Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn Toán cao cấp A1 Sử dụng cho các trường Trung cấp,CĐ và ĐH
SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CAO CP (A1) Biên son: TS. V GIA TÊ Ths. PHI NGA Gii thiu môn hc 0 1 2 GII THIU MÔN HC 1. GII THIU CHUNG: Toán cao cp A1 là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành thuc khi k thut. hc tt môn Toán cao cp theo phng thc ào to t xa, bên cnh các hc liu: sách, giáo trình in, bng đa hình, ., sách hng dn cho ngi hc toán cao cp là rt cn thit. Tp sách hng dn này đc biên son là nhm mc đích trên. Tp sách đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca B Giáo dc ào to và theo đ cng chng trình đc Hc vin Công ngh BC-VT thông qua nm 2004. Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng đi hc k thut, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh BC- VT biên son nm 2001 và kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, tài liu này có th dùng đ hc tp và tham kho cho sinh viên ca tt c các trng, các ngành đi hc và cao đng. Cách trình bày trong sách thích hp cho ngi t hc, đc bit phc v đc lc trong công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn hng dn ca mi chng đ thy đc mc đích, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ ràng. Sau các chng, ngi đc phi t tr li đc các câu hi ôn tp. Nh các ví d minh ho đc đa ra t đn gin đn phc tp, ngi đc có th coi đó là bài tp mu đ t gii các bài tp có trong tài liu. Ngi đc có th t kim tra, đánh giá kin thc, kh nng thu nhn da vào phn hng dn và đáp s đc cung cp nhng trang cui sách. Cng cn nhn mnh rng, ni dung chính ca toán cao cp là phép tính vi phân và phép tính tích phân mà nn tng ca nó là phép tính gii hn ca hàm s. Chính vì th chúng tôi trình bày khá t m hai chng đu ca tài liu đ ngi hc t đc cng có th có đc các kin thc vng vàng đ đc tip các chng sau. Trong quá trình t đc và hc qua mng, tu theo kh nng tip thu, hc viên có th ch cn nh các đnh lý và b qua phn chng minh ca nó. 2 Gii thiu môn hc Nhân đây tác gi cng lu ý rng bc trung hc ph thông ca nc ta, chng trình toán cng đã bao hàm các kin thc v vi, tích phân. Tuy nhiên các ni dung đó ch mang tính cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do cu to chng trình. Vì th nu không t đc mt cách nghiêm túc các đnh ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy rt gp khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp. Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 60 đn 75 tit: Chng I: Gii hn ca dãy s. Chng II: Hàm s mt bin s. Chng III: Phép tính vi phân hàm s mt bin s. Chng IV: Phép tính tích phân. Chng V: Lý thuyt chui 2. MC ÍCH MÔN HC Hc phn này s cung cp các kin thc v phép tính vi, tích phân ca hàm s mt bin, s thc và phép tính vi phân ca hàm nhiu bin s. Ni dung ca hc phn tuân th theo quy đnh v hc phn Toán cao cp A1 ca B GD-T dành cho các Trng thuc khi ngành công ngh. 3. PHNG PHÁP NGHIÊN CU MÔN HC hc tt môn hc này, sinh viên cn lu ý nhng vn đ sau : 1- Thu thp đy đ các tài liu : ◊ Bài ging: Toán cao cp A1.V Gia Tê, Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005. ◊ Sách hng dn hc tp và bài tp: Toán cao cp A1. V Gia Tê, Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005. ◊ Bài ging đin t: Toán cao cp A1. Hc vin Công ngh BCVT, 2005. Nu có điu kin, sinh viên nên tham kho thêm: Các tài liu tham kho trong mc Tài liu tham kho cui cun sách này. 3 Gii thiu môn hc 2- t ra mc tiêu, thi hn cho bn thân: X t ra mc các mc tiêu tm thi và thi hn cho bn thân, và c gng thc hin chúng Cùng vi lch hc, lch hng dn ca Hc vin ca môn hc cng nh các môn hc khác, sinh viên nên t đt ra cho mình mt k hoch hc tp cho riêng mình. Lch hc này mô t v các tun hc (t hc) trong mt k hc và đánh du s lng công vic cn làm. ánh du các ngày khi sinh viên phi thi sát hch, np các bài lun, bài kim tra, liên h vi ging viên. X Xây dng các mc tiêu trong chng trình nghiên cu Bit rõ thi gian nghiên cu khi mi bt đu nghiên cu và th thc hin, c đnh nhng thi gian đó hàng tun. Suy ngh v thi lng thi gian nghiên cu đ “Tit kim thi gian”. “Nu bn mt quá nhiu thì gi nghiên cu”, bn nên xem li k hoch thi gian ca mình. 3- Nghiên cu và nm nhng kin thc đ ct lõi: Sinh viên nên đc qua sách hng dn hc tp trc khi nghiên cu bài ging môn hc và các tài liu tham kho khác. Nên nh rng vic hc thông qua đc tài liu là mt vic đn gin nht so vi vic truy cp mng Internet hay s dng các hình thc hc tp khác. Hãy s dng thói quen s dng bút đánh du dòng (highline maker) đ đánh du các đ mc và nhng ni dung, công thc quan trng trong tài liu. 4- Tham gia đy đ các bui hng dn hc tp: Thông qua các bui hng dn hc tp này, ging viên s giúp sinh viên nm đc nhng ni dung tng th ca môn hc và gii đáp thc mc; đng thi sinh viên cng có th trao đi, tho lun ca nhng sinh viên khác cùng lp. Thi gian b trí cho các bui hng dn không nhiu, do đó đng b qua nhng bui hng dn đã đc lên k hoch. 5- Ch đng liên h vi bn hc và ging viên: Cách đn gin nht là tham d các din đàn hc tp trên mng Internet. H thng qun lý hc tp (LMS) cung cp môi trng hc tp trong sut 24 gi/ngày và 7 ngày/tun. Nu không có điu kin truy nhp Internet, sinh viên cn ch đng s dng hãy s dng dch v bu chính và các phng thc truyn thông khác (đin thoi, fax, .) đ trao đi thông tin hc tp. 4 Gii thiu môn hc 6- T ghi chép li nhng ý chính: Nu ch đc không thì rt khó cho vic ghi nh. Vic ghi chép li chính là mt hot đng tái hin kin thc, kinh nghim cho thy nó giúp ích rt nhiu cho vic hình thành thói quen t hc và t duy nghiên cu. 7- Tr li các câu hi ôn tp sau mi chng, bài. Cui mi chng, sinh viên cn t tr li tt c các câu hi. Hãy c gng vch ra nhng ý tr li chính, tng bc phát trin thành câu tr li hoàn thin. i vi các bài tp, sinh viên nên t gii trc khi tham kho hng dn, đáp án. ng ngi ngn trong vic liên h vi các bn hc và ging viên đ nhn đc s tr giúp. Nên nh thói quen đc và ghi chép là chìa khoá cho s thành công ca vic t hc! 5 Chng 1: Gii hn ca dãy s 1. 2. CHNG I: GII HN CA DÃY S 1.1 MC ÍCH Trong nhiu vn đ lý thuyt cng nh thc t, ngi ta phi xét nhng đi lng mà trong quá trình bin thiên đi lng đó ly nhng giá tr rt gn đn mt hng s a nào đy. Trong quá trình này, ta gi đi lng đang xét là dn đn a hay có gii hn là a. Nh vy đi lng có gii hn là a có th đt đc giá tr a và cng có th không bao gi đt đc giá tr a, điu này trong quá trình tìm gii hn không cn quan tâm đn. Ví d: 1. Gi x là biên đ ca mt con lc tt dn. Rõ ràng trong quá trình dao đng, biên đ ca nó gim dn ti 0 và thc t sau khong thi gian xác đnh con lc dng li, ta nói rng x có gii hn là 0 trong quá trình thi gian trôi đi. 2. Xét dãy s (u n ) có dng 1+ = n n u n . Quá trình n tng lên mãi thì u n tng dn v s rt gn 1. Nói rng dãy s có gii hn là 1 khi n tng lên vô cùng. Gii hn là mt khái nim khó ca toán hc. Khái nim gii hn đc cho bi t “gn”, đ mô t đnh tính. Còn đnh ngha chính xác ca nó cho bi cm t “ bé hn ε ” hoc “ln hn M” đ mô t đnh lng s đc gii thiu trong chng này. Khi đã hiu đc khái nim gii hn thì s d dàng hiu đc các khái nim đo hàm, tích phân. Bi vì các phép toán đó đu xut phát t phép tính gii hn. Trong mc th nht cn hiu đc vai trò thc s ca s vô t. Nh tính cht đy ca tp s thc mà ngi ta có th biu din tp s thc trên trc s - gi là trc thc và nói rng tt c các s thc lp đy trc s. Nói khác đi có s tng ng 1-1 gia các s thc và các đim trên trc s. Cng nên nhn xét đc tp Q không có tính đy. Hc viên cn nm chc khái nim tr tuyt đi ca mt s thc và các phép tính v nó. Trong mc th hai cn hiu đc vai trò ca s phc v mt lý thuyt cng nh ng dng sau này trong k thut. Thc cht mt s phc z là mt tng ng 1-1 vi cp có th t các s thc (x,y). Cn phi nm vng khái nim 7 Chng 1: Gii hn ca dãy s modul và acgumen ca s phc và các dng biu din s phc: dng đi s, dng lng giác, dng hàm m. T đó có th làm thông tho các phép tính trên tp C, đc bit dùng công thc Moivre trong các ng dng vào lng giác. Trong mc th ba cn nm vng khái nim hi t, có gii hn và phân k ca dãy s. Nm vng các tính cht: b chn, không b chn, đn điu ca dãy s. Nh vào các tính cht này mà thit lp đc các điu kin cn, điu kin đ đ dãy s có gii hn. Khái nim dãy con ca mt dãy s cng là mt khái nim khó. Ngi hc phi đc k đnh ngha và c gng hình dung đ hiu rõ khái nim này. ôi khi s hi t hay phân k ca mt dãy s có th nhn bit nh vào tính cht ca vài dãy con. c bit phi nm đc khái nim hai dãy k nhau đ t đó có khái nim v các đon lng nhau đc dùng trong chng minh đnh lý Bolzano-Weierstrass. 1.2 TÓM TT NI DUNG 1.2.1 S thc a. Các tính cht c bn ca tp s thc. Tt c các s hu t và s vô t to thành tp hp s thc. Kí hiu tp s thc là R. Tp s vô t là R\Q. X Tính cht 1: Tp R là mt trung giao hoán vi hai phép cng và nhân: (R, + , .). 1. RbaRbaRba ∈∈+∈∀ .,,, 2. )().(),()(,,, bcacbacbacbaRcba =++=++∈∀ 3. baababbaRba =+=+∈∀ ,,, 4. R có phn t trung hoà đi vi phép cng là 0 và đi vi phép nhân là 1 aaaRa =+=+∈∀ 00, = = a 1.a a.1 5. Phân phi đi vi phép cng acabcbaRcba +=+∈∀ )(,,, cabaacb +=+ )( 6. Tn ti phn t đi ca phép cng 0)(),(, =−+−∃∈∀ aaaRa Tn ti phn t nghch đo ca phép nhân 8 Chng 1: Gii hn ca dãy s 1.,},0{\, 11** =∃=∈∀ −− aaaRRRa X Tính cht 2: Tp R đc xp th t toàn phn và đóng kín đi vi các s thc dng. 1. hoc baRba <∈∀ ,, ba = hoc ba > 2. bcacbaRcRba cbcabaRcba ≤⇒≤∈∈∀ +≤+⇒≤∈∀ + ,,, ,,, 3. +++ ∈∈+∈∀ RabRbaRba ,,, X Tính cht 3: Tp R là đy theo ngha sau đây: Mi tp con X không rng ca R b chn trên trong R đu có mt cn trên đúng thuc R và mi tp con không rng X ca R b chn di trong R đu có mt cn di đúng thuc R. b. Tp s thc m rng Ngi ta thêm vào tp s thc R hai phn t kí hiu là và . Tp s thc m rng kí hiu là ∞− ∞+ R và { } +∞∞−∪= ,RR , các phép toán + và ., quan h th t đc đnh ngha nh sau: 1. Rx ∈∀ −∞=+−∞=−∞+ +∞=++∞=+∞+ xx xx )()( )()( 2. −∞=−∞+−∞ +∞=+∞++∞ )()( )()( 3. {} 0,, ** >∈=∈∀ ++ xRxRRx −∞=−∞=−∞ +∞=+∞=+∞ xx xx )()( )()( {} 0,, ** <∈=∈∀ −− xRxRRx +∞=−∞=−∞ −∞=+∞=+∞ xx xx )()( )()( 4. −∞=+∞−∞=−∞+∞ +∞=−∞−∞=+∞+∞ ))(())(( ))(())(( 5. Rx ∈∀ +∞≤∞+ −∞≤∞− +∞<<∞− x c. Các khong s thc Cho và .Trong R có chín loi khong sau đây: Rba ∈, ba ≤ 9 Chng 1: Gii hn ca dãy s [] đc gi là đon hay khong đóng b chn { bxaRxba ≤≤∈= ;, } } } } đc gi là khong na đóng hoc na m [ ){ } ( ] { bxaRxba bxaRxba ≤<∈= <≤∈= ;, ;, đc gi là các khong m [ ){ } ( ] {} (){ (){ } (){ axRxa xaRxa bxaRxba axRxa xaRxa <∈=∞− <∈=+∞ <<∈= ≤∈=∞− ≤∈=+∞ ;, ;, ;, ;, ;, Các s thc a,b gi là các mút ca khong. d. Giá tr tuyt đi ca s thc X nh ngha: Giá tr tuyt đi ca s thc x, kí hiu x là mt s thc không âm xác đnh nh sau ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤− ≥ = 0 0 xkhix xkhix x X Tính cht 1. ),(, xxMaxxRx −=∈∀ 2. 00 =⇔= xx 3. n n n i i n i in xxRx xxRxxxxNn yxxyRyx =∈∀ =∈∀∈∀ =∈∀ ∏∏ == , ,,,,,, ,, 11 321 * K 4. xx Rx 11 , * =∈∀ 5. 10 Chng 1: Gii hn ca dãy s ∑∑ == ≤∈∀∈∀ +≤+∈∀ n i i n i in xxRxxxNn yxyxRyx 11 21 * ,,,,, ,, K 6. () () yxyxyxMin yxyxyxMaxRyx −−+= −++=∈∀ 2 1 ),( 2 1 ),(,, 7. yxyxRyx −≤−∈∀ ,, e. Khong cách thông thng trong R X nh ngha: Khong cách trong R là ánh x () yxyx RRRd − →× a, : ó là hình nh trc quan v khong cách gia 2 đim x và y trên đng thng trc s thc R. X Tính cht 1. () yxyxd =⇔= 0, 2. ()() xydyxdRyx ,,,, =∈∀ 3. () ()( zydyxdzxdRzyx ,,,,,, +≤∈∀ ) 4. ()() ( ) zydzxdyxdRzyx ,,,,,, ≤−∈∀ 1.2.2 S phc a. nh ngha: Cho ,mt s biu din di dng z=x+iy,trong đó gi là mt s phc.Tp các s phc kí hiu là C. () 2 , Ryx ∈ 1 2 −=i Gi x là phn thc ca z, kí hiu Rez =x y là phn o ca z,kí hiu là Imz =y Gi môđun ca z,kí hiu z xác đnh bi s thc không âm 0 22 ≥=+= ryxz 11 [...]... vô cùng bé ho c vô cùng l n t ng ng th c s ã có k n ng k x o gi i các bài t p sau này Cu i cùng trong m c th t chúng ta c p n m t l p hàm s c bi t quan tr ng b i vì nó luôn luôn xu t hi n trong toán cao c p A1, A3: Hàm s liên t c Vi c mô t hình h c hàm s liên t c t i x0, liên t c m t phía t i x0, liên t c trên kho ng (a,b), trên o n [a,b] , là vi c làm vô cùng c n thi t Nó ph n ánh s hi u th u áo... liên h tr c ti p v i hàm s có gi i h n H n n a trong các tính toán th ng hay g p các i l ng này C n n m c các so sánh vô cùng bé, vô cùng l n b i vì nó r t có ích trong quá trình kh các d ng b t nh, trong quá trình ánh giá, tính g n úng và c bi t là cách mô t sau này Bi t các vô cùng bé ho c vô cùng l n t ng ng th c s ã có k n ng k x o gi i các bài t p sau này Cu i cùng trong m c th t chúng ta c p n m... các d ng b t nh c bi t : log a (1 x) , x n hàm liên t c trên m t o n kín là ph i ngh ngay n tính trù m t, tính t c giá tr l n nh t và nh nh t c a nó, tính liên t c u Nh ng tính ch t này làm c s cho bài toán tìm giá tr bé nh t, l n nh t, tìm nghi m g n úng c a ph ng trình i s hay tính kh tích c a nó 2.2 TÓM T T N I DUNG 2.2.1 Các khái ni m c b n v hàm s a Các X nh ngh a c b n nh ngh a hàm s Cho X là... nhau k2 ,k Z V y s ph c z có các d ng vi t: 1 z =x+iy g i là d ng chính t c hay d ng 2 z = r cos g i là d ng l i sin y z , v i z 0 và Arg0 không xác nh i s c a s ph c z ng giác c a s ph c z b Các phép toán trên t p C X Phép so sánh b ng nhau ' x, y , x , y ' 4 R , x iy x ' iy ' x x' y y' X Phép l y liên h p Cho z x iy C ,liên h p c a z,kí hi u z cho b i z x iy X Phép l y s ph c i Cho z=x+iy C,s ph c... 17 Th nào là m t dãy con? N u dãy phân k thì các dãy con c a nó có phân k không? Câu 18 Phát bi u nh lý Bolzano-Weierstrass N u dãy không b ch n thì có th l y ra m t dãy con c a nó h i t c không? 1.4 BÀI T P CH S NG I TH C: Câu 1 Ch ng minh r ng 3 là s vô t Câu 2 Gi i các ph 18 ng trình sau v i ( x, y, z) R 3 Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s a) 3x2 + y2 +z2 =2x(y + z) b) 3x2 + 4y2 +18z2 - 4xy - 12xz =... 18 Ch ng minh v i 22 x 3 x2 Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s n N* Câu 19 Cho (n,x) R , tính cos 3 kx S= k 0 Câu 20 V i ( n, x ) N (R 2 Z) tính các t ng: n n a e ikx A n (x) k 1.5 H b k 0 n NG D N VÀ ÁP S BÀI T P CH S TH C Câu 2 Rút g n v d ng toàn ph a ( 3z, NG I ng b ng ph ng pháp Gauss (0,0,0) b A k (x) B n (x) 3 z ,z) , z R ho c (6t, 3t, 2t) ,t R 2 Câu 3 Không t n t i InfE , Câu 4 a) 1 ; 2 Câu 6 a)... 1,1 R * , t c là x R\ R* , y 1,1 , y Arg coth x ng 2: Hàm s m t bi n s cc a x coth : R * R\ 1,1 , kí coth y X a th c, hàm h u t 1 Ánh x P: X c g i là a th c khi và ch khi t n t i n N R n và Rn ( a0 , a1 , , an ) 1 sao cho x X, ai x i P( x ) i 0 N u 0, an 2 Ánh x a th c P,Q: f : X X G i g i n là b c c a a th c, kí hi u degP(x)=n R sao cho P( x ) Q( x ) f ( x) c g i là hàm h u t khi và ch khi t n t i . liu : ◊ Bài ging: Toán cao cp A1. V Gia Tê, Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005. ◊ Sách hng dn hc tp và bài tp: Toán cao cp A1. V Gia. HC TP TOÁN CAO CP (A1) Biên son: TS. V GIA TÊ Ths. PHI NGA Gii thiu môn hc 0 1 2 GII THIU MÔN HC 1. GII THIU CHUNG: Toán cao cp A1 là hc