Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu hệ thống kiến thức và cung cấp các bài tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 qua các chuyên đề: Tính chất chia hết các dấu hiệu chia hết ước và bội, dãy số viết theo quy luật, tìm chữ số tận cùng. Ứng dụng phép chia có dư vào bài toán tìm số nguyên tố, chứng minh số nguyên tố, hợp số.
Chuyên đề : TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI Tiết 1: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI A KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b (b ≠ ) a = b.q ⇔ a Mb ⇔ a bội b ⇔ b ước a 2) Tính chất: 1/ Bất số khác chia hết cho 2/ Nếu a Mb vàbMc ⇒ a Mc 3/ Số chia hết cho số b khác 4/ Bất số củng chia hết cho 5/ Nếu a Mm b Mm a + b Mm vàa − b Mm 6/ Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số lại chia hết cho m 7/ Nếu hai số a b chia hết cho m, số khơng chia hết cho m a +b không chia hết cho m a - b không chia hết cho m 8/ Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m 9/ Nếu a Mm, bMn ⇒ ab Mmn Hệ Quả: Nếu a Mb ⇒ a n Mb n Nếu a Mm, a Mn , ( m, n) = ⇒ a Mmn B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng: a) ab + ba chia hết cho 11 b) ab − ba Chia hết cho với a > b Giải: a) Ta có ab + ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) M11 Vậy ab + ba M11 b) Ta có : ab − ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = (a – b) M9 Chú ý : Nếu ab + cd M11 ⇒ abcd M11 Ví dụ 2: Tìm n ∈ N để: a) n + Mn b) 3n + Mn Giải: a) n + Mn , n Mn => Mn => n ∈ Ư(4) = { 1; 2; 4} b) 3n + Mn; 3n Mn => Mn => n ∈ Ư(7) = { 1;7} C/ BÀI TẬP: 1) Cho abc − deg M7 Cmr abc deg M7 2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 3) Cho số abcM27 Chứng minh số bca M27 Giải: 1)Tacoù: abc deg = 1000abc + deg = 1001abc − (abc − deg ) = 7.143abc − (abc − deg ) Mà : 7.143 abcM7 abc − deg M7 Vaä y abc deg M7 2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab ( < a ≤ 9, ≤ b ≤ 9, a,b ∈ N) Khi viết thêm số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số: abba -1- abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 7.11.13a + 11.10b M 11 Vaä y : abba M 11 3) abcM27 ⇒ abc0M27 ⇒ 1000a + bc0M27 ⇒ 999a + a + bc0M27 ⇒ 27.37a + bca M27 ⇒ bca M27 ( Do 27.37a M27) Tiết 2: LUYỆN TẬP 1) CMR tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho 2) CMR Tổng số chẳn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẽ liên tiếp khơng chia hết cho 10 3) Tìm n ∈ N để: a) 27 – 5n Mn b) n + Mn + c) 2n + Mn – d) 3n + M11 – 2n 4) Cmr ab + cd + eg M 11 abc deg M 11 5) Cho abc + deg M37 Cmr abc deg M37 6) Cho 10 k – M19 với k > CMR: 102k – M19 7) Cho n số tự nhiên CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 8) Chứng minh ab = 2cd ⇒ abcd M67 Giải: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M3 Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + M3 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + khơng chia hết cho 4n chia hết cho khơng chia hết cho Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho 2) Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) M10 Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + M 10 3) a) 27 – 5n Mn ; 5n Mn => 27 Mn => n ∈ Ư(27) = { 1;3;9; 27} 5n < 27 nên n < Vậy n ∈ { 1;3} b) n + Mn + => n + + Mn + 2, mà n +2 Mn + => Mn + => n + ∈ { 1; 2; 4} => n ∈ { 0; 2} c) 2n + Mn – => 2(n – 2) + Mn -2 => Mn - => n – ∈ { 1;7} => n ∈{ 3;9} d*) 3n + M11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) M11 – 2n => 35 M11 – 2n => 11 – 2n ∈ { 1;5;7;35} n < nên n ∈ { 5;3; 2} 4) Ta coù: abc deg = 10000ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + (ab + cd + eg ) Do 9999M 11; 99M 11;( ab + cd + eg )M 11 Vậy : abc deg M 11 -2- 5) Tacoù: abc deg = 1000abc + deg = 999abc + ( abc + deg) = 27.37 abc + (abc + deg) Do 27.37 abc M37; ( abc + deg)M37; Vaä y: abc deg M37 6) Ta có: 102k – = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - M19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1) M19 Vây 102k – M19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chẵn => n = 2k (k ∈ N) Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho Khi n lẽ => n = 2k + (k ∈ N) Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho + Trường hợp: n = 3k (k ∈ N) n chia hết A chia hết cho (1) Trường hợp: n khơng chia hết cho n = 3k + n = 3k + Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết A chia hết cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết A chia hết cho (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho 8) Ta có abcd = 100ab + cd Mà: ab = 2cd Suy ra: abcd = 2cdcd = 200cd + cd = 201cd = 3.67cd M67 Vậy: abcd M67 Tiết 3: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT A/ LÝ THUYẾT: Goïi A =anan−1 a2 a1a0 Tacoù: AM2 ⇔ a0 M2, AM5 ⇔ a0 M5 AM4 ⇔ a1a0 M4, AM25 ⇔ a1a0 M25 AM ⇔ a2 a1a0 M 8, AM 125 ⇔ a2 a1a0 M 125 AM3 ⇔ an + an −1 + + a2 + a1 + a0 M3 AM9 ⇔ an + an −1 + + a2 + a1 + a0 M9 B/ Ví du: Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có chữ số, chia hết cho cho 27 biết hai chữ số 97 Giải: Gọi n số phải tìm Vì n chia hết cho cho 27 nên n phải tận chia hết cho 9, ta có số n = *975 Hoặ c soán = *970 Khi: n = *975 M9 => (* + + + 5) M9 => * = Thử lại 6975 không chia hết cho 27 Khi: n = *970 M9 => (* + + + 0) M9 => * = Thử lại 2970 chia hết cho 27 Vây số 2970 số phải tìm Ví dụ 2: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a) CMR: b chia hết cho a b) Giả sử b = ka (k ∈ N) CM: k ước 10 Giải: a) Theo đề ta có: ab = 3ab => 10a + b = 3ab (1) -3- => 10a + b Ma => b Ma b) Do b = ka nên k < 10 Thay b = ka vào (1), ta có: 10a + ka = 3a.ka => a(10 + k) = 3ak a => 10 + k = 3ak => 10 + k Mk => 10 Mk Vậy k ước 10 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n ∈ N số 92n – chia hết cho Giải: Có: 92n – = (92)n – = 81n - = ….1 - = …0 Số có chữ số tận nên chia hết cho C/ BÀI TẬP: 1) Thay chữ x, y chữ số thích hợp để cho: a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125 b/ Số xy chia hết cho 2, cho4, cho Giải: 1) a/ 275x M5 ⇔ x ∈ { 0;5} ; 275x M25 ⇔ x ∈ { 0} ; 275x M125 ⇔ x ∈ { 0} b/ xy 4M2 ⇔ x, y ∈ { 0;1; 2; ;9} ; xy 4M4 ⇔ x ∈ { 0;1; 2; ;9} , y ∈ { 0, 2, 4, 6,8} xy 4M ⇔ x ∈ { 0; 2; 4;6;8} ; y ∈ { 2;6} hoaë c x∈ { 1;3; 5;7;9} ; y ∈ { 0; 4;8} Tiết 4: LUYỆN TẬP ∈ 1) Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – M4 b/ n2 + n + không chia hết cho c/ 10n - M9 d/ 10n + M9 2) Chứng minh rằng: a/ 1028 + M72 b/ 88 + 220 M17 3/ CMR với số tự nhiên n n + n + không chia hết cho 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho Giải: 1) a/ + Với n = 0, ta có: 50 – = – = M4 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = – = M4 + Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – = …5 – = … M4 Vậy với n ∈ N, 5n – M4 b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, n2 + n + số lẽ nên không chia hết cho c/ Ta có 10n - = 100…0 – = 99… M9 n chữ số n chữ số d/ Ta có: 10n + = 100…0 + = 100…08 M9 n chữ số n-1 chữ số 2) a/ Ta có: 1028 + = 100…0 + = 100……08 M9 28 chữ số 27 chữ số 28 Số 10 + có tận 008 nên chia hết cho Mặt khác (8;9) = Vậy 1028 + chia hết cho 72 (1) (2) b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 24 + 20 = 220(24 + 1) = 220 17 M17 vây 88 + 220 chia hết cho 17 3) Với số tự nhiên n n + n = n(n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tận 0; 2; Do n + n + tận 6; 8; nên không chia hết cho 4) a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 M5 -4- b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … =….0 Số có chữ số tận nên chia hết cho Tiết 5: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác định số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số ngun tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab MP với P số nguyên tố a MP b MP Đặc biệt: Nếu an MP a MP B/ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương khơng? Giải: a) Có A > 5; A M5 ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 M25, 53 M25;… ;5100M25, M25 nên A M25 Số A M5 A M25 nên A khơng số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = { 1; 2;3;6;9;18; 27;54} Ví dụ 3: Tìm số ngun tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay khơng? 3) Tìm số ngun tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + p + 10 b) P + 10 p + 20 4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n ∈ N*, biết an M5 Chứng minh: a2 + 150 M25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số ngun tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố -5- Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + M2 p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Dạng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + M3 Từ (1) (2) suy p + M6 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có an M5 mà số nguyên tố nên a M5 => a2 M25 Mặt khác 150 M25 nên a2 + 150 M25 -6- (1) (2) Chuyên đề : Tiết 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT DÃY CỘNG 1) Ví du 1: Xét dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; … b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; … c) Dãy số chia cho dư 1: 1; 4; 7; 10;… Trong dãy số trên, số hạng, kể từ số hạng thứ hai, lớn số hạng đứng liền trước số đơn vị, số đơn vị dãy a), dãy b), dãy c) Ta gọi dãy dãy cộng 2) Khái niệm: Dãy cộng dãy số có số hạng (kể từ số hạng thứ hai) lớn số hạng đứng liền trước số đơn vị Xét dãy cộng 4; 7; 10; 13; 16; 19; … Hiệu hai số liên tiếp dãy số hạng thứ dãy 19 = + (6 - 1).3; số hạng thứ 10 dãy là: + ( 10 – 1).3 = 31 Tổng quát 1: Nếu dãy cộng có số hạng đầu a1 hiệu hai số hạng liên tiếp d số hạng thứ n dãy ( kí hiệu an) bằng: an = a1 + (n – 1).d Ví dụ2: a) Tìm số hạng thứ 100 dãy số: 1, 3, 5, 7, … b) Tìm số hạng thứ 80 dãy số : 4, 7, 10, 13, … Giải: a) Số hạng thứ 100 dãy số: 1, 3, 5, 7, … là: a100 = + (100 – 1).2 = 199 b) Số hạng thứ 80 dãy số: 4, 7, 10, 13,… là: a80 = + (80 – 1).3 = 241 Tổng quát 2: Chú ý; Nếu dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu a1, số hạng cuối an (a + a )n Thì tổng n số hạng là: S = n Dãy số tự nhiên liên tiếp từ a đến b có: (b – a ) + số Dãy số tự nhiên lẽ (chẳn) từ m đến n có: (n – m): + số Ví dụ 3: Tính tổng số hạng dãy cộng sau: + + 10 +… + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số) ( + 31) 10 = 175 Giải: S= Ví dụ 4: a) Bạn Tâm phải dùng chữ số để đánh số trang sách số tự nhiên từ -> 100 b) Bạn Lâm đánh số trang sách dày 284 trang dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,… Biết chữ số viết giây Hỏi bạn Lâm cần phút để đánh số trang sách? Giải: a) Bạn Tâm phải dùng: + 90.2 + 1.3 = 192 chữ số b) Dãy 2, 4, 6, có số, gồm chữ số Dãy 10, 12, 14, 16,….98 có: (98 – 10): + = 45 (số) có hai chữ số, gồm 45.2 = 90 chữ số Dãy 100, 102, 104, …284 có: (284 – 100): + = 93(số) có chữ số, gồm 93.3 = 279 (chữ số) Do bạn Lâm phải viết tất cả: + 90 + 279 = 373 (chữ số), hết 373 giây hay phút13 giây Tiết 2: LUYỆN TẬP Bài 1: Tính tổng sau: + 12 + 18 +… + 1992 Giải: Tổng + 12 + 18 +… + 1992 có : (1992 - 6): + = 332 số hạng (6 + 1992) 332 = 331668 Vậy tổng: + 12 + 18 +… + 1992 = Bài 2: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a) 358 trang b/ 1031 trang -7- Giải: a) Muốn đánh số từ đến 358( kể 358), Ta phải dùng: số có chữ số (99 -10) + = 90 số có hai chữ số Và (358 – 100) + = 259 số có ba chữ số Vây ta phải dùng: + 90.2 + 259 = 966 (chữ số) b) Tương tự, Ta phải dùng: + 90 + 900 + 32 = 3017 chữ số để đánh số trang sách có 1031 trang Bài 3: Người ta viết liền dãy số tự nhiên 12345… Hỏi chữ số đơn vị số : a) 53 đứng hàng thứ mấy? b) 328 đứng hàng thứ mấy? c) 1587 đứng hàng thứ mấy? Giải: a) Từ số đến số 53 ( kể 53) Có: + (53 -10 +1).2 = 97 chữ số Vậy hàng thứ 97 b) Vậy hàng thứ 876 c) Vậy hàng thứ 5241 Bài 4: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a) 752 trang b/ 1251 trang Giải: HS tự giải Đáp số: a) 2148 chữ số b) 3897 chữ số Bài 5: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số? Giải: Phải dùng + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số để viết tất trang có 1, 2, chữ số Vì 2889 < 3897 3897 − 2889 1008 = = 252 (số) nên số phải tìm số có chữ số Tất số có chữ số viết là: 4 Số thứ có chữ số 1000, số thứ 252 có chữ số là:1000 + 252 – = 1251 Vậy sách có 1251 trang Bài 6*: Bạn Lâm đánh số trang sách dày 284 trang dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,… Giải:Chữ số 300 dãy số chữ số nào? Viết dãy số chẵn từ đến 98 phải dùng: + 90 = 94 (chữ số), lại 300 - 94 = 206 (chữ số) để viết số chẵn có ba chữ số kể từ 100 Ta thấy: 206:3 = 68 dư Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là: 100 + (68 – 1) = 234 hai chữ số thuộc số 236 Vậy chữ số thứ 300 dãy chữ số thuộc số 236 Tiết 3: CÁC DÃY KHÁC Ghi nhớ: Tổng n số tự nhiên liên tiếp bằng: n(n + 1) + + + …….+ n = Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 dãy số viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) d) 2, 5, 10, 17, 26,… (4) Giải: a) Dãy (1) viết dạng: 1.3, 2.4, 3.5, 4.6, 5.7,… Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy có số hạng thứ 100 100 Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100.102 = 10200 b) Dãy (2) viết dạng: 1.3, 4.6, 7.9, 10.12, 13.15,… Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: + (100 – ).3 = 298 Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: 298 [ + (100 - 1) 3] = 89400 c) Dãy (3) viết dạng: 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 , , , , , 2 2 -8- 100.101 = 5050 d) Dãy (4) viết dạng: + 12 , + 22, + 32, + 42, + 52… Số hạng thứ 100 dãy (4) bằng: + 1002 = 10001 Bài tập: Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách có trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9.1 +90.2 = 189 Chữ số 999 trang đầu cần dùng: 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số để đánh số trang có chữ số la: 600 – 189 = 411 (chữ số) Số trang có chữ số 411: = 137 trang Vậy quyễn sách có tất là: 99 +137 = 236 trang Tiết 4: LUYỆN TẬP CHUNG Số hạng thứ 100 dãy (3) bằng: 1/ a) Tính tổng số lẽ có hai chữ số b) Tính tổng số chẳn có hai chữ số 2/ Tính tổng: A = + + 11 + 15 + … + 407 B = + + 16 + 23 +… + 709 3/ Viết liên tiếp dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng chữ số A Giải: 1/ a) Tập hợp số lẽ có hai chữ số có: (99 – 11):2 + = 45 số ( 11 + 99 ) 45 = 2475 Vậy tổng chúng là: S = b) Tập hợp số chẳn có hai chữ số có: (98 – 10 ):2 + = 45 số ( 10 + 98 ) 45 = 2430 Vậy tổng chúng là: S = 2/ Tổng A có (407 – ):4 +1 = 102 số hạng Tổng B có: (709 – 2):7 + = 102 số hạng ( + 407 ) 102 = 20910 ( + 709 ) 102 = 36221 Vậy: A = B= 2 3/ Theo đề ta có: A = 123456789101112… 9899100 Hay A = 0123456789101112….9899100 Từ đến 99 có 100 số ghép thành 50 cặp số (0 99), (1 98),….; Mỗi cặp có tổng chữ số 18 Tổng chữ số 50 cặp số 18.50 = 9.2.50 = 900 Thêm số 100 có tổng chữ số Vậy tổng chữ số số A là: 900 + = 901 -9- CHUYÊN ĐỀ : CHỮ SỐ TÂN CÙNG TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Tiết 1: A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tìm chữ số tận tích: + Tích số lẽ số lẽ + Tích số tận với số lẽ tận + Tích số chẳn với số tự nhiên số chẳn + Tích số tận với số tự nhiên tận 2) Tìm chữ số tận lũy thừa: a) Tìm chữ số tân cùng: + Các số tự nhiên có tận 0; 1; 5; Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác 0) có tận 0; 1; ; + Các số tự nhiên có tận 3; 7; nâng lên lũy thừa 4n có tận …34n = ….1; … 74n = ….1; …94n = …1 + Các số tự nhiên có tận 2; 4; nâng lên lũy thừa 4n (n ≠ 0) có tận …24n = ….6; … 44n = ….6; …84n = …6 + Các số tự nhiên có tận nâng lên lũy thừa lẽ có chữ số tận B/ Ví dụ : Tìm chữ số tân cùng: 1) Tìm chữ số tận số sau: 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 2) CMR 8102 – 102 Chia hết cho 10 Giải: 1) Có : 7430 = 744.7.742 = (…6) (…6) = (…6); 4931 = (….9); 8732 = 874.8 = (…1); 5833 = 5832 58 = 584.8 58 = (…6) 58 = (…8); 2335 = 2332 233 = (…1) (…7) = (…7) 102 2) = 8100.82 = 84.25.82 = (…6) 64 = ….4 102 = 2100.22 = 24.25.22 = (…6) = ….4 Vậy 8102 – 102 có tận nên chia hết cho 10 C/ Bài Tập: 1) CMR A = 51n + 47102 (n ∈ N) Chia hết cho 10 2) Chứng tỏ 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10 Giải: 1) 51n = ….1 47102 = 47100.472 = 474.25.472 = (….1).