Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung Rút gọn biểu thức chứa biến Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn biểu thức vấn đề vô quan trọng(chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm kì thi), thế, mà muốn giới thiệu Toán tới bạn đọc Mong em hiểu sâu nắm vửng cách làm dạng toán A lí thuyết 1) Bài Toán quy đồng mẩu thức phân thức Trong chơng trình lớp 8, SGK đà giới thiệu cho phơng pháp quy đồng mẩu thức phân thức nh sau Bớc Tìm mẩu thức chung(MTC) Trong bớc em cần làm việc sau: - Phân tích mẩu thức thành nhân tử - Lập tích gồm NTC có số mủ cao NT riêng để có MTC Bớc Tìm NTP phân thức (để tìm NTP em cần lấy MTC vừa tìm đợc chia cho MT riêng phân thức) Bớc Quy đồng (Nhân tử mẩu phân thức với NTP tơng ứng) Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức phân thức sau: 1 a) b) vµ 2     x x 2x x x2 x Giải: x  x 4 x 4 a) Đầu tiên ta phải tìm MTC: Ta có: x2 – = (x – 1)(x + 1) vµ: x2 – 2x + = (x – 1)2 ph©n tích xong ta thấy Nhân tử chung (x 1), nhân tử riêng (x + 1) MTC là: (x 1)2 (x + 1) Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ(NTP) phân thức: Để tìm NTP phân thức ta lÊy MTC lµ (x – 1)2 (x + 1) chia cho MÈu x 1 thøc riªng cđa nã lµ (x – 1) hay (x – 1)(x + 1) V× (x – 1)2 (x + 1)  (x – 1)(x + 1) = x – 1  NTP phân thức là: (x 1) x 1 Tơng tự, để tìm NTP phân thức ta lÊy MTC lµ (x – 1)2 (x + 1)   x 2x chia cho MÈu thøc riêng x2 2x + hay (x – 1)2 V× (x – 1)2 (x + 1) (x – 1)2 = x + 1  NTP phân thức là: (x + 1) x 2x Công việc lại quy đồng phân thức đà cho Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 c) Giáo viên sọan : - Để quy đồng mẩu phân thøc  x  x 1 ta lấy tử mẩucùng nhân với nhân tử phụ (x 1) Tức là: Tơng tự: Vị Thµnh Trung x  1  x  1    x  1  x 1 x 1  x  1  x 1 x 1  x  1  x 1 b) Ta cã: x – = ( x )2- 22 = ( x – 2)( x + 2) vµ: x – x + = ( x – 2)2  MTC lµ: ( x – 2)2 (x + 2) +) NTP cđa ph©n thøc lµ: ( x - 2) x4 +) NTP cđa ph©n thøc  x  x 4 x = x4  x  x 2   = =  x  =   x x x  x 4 + 2) x x 1 Vµ lµ: ( x 2  2  x 2 c) Tơng tự B Các dạng toán liên quan Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m lµ h»ng sè) Bíc Sư dơng tính chất a c a.d b.c để làm mẩu phơng trình b d Bớc Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí x VÝ dơ: Cho A = (víi x  x 1) Tìm giá trị x ®Ó: a) A = b) A = Gi¶i: Ta cã: x1 x a) A =  x1  2= =2  x = 2( - x  VËy víi x = th× A =2 b) A = x x  x1  x = -2 x  =-2  x x c) A = - 1)  x x =2 x -2 =  x = (TM§K) = 2( x x - 1)  =2 = - (VN) Vậy giá trị cđa x ®Ĩ A = x Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 x -2 Giáo viên sọan : c) A =  Vị Thµnh Trung x   x =1  x1  x + VËy víi x = = th× A =   x =-( x x =1  - 1)  = x x =- x  x= +1 (TM§K) Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P < m hc P > m, hc P  m, P m (m số) Bớc Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức phân thức làm gọn vế trái Bớc Xác định dấu tử mẩu vế trái, từ có đợc bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu) Bớc Giải bất phơng trình để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chän nghiƯm hỵp lÝ VÝ dơ: Cho A = x1 (với x 0) Tìm giá trị x ®Ó: a) A > b) A < Gi¶i: Ta cã: a) A > x 1 x1  x 1 > 3( x  1) Vì với điều kiện x 3(  x >2  x> VËy víi x > th× A > x 1 3( x  1)  ( x  1)  b) A < x1    x1 x 1 < x c) A    x1 x 1 2( x  1)  ( x  1) 2( x  1)  x1 x 1 - ( x  1) 3( x  1) >0  x 3( x  1) -4>0  x >0 > (*) >4 x x - 5( x  1)  (**)  x - 2( x  1) 5( x  1) m +) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m x1 VÝ dơ: Cho P = (víi x > 0) x HÃy so sánh P với x1 Giải: Ta có: P – =  V× x x -1= x1 x - x x = ( x  1)  x = x  x <  P – <  P < D¹ng Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m số) với giá trị x thc §KX§ Bíc TÝnh P – m = ? Bíc NhËn xÐt dÊu cđa hiƯu P – m ®Ĩ cã ®iỊu ph¶i chøng minh +) NÕu P – m > th× P > m +) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m x 1 VÝ dơ: Cho P = x (víi x > 0) Chøng minh r»ng: P > víi mäi gi¸ trị x > x Giải: Ta có: P – = x V× víi x > th× x -1= >0  x 1 x - x x = ( x  1)  x x = x >  P – > P > (đpcm) x Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng) Bớc Biến đổi biểu thức P vỊ d¹ng: n P= m+ (m, n  Z, A(x) lµ biĨu thøc chøa x) A( x ) Bíc Biện luận: Vì m Z nên để P nguyên n A( x ) phải nguyên, mà n A( x ) nguyên A(x) phải ớc n Bớc Giải phơng trình: A(x) = Ư(n) để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chän nghiƯm hỵp lÝ VÝ dơ 1: Cho P = x (với x x 1) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên Giải: Ta có: P = x1 x x1 = ( x  1)  x1 = §Ĩ P nhận giá trị nguyên x1 x1 x1 + x1 =1+ x - phải ớc x1 phải nhận giá trị guyên, mà nguyên Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 x1 Giáo viên sọan :       Vị Thµnh Trung x  3 x    x  1 x          x 4 x   2(VN )  x 16  x 4   x 0  x 2 x 0 (TMDK ) (TMDK ) (TMDK ) VËy víi x = 0, x = x = 16 P nhận giá trị nguyên Ví dụ 2: Cho M = x (với x x 4) Tìm giá trị x để M nhận giá trị nguyên dơng Giải: Ta cã: M = x x = x ( x  2)  x = §Ĩ P nhận giá trị nguyên x x 2 x + x =1+ x phải nhận giá trị guyên, mà x nguyên x - phải ớc x 2 x    x  1 x   16 Víi x = 16 th× M = Víi x = th× M = Víi x = th× M = Víi x = th× M = 16  0 9 1 = = =        = x 4 x 0 x 3  x 1 4 x x  x  x 16 0 9 1 (TMDK ) (TMDK ) (TMDK ) (TMDK ) = > (TM) = (lo¹i)  = > (TM) 3 = - < (lo¹i)  VËy víi x = 16 x = M nhận giá trị nguyên dơng Dạng Bài toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P a) Kh¸i niƯm: +) NÕu P(x)  m (m số) m gọi giá trị nhỏ nhÊt cđa P(x) +) NÕu P(x)  k (k lµ số) k gọi giá trị lớn P(x) b) Cách giải: Bớc Biến đổi biểu thøc P vỊ d¹ng: P= m+ n A( x ) (m, n  Z, A(x) lµ biĨu thøc chøa x) Bíc BiƯn ln: Trêng hỵp “n > 0” +) P đạt giá trị lớn A(x) đạt giá trị nhỏ +) P đạt giá trị nhỏ A(x) đạt giá trị lớn (Vì: Để P đạt giá trị lớn phải đạt giá trị nhỏ Còn để P đạt giá trị nhỏ n A( x ) phải đạt giá trị lớn tức A(x) n A( x ) phải đạt giá trị nhỏ tức A(x) phải đạt giá trị lớn nhất) Trờng hợp n < +) P đạt giá trị lớn A(x) đạt giá trị lớn +) P đạt giá trị nhỏ A(x) đạt giá trị nhỏ Bớc Tiến hành tìm giá trị nhỏ lớn A(x) để có đợc giá trị lớn nhỏ P Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Bớc KÕt ln VÝ dơ 1: Cho P = Vị Thµnh Trung x (với x 0) Tìm giá trị lớn P Giải: Ta có: P = x 1 x 3 x 1 = ( x  1)  x 1 x 1 = x 1 + x 1 =1+ x 1 Ta thÊy: Vì n = > nên: Để P đạt giá trị nhỏ x + phải đạt giá trị lớn Vì: x x + Giá trị nhỏ x + Giá trị lín nhÊt cđa P lµ: + =3 Mặt khác: x + = x = x = Vậy: Giá trị lớn P 3, đạt đợc x = VÝ dơ 2: Cho M = x1 (víi x  0) Tìm giá trị nhỏ M Giải: Ta cã: M = x 1 x1 x 1 = ( x  1)  x 1 = x 1 x 1 - x 1 =1+  x Ta thấy: Vì n = - < nên: Để M đạt giá trị nhỏ giá trị nhỏ Vì: x x + Giá trị nhỏ x + Giá trị lớn nhÊt cđa M lµ: +  x + phải đạt =-1 Mặt khác: x + =  x =  x = Vậy: Giá trị nhỏ M - 1, đạt đợc x = Dạng Phơng trình d¹ng ax + b x + c = (1) (a, b, c số cho trớc a 0) a) Cách giải: Bớc Đặt x = y (*) (ĐK: y 0) Để đa phơng trình (1) dạng phơng trình bậc hai có ẩn y a.y2 + b.y + c = (2) Bíc Giải phơng trình (2) để tìm đợc y Bớc Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x b) Chú ý: +) Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm Tức là: Phơng trình (2) phải có: b     a   c 0 a +) Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, phải có nghiệm âm nghiệm không, phải có nghiệm kép không âm Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp): Trờng hợp Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm âm nghiệm kh«ng:     b     a   c 0   a  0    b 0   2a Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm: Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1) x + – 2m = (1) (víi m tham số) a) Giải phơng trình m = b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có: Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên säan : Vị Thµnh Trung 1) Hai nghiƯm 2) Một nghiệm Giải: Đặt x = y (*) (ĐK: y 0) Khi phơng trình (1) trở thành: y2 – 2(m – 1)y + – 2m = (2) a) Khi m = phơng trình (2) trë thµnh: y2 + y =  y(y + 1) =  Víi y = th×  y 0  y  0  x (TM ) (loai )  y 0  y    =0  x=0 VËy m = phơng trình có nghiệm x = b/1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có: '   b     a   c 0  a    m   m    2 m 1     m  m  m       m    2( m  1)  1  m 0    (1  2m)   (VN) 0  1 Vậy giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm b/2) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có: Trờng hợp Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dÊu: a.c <  – 2m < m> Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm âm nghiệm không:    b     a   c 0  a    m   m  2 m 1     m  m  m        m   2( m  1)  1  m 0     0  1      2m)    m    m Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm: m  ( m  1) 0 (1   (1  m) 0  0    b 0   2a   m 0   m 1  m  m 0 1 (VN) Kết hợp trờng hợp ta đợc với m phơng trình (1) có nghiệm C Bài tập Các đề tham khảo năm học Bài : ( Đà Nẵng 2008-2009) Rút gọn biểu thøc A= ab  b  b Bµi Bai (2,0 iờm) ( Thái Bình 2008-2009 ) Cho biểu thức P = với x ≥ và x ≠ 1 Rút gọn P; 2 Tìm giá trị của x để P = Bµi : (3 ®iĨm) ( NghƯ An 2008-2009 ) Cho biÓu thøc P = (  ): x x 1 x a Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 a a0, b >0 b Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung b Tìm giá trị x để P = c Tim giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc M = x  12 x1 P Bai 4( 1,5 im) ( Nam Định 2008-2009)  Cho biểu thức P =    x  x  x 1 với x  : x  x 1  x x 1 Rút gọn P Tìm x để P < Bài ( Hải Dơng 2008-2009) a   4  a    với a > và a  Rút gọn biểu thức P =     a    a   a 2 Bµi ( B¾c Giang 2008-2009 ) a  b  ab víi a, b 0 vµ a ≠ b : a b a b Đợt 1; Rút gọn biÓu thøc: P =      1 x  :   1 víi -1 < x < Đợt 2: Rút gọn biểu thức: P =   1 x    x2  Bµi ( Hå ChÝ Minh 2008 -2009 )  x 1 x   x x  2x  x   B =  (x > 0; x ≠ 4)  x  x x4 x 4 Rót gän biĨu thøc x 1 x   (x  4)( x  2)  2   x  ( x)  ( x  2)    ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  2)  (x  4)( x  2)  =    ( x)2  22  ( x  2) x     x  x   (x  x  2) x = = = x x Đáp án:= Bài ( VÜnh Phóc 2006-2007)  x 2 x  x1 : Cho biÓu thøc A =    :  x x  x  x 1 x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc A Bµi (Hóe 2006-2007)Rút gọn các biểu thức: a) A  Gi¶i: x x  x  với  x  3x    x  x  1 x2 x2  x 1  3x  3x Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : x 3x   x  x  1    x 3x  3x  Vị Thµnh Trung (vì  x  nên x  và 3x   ) BÀI TẬP PHẦN RUT GOẽN Bài : 1) Đơn giản biểu thức : 2) Cho biÓu thøc : P = 14   14   x 2 x   x 1   x  x  x 1 x   Q =  a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Hớng dÉn : P = a) §KX§ : x > ; x  BiĨu thøc rót gän : Q = b) Q > - Q  x > c) x =  2;3 th× Q  Z Bµi : Cho biĨu thøc P = x 1 x  x 1 x x a) Rót gän biĨu thøc sau P b) TÝnh giá trị biểu thức P x = Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x  BiĨu thøc rót gän : P = b) Víi x = x 1 1 x th× P = - – 2 x x 1  x Bµi : Cho biĨu thøc : A = a) Rót gän biểu thức sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A x x 1 Híng dÉn : a) §KX§ : x  0, x  BiĨu thøc rót gän : A = x x1 b) Víi x = th× A = - c) Víi  x < th× A < d) Víi x > th× A = A  1    Bµi : Cho biĨu thøc : A =   1  a 3 a  a3 a) Rót gän biĨu thøc sau A Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung 10 b) Xác định a để biểu thức A > Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : a > a 9 BiĨu thøc rót gän : A = b) Víi < a < th× biĨu thøc A > a 3  x 1 Bµi : Cho biĨu thøc: x x  4x   x  2003 x   A=   x2   x x 1) Tìm điều kiện ®èi víi x ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa 2) Rót gän A 3) Víi x  Z ? ®Ĩ A  Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠  b) BiÓu thøc rót gän : A = x  2003 víi x ≠ ; x ≠  x c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z    x  x  1 A =  x x   x x 1  : Bµi : Cho biĨu thøc:  x  x x  x  x a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hớng dẫn : x a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = b) Víi < x < th× A < c) x =  4;9 th× A  Z Bµi : Cho biĨu thøc: x1  x2 x  x1    :  x x  x  x 1  x  A =  a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x  x  b) Ta xÐt hai trêng hỵp : +) A > > với x > ; x ≠ (1) +) A <  x  x 1 x  x 1 <  2( x  x 1 ) >2  x x > theo gt x > (2) Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(đpcm) Bài : Cho biểu thức: P = a 3  a a1 a (a  0; a  4)  4 a a a) Rút gọn P b) Tính giá trị cđa P víi a = Híng dÉn : 10 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung 11 a) ĐKXĐ : a  0, a 4 BiĨu thøc rót gän : P = b) Ta thÊy a =  §KX§ Suy P =  Bµi : Cho biÓu thøc: N =    a a  a  a  a   1   a    a   1) Rót gän biĨu thøc N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Hớng dÉn : a) §KX§ : a  0, a 1 BiĨu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004  §KX§ Suy N = 2005 Bµi 10 : Cho biÓu thøc P x x  26 x  19  x2 x  x  x x x 3 a Rót gän P b TÝnh giá trị P x c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ ®ã Híng dÉn : x  16 a ) §KX§ : x  0, x 1 BiĨu thøc rót gän : P  x 3 b) Ta thÊy  §KX§ Suy P  103  x 7  3 22 c) Pmin=4 x=4 Bµi 11 : Cho biÓu thøc  x P    x 3 a Rót gän P x x b Tìm x để x   x  :  1 x    x   P c Tìm giá trị nhỏ P Híng dÉn :  a ) §KX§ : x  0, x 9 BiĨu thøc rót gän : P  x 3 b Víi  x  th× P   c Pmin= -1 x =  a 1   a1   a1   a   a   víi x>0 ,x 1 a 1 a   Bµi 12: Cho A=  a Rót gän A   b TÝnh A víi a =  15 10    15  ( KQ : A= 4a )  x x   9 x x  1 :    x  x   x x  Bµi 13: Cho A=  x  2  víi x 0 , x 9, x 4 x   a Rót gän A b x= ? Th× A < c T×m x  Z ®Ĩ A  Z ) x (KQ : A= Bµi 14: Cho A = 15 x  11  x   x  víi x 0 , x 1 x2 x x x 11 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : a Rót gän A b T×m GTLN cđa A c Tìm x để A = d CMR : A  A = 2 x ) (KQ: x 3 x2 x 1   x x  x  x 1  x Bµi 15: Cho A = Vị Thµnh Trung 12 víi x 0 , x 1 a Rót gän A b T×m GTLN cđa A x ) x  x 1 ( KQ : A =   víi x 0 , x 1 x 1 x x 1 x  x 1 Bµi 16: Cho A = a Rót gän A b CMR :  A 1 ( KQ : x A= x ) x 1  x x   25  x  1 :   x  25 x  x  15    x 3 x  5   x 5 x   Bµi 17: Cho A =  a Rút gọn A b Tìm x Z để A  Z ( KQ : Bµi 18: Cho A = a  a  a 6 ) x 3 A= a  a 1  a  3 a víi a 0 , a 9 , a 4 a Rót gän A b Tìm a để A < c Tìm a  Z ®Ĩ A  Z  x x 7 Bµi 19: Cho A=   x a Rót gän A b So s¸nh A víi  ( KQ : A =   x 2   : x    x  x 2 x    x  x   A ( KQ : 3  x y x  y  Bµi20: Cho A =  :   x y y x     a 1 ) a x y  A=  xy x y víi x > , x 4 x 9 ) x víi x 0 , y 0, x  y a Rót gän A b CMR : A 0 Bµi 21 : Cho A = ( KQ : A= xy x xy  y ) x x  x x 1    x 1 x  1   x      x x x x  x  x1 x   Víi x > , x 1 a Rót gän A 12 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung 13 b Tìm x để A = ( KQ : A=   x   x 2   :  Bµi 22 : Cho A =  x x x    x     (KQ:    ) x x   x    a Rót gän A b TÝnh A víi x =   x  x 1 víi x > , x 4 A = 1 x ) 1    Bµi 23 : Cho A=  víi x > , x 1  :   1 x 1 x   1 x 1 x  x a Rót gän A b TÝnh A víi x =   x 1 Bµi 24 : Cho A=   x 1  (KQ: A= x )   x4   :    víi x 0 , x 1 x    x  x 1  a Rút gọn A b Tìm x Z để A  Z (KQ: x ) x A=   1 x 2     :    x 1 x x  x  x    x  x    Bµi 25: Cho A=  víi x 0 , x 1 a Rót gän A b Tìm x Z để A Z c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A= x x 3x    x      1  : x  x    x   x 3  Bµi 26 : Cho A =  x1 ) x 1 víi x 0 , x a Rút gọn A b Tìm x để A <  x 1   x1 3 ) a 3 ( KQ : A = x  x   x  x    : x  x    x  Bµi 27 : Cho A =  a   x   víi x 0 , x 1 Rót gän A b TÝnh A víi x =  (KQ: A= x) x4 c CMR : A 1 Bµi 28 : Cho A =   x a x   x 1 : x   x  x 1 Rót gän A (KQ: víi x > , x 1 A= x1 ) x b.So sánh A với 13 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Bµi 29 : Vị Thµnh 14  x1 x   x  2   Cho A =   :    Víi x 0, x  x 1   x  x 1 x    Trung a Rót gän A b Tìm x để A = c Tìm x ®Ó A < x x ) x1 ( KQ : A =  x x   x2  2x 1   x  x  x    Bµi30 : Cho A =  víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 d T×m GTLN cđa A (KQ: A= x (1   x2 x  x1    :  x x  x  x 1  x  Bµi 31 : Cho A =  x) ) víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > , (KQ: Bµi 32 :  x x  : x 1 x   x  Cho A =    A= ) x  x 1 víi x > , x 1, x 4 a Rót gän b T×m x ®Ĩ A =  x 1 x  x    x      :   x   x x 1   x1 Bµi 33 : Cho A =  víi x 0 , x 1 a Rót gän A b TÝnh A x= 0,36 c Tìm x Z để A Z Bµi 34 :  Cho A=    x   x 3 x 2 x 2     :   víi x 0 , x 9 , x 4  x   x   x x  x   a Rót gän A b T×m x Z để A Z c Tìm x ®Ó A < (KQ: x ) x 1 A= Bµi tËp vỊ nhµ Bµi Cho biĨu thøc : A=    x1    .   x 1  x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A x = - c) Tìm giá trị x để x.A = 14 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Vị Thµnh Trung 15 Bµi Cho biĨu thøc : B= x 1  x1     x        x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn B b) Tính giá trị biểu thức A x = + c) Tìm giá trị x để B = a 3 a1 a Bµi ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc : P =    a > ; a  4  a a a 2 a) Rót gän P b) Tính giá trị P với a =  x 2 x   x 1 Q =  ,   x  x  x  x   a) T×m ĐKXĐ rút gọn Q b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị nguyên Bài Cho biểu thức : Bài ( điểm ) Cho biÓu thøc : A (  x 1 x2  )2  x 1 x2 1) Tìm điều kiện x để biểu thøc A cã nghÜa 2) Rót gän biĨu thøc A 3) Giải phơng trình theo x A = x  3 x 3 x 4x   x 2 Bµi Cho biĨu thøc: C =    :     x  x x     x x  x   a) Rút gọn C b) Tìm giá trị x để: C C c) Tìm giá trị x để: C = 40C Bµi Cho biĨu thøc: P   x x  3    : x  2 x  x   a) Rót gän P x 2  x x  4  x  b) Tìm giá trị x để P > c) Tính giá trị nhỏ P d) Tìm giá trị m để có giá trị x > thoả mÃn: m( Bài ( ®iĨm ) Cho biĨu thøc : A ( a) Rút gọn biểu thức Bài ( điểm ) Cho biÓu thøc : A x x  x 2   ) :  x x1 x   x  x   b) Tính giá trị A x - 3).P = 12m x -4 x 4  x 1 : x x x x x  x Rót gän biĨu thøc A Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm sè A   1    :   Bµi 10 ( 2,5 ®iÓm ) Cho biÓu thøc : A=      1- x  x    x  x   x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị cña A x =  c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ 15 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung 16  a a  a a 1 a Bài 11 ( 2,5 điểm ) Cho biÓu thøc : A =   :  a a a a  a a) T×m §KX§ vµ Rót gän biĨu thøc A b) Víi giá trị nguyên a A có giá trị nguyên 1 a 1 a Bài 12 ( điểm ) Cho biểu thức : A =   1 a  1 a 1 a  1 a 1 a a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng biÓu thøc A dơng với a Bài 13 Cho biĨu thøc P ( 2 x  a) Rót gän P 3 x x x ):( b) Cho Bµi 14 XÐt biĨu thøc A 1   2 x  2 x 2 x  4x ) x x 11 HÃy tính giá trị cña P x2 5x    2x 4x  1  2x a) Rót gän A Bµi 15 Cho biĨu thøc P ( 2 x : x 4x  4x 1 b) Tìm giá trị x để A = x  x 1 x  ):(   ) x 1 x  1 x x 1 x  a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P < víi giá trị x Bài 16 Cho biểu thức P     a a  1   :   a    a 1 a  1 a 2 a1  a 1 a) Rút gọn P b) Tìm a để  1 P   x   x :  Bµi 17 Cho biểu thức P      x  x  x x  x  x      a) Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức P  x nhận giá trị nguyên Bµi 18 Cho biÓu thøc: P = a 3 a 2     a a  a a 1  .      a 1   a    a) Rút gọn P b) Tìm a biết P >  c) Tìm a biết P = a  x 1 x  x   x  x  B    :  Bµi 19 Cho biểu thức     x 1 x    x  x  1  x1 a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x 3  2 16 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung 17 c) Chng minh B 1 với giá trị x thỏa mãn x 0; x 1 Bµi 20 Cho biÓu thøc: P =  x2    x 1   x x  :     1 x x   x  a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhÊt a b a b   Bµi 21 (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: N  ab  b ab a ab (với a, b hai số dơng kh¸c nhau) a) Rót gän biĨu thøc N b) TÝnh giá trị N khi: a 62 ; b  6   Bµi 22 (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: M   x   x ; x 0; x 1 1 x 1 x  x a) Rót gän biĨu thức M b) Tìm x để M a  25a   25  a a a 2  1 :    Bµi 23 : Cho biÓu thøc M =     a  a  10  a a  25 a      a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M  Bµi 24 Cho biĨu thøc P =  a1 a  a) Rót gän P 3    a a1 a1  a1  a1 b) So s¸nh P víi biĨu thøc Q =  m  m   m 1   Bµi 25 Cho biĨu thøc A =   :  m  m  m     a) Rót gän A b) So s¸nh A víi  2x  x  2x x  x   1 x 1 x x  Bµi 26 : Cho biÓu thøc A =   m1 m   m  m   x  x x  2 x 1 b) T×m x ®Ĩ A =  a) Rót gän A c) Chứng tỏ A bất đẳng thøc sai  x 3 x   x 1 x 2    Bµi 27 Cho biĨu thøc P =   :    x  2x    x  x  x x   a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > c) Tính giá trị P, biết x x d) Tìm giá trị x để : 17 a1 a1 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan :  18 x 2 p 5  x 2 2 x 1  x  Bµi 28 : Cho biĨu thøc P = 1 x x Vị Thµnh Trung   1 x x  1 x x  :   x    x     1 x    x b) Xác định giá trị x để (x + 1)P = x -1 a) Rót gän P x 3 c) BiÕt Q = Tìm x để Q max P x xy x  xy y   xy xy  Bµi 29 Cho biĨu thøc P =    :  x y    x  xy y  xy a) Rót gọn P b) Tìm m để phơng trình P = m – cã nghiƯm x, y tho¶ m·n    x  y 6  2x x  x  x x  x  x x   Bµi 30 Cho biĨu thøc P =   x   2x  x  x  x x1  b) T×m giá trị lớn A = P a) Rút gọn P x x x c) Tìm giá trị m để x > ta cã:   P x  x    m  x  1  x Bµi 31 Cho biĨu thøc  P   a/ Rót gọn P b/ Tìm x để P < ; Bµi 32 Cho biĨu thøc: P = a/ Rót gän P b/ Tìm x để P < Bài 33 Cho biÓu thøc   x  :  x  x x  x  x c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ x2 x 1 ;   x x  :     1 x a/ Rót gän P a/ Rót gän P x   x  c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ  x 2 x 3 P    x  x   x  x 2   :2 x    b/ Tìm x để Bài 34 Cho biểu thức: P    x  x  1 3(x  x  3) x x   x 3  x 2 x   x    P x x1 b/ Tìm x để P 15 x   x  x   :  Bµi 35 Cho biĨu thøc: P    x x    x x 2 x   a/ Rót gän P ; b/ Tìm x để P 3x - x c/ Tìm giá trị a để có x thoả mÃn : P( x  1)  x  a 18 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : Vũ Thành Trung 19 Bài 36 Cho biÓu thøc: P  3(x  x  3) x x  x 1  x  2    x 1 x   x a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; x P x x c/ Tìm giá trị x để Bài 37 Cho a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P - c) Tìm a biết P > a Bài 41 1) Cho biÓu thøc:     M   1 a  :  1  1 a   1 a2  a) Tìm tập xác định của M b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị của M a = 2) Tính 40  57     Bµi 42 Cho biