Bài 5(6) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, CA. Tia MN cắt (O) tại I. .4 Chứng minh rằng : BC/IA = CA/IB + AB/IC . .4 DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 4 Bài 1(8) : Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho : xyz = 9 + x + y + z (1). .8 Bài 4(9) : Cho các số không âm x1, x2, x, …, xn có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn. 8 Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 20032004. Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2, …, nk. S = n13 + n23 + … + nk3. Tìm số dư của phép chia S cho 6 .9 Bài 2(18) : Tìm nghiệm dương của phương trình : (x3 + y3) + 4(x2 + y2) + 4(x + y) = 16xy. .9 Bài 2(19) : Cho các số x1, x,sub>2, x3, ., x11 thỏa mãn : 1 ≤ x1 < x2 < x3 < . < x11 ≤ 1000. Chứng minh rằng, tồn tại i Є {1, 2, 3, ., 10} sao cho 9 Bài 3(20) : Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = (2 - x)(2 - y). .10 Bài 3(21) : Cho a ≠ -b, a ≠ -c, b ≠ -c. Chứng minh rằng : .11 .11 TỪ MỘT BÀI THI HỌC SINH GIỎI 13 Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2003-2004 có bài toán thú vị sau : 13 Bài toán 1 : Giả sử các số dương a, b, c thỏa mãn (a2 + b2 + c2)2 > 2(a4 + b4 + c4). Chứng minh rằng : a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 13 Bài 1(23) : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng phương trình .14 x2 + y2 + z2 = 4p2 + 1 luôn có nghiệm nguyên dương (x0 ; y0 ; z0). .14 Bài 2(23) : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : .14 .14 Bài 5(5) : Cho hai tam giác đều ABC, A1B1C1 bằng nhau và chồng lên nhau sao cho phần giao của chúng là một lục giác mà ta kí hiệu là MNPQRS. Chứng minh rằng : MN + PQ + RS = NP + QR + SM .15 Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác này, ta dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng : trung điểm của các đoạn AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng. .16 Bài 4(12) : Cho hình thang vuông ABCD có AD // BC, AB vuông góc với AD, AD = 4 cm, AB = BC = 2 cm. Hãy tìm một con đường ngắn nhất đi từ đỉnh A tới một điểm M trên cạnh DC, rồi tới điểm N trên cạnh AB, quay lại một điểm P trên cạnh DC và trở về A. 18 Bài 5(12) : Cho tứ giác ABCD. I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng : AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + DA. .19 Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song và bằng một nửa CD. H là trung điểm của CD. Điểm M nằm ngoài hình thang sao cho MH vuông góc và bằng một phần tư CD. Bên ngoài hình thang, ta dựng các tam giác ADE, BCF vuông cân tại E, F. Chứng minh rằng tam giác MEF vuông cân tại M. .20 Bài toán : Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của BC. Lời giải : Tìm được nhiều hướng giải quyết sáng tạo chính là sự hấp dẫn của bài toán này. 22 PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN 23 Bài 4(19) : Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của AD. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với BE, cắt CD tại F. Tính tỉ số EF/EB 25 Bài 4(21) : Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = 9 ; x, y, z lần lượt là độ dài các phân giác trong của các góc A, B, C. Chứng minh rằng : .25 Bài 4(23) : Cho tam giác ABC (AB < AC) và P là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠ PBA = ∠ PBC Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB và AC ; I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :∠ HIB < ∠ KIC .26 Bài toán 1 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 1/(a + b + c) + 1/(a - b + c) + 1/(- a + b + c) ≥ 1/a + 1/b + 1/c (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, 1992-1993) 27 Bài toán 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 28 Bài toán 4 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : .28 .28 với mọi n thuộc N. .28 Bài 3 : Cho tam giác ABC. Các trung tuyến AM, BN, CP đồng qui tại G. Giả sử bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác AGN, BGP, CGM là bằng nhau. Chứng minh rằng : tam giác ABC là tam giác đều. .29 Bài 5 : Giải phương trình : .29 .29 Bài 5(2) : Tìm x, y để biểu thức : .31 .31 đạt giá trị nhỏ nhất. 31 Bài 2 (3) : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : 31 .31 Bài 4 (3) : Cho tam giác ABC. Một đường tròn đi qua A, tiếp xúc với đường thẳng BC tại một điểm T thuộc đoạn BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng : 32 EF/BC = (TE.TF)/(TB.TC) 32 Bài 3(7) : Cho các số dương a1, a2, …, a10 thỏa mãn : a1 = 1 ; a10 = 2 ; ai2 ≤ ai - 1ai + 1 với i = 2, 3, …, 9. Chứng minh rằng với mọi i = 1, 2, …, 10 thì : 33 Bài 1(7) : Chứng minh rằng: 33 .33 Bài 5(7) : Tính tổng A = a1 + a2 + … + a2003, biết : .33 .33 Bài 3(8) : Cho : ax3 = by3 = cz3 và 1/x + 1/y + 1/z = 1 Chứng minh rằng : .34 .34 Bài 2(13) : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 35 .35 Bài 4(13) : Cho các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn các điều kiện a + b + x + y ≤ 2, a + b2 = x + y2, a2 + b = x2 + y. .35 Chứng minh rằng : .35 .35 Bài toán 1 : Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - x - 1 = 0. 36 Chứng ming rằng các biểu thức : .36 P = a + b + a3 + b3 ; .36 Q = a2 + b2 + a4 + b4 ; 36 R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5. 36 Bài toán 2 : Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 14x + 1 = 0. Chứng minh rằng biểu thức Sn = x1n + x2n nhận giá trị nguyên và không chia hết cho 13 với mọi n Є N*. .37 Quá trình đi tìm lời giải của bài toán 2 giúp tôi phát hiện ra bài toán tổng quát. .37 Bài toán 3 : Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + 1 = 0, với m > 3, m &1028; N. Chứng minh rằng với mọi n Є N* thì biểu thức Sn = x1n + x2n là số nguyên và không chia hết cho m - 1. .37 Bài toán 4 : Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx - 1 = 0. Chứng minh rằng với mọi m, n Є N* thì biểu thức 37 Sn = x1n + x2n + x1n + 2 + x2n + 2 là số nguyên và chia hết cho m(m2 + 4). .37 Bài 1(14) : Cho x ; y thỏa mãn : 37 .37 Hãy tính giá trị của biểu thức sau : 37 T = x2003 + y2003. 37 Bài 3(14) : Cho a, b là hai số thỏa mãn : a + b ≥ 2. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm : .38 x2 + 2a2bx + b5 = 0 (1) .38 x2 + 2ab2x + a5 = 0 (2) 38 Bài 2(15) : Giải phương trình : 38 .38 Bài 3(18) : Giải phương trình : 40 .40 Bài 1(19) : Cho .42 .42 Chứng minh rằng A < 0,4. .42 Bài 3(19) : Giải phương trình : 43 .43 Bài 1(20) : Giải hệ phương trình 44 .44 Bài 2(21) : Chứng minh rằng : .44 .44 MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ 45 Bài 2(22) : Tìm a để phương trình (ẩn x) sau có nghiệm : 47 .47 Bài 3(22) :Tìm m để phương trình sau có ít nhất bốn nghiệm nguyên : m2|x + m| + m3 + |m2x + 1| = 1. 