( …9) = …9 Vậy A = ….1 + ….9 = ….0 nên chia hết cho 10 2) Có 175 + 244 – 1321 = 174.17 + (…6) – (132)10 13 = (…1).17 + (…6) – (…9)10.13 = (…7) + (…6) – ( 1) 13 = (…7) + (…6) – ( 3) = (…3) + (…3) = (…0) Vậy số 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10 Tiết 10: LUYÊN TẬP 1) Chứng minh với số tự nhiên n: a) 74n - chia hết cho 10 b) 34n+1 + chia hết cho c) 24n+1 + chia hết cho d) 24n+2 + chia hết cho e) 92n+1 + chia hết cho 2) Tìm số tự nhiên n để n10 + chia hết cho 10 3) Biết số tự nhiên n chia hết cho n2 - n chia hết cho Tìm chữ số tận n? Giải: 1) a/ Có 74n - = (…1) – = (…0) nên chia hết cho 10 4n+1 b/ + = 34n.3 + = (…1) + = (…3) + = …5 nên chia hết cho c/ 24n+1 + = 24n + = (…6) + = (…2) + = (…5) nên chia hết cho d/ 24n+2 + = 24n.22 + = (…6) + = (…4) + = ( 5) nên chia hết cho e/ 92n+1 + = (…9) + = (…0) nên chia hết cho 10 ( 2n + số lẽ) 2) Có n10 + chia hết cho 10 => n10= n5.2= (n5)2 có tận => n5 tận => n tận - 10 - 3) Có n2 – n = n.(n – 1) chia hết n n – chia hết cho Do n tận ; n – tận ; => n tận ; 1; Vì n chiz hết cho Vậy n tận 0; Tiết 2: TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tìm hai chữ số tân cùng: + Các số có tận 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 01; 25; 76 + Các số 320 (hoặc số 815); 74; 512; 992 có tận 01 + Các số 220; 65; 184; 242; 742 ; 684 có tận 76 + Số 26n ( n > 1) có tận 76 2) Tìm ba chữ số tân trở lên: + Các số có tận 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa khác tận 001; 376; 625 + Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa khác tận 0625 + Một số phương khơng có tận 2; 3; 7; B/ Ví dụ: Tìm hai chữ số tân cùng: a) Tìm hai chữ số tân 2100 b) Tìm hai chữ số tân 71991 Giải: a) Ta có: 210 = 1024 Bình phương số có tận 24 tận 76 Do 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 = (…76)5 = …76 Vậy hai chữ số tận 100 76 b) 74 = 2401 Số có tận 01 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 01 Do đó: 1991 = 71998.73 = (74)497 343 = ( …01)497 343 = (…01) 343 = …43 1991 Vậy có tận 43 C/ Bài Tập: 1) Tìm hai chữ số tận của: 99 a) 5151 ; b) 6666 ; c) 14101 16101; d) 9999 ; e) 5n, với n > Giải: 1) ( ) a) 5151 = (512)25 51 = 01 25 ( ) 51 = 01 51 = 51 ; b) 6666 = (65)133 = ( 76)133 = (…76) = …56 c) 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = (…76)50 224 = (…76) 224 = …24; 99 d) 9999 = 992 k +1 = (992 ) k 99 = ( 01) k 99 = ( 01).99 = 99 ; e) 5n =….25 (n > 1) - 11 - ... Các số 220; 65 ; 184; 242; 742 ; 68 4 có tận 76 + Số 26n ( n > 1) có tận 76 2) Tìm ba chữ số tân trở lên: + Các số có tận 001; 3 76; 62 5 nâng lên lũy thừa khác tận 001; 3 76; 62 5 + Số có tận 062 5... số) để viết số chẵn có ba chữ số kể từ 100 Ta thấy: 2 06: 3 = 68 dư Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là: 100 + (68 – 1) = 234 hai chữ số thuộc số 2 36 Vậy chữ số thứ 300 dãy chữ số thuộc số 2 36 Tiết 3: CÁC... chữ số tận của: 99 a) 5151 ; b) 66 66 ; c) 14101 161 01; d) 9999 ; e) 5n, với n > Giải: 1) ( ) a) 5151 = (512)25 51 = 01 25 ( ) 51 = 01 51 = 51 ; b) 66 66 = (65 )133 = ( 76) 133 = (… 76) = … 56 c)