ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009 Thời gian: 180 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I: ( 2 điểm) Cho hàm số 3 2 ( ) : 1 m C y x mx = + − , m là tham số thực 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 3 2) Xác định m để phương trình 3 2 1 0x mx + − = có nghiệm duy nhất Câu II: ( 2 điểm) 1) Giải phương trình: ( ) 17 tan 1 sin 2 sin 4 4 2 x x x π π     + − = +  ÷  ÷     2) Tìm m để phương trình 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = có nghiệm Câu III: ( 2 điểm) 1) Tính tích phân 3 4 4 0 4sin 1 cos x I dx x π = + ∫ 2) Cho hình chóp S.ABC có các cạnh đều bằng 1, O là tâm của tam giác ABC, I là trung điểm SO, mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ số thể tích của tứ diện SBCM và SABC. Câu IV: ( 1 điểm) Cho 2 2 2 0 , , 1 1.x y z vaø x y z≤ ≤ + + = Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 2 1 1 1 x y z x y z + + ≥ − − − PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn môt trong hai phần( phần 1 hoặc phần 2 ) 1) Theo chương trình chuẩn: Câu Va: (2 điểm) 1) Cho hình vuông có đỉnh A(-4, 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x – y 8 0+ = . Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông. 2) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 người ta lập ra được các số có 4 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số này. Câu VI a: (1 điểm) Cho mặt cầu (S) 2 2 2 2 4 6 5 0x y z x y z+ + − − − + = và mặt phẳng (P): 2 2 20 0x y z+ − + = . Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ngắn nhất. 2) Theo chương trình nâng cao Câu Vb: (1 điểm) Giải bất phương trình 2 3 1 4 log log 0 3 x x x x π −   + >   −   Câu VIb: (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 3 6 1 ( ) : 1 2 1 x y z− − − ∆ = = − và mặt phẳng (P) 2 2 6 0x y z− + − = a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và đi qua điểm O( O là góc tọa độ ) b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 16 π . . . . . . .Hết . . . . . ( Chúc các em làm bài tốt ) HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I: ( 2 điểm) 1) Khi m = 3 3 2 ( ) : 3 1C y x x→ = + − 2 2 0 1 ' 3 6 , ' 0 3 6 2 3 x y y x x y x x x y  = → = − • = + = ⇔ + =⇔  = − → =  • Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ • Bảng biến thiên • Đồ thị 2) Đặt 3 2 1y x mx = + − 2 0 ' 3 2 , ' 0 2 / 3 x y x mx y x m  = • = + = ⇔  = −  TH1: hàm số không có cực trị ⇒ m = 0 TH2: . 0 CD CT y y > 2 3 2 . ' 1 9 9 x m m x y y + − = + − 3 3 3 4 3 2 . 1 0 27 2 3 2 : 0; 2 CD CT m y y m Ñaùp soá m m = − > ⇔ > = > Câu II: ( 2 điểm) 1) Điều kiện , 4 x k k Z π π ≠ + ∈ Ta có: 2 2 1 tan (1 sin 2 ) cos 4 (sin cos ) cos 4 2sin 2 sin 2 0 1 tan sin 2 0 , 2 1 12 sin 2 ( ) 2 5 12 x x x x x x x x x k x x k Z x l x l Z x l π π π π π + − = ⇔ + = ⇔ + = −  = → = ∈     ⇔ = +   = → ∈     = +     2) Điều kiện 3 6x − ≤ ≤ Đặt 3 6t x x= + + − , 3, 6 3, 3 2Khi x t     ∈ − → ∈     Ta có phương trình 2 2 9 2 9 2 2 t t t t m m − − + + − = ⇔ = Đáp số: 9 6 2 5 2 m − + ≤ ≤ Câu III: ( 2 điểm) 1) Đặt t = cosx 2 / 2 2 / 2 2 / 2 2 2 2 4 4 2 1 1 1 2 3 2 /2 2 1 1 4(1 ) 4( 1) 4( 1) 1 1 1 1 4 2 dx t dt x dx x I t x x x dt Ñaët t x I x t − − − → = = = + + + = + → = − ∫ ∫ ∫ ∫ Đáp số: 3 2 4 20 I − = 2) Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ A∈Ox, S ∈Oz, BC//Oy Tọa độ các điểm: 3 ( ;0;0) 3 A ; 3 1 ( ; ;0) 6 2 − −B ; 3 1 ( ; ;0) 6 2 −C ; 6 (0;0 ) 3 S ; 6 (0;0; ) 6 I Ta có: (0;1;0)= uuur BC ; 3 1 6 ( ; ; ) 6 2 6 = − − uur IC ; 6 3 , ( ;0; ) 6 6   ⇒ = −   uuur uur BC IC ⇒ Phư¬ng trình mặt phẳng (IBC) là: 6 3 6 ( 0) 0( 0) ( ) 0 6 6 6 − − + − + − =x y z Hay: 6 2 0 6 − + − =z mà ta lại cú: 3 6 ( ;0; ) // (1;0; 2) 3 3 = − ⇒ − uur uur r SA SA SA u Phương trình đường thẳng SA: 3 ; 3 = +x t 0; 2= = −y z t . + Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 3 (1) 3 0 (2) 2 (3) 6 2 0(4) 6  = +   =    = −    − + − =   x t y y t x z Thay (1) (2) (3) vào (4) có: 3 6 3 6 ; 0; ( ;0; ) 12 4 12 4 ⇒ = = = ⇒x y z M ; 3 6 ( ;0; ) 4 12 12 ⇒ = − ⇒ = uuur uur uuur SM SA SM ⇒ M nằm trên đoạn SA và 1 4 = SM SA ( ) 1 ( ) 4 ⇒ = SBCM SABC V V . Câu IV: ( 1 điểm) * Ta chứng minh: 2 2 2 3 3 3 3 0 1 (1) (1 ) 1 2 2 1 x Neáu x thì x x x x ≤ ≤ ≥ ⇔ − ≤ − Xét hàm số 3 3 3 3 3 ( ) 0 1 2 2 f x x x vôùi x= − ≤ ≤ * Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên [0, 1] 2 : [0,1] 3 3 3 9 3 3 '( ) , '( ) 0 2 2 3 3 3 (0) 0; (1) 0; 1 3 TXĐ D t D f x x f x t D f f f + =  = ∈   + = − = ⇒  = − ∉     + = = =  ÷  ÷   3 max ( ) 1, 0 1 3 Vậy f x f x   = = ≤ ≤  ÷  ÷   3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) 1 1 (1 ) 1 (1) 2 2 2 2 1 x f x x x x x x x ⇒ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ − Tương tự 2 2 2 2 3 3 3 3 (2); (3) 2 2 1 1 y z y z y z ≥ ≥ − − Từ (1); (2); (3) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 2 2 1 1 1 x y z x y z x y z ⇒ + + ≥ + + = − − − PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn mơt trong hai phần( phần 1 hoặc phần 2 ) 1) Theo chương trình chuẩn: Câu Va: (2 điểm) 1) + Vì :7 8 0A d x y∉ − + = nên phương trình đường chéo đi qua A(-4, 5) là: x + 7y – 31 = 0 + Tọa độ tâm hình vuông là nghiệm của hệ 7 8 0 1 7 , . (3,4) 7 31 0 2 2 x y O Tọa độ điểm C là C x y − + =  −   ⇔   ÷ + − =    Vì AB, AD tạo với AC 1 góc 45 0 nên nếu gọi hệ số góc của AB, AD là k thì ta có 3 7 1 4 1 1 4 1 . 7 3 AC AC k k k k k k k k  =  − + = ⇔ = ⇔  − + −  =   Phương trình đường thẳng AB, AD là: 3x – 4y + 32 = 0; 4x + 3y + 1 = 0 Phương trình đường thẳng CB, CD là: 3x – 4y - 7 = 0; 4x + 3y -24 = 0 2) + Số các số cần tìm 4 9 3024A = + Nếu 1 2 3 4 1 2 3 4 ' ' ' ' ' ' 10 , 1, 4 i i a a a a a thỏa mản bài toán thì a a a a a với a a i= = = − = cũng thỏa mản bài toán và 'a a≠ + Ta có 3 2 ' 10.10 10.10 10.10 10 11110a a+ = + + + = + Tất cả có 1512 cặp (a, a’) nên tổng các số thỏa mản bài toán là: 1512.11110=16798320 Câu VIa: (1 điểm) Mặt cầu (S) có tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 3 17 [ ,( )] 3 d I P R= > suy ra mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung + Gọi mp(Q) là mặt phẳng // mp(P) và tiếp xúc mặt cầu (S). Suy ra mp(Q1): x + 2y – 2z +10 = 0 và mp(Q2): x + 2y – 2z - 8 = 0 + Gọi 1 2 ( ) ( ); ( ) ( );A Q S B Q S= ∩ = ∩ + A là hình chiếu vng góc của I lên mp(Q1) (0,0,5)A→ + I là trung điểm AB (2,4,1)B→ 10 28 [ ,( )] ; [ ,( )] 3 3 d A P d B P= = Vậy điểm cần tìm là M(0, 0, 5) 2) Theo chương trình nâng cao Câu Vb: (1 điểm) Ta có 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 1 1 0 3 1 3 9 33 3 1 log 0 1 3 3 8 0 3 1 1 1 9 33 log 1 3 3 8 0 3 1 3 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − −   − >   +   >   −    +  >   −      + + +  < − > < <      −  −  ⇔ ⇔     < − < + −   < < <     −   +  >   −     + <   −     + > −   −   Câu Vb: (2 điểm) a) (d) có điểm M(3, 6, 1) và VTCP (1,2, 1)u = − r Mp(Q) có cặp VTCP , ( ) : 2 0OM u mp Q x y→ + = uuuur r b) ( ) ( ) (1,2, 1)I P d I= ∩ → − Mp(P) qua tâm mặt cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn. Bán kính đường tròn chính là bán kính mặt cầu. 2 2 2 8 :( 1) ( 2) ( 1) 64R pt mc x y z→ = → − + − + + = . phương trình: ( ) 17 tan 1 sin 2 sin 4 4 2 x x x π π     + − = +  ÷  ÷     2) Tìm m để phương trình 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = có nghiệm Câu. Cho mặt cầu (S) 2 2 2 2 4 6 5 0x y z x y z+ + − − − + = và mặt phẳng (P): 2 2 20 0x y z+ − + = . Tìm điểm M thu c mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ điểm