40 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG - ĐỀ SỐ CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 1: Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C’ (ABC) O Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC’ a mặt bên (ACC’A’) (BCC’B’) hợp với góc 900 a3 A 3a3 B a3 C 27a3 D Câu 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC 3a Khi thể tích khối lăng trụ a3 A a3 B a3 C a3 D 12 Câu 3: Một hình hộp chữ nhật có kích thước a(cm) x b(cm) x c(cm), a, b, c số nguyên      a  b  c Gọi V cm3 S cm thể tích diện tích tồn phần hình hộp Biết V = S, tìm số số (a, b, c) A B 10 C 12 D 21 Câu 4: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng cân B, AC  a 2, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC) Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với đáy góc 600 Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABC A V  3a3 B V  3a3 C V  3a3 D V  3a3 12 Câu 5: Xét khối tứ ABCD có cạnh AD, BC thỏa mãn AB  CD2  18 cạnh lại Biết thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn có dạng Vmax  x y ; x, y  N* ;  x; y   Khi đó, x, y thỏa mãn bất đẳng thức đây? A x  y2  xy  4550 B xy  x  y  2550 C x  xy  y2  5240 D x  y  19602 Câu 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD  600 , AB’ hợp với đáy (ABCD) góc 300 Thể tích khối hộp A a3 B a3 C a3 D 3a3 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Gọi B ', D ' hình chiếu vng góc A cạnh SB, SD Mặt phẳng  AB ' D '  cắt cạnh SC C ' Tính thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' A a3 B 16 a3 45 C a3 D a3 Câu 8: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy chiều cao Xét hình đa diện lồi H có đỉnh trung điểm tất cạnh hình chóp Tính thể tích H A B C D 12 Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có AB  3, BC  4, AC  Tính thể tích khối chópS.ABC biết mặt bên tạo với đáy góc 300 hình chiếu vng góc S (ABC) nằm tam giác ABC A B C D Câu 10: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 450 khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp A V  a3 B V  8a3 C V  a3 D V  a3 Câu 11: Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' có chiều cao a A ' B '  AB  a Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt A 9a2 B 9a C 14 a2 D 3a2 Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có AB  5a, BC  a, CA  7a Các mặt bên (SAB) (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC A a3 B 8a3 C 8a3 D a3 Câu 13: Cho tơn hình chữ nhật kích thước 10m  16 m Người ta cắt bỏ góc tơn miếng hình vng gò lại thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Để thể tích hộp lớn độ dài cạnh hình vng miếng tơn bị cắt bỏ A Đáp án khác B m C m D m Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm SB G trọng V tâm tam giác SBC Gọi V, V ' thể tích củacác khối chóp M.ABC G.ABD Tính tỉ số V' A V  V' B V  V' C V  V' D V  V' Câu 15: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với đáy SA  a Gọi B, D hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng cắt SC C ' Thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' là: A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  a3 Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng, AB  BC  a Biết góc hai mặt phẳng  ACC '   AB ' C '  600 (tham khảo hình vẽ bên) Thể tích khối chóp B ' ACC'A' A a3 B C a3 D a3 3a3 A ' B ' Gọi N, P trung điểm A’C’ B’B Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện khối đa diện chứa đỉnh A’ tích V1 khối đa diện chứa đỉnh C’ tích V V2 Tính V2 Câu 17: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Trên A’B; kéo dài lấy điểm M cho B ' M  V 97 A  V2 59 V 49 B  V2 144 V 95 C  V2 144 V 49 D  V2 95 Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đường cao SO Biết thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng chứa SO, thiết diện có diện tích lớn tam giác cạnh a, tính thể tích khối chóp cho a3 A a3 B a3 C a3 D 12 Câu 19: Cho hình trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 A V  24 a3 B V  12 a3 C V  a3 D V  Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi E, F trung điểm cạnh SB, SC Biết mặt phẳng (AEF) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối chóp S.ABC A V  a3 24 B V  a3 C V  a3 24 D V  a3 12 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N, P, Q trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Biết thể tích khối chóp S.MNPQ V, thể tích khối chóp S.ABCD A 27 V 9 B   V 2 C 9V D 81V Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông A, AC  a, ACB  600 Đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng  AA ' C ' C  góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho A a3 B a3 C a3 D a3 Câu 23: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC  a Góc mặt phẳng  AB ' C  mặt phẳng  BCC 'B'  600 Tính thể tích V khối đa diện AB ' CA ' C ' A a3 B 3a3 C a3 D a3 Câu 24: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, BC = 2, AA’ = Mặt phẳng (P) thay đổi qua C’, mặt phẳng (P) cắt tia AB, AD, AA’ E, F, G (khác A) Tính tổng T  AE  AF  AG cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ A 15 B 16 C 17 D 18 Câu 25: Cho tam giác SOA vuông O có MN // SO với M, N nằm cạnh SA, OA hình vẽ bên Đặt SO  h khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón S có đáy hình tròn tâm O bán kính R  OA Tìm độ dài MN theo h để thể tích khối trụ lớn h A MN  h B MN  h C MN  h D MN  Câu 26: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối chứa điểm A tích V Tính V? a3 A 18 13 3a3 B 216 a3 C 216 11 a3 D 216 Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, AB / / CD, AB  2CD Gọi M, N tương ứng trung điểm V SA SD Tính tỉ số S BCNM VS BCDA A 12 B C D Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều, mặt bên SCD tam giác vuông cân S Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho BM vng góc với SA Tính thể tích V khối chóp S.BDM a3 A V  16 a3 B V  24 a3 C V  32 a3 D V  48 Câu 29: Cho khối tứ diện ABCD tích V, M, N, P, Q trung điểm AC, AD, BD, BC Thể tích khối tứ diện AMNPQ là: A V B V C V D 2V Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, AB  a, BC  a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (SAG) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích tứ diện ACGS A V  a3 36 B V  a3 18 C V  a3 27 D V  a3 12 Câu 31: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A’B’C’ A V  a3 B V  a3 24 C V  a3 12 D V  a3 Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Kí hiệu V1, V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp V cho Tính tỉ số V2 V 32 A  V2 V 32 B  V2 27 V C  V2 V D  V2 Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, M trung điểm SA Biết mặt phẳng (MCD) vng góc với mặt phẳng (SAB) Thể tích khối chóp S.ABCD là: A a3 B a3 C a3 D a3 Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 3, BC = 4, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SA = Gọi AM, AN chiều cao tam giác SAB SAC Tính thể tích khối tứ diện AMNC? A 128 41 B 256 41 C 768 41 D 381 41 Câu 35: Cho khối chóp tứ giác SABCD Mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB, SAC, SAD chia V khối chóp thành hai phần tích V1 V2 (V1 < V2) Tính tỉ lệ V2 A 27 B 16 81 C 19 D 16 75 Câu 36: Cho hình hộp có độ dài cạnh 3, 4, Nối tâm mặt hình hộp chữ nhật ta khối mặt Thể tích khối mặt là: A 10 B 10 C 12 D 75 12 Câu 37: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) hình chóp S.ABCD chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Gọi k  k  1 tỷ số thể tích hai khối đa diện Tính k? A k  B k = 1 C k  D k  Câu 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Lấy hai điểm M N hai cạnh SB, SC ' SD cho SM = 2MB, SN = 2ND, đường thẳng SC cắt mặt phẳng (AMN) C ' Tính tỉ số k  ? SC A k  B k  C k  D k  Câu 39: Cho hình vng ABCD ABEF có cạnh a, nằm hai mặt phẳng vng góc với Lấy điểm H đoạn DE cho HD = 3HE Gọi S điểm đối xứng với điểm B qua điểm H Tính theo a thể tích khối đa diện ABCD.AEF A 5a3 B 8a3 C a3 D a3 Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 5a; BC = 6a mặt bên tạo với đáy mội góc 600 Biết hình chiếu S lên đáy H thuộc miền tam giác ABC Tính thể tích V khối chóp cho theo a A V  8a3 B V  3a3 C V  3a3 D V  a3 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-D 2-A 3-B 4-D 5-A 6-A 7-B 8-D 9-B 10-B 11-C 12-B 13-A 14-A 15-C 16-A 17-D 18-C 19-B 20-A 21-A 22-B 23-D 24-D 25-B 26-D 27-C 28-D 29-C 30-A 31-C 32-A 33-D 34-A 35-C 36-A 37-B 38-D 39-C 40-B Câu 1: Chọn D Cách giải: Gọi D trung điểm AB Trong  CC ' B  kẻ OH  CC '  OH  a CD  AB    AB   CC ' D   AB  CC ' C ' O  AB  Trong (ABC), qua O kẻ EF // AB  E  BC; F  AC  Ta có: EF  CC '    CC '   EFH   CC '  HE; CC '  HF OH  CC ' Ta có:  ACC ' A '    BCC ' B '   CC '   ACC ' A '   HF  CC '    BCC ' B '   HE  CC '     ACC ' A '  ;  BCC ' B '     HF; HE   900  HE  HF  HEF vuông H  v HCE   v HCF  c.g v  c h   HE  HF  HEF vuông cân H  EF  HO  a EF CO 3 AB 9a2    AB  EF  a  3a  SABC   Ta có: AB CD 2 4 CD  AB 3a 2 3a   CO  AB  a 2 3 C ' O   ABC   C ' O  CO  CC ' O vuông O  OH  C ' O2  CO2  C ' O2  OH  CO2  a2  3a2  3a2  C 'O  a a 9a2 27a3  Vậy VABC A ' B ' C '  C ' O.SABC  8 Câu 2: Chọn A Phương pháp: +) Gọi G trọng tâm tam giác ABC  A ' G   ABC  +) d  AA '; BC   d  AA ';  BCC ' B '   +) Tính thể tích khối lăng trụ VABC A ' B ' C '  A ' G.S ABC Cách giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC  A ' G   ABC  AA '/ / BB '  d  AA '; BC   d  AA ';  BCC ' B '   Gọi D, E trung điểm BC, B’C’ ta có:  BC  AD  BC   AA ' ED    BCC ' D '    AA ' ED    BC  A ' G Trong (AA’ED) kẻ AH  DE ta có: AH   BCC ' D '   d  AA '; BC   AH  Tam giác ABC cạnh a  AD  3a a a a2  AG   AA '  A ' G  3 Ta có: AH AA'  A'G AD   3a a2 a 9 a2  A' G2   A ' G   A' G2    A' G2 16   3 a2 a a3 A ' G  a2  A 'G  aS ABC   VABC A ' B ' C '  A ' G.S ABC  a  16 16 4 Câu 3: Chọn B Phương pháp: Xác định diện tích tồn phần thể tích dùng đánh giá biện luận tìm tham số a, b, c Cách giải: Ta có: V  abc, S   ab  bc  ca   abc   ab  bc  ca  (1)  1 1 1    Do  a  b  c        a a b c b c a a Tương tự 1 3       c  a b c c c Với a   a  b  c  Với a   a  b  1 3      b  6,6   b c 10 b 10 c  10  b  8;c  1 Với a        b    b  6;c  12 b c b  b  5;c  20 …… Suy có 10 số thõa mãn Câu 4: Chọn D Phương pháp: Xác định chiều cao hình chóp phương pháp xác định góc hai mặt phẳng Cách giải: Gọi H hình chiếu S AC  SH   ABC  Kẻ HM  AB  M  AB  , HN  AC  N  AC  Suy  SAB  ;  SAC    SBC  ;  ABC   SMH  SNH  600  SHM  SHN  HM  HN  H trung điểm AC Tam giác SHM vng H, có tanSMH  SH a  SH  HM a2 Diện tích tam giác ABC SABC  AB BC  2 1 a a a3  Vậy thể tích cần tính V  SH.SABC  3 2 12 Câu 5: Chọn A Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức Cô si: ab  a2  b2 ,  a, b   Cách giải: Gọi I, J trung điểm CD, AB; độ dài đoạn: AB  a, CD  b, a, b  0, a2  b2  18 Tam giác ACD tam giác BCD cân A, B  AI  CD, BI  CD  CD   ABI  1  VABCD  VD ABI  VC ABI  DI.S ABI  IC.S AI  CD.S ABI (*) 3 10 a a a3  Vậy thể tích khối chóp cần tìm VS ABCD  SO.S ABCD  3 Câu 19: Chọn B Phương pháp: Dựng hình, xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo để tính chiều cao lăng trụ Cách giải:  A ' G  BC Gọi M trung điểm BC Ta có   BC   A ' AM   AM  BC Kẻ MH  AA '  H  AA '   MH đoạn vng góc chung BC, AA'  d  BC;AA'   MH  Mà d  d  G ;  AA '    a 2 a d  M;  AA '    MH  3 Xét tam giác vuông AA’G có: AG  A' G  a  A' G  d a a a3  Vậy thể tích cần tính VABC A ' B ' C '  A ' G  SABC  12 Câu 20: Chọn A Phương pháp: Gọi H tâm tam giác ABC ta có SH   ABC   VS ABC  SH.S ABC Cách giải: Gọi K trung điểm BC I  SK  EF Từ gt  EF  a BC  , EF/ / BC  I trung điểm SK EF 2 Ta có SAB  SAC  Hai trung tuyến tương ứng AE = AF  Tam giác AEF cân A  AI  EF Mặt khác  SBC    AEF   AI   SBC   AI  SK Suy SAK cân A  SA  AK  a 2 a a  Gọi H tâm tam giác ABC ta có SH   SBC  AH  3 19 2 a 3 a 3 a 15  SH  SA  AH               2 1 a 15 a2 a3  Vậy thể tích khối chóp S.ABC V  SH.S ABCD  3 24 Câu 21: Chọn A Phương pháp: Giải nhanh: Chọn trường hợp đặc biệt S.ABCD chóp có chiều cao h cạnh đáy AB = a Cách giải: Giải nhanh: Chọn trường hợp đặc biệt S.ABCD chóp có chiều cao h cạnh đáy AB = a, S.MNPQ có chiều cao a 2h canh đáy MN  AC  3 V  2 Suy S ABCD      VS MNPQ   27 Câu 22: Chọn B Phương pháp: V  AA ' SABC Cách giải: Tam giác ABC vng A, có AB  AC tan 600  a  BC  a Và AB  AC mà AA '   ABC   AB  mp  ACC ' A '  Khi BC ';  ACC ' A '    BC '; AC '   BAC '  300  BC '  AB sin 300  2a Tam giác BCC ' vuông C, có CC '  BC '2  BC  a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V  AA ' S ABC  2a a2 3  a Câu 23: Chọn D Phương pháp: +) Kẻ AD  B ' C, xác định góc mặt phẳng  AB ' C  mặt phẳng  BCC ' B '  +) Tính BB’ +) Tính thể tích khối lăng trụ suy tích AB'CA'C' Cách giải: Gọi H trung điểm BC ta có AH  BC  AH   BCC ' B '   AH  B ' C 20 Trong  AB ' C  kẻ AD  B ' C  B ' C   AHD   B ' C  HD  AB ' C    BCC ' B '   B ' C     AB ' C  ;  BCC ' B '     AD; HD   ADH Ta có:  AB ' C   AD  B ' C   BCC 'B'   HD  B ' C Ta có AH  AB a a   HD  AH.cot 60  2 Dễ thấy CBB ' đồng dạng với CDH (g.g)  BB ' CB ' BB ' a2  BB '2     BB '  a2  BB '2  BB '2  a2  BB '  a HD CH a a 2 Ta có: AB  AC  BC  a  S ABC   VABC A ' B ' C '  BB '.S ABC  a 3a2 AB AC  2 3a2 3a3  2 VAB ' CA ' C '  VB ' ABC  VABC A ' B ' C '  VAB ' CA ' C '  VABC A ' B ' C '  VB ' ABC  VABC A ' B ' C '  VABC A ' B ' C '  VABC A ' 3 3a3  VAB ' CA ' C '   a3 3 Câu 24: Chọn D Phương pháp: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa Cách giải: Gắn hệ trục Oxyz, có tia Ox, Oy, Oz trùng với tia AB, AD, AA’ A  0;0;0  , B 1;0;0  , C 1;2;0  , D  0;2;0  , A '  0;0;3 , B ' 1;0;3 , C ' 1;2;3 , D '  0;2;3 21 (P) cắt tia AB, AD, AA’ E, F, G (khác A) Gọi E  a;0;0  , F  0; b;0  , G  0;0; c  ,  a, b, c   Phương trình mặt phẳng (P): C ' 1;2;3   P     1 a b c Thể tích tứ diện AEFG: V  Ta có: x y z   1 a b c 1 AE AF AG  abc 6 3 33    3.3    abc  33  abc  162  abc  27  V  27 abc a b c a b c 1 a   a  b  c   b   Vmin  27      c    a b c Khi đó, T  AE  AF  AG  a  b  c     18 Câu 25: Chọn B Phương pháp: Đặt OM  x, tính MN theo h, R, x Tính thể tích khối trụ Vtrụ = R2 h R,h bán kính đáy chiều cảo khối trụ, tìm GTLN thể tích Cách giải: Khi quay hình bên quanh cạnh SO ta khối trụ đường cao MN, bán kính đáy OM nội tiếp khối nón đỉnh S, đường cao SO, bán kính đáy R = OA Đặt OM  x   x  R  ta có: MN AM h  MN OA  AM x x x       h  MN  h  MN  h    h R h R R R  R x  h   Vtru  OM MN   x h     x R  x  R R  x  0(ktm) Đặt f  x   x  R  x   Rx  x ta có f '  x   Rx  x     x  R (tm)  2  2R   2R  2R   h  x   OM  MN  h  Dễ thấy max f  x   f     R   0; R       22 Câu 26: Chọn D Phương pháp: Tính thể tích phần khối đa diện khơng chứa điểm A theo thể tích khối tứ diện ABCD sau suy V Cách giải: Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối chứa điểm A tích V Gọi thể tích phần đa diện lại V' Gọi F  EM  AD; G  EN  CD Áp dụng định lí Menelaus tam giác BCD có: NB GC ED GC 1 2 NC GD EB GD Áp dụng định lí Menelaus tam giác ABD có: MA EB FD FD  A  MB ED FA FA Ta có SEBN  1 1 d  E; BN  BN  d  D; BC  BC  d  D; BC  BC  SBCD 2 2 d  M;  EBN    1 d  A;  BCD    VM EBN  VABCD 2 SEDG  1 1 1 d  G ; DE  DE  d  C; BD  BD  d  C; BD  BD  SBCD 2 3 1 d  F;  EDG    d  A;  BCD    VM EBN  VABCD  V '  VM EBN  VM EBN  11 VABCD  V  VABCD 18 18 Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ta có AH   BCD  BH  2a a  3 a 3 a 1 a a a3  AH  a     VABCD  AH.S BCD     3 3 12   V 11 a3 11 a3  18 12 216 Câu 27: Chọn C Phương pháp: Sử dụng định lí Simson xét tỉ lệ thể tích khối đa diện Cách giải: 23 h Chuẩn hóa CD   AB  h  d  D;  AB    S ABCD   AB  CD   h 2 h Diện tích tam giác DAB SABD  d  D;  AB   AB  h  SBCD  2 V V SM SN 1 1    VS BMN  VS ABD  VS ABCD  S ABCD (1) Ta có S BMN  VS BAD SA SD 2 4 V V SN 1 1   VS BMN  VS BCD  VS ABCD  S ABCD (2) Lại có S BCN  VS.BCD SD 2 V 1 Lấy (1) + (2), ta VS BMN  VS BCN  VS ABCD  S BCNM  VS ABCD Câu 28: Chọn D Phương pháp: - Xác định chân đường cao đỉnh S đến mặt phẳng đáy - Tính thể tích khối chóp: V  Sh Cách giải: Gọi I, J trung điểm AB, CD Tam giác SAB đều, tam giác SCD cân S nên SI  AB, SJ  CD Mà AB / / CD  AB, CD   SIJ  Dựng SH  IJ ,  H  IJ   SH   ANCD  (do SH  IJ SH   SIJ   CD) Trong (ABCD), kẻ BM  AH,  M  CD, AH  BM  T  Khi đó, điểm M thỏa mãn điều kiện đề +) SAB đều, cạnh a  SI  a 24 +) SCD vuông cân S, CD = a  SJ  CD a  2 +) ABCD hình vuông cạnh a  IJ  a Tam giác SIJ có: IJ  SI  SJ  SIJ vuông S a 3 3a  IH.a  IH  Mà SH  IJ  SI  IH.IJ       Và SH  SI  SJ  a 3      a 2    16 3a  SH  a Dễ dàng chứng minh AIH đồng dạng tam giác BCM S 1 a 3a 3a2  AI   AIH     S  S   BCM AIH S BMC  BC  2 4 S BDM  S BCM  S BCD  2 a2 a  a  4 1 a a2 3a3  Thể tích khối chóp S.BDM: VS BDM  SH.S BDM  3 4 48 Câu 29: Chọn C Phương pháp: Sử dụng tỉ lệ thể tích Cách giải: Tam giác BPQ tam giác BCD đồng dạng theo tỉ số  S BPQ S BCD Ta có:   VA BPQ VA BCD   VA PQCD  VABCD 4 VA MNP AM AN 1    VA MNP  VA.CDP VA.CDP AC AD 4 Ta có SPQCD   S BCD ; SCDP  S BCD SCDP 2   VA.CDP  VA PQCD  VA MNP  VA PQCD SPQCD 3 25 VQ MQP VA.CQP  AM 1   VA MQP  VA.CQP AC 2 1 SCPQ  SPQCD  VA.CPQ  VA PQCD  VA MQP  VA PQCD 3  VA MNPQ  VA MNP  VA MQP  1 1 V VA PQCD  VA PQCD  VA PQCD  VABCD  6 4 Câu 30: Chọn A Phương pháp: Dựng hình, xác định góc hai mặt phẳng, tính chiều cao xác định thể tích tứ diện Cách giải: Gọi M trung điểm BC suy ABM vuông cân B Và I trung điểm AM  AI  AM  Lại có K trung điểm AI  HK  AB  BM a  2 BI a  Suy  SAG  ;  ABC    HK ; SK   SKH  600 Tam giác SHK vng H, có SH  HK tan 600  a 1 a a3  Khi đó, thể tích VS ABC  a.2 a 12 Dựa vào tam giác ABC vng B có trọng tâm G 1 a3 Ta chứng minh được: S ACG  S ABC  VS ACG  VS ABC  3 36 Câu 31: Chọn C Phương pháp: +) Gọi O trọng tâm tam giác ABC  A ' O   ABC  +) Xác định khoảng cách AA’ BC cách dựng đường vng góc chung +) Tính A’O +) Tính VABC A'B'C'  A ' O.S ABC Cách giải: Gọi O trọng tâm tam giác ABC  A ' O   ABC  Gọi M 26  BC  AM trung điểm BC ta có:   BC   A ' MA   BC  A ' O Trong (A’MA) kẻ MH  AA ' ta có BC  MH  d  AA '; BC   MH  a ABC cạnh a a a HM AM   sin HAM     HAM  300 AM a 2 Xét tam giác vng A’OA có: A ' O  AO tan 300  2a a a2  ; SABC  3 a a a3  Vậy VABC A ' B ' C '  A ' O.SABC  12 Câu 32: Chọn A Phương pháp: Vcau  R với R bán kính khối cầu Vnon  r h với r, h bán kính đáy chều cao khối 3 nón Cách giải: Gọi O  AC  BD  SO   ABCD   SA;  ABCD    SA; AO   SAO  600 Gọi M trung điểm SA, qua M kẻ đường thẳng vng góc với SA cắt SO I ta có I tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD AO  Xét tam giác vng SAO có SA  cos60 SM  Xét tam giác vng SMI có SI  cos30 a 2  a  SM  a 2 a 2  a  R  V  R3  a3 cau cau 27 3 27 Hình nón ngoại tiếp chóp có chiều cao h  SO  AO tan 60  r  AO  a a 3 2 bán kính đáy a  V2  r h  a 12 a V1 32   27  V2 a 12 Câu 33: Chọn D Phương pháp: Gọi O tâm mặt đáy  VS ABCD  SO.S ABCD Cách giải: Gọi N trung điểm SB ta có  MCD    MNCD    MNCD    SAB  Dễ thấy  ABC  ADM  c.g.c   CN  DM  MNCD hình thang cân Gọi E, F trung điểm MN CD ta có EF  MN  EF   SAB  Gọi G trung điểm AB ta có S, E, G thẳng hàng Đặt SA  SB  SD  x ta có CN  Dễ dàng tính EF  Ta có EG  x  a2 x  7a 1 a2 x  a2 SG  x    AFG vuông E 2 4  EF  EG  GF  x  7a x  a   a2 16 16 5a  x  7a2  x  a2  16 a  x  10a2  x  5a2 a2 3a   Xét tam giác vuông SOB: SO  SB  OB  2 2 28 1 3a 3a3 a  Vậy yheer tích khối chóp VS ABCD  SO.S ABCD  3 Câu 34: Chọn A Phương pháp: Chứng minh AM   SBC   VAMNC  AM.S MNC Cách giải: Ta có  BC  AB  BC   SAB   BC  AM   BC  SA  AM  SB  AM   SBC   VAMNC  AM.S MNC vuông N   AM  BC  AM  SC  SC   AMN   SC  MN  MNC   AN  SC Ta có AM  SA AB SA2  AB  MN  AN  AM  Ta có NC   12 ; AN  SA AC SA2  AC  20 41 4096 64  205 41 AC 25 1 12 64 25 128   VAMNC  AM MN MC   SC 5 41 41 41 41 Câu 35: Chọn C Phương pháp: Sử dụng công thức tỉ số thể tích Cách giải: Gọi G1; G2 ; G3 trực tâm tam giác SAB, SAC SAD Gọi E, F, G lượt trung điểm AB, AC AD ta có: SG1 SG2 SG3     G1G2 / / EF;G G3 / / FG   G1G2 G3  / /  EFG  SE SF SG Hay  G1G2 G3  / /  ABC  Qua G1 kẻ MN / / AB  M  SA; N  SB  Qua G3 kẻ MQ / / AD  Q  SD  Qua N kẻ NP / / BC  N  SC  29  Thiết điện khối chóp cắt mặt phẳng  G1G2 G3   MNPQ  chia khối chóp thành hai phần: S.MNPQ MNPQ.ABCD SM SN SP SQ     SA SB SC SD Áp dụng định lí Ta-lét ta tính V SM SN SP 2 8    VS MNP  VS ABC Ta có S MNP  VS ABC SA SB SC 3 27 27 VS MPQ VS ACD  SM SP SQ 2 8    VS MPQ  VS ACD SA SC SD 3 27 27  VS MNPQ  VS MNP  VS MPQ   V1  8  VS ABC  VS ACD   VS ABCD 27 27 19 VS ABCD ; V2  VS ABCD  27 27 V1  V2 19 Câu 36: Chọn A Phương pháp: Nối tâm mặt hình hộp chữ nhật ta khối mặt, khối bát diện, ghép hai khối chóp là: F.EJHG I.EJHG Cách giải: Đặt độ dài cách cạnh AB, AD, AA’ 3, 4, +) Tính thể tích khối chóp F.EJHG: Khối chóp F.EJHG có đáy EJHG hình thoi có đường chéo: AA '  JG  AD  4, EH  AB   SEJHG  4.3  6, đường cao h  2  VF EJHG   Suy ra, thể tích khối mặt cần tìm là: V  VF EJHG  2.5  10 Câu 37: Chọn B Phương pháp: So sánh thể tích khối đa diện Cách giải: 30 Gọi V1; V2 theo thứ tự thể tích hai khối đa diện mà mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD, V1 thể tích khối đa diện chứa điểm C V1  VP.CHG  VE BMG  VF DNH  VP.CHG  VE BMG 1  3a  3a2 16 VP.CHG  SCHG PP '    SO  3   SO 1 a a2 VE BMG  S BMG d  E;  ABCD      SO  SO 3 2 96  V1  3a2 a2 a2 SO  SO  SO 16 96 1 a2 VS ABCD  S ABCD SO  a2 SO  SO 3 a2 SO V1 1    V1  V  V2  V V a 2 SO V  1 k 1 V2 Câu 38: Chọn D Phương pháp: Xác định điểm C' Sử dụng định lý Ta-let tính chất trọng tâm tam giác 31 Cách giải: Ta có: SM SN    MN / / DB (Ta-let) SB SD Gọi O  AC  BD Gọi I  SO  MN Kéo dài AI cắt SC C' Khi C '   AMN   SC SI SM   (Ta-let) SO SB Xét SBD ta có: Lại có: O trung điểm AC  I trọng tâm tam giác SAC  AC ' đường trung tuyến tam giác SAC  C ' trung điểm SC  SC '  SC Câu 39: Chọn C Phương pháp: VABCD.SEF  VS ABCD  VS ABEF Cách giải: VABCD.SEF  VS ABCD  VS ABEF  a2  d  S;  ABCD    d  S; ABEF     Ta có: 3 3a  d  S;  ABCD    d  H;  ABCD    d  E;  ABCD    EB   d  S;  ABEF    d  H;  ABEF    d  D;  ABEF    DA  a  2  VAVCD.SEF  a2  3a a  a3    2  Câu 40: Chọn B Phương pháp: Sử dụng công thức S ABC  p  p  a  p  b  p  c   r a  b  c 32 Cách giải: Áp dụng công thức với a  a; b  c  5a ta có: S ABC  12 a2  r  3 a  h  r tan 600  a 2 3  VS ABC  12 a3  3a3 33 ... 14-A 15-C 16-A 17-D 18-C 19-B 20 -A 21 -A 22 -B 23 - D 24 -D 25 -B 26 -D 27 -C 28 -D 29 -C 30 -A 31 -C 32 -A 33 -D 34 -A 35 -C 36 -A 37 -B 38 -D 39 -C 40- B Câu 1: Chọn D Cách giải: Gọi D trung điểm AB Trong  CC '... với SA Tính thể tích V khối chóp S.BDM a3 A V  16 a3 B V  24 a3 C V  32 a3 D V  48 Câu 29 : Cho khối tứ diện ABCD tích V, M, N, P, Q trung điểm AC, AD, BD, BC Thể tích khối tứ diện AMNPQ... xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối chứa điểm A tích V Tính V? a3 A 18 13 3a3 B 21 6 a3 C 21 6 11 a3 D 21 6 Câu 27 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy