Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Phương trình, bất phương trình và hệ đại số"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ĐẠI SỐ Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí hc cho liờn h 0936546689 Phơng trình , bất phơng trình hệ đại số Câu cấu trúc đề thi đại học năm 2011 2012 yêu cầu giải phơng trình, bất phơng trình hệ đại số Để thực tốt yêu cầu em học sinh cần nắm vững kiến thức về: Tam thức bậc hai Các phép biến đổi tơng đơng cho dạng phơng trình, bất phơng trình Ví dụ 1: Giải phơng trình: x 3x + x 3x = Giải Đặt t = x23x + 3, ta cã: 3 t = (x )2 + 4 ®ã ®iỊu kiƯn cho Èn phơ t lµ t Khi phơng trình có dạng: t + t = t + t + + t(t 3) = t(t 3) = 3t 3 t 0 t 3 t = x23x + = t t(t 3) (3 t) Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = x = Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3x x x 2 x 3x 14x 0, x Gi¶i Đánh giá định hớng thực hiện: Đây phơng trình không mẫu mực chứa hai bậc hai nên sử dụng phơng pháp bình phơng sử dụng phơng pháp ẩn phụ (với hai ẩn phụ) đặt: u 3x u 3x , (u, v 0) v 6 x v x u 3v 19 Kh«ng kh¶ thi 2 u v (3x 1)(6 x) 3x 17x Nh vậy, phơng pháp: Hàm số, coi VT hàm số f(x) thì: f '(x) 3x 6 x 6x 14 Và nh vậy, khó để đánh giá đợc dấu tập xác định D ; Biến đổi phơng trình dạng tích, hớng lựa chọn nhân tử chung xuất thực phép trục thức Và nh vậy, em học sinh cần có kĩ nhẩm đợc nghiệm x0 phơng trình đa đợc phép tách phù hợp Với toán kiểu x0 đợc chọn cho 3x0 1, x NhËn thÊy r»ng x0 = nên ta có phép tách: 3x x 3x 14x 0 3x 16 6 x 3x 14x 0 3x x 1 3x 15 x 3x 1 x 5 0 3x x Tới đây, ta đà có đợc nhân tử chung x lời giải chi tiết: Điều kiÖn: 3x 0 x 6 6 x 0 BiÕn ®ỉi phơng trình dạng: 3x (*) x 3x 14x 0 3x 16 6 x 3x 14x 0 3x x 1 3x 15 x 3x 1 x 5 0 3x x 1 x 0 x = 3x 0 (vn) 3x x Vậy, phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phơng trình: x x 4 x 10 3x, (x ) Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Đây phơng trình chứa đợc mở rộng từ dạng bản: Phơng trình chứa f(x) g(x) , f(x).g(x) vµ f(x) + g(x) = k (k = const), t2 k f(x).g(x) = đây, ta có đánh giá mở rộng cách viết lại phơng trình dới dạng: f(x) ta sử dụng ẩn phụ t = g(x) , ®ã x 2 x 10 3x 4 x Khi ®ã, víi Èn phô t x 2 x suy ra: t2 2x 2 x 10 3x 4 x Do đó, phơng trình có dạng: 3t = t2 t2 3t = t = t = Tới đây, công việc giải dạng phơng trình chứa dạng: x 2 x k x k 2 x Chú ý: Trớc tiên, cần đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình lời giải chi tiÕt: §iỊu kiƯn: 2 x 0 2 x 2 x 0 BiÕn đổi phơng trình dạng: (*) x 2 x 10 3x 4 x (1) Đặt t x 2 x suy ra: t2 2x 2 x 10 3x 4 x Do phơng trình (1) có dạng: 3t = t2 t2 3t = t = t = Ta lần lợt: Với t = th×: x 2 x 0 x 2 x + x = 4(2 x) 5x = x , tho¶ m·n (*) Víi t = th×: x 2 x 3 x 2 x x 4(2 x) 12 x 12 x 5x 15 ph¬ng trình vô nghiệm với điều kiện (*) VP < Vậy, phơng trình có nghiệm x (**) Chó ý: Cã thĨ sử dụng đánh giá để giải phơng trình (**) nh sau: 2+x2+2=4 x 2 VT 2, VP 2 x 3 Tõ đó, suy phơng trình vô nghiệm Ví dụ 4: Gải phơng trình: 3x 5x 0, (x ) Giải Đánh giá định hớng thực hiện: Nhận xét phơng trình chứa bậc ba 3x bậc hai 5x mà chúng: Đợc liên kÕt víi bëi phÐp "+", nªn viƯc sư dơng phép nâng lên luỹ thừa để khử cho phơng trình không khả thi Không có mối liên hệ mũ với nhau, nên sử dụng ẩn phụ để chuyển phơng trình dạng đa thức Từ đó, phơng pháp đợc đề xuất sử dụng hai Èn phô: u 3x u 3x 5u3 + 3v2 = v 5x v 5x Khi đó, phơng trình đợc chuyển thành hệ: 2u 3v 0 5u 3v 8 vµ để giải hệ cần sử dụng phơng pháp lời giải chi tiết: Điều kiện: 6 5x x Sư dơng hai Èn phơ: u 3x u 3x 5u3 + 3v2 = v 6 5x v 5x , v Khi đó, phơng trình đợc chuyển thành hệ: 2u v 2u 2u 3v 0 v 2 2u 5u 3v 3 5u 15u 4u 32u 40 0 8 2u u v 5x 4 v 4 (tho¶ m·n) (u 2)(15u 26u 20) 0 5x = 16 x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 5: Giải bất phơng trình: x x 4x 3 x, (x ) Giải Đánh giá định hớng thực hiện: DƠ thÊy kh«ng thĨ sư dơng phÐp khai ph- ơng cho bất phơng trình này, suy cần sử dụng ẩn phụ Câu hỏi đợc đặt ẩn phơ kiĨu g× ? Èn phơ dƠ nhËn thÊy t x (t 0) ta nhận đợc bất phơng trình dạng: t 4t t 3t Trong trờng hợp cần phải giải bất phơng trình cao Từ việc đánh giá hệ số x hoàn toàn đợc đa vào bậc hai nên chia hai vế phơng tr×nh cho x sÏ thÊy xt hiƯn x x 1 , từ nhận đợc Èn phơ t x (t 2) Vµ đó, ta nhận đợc x x bất phơng trình d¹ng: x t 3 t Nhận xét: Với bất phơng trình đà cho, trớc tiên cần đặt điều kiện có nghĩa Trong hai lựa chọn gặp bất phơng trình dạng bản: g f g g f g lời giải chi tiết: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Điều kiện: x 2 x 4x 0 x 0 x Đặt t x (t 0) bất phơng trình đợc chuyển dạng: 2 t t 4t 3t t 4t t 3t Ta xÐt hai trêng hỵp: Trêng hợp 1: Bất phơng trình (1) khi: t 3t 0 t 3t 0 t 3 hc 3 t 2 (*) (1) Trêng hợp 2: Với điều kiện: t2 + 3t 3 2 Bất phơng trình (1) đợc chuyển dạng: t (**) t 4t t 3t 6t 15t 6t 0 3 t 0 t (**) t 3t(2t 5t 2) 0 2 2 2t 5t 0 t 2 t 2 KÕt hỵp hai trêng hỵp trờng hợp 2, ta đợc: 1 (*) t 2 x 2 x 4 x x 2 t 2 x 4 x Vậy, bất phơng trình có tập nghiƯm lµ 0; 4; Cách 2: Điều kiện: x 2 x 4x 0 x 0 x 2 NhËn xÐt r»ng x = lµ nghiƯm bất phơng trình Với x > 0, biến đổi bất phơng trình dạng: x x Đặt t x x 4 (*) 3 x 1 (t 2) suy x t nên bất phơng trình đợc chuyển x x vỊ d¹ng: t t 3 t 0 t 3 t 3 t t (3 t)2 t 3 t t 6t 15 x x u x 0 u u x 2 u 2 x 4 2u 5u + x 1 u 1 x 1 2 1 VËy, bất phơng trình có tập nghiệm 0; 4; 4 VÝ dụ 6: Giải bất phơng trình: x x 1 x x 1 Gi¶i Đánh giá định hớng thực hiện: Đây bất phơng trình không mẫu mực chứa P(x) k (k số) , để giải Q(x) cần có đánh giá dần nh sau: NhËn xÐt vỊ dÊu cđa Q(x) ®Ị chun bÊt phơng trình dạng: P(x) k.Q(x) P(x) k.Q(x) Với toán này, ta có: bậc hai đợc cho dới dạng phân thức x2 x Q(x) < x2 x x x 1 2x2 2x + > 0, hoặc: 2 x x x x 1 > MS hc: 3 x x x MS 2 2 Suy ra, bất phơng trình đợc biến đổi d¹ng: x x 1 x2 x 1 x x 1 x x (1) Tới đây, việc lựa chọn phơng pháp giải cho bất phơng trình (1) đợc dựa theo dạng xuất phát f g Tuy nhiên, nh đà trình bày phần cấu trúc đề thi đại học môn toán câu hỏi khó nên em học sinh cần có kiến thức tốt tiếp tục đợc Cụ thể, sÏ lùa chän mét c¸c híng sau: Híng 1: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng: g f g f g Vµ víi hớng cần có kinh nghiệm tốt việc biến ®ỉi ®¹i sè Híng 2: Sư dơng Èn phơ t x (t 0) phép biến đổi tơng đơng giống nh hớng để nhận đợc bất phơng tr×nh bËc theo t Híng 3: Sư dơng ẩn phụ t tổ hợp x phép biến đổi tơng đơng giống nh hớng để nhận đợc bất phơng trình bậc theo t Cụ thể toán đặt t x x Híng 4: Sư dơng ph¬ng pháp đánh giá (nếu có thể) Cụ thể toán sử dụng bất đẳng thức 2(a + b2) (a + b)2 bëi ta cã biÕn ®ỉi: x2 x x x x x 1 x x lêi gi¶i chi tiÕt: NhËn xÐt r»ng: 2 x x x x 1 > MS Điều kiện x Bất phơng trình đợc biến đổi dạng: x x2 x x 1 x x (1) x x 1 x x Tới đây, trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến ®ỉi tiÕp (1) vỊ d¹ng: 1 x x 0 2 x x 1 x x 1 x x 0 1 x x 0 2 2 x 2(1 x) x x x x 1 x 2(1 x) x x 1 x x 0 1 x x 0 x 2x 2(1 x) x x 0 x x 0 1 x x 0 2 x 0 1 x 0 x 1 x 3x 0 x x 1 x x 0 x 1 x 3 x Vậy, phơng trình có nghiệm x Cách 2: Đặt t x (t 0) , (1) có dạng: 1 t t 0 t t 1 1 t t 2 2 t t t t 1 t t 0 4 2 2 t t 1 t t 2t 2t 2t 2 1 t t 0 1 t t 0 1 t t 0 4 2 2 t 2t t 2t 0 t t 0 t t 0 2t 0 t x x 3 2 t Vậy, phơng trình có nghiệm x C¸ch 3: NhËn xÐt r»ng x = nghiệm (1) nên ta cã biÕn ®ỉi: 1 2 x x x Đặt t x x th× x (2) x 1 t , ®ã (2) cã d¹ng: x t t 0 t 2 t t 2 2(t 1) (t 1) t 2t 0 t 1 0 t=1 x 1 x 0 x 1 x x x x 1 x 1 3 x x 3x Vậy, phơng trình có nghiệm x C¸ch 4: Sư dơng bất đẳng thức 2(a2 + b2) (a + b)2, ta thÊy: x2 x x x x x x x 1 x x Tõ (1) vµ (3) suy bất phơng trình đợc biến đổi dạng: 1 x 0 1 x x x 1 3 x x x x 3x 0 1 x x x Vậy, phơng trình có nghiƯm x VÝ dơ 7: Giải phơng trình: 2x 10 x x 42 x 2 2x 4x (3) ...Phơng trình , bất phơng trình hệ đại số Câu cấu trúc đề thi đại học năm 2011 2012 yêu cầu giải phơng trình, bất phơng trình hệ đại số Để thực tốt yêu cầu em học sinh cần nắm vững... x 5 / Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = vµ x 14 VÝ dơ 10: (Đề thi đại học Môn Toán khối B năm 2008): Giải bất phơng trình: x2 x log 0,7 log x 4 Giải Đánh giá định hớng... (t 2) Và đó, ta nhận đợc x x bất phơng trình dạng: x t t Nhận xét: Với bất phơng trình đà cho, trớc tiên cần đặt điều kiện cã nghÜa Trong c¶ hai lùa chän chóng ta gặp bất phơng trình dạng bản: