Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối D Môn Toán 2006
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI D NĂM 2006 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com 1 Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 2 đề thi môn toán khối D năm 2006 Phần chung cho tất cả các thí sinh Câu I: (2 điểm): Cho hàm số: (C): y = x 3 3x + 2. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đ- ờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Câu II: (2 điểm) 1. Giải phơng trình: cos3x + cos2x cosx 1 = 0. 2. Giải phơng trình: 2 2x 1 x 3x 1 0, x . + + = Ă Câu III: (2 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng thẳng: 1 x 2 y 2 z 3 (d ) : 2 1 1 + = = , 2 x 1 y 1 z 1 (d ) : . 1 2 1 + = = 1. Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A qua đờng thẳng (d 1 ). 2. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A, vuông góc với (d 1 ) và cắt (d 2 ). Câu IV: (2 điểm) 1. Tính tích phân 1 2x 0 I (x 2)e .dx.= 2. Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất: x y e e ln(1 x) ln(1 y) . y x a = + + = Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a Theo chơng trình THPT không phân ban (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C) và đờng thẳng (d): (C): x 2 + y 2 2x 2y + 6 = 0, (d): x y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M trên (d) sao cho đờng tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đờng tròn (C) và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (C). 2. Một đội thanh niên xung kích của một trong phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 em học sinh lớp A, 4 em học sinh lớp B và 3 em học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy ? 3 Câu V.b Theo chơng trình THPT phân ban (2 điểm) 1. Giải phơng trình 2 2 x x x x 2x 2 4.2 2 4 0. + + = 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên các đờng thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCMN. Đánh giá và định hớng thực hiện Câu I. 1. Tham khảo định hớng trong câu I.1 của đề toán khối A 2002. 2. Đây là dạng toán về sự tơng giao của hai đồ thị (bậc ba và bậc nhất), các bớc thực hiện thông thờng bao gồm: Bớc 1: Thiết lập phơng trình cho đờng thẳng (d). Bớc 2: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): g(x, m) = 0 (là phơng trình bậc ba) (*) Tìm cách phân tích phơng trình về dạng: (x x 0 )(ax 2 + bx + c) = 0 0 2 x x f (x) ax bx c 0 (**) = = + + = Bớc 3: Đờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi phơng trình (*) có ba nghiệm phân biệt, tức là khi phơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác x 0 , suy ra: 0 a 0 0 . f (x ) 0 > Câu II. 1. Dễ nhận thấy chỉ cần vận dụng phơng pháp biến đổi về dạng tích chúng ta sẽ giải đợc phơng trình lợng giác nay. Cụ thẻ: cos3x cosx = 2sin2x.sinx, 1 cos2x = 2sin 2 x. 2. Đây là phơng trình chứa căn bậc hai cơ bản dạng f (x) g(x)= , do đó chúng ta sẽ sử dụng phép biến đổi tơng đơng: 2 g(x) 0 . f (x) g (x) (*) = Tuy nhiên, các em học sinh có thể dễ nhận thấy phơng trình (*) có bậc bốn, nên cần biết cách nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra, cũng có thể sử dụng ẩn phụ t 2x 1= để giải phơng trình. 4 Câu III. Chúng ta lần lợt: 1. Với câu 1), ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d). Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A từ điều kiện M là trung điểm của AA. Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách: Bớc 1: Xác định vtcp u r của đờng thẳng (d). Bớc 2: Giả sử A(x; y; z), suy ra: Trungđiểm M của AA' thuộc(d) AA' (d) A A A x x y y z z M ; ; (d) 2 2 2 AA'.u 0 + + + ữ = uuuur r Toạ độ A. 2. Với câu 2), ta có thể lựa chọn một trong ba cách: Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P 1 ) thoả mãn điều kiện: (P 1 ): 1 1 qua A (d ) (P ) . Bớc 2: Lập phơng trình mặt phẳng (P 2 ) thoả mãn điều kiện: (P 2 ): 2 2 qua A (d ) (P ) . Bớc 3: Kết luận: 1. Nếu (P 1 ) (P 2 ) thì bài toán có vô số nghiệm. 2. Nếu (P 1 ) (P 2 ) thì gọi (d) là giao tuyến của (P 1 ) và (P 2 ). - Nếu (d) song song với (d 2 ) thì bài toán vô nghiệm. - Còn lại, kết luận (d) chính là đờng thẳng cần dựng. Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) thoả mãn điều kiện: (P): 1 qua A (d ) (P) . Bớc 2: Xác định giao điểm B của (d 2 ) và (P). Nếu không tồn tại giao điểm. Kết luận vô nghiệm. Nếu có vô số giao điểm ((d 2 ) (P)). Kết luận có vô số đờng thẳng trong (P) đi qua A cắt (d 2 ). 5 P A B (d 1 ) (d 2 ) (d ) Nếu có nghiệm duy nhất thực hiện bớc 3. Bớc 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) thoả mãn: (d): qua A vtcp AB uuur . Cách 3: Đợc áp dụng khi (d 2 ) cho dới dạng tham số, ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Giả sử (d) cắt (d 2 ) tại B, khi đó toạ độ B thoả mãn phơng trình tham số của (d 2 ), từ đó suy ra AB uuur . Xác định toạ độ vectơ 1 a r là một vtcp của (d 1 ). Bớc 2: Vì (d) (d 1 ) nên: AB uuur 1 a uur AB uuur . 1 a uur = 0 toạ độ điểm B. Bớc 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A có vtcp AB uuur . Từ đó: Nếu bài toán yêu cầu lập phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d), sử dụng cách 1. Nếu bài toán yêu cầu viết phơng trình tham số hoặc chính tắc của đờng thẳng (d), sử dụng cách 2 hoặc cách 3. Câu IV. 1. Đây là tích phân một hàm số hỗn hợp (đa thức và siêu việt) và nó thuộc dạng cơ bản b ax b a I f (x)e .dx + = nên phơng pháp đợc lựa chọn là "Phơng pháp tích phân từng phân" với cách lựa chọn: ax b u f (x) . dv e dx + = = 2. Nhận định rằng phơng trình thứ hai của hệ là phơng trình bậc nhất với hai ẩn x, y, điều đó dẫn tới việc có thể sử dụng phép thế để chuyển đổi tơng đơng hệ về một phơng trình một ẩn, giả sử là: f(x, a) = 0. (*) Từ đó, dẫn tới việc tìm cách đi chứng minh với a > 0 phơng trình (*) có nghiệm duy nhất. Dễ nhận thấy (*) là phơng trình không mẫu mực nên để chứng minh nó có nghiệm duy nhất thì phơng pháp thờng đợc lựa chọn là phơng pháp hàm số (đi chứng tỏ rằng nó luôn đơn điệu). Câu V.a. 6 1. Bài toán này thuộc dạng tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K cho trớc các em học sinh hãy tham khảo lại định hớng tổng quát trong câu V.a của đề toán khối A 2006. Các em học sinh hãy phác thảo hình ra nháp để kiểm chứng tính đúng đắn của các bớc giải sau: Bớc 1: Giả sử (C) có tâm I v bán kính R. Điểm M thuộc (d) nên có toạ độ M(x; x + 3). Bớc 2: Khi đó, điều kiện K của bài toán là: MI = 3R. 2. Với bài toán đếm kiểu này, các em học sinh cần phân tích rất kỹ yêu cầu "Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên " để thực hiện đi đếm phần bù, cụ thể: Phần 1: Đếm số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ từ ba lớp A, B, C. Giả sử là T 1 . Phần 2: Đếm số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ từ ba lớp A, B, C mà mỗi lớp có ít nhất một em. Giả sử là T 1 . Khi đó, số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên bằng: T 1 T 2 . Câu V.b. 1. Dựa vào cách đánh giá hệ số cùng số mũ, chúng ta có thể thấy ngay rằng ph- ơng trình sẽ đợc giải bằng cách chuyển nó về dạng tích , cụ thể: ( ) ( ) 2 2 x x 2x x x 2 2 4.2 4 0 + = ( ) ( ) 2 2 2x x x x x 2 2 1 4 2 1 0 = ( ) ( ) 2 2x x x 2 4 2 1 0. = 2. Công việc tính thể tích khối chóp A.BCMN hoàn toàn đợc thực hiện khi các em lựa chọn đợc đỉnh, để từ đó xác định ra đờng cao và đáy. Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh môn toán khối D năm 2006 Câu I. 1. Bạn đọc tự làm. 2. Đờng thẳng (d) có phơng trình: (d): y = m(x 3) + 20. Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) với đồ thị (C) là: 7 x 3 3x + 2 = m(x 3) + 20 (x 3)(x 2 + 3x m + 6) = 0 2 x 3 . f(x) x 3x m 6 0 (*) = = + + = Đờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi: Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 3 a 0 0 f (3) 0 > 2 1 0 9 4(6 m) 0 3 3.3 m 6 0 > + + 4m 15 0 24 m 0 > 15 m . 4 m 24 > Vậy, với 15 m 24 4 < thỏa mãn điều kiện đầu bài. Bài tập tơng tự luyện tập Bài 1. Cho hàm số y = |x + 3| + 1 x 1+ . Chỉ rõ các giao điểm của đồ thị với trục hoành. Bài 2. Cho đờng cong (C) và đờng thẳng (d) có phơng trình: (C): y = x + 2 x , (d): y = mx + 4m. Biện luận theo m vị trí tơng đối của (d) và (C). Bài 3. Cho hàm số (C m ): y = x 2 (m x) m. a. Chứng minh rằng đờng thẳng (d): y = kx + k + 1 luôn cắt đồ thị hàm số tại một điểm cố định. b. Tìm k theo m để đồ thị (C m ) cắt đờng thẳng (d) tại ba điểm phân biệt. Bài 4. Cho hàm số: (C m ): y = x 4 + (2m 1)x 3 + (m 2 2m)x 2 (m 2 m + 1)x m + 1 = 0. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Bài 5. Cho hàm số y = 3x 4 x 1 + . Xác định a để đờng thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số. Bài 6. Cho hàm số y = 2 x 4x 3 x 2 + + + . Xác định tất cả các giá trị của k để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = kx + 1 tại hai điểm phân biệt. Bài 7. Cho hàm số: y = f 1 (x, m) = (m + 1) 2 2 2 x x 1 ữ + 3m( 2 2 x x 1+ ) + 4m. 8 a. Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. b. Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = f 1 (x, m) cắt đồ thị hàm số y = f 2 (x, k) = 2 2 k (x 1)+ tại ba điểm phân biệt. Bài 8. Cho hàm số: (C m ): y = 2x 3 + 2(6m 1)x 2 3(2m 1)x 3(1 + 2m) = 0. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng các bình phơng các hoành độ bằng 28. Bài 9. Cho hàm số: y = x 3 3mx 2 + 3(m 2 1)x (m 2 1). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng. Bài 10. Cho hàm số: y = 2 x 4x 1 x 2 + + + . Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (d m ): y = mx + 2 m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. Câu II. 1. Biến đổi bất phơng trình về dạng: (cos3x cosx) (1 cos2x) = 0 2sin2x.sinx 2sin 2 x = 0 2sinx(sin2x + sinx) = 0 2sinx(2sinx.cosx + sinx) = 0 2sin 2 x(2cosx + 1) = 0 sin x 0 2cos x 1 0 = + = sin x 0 1 cos x 2 = = x 2k 2 2 x 2k 3 = + = + , k  . Vậy, phơng trình có bahọ nghiệm. Bài tập tơng tự luyện tập Bài 11. Giải phơng trình sin 2 4x cos 2 6x = sin(10x + 21 2 ). Bài 12. Giải phơng trình sin 2 3x cos 2 4x = sin 2 5x cos 2 6x. Bài 13. Giải phơng trình: sin 3 2x.cos6x + sin6x.cos 3 2x = 3 8 . Bài 14. Giải phơng trình: 9 1 + 2cos 2 3x 5 = 3cos 4x 5 . Bài 15. Cho phơng trình: sin 3 x.cos3x + sin3x.cos 3 x = sin 3 4x + m. a. Giải phơng trình với m = 0. b. Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm thuộc [0, 6 ]. 2. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình về dạng: 2 2x 1 x 3x 1 = + 2 2 2 x 3x 1 0 2x 1 ( x 3x 1) + = + 2 4 3 2 x 3x 1 0 x 6x 11x 8x 2 0 + + + = 2 3 2 x 3x 1 0 (x 1)(x 5x 6x 2) 0 + + = 2 2 2 x 3x 1 0 (x 1) (x 4x 2) 0 + + = 2 2 x 3x 1 0 x 1 0 x 4x 2 0 + = + = 2 x 3x 1 0 x 1 x 2 2 + = = x 1 . x 2 2 = = Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x 2 2= . Cách 2: Đặt t 2x 1= (t 0), suy ra 2 t 1 x 2 + = . Khi đó, phơng trình đợc chuyển về dạng: 2 2 2 t 1 t 1 t 3. 1 0 2 2 + + + + = ữ t 4 4t 2 + 4t 1 = 0 (t 1) 2 (t 2 + 2t 1) = 0 2 t 1 0 t 2t 1 0 = + = t 0 t 1 t 2 1 = = 2x 1 1 2x 1 2 2 = = x 1 . x 2 2 = = Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x 2 2= . Bài tập tơng tự luyện tập Bài 16. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 x 3x 2 + = 2 2m x x+ . 10 . kí Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI D NĂM 2006 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh). thông có 12 học sinh, gồm 5 em học sinh lớp A, 4 em học sinh lớp B và 3 em học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này
