Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình vi phân cấp 1 ( Tóm tắt công thức và ví dụ áp dụng dễ hiểu )
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ 3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH 5 – PT BERNULLI TỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139) Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y (k) , k = 0, 1 … n VD: 03' =+ xy ( ) x exyyy =++ 3'4'' ( ) ( ) 0=−−+ dyyxdxyx 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,'',',, =xyxyxyxyxF n K Dạng tổng quát cấp n: ( ) ( )( ) 0',, =xyxyxF NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: ydx + xdy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn VD: 2 1' yy −= Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân () .,,, 1 n CCxy K ϕ = (c) Dạng tham số (a) Dạng hiện: y = f(x) (b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0 ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ = = tyy txx Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ R VD: x ey dx dy 2 =− Nghiệm riêng: x ey 2 = Nghiệm: xx eCey 2 += nghiệm tổng quát 2. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn) VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya = '/ () ( ) 011/ 22 =−++ dyxydxyxb ( ) 04/ =++ dxxyxdyc ( ) ( ) () () () () () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+ =+ === 0 0 ',)('),(' 2211 dyygxfdxygxf dyygdxxf ygxfyygyxfy 3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân ly biến số Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) → Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: 0 2 =− dxyxdy 2. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20 ° C và vật giảm nhiệt độ từ 100 ° C xuống 60 ° C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30 ° C? VD: xya 3 sin'/ = y eyb ='/ x y yc 2 '/ = VD: () 05cos2/ 4 =++ dyydxxxa ( ) ( ) 0/ 2222 =−++ dyyxxdxxyyb xyxyyc 2'/ 2 =− 2. ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: (x 2 + y 2 )dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x 2 + y 2 ), Q = xy! Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1) 2 – 2(2x + 3y + 1) Tỷ số: → Đổi biến: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y fy' uxuyuxy x y u +=⇒=⇒= '' Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng x α y β , α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD: xy xyy yb 2 '/ 2 + = x y ya +=1'/ 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ph/trình vi phân cấp 1: () ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP ( ) ()() ⎩ ⎨ ⎧ = = 2,' 1),(' yxQu yxPu y x 1/ T/phân (1) theo x ( ) ( ) 3yCPdxu +=⇒ ∫ 2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒ C(y) Tìm u: PT vi phân Pdx + Qdy = 0: toàn phần ⇔ Thứ tự: Đạo hàm chéo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy () * y P ∂ ∂ x Q ∂ ∂ = yx x Q y P ,∀ ∂ ∂ = ∂ ∂ Thoả ĐK (*) ⇒∃ u(x,y): du = Pdx + Qdy ⇒ Nghiệm u = C 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒ Tìm μ (x, y) để ( μ Pdx+ μ Qdy) vi phân tphần ⇔∂ ( μ P)/ ∂ y = ∂ ( μ P)/ ∂ y VD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x 2 + y 2 +x)dx + xydy = 0 () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ dxxf exxf Q x Q y P )( )( μ () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − dyyg eyyg P x Q y P )( )( μ VD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e 3x y – 2x)dx + (e 3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ (x 2 + y 2 ): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒ PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E 0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y Tuyến tính theo x = x(y)! VD: Xác đònh phương trình tuyến tính: x exyyc =+ 3 '/ 3 2 '/ xy x ya =− ( ) 022/ 2 =−+ dyxyydxd 32 '/ xyeyb x =+ Không tuyến tính: Chứa y 2 , (y’) 3 . --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ 3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: ( )() ( ) ( ) ( ) ( )