Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §8 Một số tốn thường gặp đò thị Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tơ Ngọc Vân Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí Định hướng thực hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: Đọc Hiểu Ghi nhớ định nghĩa, định lí Chép lại ý, nhận xét Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm Bài tập lần chưa làm Bài tập lần chưa làm Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon86@gmail.com để nhn c gii ỏp Đ8 số toán thờng gặp đồ thị giảng theo chơng chơng trình chuẩn Giao điểm hai đồ thị Để xét tơng giao hai đồ thị: y = f(x) vµ y = g(x) chóng ta thùc hiƯn theo bớc: Bớc 1: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1) Bớc 2: Giải giải biện luận (1), từ đa lời kÕt ln ThÝ dơ 1: Cho hµm sè (C): y = x4 2x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Với giá trị m đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số đà cho bốn điểm phân biệt ? ( Giải y A BC a Ta lần lợt có: )x O Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: lim y = lim x 22 34 x x x x Bảng biến thiên: y' = 4x34x, y x 0 y' = 4x 4x = = x 1 x + m y' + 0 + y + CT C§ CT + 4 3 4 §iÓm uèn: y'' = 12x24, y'' = 12x24 = x = Vì y" đổi dấu x qua điểm nên đồ thị hàm số có hai điểm 32 32 uèn lµ U1 ; ; vµ U Đồ thị hàm số: Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A 3; , B 3; b Ta cã thÓ lựa chọn cách sau: Cách 1: Phơng trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với đ ờng thẳng y = m có dạng: x4 2x2 = m x4 2x2 m = (1) Đặt t = x2, t 0, (1) có dạng: t2t m = (2) Đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số đà cho bốn điểm phân biệt ph ơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dơng (0 < t1 < t2), tøc lµ: ' 4 m 4 < m< 3 S 2 P m Vậy, với < m< thoả mÃn điều kiện đầu Cách 2: Dựa vào đồ thị ta thấy đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số đà cho bốn điểm phân biệt 4 < m< 3 NhËn xÐt: Nh vËy, c¸c em cần linh hoạt việc sử dụng phơng pháp đồ thị để thực yêu cầu toán Hoạt động x 2x x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: b Chứng minh với giá trị m, đờng thẳng = x m cắt (H) hai điểm phân biệt Cho hàm số (H) : y y Chú ý: Để tăng độ khó cho toán ngời ta thờng đa thêm vào tính chất giao điểm Thí dụ 2: Cho hµm sè (H) : y x 2 2x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh đờng thẳng y = mx + m qua điểm cố định đờng cong (H) m biến thiên c Tìm giá trị m cho đờng thẳng đà cho cắt đờng cong (H) hai điểm thuộc nhánh (H) Giải a Bạn đọc tự giải b Giả sử M(x0; y0) điểm cố định họ đờng thẳng, ®ã: y0 = mx0 + m 1, m (x0 + 1)m y0 = 0, m x 0 x M(1; 1) (H) y 0 y VËy, hä đờng thẳng qua điểm cố định M(1; 1) đờng cong (H) m biến thiên c Phơng trình hoành độ giao điểm đờng thẳng với đồ thị hàm số là: x2 = mx + m 2x 1 f(x) = 2mx23(m 1)x + m = víi x (1) Đờng thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm thuộc nhánh đồ thị: (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 vỊ mét phÝa cđa m 0 2m 0 x1 x m 6m x x m.f( 1/ 2) m 3 m < VËy, víi 3 m < thoả mÃn điều kiện đầu Hoạt động 2x x Với giá trị m đờng thẳng (dm) qua điểm A(2; 2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số đà cho cho: a Tại hai điểm phân biệt ? b Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị ? c Tại hai điểm thuộc nhánh đồ thị ? Cho hàm số (H) : y ThÝ dơ 3: Cho hµm sè: (C) y = 2x3 + 3x2 + a Tìm giao ®iĨm cđa ®êng cong (C) víi parabol (P): y = 2x2 + b Viết phơng trình tiếp tuyến (C) (P) giao điểm chúng c Xác định khoảng (C) nằm phía phía dới (P) Giải a Phơng trình hoành ®é giao ®iĨm cã d¹ng: 2x3 + 3x2 + = 2x2 + 2x3 + x2 = x2(2x + 1) = (1) x 0 y 1 x y 2 Vậy, ta đợc (C) (P) = {A(0; 1), B(A(0; 1), B( ; )} 2 b Vì A giao điểm kép (x = nghiệm kép) nên phơng trình tiếp tuyến A (C) (P) gièng nhau, thĨ: (dA): y = y'(0).x (dA): y = Tại giao điểm B lần lợt với (C) (P): Với (C) ta có y' = 6x2 + 6x phơng trình tiếp tuyÕn t¹i B cã d¹ng: 1 3 (d1B): y = y'( ).(x + ) (d1A): y = x + 2 2 Víi (P) ta cã y' = 4x phơng trình tiếp tuyến B có dạng: 1 (d2B): y = y'( ).(x + ) (d1A): y = 2x + 2 2 c B»ng viƯc xÐt dÊu biĨu thøc ë VT cña (1), ta cã kÕt luËn: (C) n»m díi (P) x thuéc (; ) (C) n»m trªn (P) x thuéc ( ; +)\{A(0; 1), B(0} Hoạt động a Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x2 x + đồ thị (H) hàm số y = x b Tìm giao điểm hai đờng cong (P) (H) Chứng minh hai đờng cong có tiếp tuyến chung giao điểm chúng c Xác định khoảng (P) nằm phía phía dới (H) sù tiÕp xóc cđa hai ®êng cong Sư dơng mƯnh đề: " Hai đồ thị hàm số y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc vµ chØ hệ phơng trình sau có nghiệm: f(x) g(x) " f '(x) g'(x) Khi đó, nghiệm hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm Thí dụ 4: Chứng minh đồ thị ba hàm số: f(x) = x2 + 3x + 6, g(x) = x3 x2 + vµ h(x) = x2 + 7x + tiếp xúc với điểm A(1; 2) Giải Ta lần lợt thực hiện: Xét hệ phơng trình: x 3x x x x 3x 0 f(x) g(x) 2x 3x 2x 3x 0 f '(x) g'(x) x = 1 y = Suy ra, đồ thị hai hàm sè y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc với điểm A(1; 2) Xét hệ phơng tr×nh: x 3x x 7x x 2x 0 f(x) h(x) f '(x) h '(x) 4x 0 2x 2x x = 1 y = Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) y = h(x) tiếp xúc với điểm A(1; 2) Vậy, đồ thị ba hàm số tiếp xúc với điểm A(1; 2) Hoạt động Chứng minh đồ thị hai hàm số: 3x f(x) = x2 + x vµ g(x) = 2 x2 tiếp xúc với Xác định tiếp điểm hai đờng cong viết phơng trình tiếp tuyến chung chúng điểm Bài toán: Chứng minh đờng thẳng (d): y = px + q lµ tiÕp tun cđa parabol (P): y = ax2 + bx + c phơng tr×nh: ax2 + bx + c = px + q hay ax2 + (b p)x + c q = cã nghiƯm kÐp, tøc lµ = (b p)2 4a(c q) = Giải Để (d) tiếp xúc với (P) điều kiện hệ sau cã nghiÖm: ax bx c px q ax (b p)x c q 0 2ax b p 2ax b p p b x a 0 2a a p b (b p) p b c q 0 2a 2a (b p)2 4a(c q) = 0, đpcm Chú ý: Có thể áp dụng điều khẳng định toán để xét tiếp xúc đờng thẳng parabol Thí dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A ; cña parabol (P): y = 2 2 x2 3x + Giải Đờng thẳng (d) ®i qua A víi hƯ sè gãc k cã d¹ng: 3 (d) : y k x 2 Phơng trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: x 3x k x 2x2 2(k + 3)x + 3k + = 2 (1) §Ĩ (d) tiếp xúc với (P) điều kiện phơng trình (1) cã nghiÖm kÐp, tøc: ’ = (k + 3)2 2(3k + 5) = k2 = k = 1 Khi ®ã: Với k = ta đợc tiếp tuyến (d1): y = x Víi k = 1 ta ®ỵc tiÕp tun (d2): y = x + VËy, tồn hai tiếp tuyến (d1), (d2) thoả mÃn điều kiện đầu Hoạt động Cho parabol (P): y = x2 + 2x Viết phơng trình tiếp tuyến cđa (P), biÕt tiÕp tun: a Song song víi ®êng thẳng y = 2x + b Vuông góc với đờng thẳng y = x + c Đi qua ®iĨm A(2; 4) ThÝ dơ 6: Cho hµm sè: y = ax bx x a Tìm a b biết đồ thị (C) hàm số đà cho qua điểm A 1; tiếp tuyến (C) điểm O có hệ số góc b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với giá trị a, b đà tìm đợc Giải a Trớc tiªn ta cã: 5 ax 2ax b hƯ sè gãc cđa tiÕp tun điểm O kO = y'(0) (x 1)2 3 = b b = 3 a( 1)2 ( 3)( 1) Vì điểm A thuộc đồ thị hàm số nên = a = 2 ( 1) VËy, víi a = b = thỏa mÃn điều kiện đầu b Bạn đọc tự giải y' = tập lần Bài tập 1: Cho hàm số: (H) : y 2x x x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Với giá trị m đờng thẳng y = m x cắt đồ thị hàm số đà cho hai điểm phân biƯt ? c Gäi A vµ B lµ hai giao điểm Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB m biến thiên Bài tập 2: Cho hµm sè: (C): y = x3 3x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn I c Gọi (dm) đờng thẳng qua điểm I có hệ số góc m Tìm giá trị m cho đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số đà cho ba điểm phân biệt