49 Bài 3(23) : Giải phương trình : 49 .49 Bài 4(4) : Cho ΔABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của ΔABC. 50 Bài 5(8) : Cho tam giác ABC không vuông. Các đường cao BB’, CC’ cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của AH, I là giao điểm của AH và B’C’. Chứng minh rằng : I là trực tâm của tam giác KBC. 51 Bài toán : Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định nằm trên đường tròn. Hai điểm M, N chạy trên đường tròn sao cho MN cắt đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN 51 Bài 2(9) : Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong (không nằm trên cạnh) hình vuông sao cho :  MAB +  MBC +  MCD +  MDA = 180o 53 Bài 4(11) : Tính góc A của tam giác ABC biết rằng  O1OO2 = 90o với O1, O, O2 lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và bàng tiếp (trong góc A) của tam giác ABC. .54 Bài 5(11) : Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông đồng dạng ABE, ACF ( ABE =  ACF = 90o). 54 Chứng minh rằng : BF, CE và đường cao AH của tam giác đồng quy. 54 Bài 5(14) : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC. Một đường tròn (O) đi qua A, B. Các tiếp tuyến với (O) kẻ từ A, C cắt nhau tại S. T là tiếp điểm của SC và (O). SB cắt (O) tại E (E khác B). Chứng minh rằng : ET // AB. 55 Bài 5(18) : Cho hình thang ABCD (AB // CD). O là giao điểm của AC và BD. M là trung điểm của CD. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOD, BOC cắt nhau tại K khác O. Chứng minh rằng : ∠ KOC = ∠ MOD. 56 Bài 5(19) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. D là điểm di động trên cạnh BC. AD cắt (O) tại E (E khác A). Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBD, ECD. Xác định vị trí điểm D để R1.R2 đạt giá trị lớn nhất. .57 Bài 5(20) : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AC cắt BD tại I. (O1), (O2) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI. Một đường thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X ; Y và cắt (O1) ; (O2) theo thứ tự tại Z ; T (Z và T khác I). Chứng minh rằng XZ = YT. .58 Bài 5(21) : Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng : .59 .59 Bài 4(22) :Cho tam giác ABC. H là điểm bất kì trên cạnh BC. AD là đường phân giác trong của Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC). .60 Chứng minh rằng : BH.CH/(BL.CL) = HD2/LD2. .60 Bài 5(22) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính bằng 1. Một đường thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Kí hiệu SAMN là diện tích tam giác AMN. 60 Chứng minh rằng : .60 Bài 5(23) : Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các cạnh BC, CA, AB. Gọi M là giao điểm của các đường thẳng AO, DE ; N là giao điểm của các đường thẳng BO, EF ; P là giao điểm của các đường thẳng CO, DF. Chứng minh các tam giác NAB, MAC, PBC có cùng diện tích. .63 Bài 4(24) : Cho tam giác đều ABC có điểm M thuộc BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC ; O là trung điểm của EF ; Q là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng OM. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì Q luôn thuộc một đường tròn cố định. .64 Bài 5(6) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, CA. Tia MN cắt (O) tại I. Chứng minh rằng : BC/IA = CA/IB + AB/IC . . Lời giải : (của bạn Phan Xi Nê, 6A4, THCS Phước Mỹ, Tuy Phước, Bình Định) Đặt K là giao điểm của tia NM và đường tròn (O). Vì M, N là trung điểm của BC, CA nên MN // AB ị AIKB là hình thang, hơn thế, là hình thang cân (vì AIKB nội tiếp) => IA = KB ; IB = KA (1) Mặt khác, dễ thấy : . (Vì M, N là trung điểm của BC, CA) Nhận xét : 1) Tất cả các bạn tham gia đều giải đúng. 2) Đa số các bạn đều giải bằng phương pháp tam giác đồng dạng. Một vài bạn cho lời giải thông qua việc chứng minh đẳng thức diện tích : S(IBC) = S(ICA) + S(IAB). DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hoặc một biểu thức là dạng toán các bạn thường gặp trong các kì thi, không chỉ ở bậc THCS mà sau này các bạn vẫn gặp ở bậc THPT. Tất nhiên ở mỗi bậc học, bài toán được đặt ra với các mức độ khác nhau. ở bài viết này xin bước đầu trao đổi với các bạn một chút kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải quyết loại toán này. Kiến thức cơ bản cần biết để sử dụng là : * Với a, b ≥ 0 thì : và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Đây chính là bất đẳng thức Côsi trong trường hợp 2 số. Các bạn có thể suy từ bất đẳng thức hiển nhiên đúng : * Với mọi a, b thì |a| + |b| ≥ |a + b| (**) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. Các bạn chỉ cần bình phương hai vế để có bất đẳng thức tương đương và hiển nhiên đúng. * Với các số a, b, c, d tùy ý ta có : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd) 2 (***) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc. Đây chính là bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai cặp số. Các bạn có thể suy ngay ra bất đẳng thức này dựa vào hằng đẳng thức : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad - bc) 2 * Cho a ≠ 0, Do đó : - Nếu a > 0 thì f(x) ≥ (4ac - b 2 )/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) . - Nếu a < 0 thì f(x) ≤ (4ac - b 2 )/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) . Bây giờ các bạn theo dõi các thí dụ : Thí dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức ta viết được : áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : với mọi x. Đẳng thức xảy ra Vậy y đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi x = 0. Thí dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = |x - 2003| + |x + 2003| Lời giải : áp dụng bất đẳng thức (**) với a = x + 2003 và b = 2003 - x ta có : y = |x - 2003| + |x + 2003| = |2003 - x| + |x + 2003| ≥ |(2003 - x) + (x + 2003)| = 2006 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2003 - x)(x + 2003) ≥ 0 Tương đương - 2003 ≤ x ≤ 2003. Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất là 4006 khi và chỉ khi - 2003 ≤ x ≤ 2003 . Chú ý : Nhiều bạn lại áp dụng với a = x + 2003 và b = x - 2003 thì . chưa được gì. Bởi khi đó ta có : y ≥ |(x - 20003) + (x + 2003)| = |2x| = 2|x| . Vì 2|x| không phải là hằng số nên dù đẳng thức có xảy ra thì cũng không kết luận được gì về giá trị nhỏ nhất của y. Thí dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = - 2001 x 2 + 2002 x - 2003. Lời giải : Như phần kiến thức đã trình bày ở trên, ta viết : với mọi x. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1001/2001 nên y đạt giái trị nhỏ nhất là - 3006002/2001. Chú ý : Khi gặp đa thức nhiều ẩn, các bạn có thể tạm coi đa thức là một ẩn với một ẩn nào đó và thực hiện cách biến đổi tương tự cũng sẽ giải quyết được bài toán. Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 + y 2 - xy - x + y + 1 Lời giải : Ta viết : Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của P là 2/3. Chú ý : Nhiều bạn có “sáng kiến” viết : P = 1/2.(2x 2 + 2y 2 - 2xy - 2x + 2y + 2) = 1/2.[ (x - y) 2 + (x - 1) 2 + (y + 10 2 ] ≥ 0 với mọi x, y. Tuy nhiên bất đẳng thức trên không thể trở thành đẳng thức. Ta không được gì, ngoài việc biết được giá trị nhỏ nhất của P, nếu tồn tại sẽ là một số . dương (!). Các bạn chớ thấy bất đẳng thức trên không trở thành đẳng thức mà vội vàng “liều lĩnh” kết luận : P không có giá trị nhỏ nhất (?). Thí dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Tập xác định của hàm số là 0 ≤ x ≤ 2 . Ta có : với mọi x thuộc tập xác định. Vì y ≥ 0 nên từ y 2 ≥ 2 => y ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 2. Do đó GTNN của y là . áp dụng bất đẳng thức (***) với : Do đó GTLN của y là 2. Mức độ khó hơn, các bạn có thể tham khảo các bài toán dưới đây : Thí dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x 4 - 4x 3 + 8x. Lời giải : Ta có : y = (x 4 - 4x 3 + 4x 2 ) - 4(x 2 - 2x) = (x 2 - 2x) 2 - 4(x 2 - 2x) = [ (x 2 - 2x) - 2] 2 - 4 ≥ - 4 với mọi x. Đẳng thức xảy ra : Do đó giá trị nhỏ nhất của y là -4, khi và chỉ khi Thí dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Căn thức có nghĩa khi và chỉ khi 4 - x 2 ≥ 0 Tương đương với x 2 ≥ 4 hay |x| ≤ 2 Tương đương - 2 ≤ x ≤ 2 . Ta có : áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x 2 và b = 4 - x 2 ta có Từ (1) và (2) ta có |y| ≤ 2 => - 2 ≤ y ≤ 2 GTLN của y là 2 GTNN của y là -2 Các bạn hãy tự luyện tập thêm qua các bài toán : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 2 + 2y 2 - 2xy + 2(x - 2y + 1) 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Bài 1(8) : Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho : xyz = 9 + x + y + z (1). Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình (1), ta giả sử x y z. Chú ý, nếu z 3 thì xyz x.3.3 = 9x = 6x + 3x 18 + (x + y + z) > 9 + x + y + z. Vậy z < 3. * Trường hợp z = 1 : ta có (1) tương đương với xy = 10 + x + y hay (x - 1)(y - 1) = 11. Vì x - 1 y - 1 => : x- 1 = 11 và y - 1 = 1 hay x = 12 và y = 2 * Trường hợp z = 2 : ta có (1) tương đương với 2xy = 11 + x + y hay (2x - 1)(2y - 1) = 23. Vì 2x - 1 2y - 1 3 và 23 là số nguyên tố nên phương trình trên vô nghiệm. Vậy với x y z thì (1) chỉ có nghiệm x = 12, y = 2, z = 1. Với x, y, z nguyên dương bất kì, (1) có 6 nghiệm (x, y, z) là 6 hoán vị của (12, 2, 1). Bài 4(9) : Cho các số không âm x 1 , x 2 , x, …, x n có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n . Lời giải : Đặt T = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x4 + … + x n-1 x n . Cách 1 : Xét trường hợp n chẵn (tương tự với n lẻ). Đặt a = x 1 + x 3 + … + x n-1 ; b = x 2 + x 4 + … + x n . Ta có, a + b = 1 và T nhỏ hơn bằng a.b (các bạn hãy tự kiểm tra). Từ đó : T nhỏ hơn bằng a.b = a.(1 - a) = - a 2 + a = 1/4 - (a - 1/2) 2 nhỏ hơn bằng 1/4. Nếu x 1 = x 2 thì x 3 = x 4 = … = x n = 0, khi đó T đạt giá trị lớn nhất bằng 1/4. Cách 2 : Không mất tính tổng quát, giả sử x 1 là số lớn nhất, ta có : x 1 x 2 = x 1 x 2 ; x 2 x 3 nhỏ hơn bằng x 1 x 3 ; … ; x n-1 x n nhỏ hơn băng x 1 x n => ị T nhỏ hơn bằng x 1 (x 2 + x 3 + … + x n ) = x 1 (1 - x 1 ). Đến đây, bài toán được giải quyết tiếp như ở cách 1. Nhận xét : Hầu hết các bạn đều tìm được kết quả đúng. Tuy nhiên, có khá nhiều bạn xác định điều kiện xảy ra đẳng thức là sai, việc này có thể tránh nếu “chịu khó” kiểm tra lại điều kiện. Các bạn có lời giải tốt : Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 2003 2004 . Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n 1 , n 2 , …, n k . S = n 1 3 + n 2 3 + … + n k 3 . Tìm số dư của phép chia S cho 6. Lời giải : Vì a 3 - a = a.(a 2 -1) = (a - 1).a.(a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên a 3 - a chia hết cho 6 với mọi số nguyên a. Đặt N = n 1 + n 2 + … + n k , ta có : S - N = (n 1 3 + n 2 3 + … + n k 3 ) - (n 1 + n 2 + … + n k ) = (n 1 3 - n 1 ) + (n 1 3 - n 1 ) + … + (n k 3 - n k ) chia hết cho 6 => S và N có cùng số dư khi chia cho 6. Mặt khác, 2003 chia cho 6 dư 5 => 2003 2 chia cho 6 dư 1 => N = 2003 2004 = (2003 2 ) 1002 chia cho 6 dư 1. Vậy : S chia cho 6 dư 1. Nhận xét : 1) Nhiều bạn đã có nhận xét đúng : “Với mọi số nguyên a và số tự nhiên m thì a 2m + 1 - a chia hết cho 6”, dẫn đến kết quả : “n 1 + n 2 + … + n k và n 1 2m + 1 + n 2 2m + 1 + … + n k 2m + 1 có cùng số dư khi chia cho 6 với n 1 , n 2 , …, n 2 là các số nguyên”. 2) Một số bạn đã vội có lập luận sai lầm khi từ a 3 - a chia hết cho 6 đã => a 3m - a chia hết cho 6 ! Bài 2(18) : Tìm nghiệm dương của phương trình : (x 3 + y 3 ) + 4(x 2 + y 2 ) + 4(x + y) = 16xy. Lời giải : Ta có (x 3 + y 3 ) + 4(x 2 + y 2 ) + 4(x + y) - 16xy = (x 3 - 4x 2 + 4x) + (y 3 - 4y 2 +4y) + (8x 2 + 8y 2 - 16xy) = x(x - 2) 2 + y(y - 2) 2 + 8(x - y) 2 ≥ 0 do x > 0 và y > 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm dương x = y = 2. Nhận xét : 1) Để giải một hệ phương trình có số phương trình ít hơn số ẩn số hoặc một phương trình nhiều ẩn chúng ta có một cách là dẫn đến một bất đẳng thức mà hệ hoặc phương trình được thỏa mãn chỉ khi bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Bài 2(19) : Cho các số x 1 , x,sub>2, x 3 , ., x 11 thỏa mãn : 1 ≤ x 1 < x 2 < x 3 < . < x 11 ≤ 1000. Chứng minh rằng, tồn tại i Є {1, 2, 3, ., 10} sao cho Lời giải : Ta có a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca) = 1/2 (a + b + c)((a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 ) (1). Suy ra a 3 + b 3 + c 3 < 3abc <=> a, b, c không đồng thời bằng nhau và a + b + c < 0. Áp dụng với < ta có Do 1 ≤ x 1 < x 2 < x 3 < . < x 11 ≤ 1000 suy ra là 10 số dương có tổng bằng : Do đó tồn tại i Є {1, 2, 3, ., 10} sao cho Từ (2), (3) suy ra điều phải chứng minh. Nhận xét : (1) là một hằng đẳng thức quen thuộc của lớp 8. Bài 3(20) : Cho x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = (2 - x)(2 - y). Lời giải : Ta có S = (2 - x)(2 - y) Nhận xét : Đây là bài toán cơ bản, biến đổi đẹp [...]... nhận xét trên, AC + BD + 2IJ = AC + BD < AB + BC + CD + DA Trường hợp 2 : ABCD không là hình bình hành Vì ABCD không là hình bình hành nên tồn tại một cặp cạnh đối không song song Không mất tính tổng quát, giả sử AB và CD không song song đặt E là giao điểm của AB va CD Không mất tính tổng quát, giả sử E thuộc tia đối của các tia AB, DC Ta có : ( DAB + ABC)+( BCD+ CDA)=360o => DAB + ABC ≥ 180o hoặc BCD... kẻ đường thẳng song song với AD, cắt MN, CD lần lượt tại P, Q (hình 3) Kết hợp với giả thiết, ta suy ra ABPM và MPQD là các hình bình hành nên AM = PB, MD = PQ Mặt khác, M là trung điểm của AD hay MA = MD nên PB = PQ hay P là trung điểm của BQ Xét ∆BQC, tương tự như cách 2 ta có PN là đường trung bình của tam giác nên N là trung điểm của BC Cách 4 : Qua B, N kẻ các đường thẳng song song với AD, lần... tương ứng song song cùng chiều) Vậy ∆BPN = ∆NQC (g.c.g) => BN = CN => N là trung điểm của BC Cách 5 : (dùng phương pháp diện tích) Lấy điểm E bất kì trên đoạn MN (hình 5) Vì M là trung điểm của AD, MN // AB, AB // CD nên hoàn toàn có thể chứng minh được khoảng cách từ các điểm A, B, C, D xuống MN bằng nhau, ta kí hiệu là h Suy ra SBEN = SCEN = 1/2.h.EN Mặt khác, hai tam giác này có chung chiều cao xuất... 9 ; x, y, z lần lượt là độ dài các phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh rằng : Lời giải : Gọi AD là phân giác của Dựng qua B đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AC tại E Khi đó : ∠CAD = ∠ AEB (hai góc đồng vị) ; ∠ DAB = ∠ ABE (hai góc so le trong) mà ∠ DAB = ∠ CAD nên ∠ ABE = ∠ AEB => ∆ ABE cân tại A => AB = AE = c Mặt khác : AD/BE = CA/CE hay x/BE = b/(b + c) suy ra BE = x.(b+c)/b... đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDE và CDE Lời giải : Gọi M là trung điểm của BC, dựng BI, CK song song với d (I, K nằm trên AM), khi đó MI = MK, => AI + AK = 2 AM = 3AG Vậy có : AB/AD + AC/AE = AI/AG + AK/AG = 3AG/AG =3 Dựng AH, BB1, MM1, CC1 vuông góc với d, lúc đó AH = 2MM1 Mặt khác, MM1 là đường... DABC với 3 đường đồng quy AD, BF, CE cũng đi đến kết quả trên Lưu ý rằng khi áp dụng định lí Xê-va để giải quyết bài toán trên, các bạn phải chứng minh định lí này Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song và bằng một nửa CD H là trung điểm của CD Điểm M nằm ngoài hình thang sao cho MH vuông góc và bằng một phần tư CD Bên ngoài hình thang, ta dựng các tam giác ADE, BCF vuông cân tại E, F Chứng minh... tại H, G Chứng minh rằng ∆EGH cân tại E Các bạn có thể chứng minh được ngay khi xem hình 3 Đến đây, ta nhận thấy rằng DEC là góc ngoài của ∆EGH (cân tại E) nên dễ dàng phát hiện thấy đường thẳng GH song song với đường phân giác trong của DEC Nếu cho E, A, B cố định thì M là trung điểm của AB cũng cố định, phân giác trong của AEB cũng cố định Từ đó ta được một kết quả khá thú vị Bài toán 5 : Cho ∆EAB,... tia AE, tia BE sao cho DA = CB Chứng minh trung điểm P của DC chạy trên một đường thẳng cố định Các bạn có thể chứng minh được ngay điểm P nằm trên đường thẳng d đi qua trung điểm M của AB cố định và song song với đường phân giác trong cố định của AEB Tất nhiên đường thẳng d là đường thẳng cố định (xem hình 3) Dựa vào các kết quả trên và đọc thêm bài viết “Phương tích và bài toán Castillon” của tác giả... phải như vậy Các bạn hãy cùng bạn Thành khám phá một bài toán rất quen thuộc và đơn giản để nhìn ra sự hấp dẫn nhé Bài toán : Cho hình thang ABCD (AB // CD) M là trung điểm của AD Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại N Chứng minh rằng N là trung điểm của BC Lời giải : Tìm được nhiều hướng giải quyết sáng tạo chính là sự hấp dẫn của bài toán này Cách 1 : Lấy N’ là trung điểm của BC (hình 1),... toán 1 đến bài toán 2 chính là nhờ phép đặc biệt hóa Đường chéo QN của hình thoi MNPQ là đáy của tam giác cân PQN nên đường thẳng QN cắt AD, BC lần lượt tại I, K thì BKN = PQN và AIQ = PNQ (các cặp góc so le trong) Do đó AIQ = BKN (xem hình 2) Ta có thêm kết quả : Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD có AD = BC, AB < CD Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC, BD Chứng minh rằng đường thẳng NQ . bình hành nên tồn tại một cặp cạnh đối không song song. Không mất tính tổng quát, giả sử AB và CD không song song. đặt E là giao điểm của AB va CD. Không. .49 Bài 4(4) : Cho ΔABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng