nếu giá trị hàm tai x1 x2 ,y(x1) y(x2) biết 𝛿𝑦𝑥1 = 𝛿𝑦𝑥2 = phương trình Euler (1.7) điều kiện cần dể phiếm hàm (1.4) có cực trị Nếu giá trị y(x1) y(x2) hai khơng xác định từ phương trình (1.6), ngồi phương trình Euler phải xét thêm hoăc hai điều kiện sau 𝜕𝐹 𝜕𝑦′𝑥1 𝜕𝐹 𝜕𝑦′𝑥2 =0 (1.8) =0 (1.9) Nếu phiếm hàm (1.4) chứa dạo hàm bậc cao , ví dụ bậc p: 𝑥2 𝑍 = ∫𝑥1 𝐹(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … 𝑦 (𝑝) , 𝑥)𝑑𝑥 (1.10) đưa 𝛿𝐹 từ (1.3) vào (1.10) thực tích phân phần nhiêu lần ta nhận phương trình Euler (1.10) Đối với phiếm hàm (1.10) ta có cơng thức tổng qt sau [] ∑𝑝𝑝=0(−1)𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑝 ( 𝜕𝐹 𝜕𝑦 (𝑝) )=0 (1.11) Khi hàm dấu tích phân chứa nhiều hàm 𝑦𝑖 với i=1,2,3,…n ứng với hàm 𝑦𝑖 ta có phương trình Euler dạng (1.7) (1.11) Trong phép tính biến phân nghiên cứu trường hợp hai cận tích phân x1 x2 đại lượng di động [1, 2, 3] y1  y  y  y  y  x EJ x y3  y  y5  y6  y7  EJ x y  y5  y  y  y8  EJ y5  y  y  y8  y  y  y3  y  y5  y6  y2  y3  y4  y  y  y8  y3  y7    q4    q5    q6              (d) Trong đó: q4=q 5=q6=qdx Có thể biểu diễn hệ phương trình (d) dạng ma trận sau: AX  B (e) Trong đó: A ma trận hệ số bên trái hệ phương trình (d) B véc tơ tải trọng; X véc tơ ẩn chuyển vị nút [ ]       X          y1  y2   y3   y4   y ; y6   y7  y  y        B          1 0 0              Giải hệ phương trình (e) ta nhận ẩn chuyển vị nút       X          y1   - 0.0137    - 0.0098  y2    y3       y4  0.0098      ql  y    0.0137   EJ   0.0098  y6     y7      - 0.0098  y8     - 0.0137  y  Ta nhận thấy y5 chuyển vị dầm: -0.002 ql y  0.0137 EJ -0.004 -0.006 -0.008 Kết xác là: -0.01 y5  4 5ql ql  0.0130 348EJ EJ -0.012 -0.014 X: Y: -0.01309 10 12 14 Đường độ võng Hình 3.12 Đường độ võng dầm hình 3.12 0.5 0.02 X: Y: 0.4583 0.4 0.3 -0.02 0.2 -0.04 0.1 -0.06 -0.1 -0.08 -0.2 -0.1 -0.3 -0.12 -0.14 X: 13 Y: -0.4583 -0.4 X: Y: -0.125 -0.5 10 12 Hình 3.13 Biểu đồ mơmen 14 10 12 Hình 3.14 Biểu đồ lực cắt uốn M Q Nhận xét kết trên: Khi chia cột dầm thành 12 phần tử ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau: BẢNG SO SÁNH M, Y TẠI CÁC TIẾT DIỆN GIỮA DẦM, LỰC CẮT Q TẠI HAI ĐẦU DẦM Nội lực Lời giải số theo Lời giải chuyển vị phương pháp xác PTHH Sai số % 14 M 0,1250 0,1250 Q 0,4583 0,5000 8,34 Y 0,0131 0,013 0,77 Ta thấy kết nhận được, lực cắt Q có sai số 8,34%, M trùng khớp với lời giải xác, độ võng y có sai số khơng đáng kể Khi chia dầm thành phần tử ta nhận kết sau: BẢNG SO SÁNH M, Y TẠI CÁC TIẾT DIỆN GIỮA DẦM, LỰC CẮT Q TẠI HAI ĐẦU DẦM Nội lực Lời giải số theo Lời giải chuyển vị phương pháp xác Sai số % PTHH M 0,1250 0,1250 Q 0,3750 0,5000 25 Y 0,0137 0,013 5,38% Khi chia dầm thành phần tử nhận M hồn tồn xác, độ võng sai số 5,38%, lực căt Q hai đầu dầm có sai số lớn (25%) Ví dụ 2: Dầm đầu ngàm - đầu khớp Cho dầm chịu lực hình 3.15a, dầm có độ cứng uốn EJ=const Hãy xác định chuyển vị nội lực dầm SO DO DAM DANH SO NUT DAM DANH SO AN CHUYEN VI Hình 3.11 Dầm đầu ngàm - đầu khớp Lời giải: Làm tương tự ví dụ 1, khác điều kiện biên bên trái dầm ngàm nên góc xoay khơng Viết phương trình cho điểm chia dầm thực theo yi 2  yi 1  yi  yi 1  yi 2 x  qi EJ (a) Trong đó: x khoảng cách điểm i, qi tải trọng i Đoạn dầm thực có chiều dài l chia thành đoạn x  l / Viết phương trình sai phân theo (a) điểm 3, 4, 5, 6, dầm thực ta nhận phương trình sai phân cân trình bày dạng ma trận [A]X=B [A], X B sau: [ ] (b)       X          y1  y2   y3   y4   y ; y6   y7  y  y        B          1 0 0              Giải hệ phương trình (b) ta nhận ẩn chuyển vị nút       X          y1   0.0218    0.0036  y2    y3       y4  0.0036      ql  y    0.0066   EJ      0.0053 y6    y7      - 0.0053  y8      0.0066 y   Đường độ võng x 10 -3 dầm hình 3.16 -1 -2 -3 -4 X: Y: -0.005362 -5 -6 Hình 3.16 Đường độ võng 10 12 14 0.15 0.6 X: Y: 0.582 0.5 X: Y: 0.1237 0.1 0.4 0.3 0.05 0.2 0.1 0 -0.1 X: Y: -0.06315 -0.05 -0.2 X: 13 Y: -0.3346 -0.3 -0.1 10 Hình 3.17 Biểu đồ mômen 12 14 -0.4 10 12 14 Hình 3.18 Biểu đồ lực cắt Q uốn M Nhận xét kết trên: Khi chia cột dầm thành 12 phần tử ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau: BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực Lời giải số theo Lời giải chuyển vị phương pháp xác Sai số % PTHH M đầu dầm -0,1237 -0,1250 1,04 M dầm 0,0632 0,0625 1,12 Q đầu dầm 0,5820 0,6250 6,88 Q cuối dầm -0,3346 -0,3750 10,77 Y dầm 0,0054 0,0053 1,88 Ta thấy kết nhận được, lực cắt Q đầu cuối dầm có sai số 6,88% 10,77%, M độ võng y có sai số khơng đáng kể Khi chia dầm thành phần tử ta nhận kết sau: BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực Lời giải số theo Lời giải chuyển vị phương pháp xác Sai số % PTHH M đầu dầm -0,1136 -0,1250 9,12 M dầm 0,0682 0,0625 9,12 Q đầu dầm 0,4886 0,6250 21,82 Q cuối dầm -0,2614 -0,3750 30,29 Y dầm 0,0066 0,0053 24,52 Khi chia dầm thành phần tử kết nhận có sai số tương đối lớn, đặc biệt lực cắt Q hai đầu dầm độ võng dầm, với sai số 21,82%, 30,29% 24, 52% Như vậy, ta thấy trường hợp dầm siêu tĩnh, liên kết hai đầu không đối xứng kết hội tụ lời giải giải tích chậm Ví dụ 3: Dầm đầu ngàm Cho dầm chịu lực hình 3.19a, dầm có độ cứng uốn EJ=const Hãy xác định chuyển vị nội lực dầm SO DO DAM DANH SO NUT DAM Hình 3.19 Dầm đầu ngàm Lời giải: Làm tương tự ví dụ 1, khác điều kiện biên hai đầu dầm ngàm nên góc xoay hai vị trí khơng Viết phương trình cho điểm chia dầm thực theo yi 2  yi 1  yi  yi 1  yi 2 x  qi EJ (a) Trong đó: x khoảng cách điểm i, qi tải trọng i Đoạn dầm thực có chiều dài l chia thành đoạn x  l / Viết phương trình sai phân theo (a) điểm 3, 4, 5, 6, dầm thực ta nhận phương trình sai phân cân trình bày dạng ma trận [A]X=B [A], X B sau: (b) [ ]       X          y1  y2   y3   y4   y ; y6   y7  y  y        B          1 0 0              Giải hệ phương trình (b) ta nhận ẩn chuyển vị nút       X          y1   0.0156    0.0024  y2    y3       y4  0.0024      ql  y    0.0039   EJ      0.0024 y6    y7      0.0024  y8      0.0156  y9   Đường độ võng dầm x 10 -3 hình 3.16 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 X: Y: -0.002749 10 12 14 Hình 3.20 Đường độ võng 0.1 0.5 0.4 0.08 X: Y: 0.08275 X: Y: 0.4583 0.3 0.06 0.2 0.04 0.1 0.02 -0.1 -0.2 -0.02 -0.3 -0.04 -0.06 Hình 3.21 Biểu đồ mômen uốn M X: 13 Y: -0.4583 -0.4 X: Y: -0.04225 10 -0.5 12 14 Hình 3.22 Biểu đồ lực cắt Q Nhận xét kết trên: Khi chia cột dầm thành 12 phần tử ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau: 10 12 BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực Lời giải số theo Lời giải chuyển vị phương pháp xác Sai số % PTHH M đầu dầm -0,0828 -0,0833 0,60 M dầm 0,0423 0,0417 1,12 Q đầu dầm 0,4583 0,5000 0,014 Y dầm 0,0028 0,0026 7,69 Ta thấy kết nhận được, M Q đầu dầm có sai số khơng đáng kể, riêng độ võng có sai số 7,69% Khi chia dầm thành phần tử ta nhận kết sau: BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực Lời giải số theo Lời giải chuyển vị phương pháp xác Sai số % PTHH M đầu dầm -0,0781 -0,0833 6,24 M dầm 0,0469 0,0417 12,47% Q đầu dầm 0,3750 0,5000 25 Y dầm 0,0039 0,0026 50 Khi chia dầm thành phần tử kết nhận có sai số tương lớn, đặc biệt lực cắt Q hai đầu dầm độ võng dầm, với sai số 25%, 50%, M dầm có sai số 12,47% Như vậy, ta thấy trường hợp dầm siêu tĩnh, liên kết hai đầu không đối xứng kết hội tụ lời giải giải tích chậm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương đến chương 3, tác giả rút số kết luận sau: Đã trình bày nội dung phương pháp sai phân hữu hạn, trình bày lý thuyết tính tốn dầm chịu uốn áp dụng thành công phương pháp sai phân hữu hạn toán dầm đơn chịu tác dụng tải trọng phân bố Độ xác kết nhận phụ thuộc vào toán tĩnh định hay siêu tĩnh, liên kết hai đầu dầm đối xứng hay chẳng hạn ví dụ 3.1, dầm đơn giản, tốn có hai đầu liên kết đói xứng nên chia dầm thành phần tử nhận M hồn tồn xác, độ võng sai số 5,38%, lực căt Q hai đầu dầm có sai số lớn (25%) Trong đó, ví dụ 3.2, dầm ngàm - khớp chia dầm thành phần tử kết nhận có sai số lớn, đặc biệt lực cắt Q hai đầu dầm độ võng dầm, với sai số 21,82%, 30,29% 24, 52% Cũng tương tự vậy, dầm hai đầu ngàm có lực cắt Q hai đầu dầm độ võng dầm, với sai số 25%, 50%, M dầm có sai số 12,47% Nhìn chung dầm siêu tĩnh lực cắt Q độ võng y dầm có sai số lớn nhiều so với dầm tĩnh định nhịp tải trọng số phần tử chia Khi chia dầm thành nhiều phần tử kết nhận tiệp cận với kết xác hơn, khảo sát trường hợp chia dầm thành 12 phần tử, nhận kết gần trùng khớp với lời giải giải tích, ngoại trừ lực cắt Q sai số từ 8% , 7% 10%, tương ứng với ví dụ 3.1, 3.2 3.3 Nếu chia dầm thành 16 phần tử trở lên ta nhận kết xác tốn KIẾN NGHỊ Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tính tốn cho kết cấu phức tạp Có thể dùng nội dung nghiên cứu luận văn để tham khảo, học tập, nghiên cứu ứng dụng thực tế tính tốn cơng trình TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1]Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [2]Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [3]Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2010), Giáo trình học cơng trình, Nhà xuất xây dựng [4]Lều Thọ Trình, Nguyễn Mạnh Yên (1998), Cơ học kết cấu, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [5]Đoàn Văn Duẩn (2015), Bài toán học kết cấu dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [6] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [7]Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [8]T Karamanxki, người dịch Nguyễn Tiến Cường (1985), Phương pháp số học kết cấu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [9]Nguyễn Trâm, Phương pháp phần tử hữu hạn (2007), Nhà xuất xây dựng II Tiếng Anh [10]Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [11]Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [12]O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [13]G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [14] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [15]C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [16]Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London ... phân hữu hạn để nghiên cứu nội lực chuyển vị dầm chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài “Tính tốn nội lực chuyển vị dầm phương pháp sai phân hữu hạn Nội dung... vạn Phương pháp sai phân hữu hạn hai phương pháp số với phương pháp phần tử hữu hạn mà ngày dùng phổ biến không cần bàn cãi tốn kỹ thuạt nói chung tốn kết cấu cơng trình nói riêng Phương pháp sai. .. Taylor 46 3.1.1.3 Sai phân lùi (sai phân lệch trái) 49 3.1.1.4 Sai phân tiến 54 3.1.1.5 Sai phân trung tâm 57 3.2 Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tính tốn dầm chịu uốn có điều