Bài tập 3: Cho hµm sè: (Cm): y = x3 2m(x + 1) + a Tìm giá trị m để đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = Bài tËp 4: Cho hµm sè: (C) y = x3 + px + q a Với điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu ? b Chứng minh giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu phơng trình: x3 + px + q = (1) cã ba nghiÖm phân biệt c Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt lµ 4p3 27q2 > 2x Bµi tËp 5: Cho hµm sè (H) : y x Với giá trị m đờng thẳng (dm) qua điểm A(2; 2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số đà cho: a Tại hai điểm phân biệt ? b Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị ? c Tại hai điểm thuộc nhánh đồ thị ? Bµi tËp 6: Cho hµm sè (C): y = x33x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh m thay đổi, đờng thẳng cho phơng trình y = m(x + 1) + cắt đồ thị (C) điểm A cố định HÃy xác định m để đờng thẳng cắt đồ thị (C) ba điểm A, B, C khác cho tiếp tuyến với đồ thị B C vuông góc với Bài tập 7: Cho hµm sè: (Cm): y = 2x3 + 2(6m1)x23(2m1)x3(1 + 2m) = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có tổng bình phơng hoành độ 28 Bài tập 8: Cho hµm sè: (Cm): y = mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ không dơng Bài tập 9: Cho hàm số: y = x4 (m + 1)x2 + m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm giá trị m cho đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài Bµi tËp 10: Cho hµm sè: y = x x a x a a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định a để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = x1 hai điểm phân biệt Khi gọi y 1, y2 tung ®é cđa hai giao ®iĨm, h·y t×m mét hƯ thøc y1, y2 không phụ thuộc a Bài tập 11: Chứng minh đồ thị hai hàm số: 3x f(x) = x2 + x vµ g(x) = 2 x2 tiếp xúc với Xác định tiếp điểm hai đờng cong viết phơng trình tiếp tuyến chung chúng điểm Bài tập 12: Cho hµm sè (Cm): y = 2mx3(4m2 + 1)x2 + 4m2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Xác định toạ độ tiếp điểm trờng hợp tìm đợc Bài tập 13: Cho hàm số y = x3(m + 1)x2(2m23m + 2)x + 2m(2m1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm điểm mà đồ thị qua với m Từ kết xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trơc hoµnh Bµi tËp 14: Cho hµm sè: y = (x + 1)2(x1)2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Xác định a để đồ thị hàm số tiếp xúc với (P): y = ax23 Bµi tËp 15: Cho hµm sè: y = ax 3ax 2a x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với a = b Với giá trị a đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = a Bài tập 16: Tìm hệ số a b cho parabol y = 2x + ax + b tiÕp xóc víi hypebol y = điểm M ; x 2 Bµi tËp 17: Cho hµm sè (Cm): y = x2 + (2m + 1)x + m21 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Chứng minh đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng cố định Bài tập 18: Cho hàm sè: 2 (Hm): y = 2m x (2 m )(mx 1) mx a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hµm sè víi m = b Chøng tá r»ng tiệm cận xiên đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol cố định Bài tập 19: Cho hµm sè: (H): y = x 2 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến qua điểm A(6; 5) Bµi tËp 20: Cho hµm sè (H): y = x 2x x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm sè b Chøng minh r»ng cã hai tiÕp tuyÕn cña đồ thị qua điểm A(1; 0) hai tiếp tuyến vuông góc với Chú ý: Các tập đợc trình bày phần Bài giảng nâng cao 10 Ví dụ 5: Cho hàm số: 2x x Với giá trị m đờng thẳng (dm) qua điểm A(2; 2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số đà cho: a Tại hai điểm phân biệt ? b Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị ? c Tại hai điểm thuộc nhánh đồ thị ? Giải Đờng thẳng (dm) có phơng tr×nh: (dm): y = m(x + 2) + (dm): y = mx + 2m + Phơng trình hoành độ giao điểm (dm) với đồ thị hàm sè lµ: 2x = mx + 2m + x 1 f(x) = mx23mx + 2m + = víi x 1 (1) a §êng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt: phơng trình (1) có hai nghiệm phân biƯt kh¸c 1 m 0 m 0 m 0 9m 4m(2m 3) m 12m f( 1) 0 3 0 3 0 m < hc m > 12 VËy, víi m < hc m > 12 thoả mÃn điều kiện đầu b Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị: phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 < 1 < x2 af(1) < m.3 < m < Vậy, với m < đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (dm) hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị c Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số hai điểm thuộc nhánh đồ thị: (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 vỊ mét phÝa cña 1 (H) : y m 0 m 0 x1 x m 12m m > 12 x1 x m.f( 1) 3m VËy, víi m > 12 thoả mÃn điều kiện đầu Chú ý: Nếu dựa vào kết câu a), b) có kết cho câu c) VÝ dơ 6: Cho hµm sè: (C): y = x33x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh m thay đổi, đờng thẳng cho phơng trình y = m(x + 1) + cắt đồ thị (C) điểm A cố định HÃy xác định m để đờng thẳng cắt đồ thị (C) ba điểm A, B, C khác cho tiếp tuyến với đồ thị B C vuông góc với 15 Giải a Bạn đọc tự giải b Hoành độ giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng (d): y = m(x + 1) + đồ thị nghiệm phơng trình: x33x = m(x + 1) + (x + 1)(x2x2m) = x g(x) x x m 0 (*) Vậy, m thay đổi, (d) cắt đồ thị (C) điểm A(1; 2) cố định Đồ thị (C) cắt đờng thẳng (d) ba điểm phân biệt A, B, C Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác g 4m < m (**) m g( 1) Khi theo định lí Vi - Ðt ta cã: x B x C 1 x B x C m TiÕp tun t¹i B, C theo thø tù cã hƯ sè gãc: kB = y'(xB) = x2B 3, kC = y'(xC) = x2C 3 C¸c tiÕp tuyÕn B C vuông góc với khi: kB kC = 1 (3 x 2B 3)( x2C 3) = 1 (**) 9m2 + 18m + = m = 2 VËy, víi m = 2 thoả mÃn điều kiện đầu Ví dụ 7: Cho hµm sè: (Cm): y = 2x3 + 2(6m1)x23(2m1)x3(1 + 2m) = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có tổng bình phơng hoành độ 28 Giải a Bạn đọc tự giải b Phơng trình hoành độ giao điểm cđa (Cm) víi Ox lµ: 2x3 + 2(6m1)x23(2m1)x3(1 + 2m) = (1) (x1)[2x2 + 12mx + 3(1 + 2m)] = x 1 f (x) 2x 12mx 3(1 2m) 0 (2) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có tổng bình phơng hoành ®é b»ng 28 (1) cã ba nghiƯm ph©n biƯt có tổng bình phơng 28 Trớc hết, phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 16 1 m f 36m 12m f (1) 17 6m 17 1 m Khi ®ã, (2) cã hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mÃn: x1 x 6m 3(1 2m) x1.x Tổng bình phơng hoành độ giao điểm 28 khi: x12 + x 22 + 12 = 28 x12 + x 22 = 27 (x1 + x2)22x1x2 = 27 m 1 36m23(1 + 2m) = 27 m 1/12 (lo¹i) VËy, víi m = thoả mÃn điều kiện đầu Chú ý: Trong trờng hợp việc xác định điều kiện để " Phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác " phức tạp kiểm tra điều kiện x12 + x 22 = 27 tríc sau ®ã thùc phép thử lại Ví dụ 8: Cho hàm số: (Cm): y = mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ không dơng Giải a Bạn đọc tự giải b Phơng trình hoành độ giao điểm (Cm) với Ox là: mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3 = (1) (x + 1)[mx2 + 2(m2)x + m3] = x 0 g(x) mx 2(m 2)x m 0 (2) (I) §Ĩ (Cm) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ không dơng phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt không dơng (2) có nghiệm phân biệt không dơng (x1 < x2 0) khác 1 m 0 a 0 ' 4 m g m 0 P 0 m < m S 2(m 2) 0 g( 1) 0 m Vậy, với m[3; 4) phơng trình có ba nghiệm phân biệt không dơng 17 Chú ý: Trong chủ đề "Đồ thị hàm số phép tịnh tiến hệ toạ độ" đà biết cách giải toán "Tìm điều kiện để đồ thị hàm đa thức bậc ba cắt trục hoành ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng", ví dụ minh hoạ yêu cầu với hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng Ví dụ 9: Cho hµm sè: y = x4 (m + 1)x2 + m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm giá trị m cho đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài Giải a Bạn đọc tự giải b Đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài tức đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành nghiệm phơng trình: y = x4 (m + 1)x2 + m = (1) Đặt t = x2, t 0, (1) có dạng: t2(m + 1)t + m = (2) Đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dơng < t1 < t2 ' b / a c / a (m 1)2 4m < m 1, m m nghiƯm cđa (1) lµ t , t1 , t1 , t Bèn nghiƯm trªn lËp thµnh cÊp sè céng: t t t1 t = t1 t2 = 9t1 t t 2 t Theo định lí Vi - Ðt ta cã: t t m t 1t m Thay (3) vµo (I) ®ỵc: t 9t1 m 10t m 9m282m + = t (9t ) m 9t m 1 (3) (I) m m 1/ đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài Vậy, víi m = hc m = VÝ dơ 10: Cho hµm sè: y = x x a x a 18 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định a để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = x1 hai điểm phân biệt Khi ®ã gäi y 1, y2 lµ tung ®é cđa hai giao điểm, hÃy tìm hệ thức y1, y2 không phụ thuộc a Giải a Bạn đọc tự giải b Phơng trình hoành độ giao điểm của(d) với đồ thị hàm số là: x x a = x1 f(x) = 2x2 + (a2)x2a = với x a x a Đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d) hai điểm phân biệt khác a phơng trình (1) có hai nghiệm phân biÖt a 0 (a 2) 16a a f ( a) 0 ( a) (a 2)( a) 2a Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 tho¶ m·n: a x1 x x1x a Gọi y1, y2 tung độ hai giao điểm th× y1 x1 x y 1 y x x y Thay (II) vào (I) đợc: a y1 y y1y2(y1 + y2) = 1, (y1 1)(y 1) a hệ thức y1, y2 không phụ thuộc a (1) (I) (II) Bài toán 2: Sù tiÕp xóc cđa hai ®êng cong VÝ dơ 1: Chứng minh đồ thị hai hàm số: f(x) = 3x x + x vµ g(x) = 2 x2 tiếp xúc với Xác định tiếp điểm hai đờng cong viết phơng trình tiếp tuyến chung chúng điểm Giải Xét hệ phơng trình: 3x x x f(x) g(x) x 2 2 x = y = f '(x) g'(x) x (x 2)2 Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc víi gốc O 19 Ví dụ 2: Phơng trình tiếp tuyến chung có dạng: (d): y = g'(0).x (d): y = x Cho hµm sè (Cm): y = 2mx3(4m2 + 1)x2 + 4m2 a Kh¶o sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Xác định toạ độ tiếp điểm trờng hợp tìm đợc Giải a Bạn đọc tự giải b Đồ thị hàm số tiếp xóc víi trơc hoµnh vµ chØ hƯ sau cã nghiÖm: 2mx 4(m 1)x 4m 0 (1) y 0 2 (2) y ' 0 6mx 8(m 1)x Từ (2), ta đợc x 0 , x 4(m 1) 3m thay vào (1) đợc m = 0, m = Vậy, ta lần lợt có: Với m = đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox điểm M 1(0; 0) Với m = đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox điểm M 2 2; Víi m = ®å thị hàm số tiếp xúc với trục Ox điểm M3 2; Chú ý: Với hàm đa thức bậc ba sử dụng điều kiện nghiệm kép để thiết lập điều kiện cho đồ thị nã tiÕp xóc víi trơc hoµnh VÝ dơ 3: Cho hµm sè y = x3(m + 1)x2(2m23m + 2)x + 2m(2m1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm điểm mà đồ thị qua với m Từ kết xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Giải a Bạn đọc tự giải b Giả sử M(x0, y0) ®iĨm cè ®Þnh cđa hä (Cm) Khi ®ã: y0 = x 30 (m + 1) x 02 (2m23m + 2)x0 + 2m(2m1), m (2x0 + 4)m2( x 02 3x0 + 2)m + x 30 x 02 2x0y0 = 0, m 2x 0 x 2 x 02 3x 0 M(2, 0) y0 0 x x 2x y 0 VËy, hä (Cm) qua điểm cố định M(2,0) 20 ... a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ không dơng Bài tập 9: Cho hàm số: y = x4 (m + 1)x2 + m a Khảo sát vẽ đồ. .. biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Chứng tỏ tiệm cận xiên đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol cố định Bài tËp 19: Cho hµm sè: (H): y = x 2 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Viết phơng... sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Xác định a để đồ thị hàm số tiếp xúc với (P): y = ax23 Bµi tËp 15: Cho hµm sè: y = ax 3ax 2a x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với a = b
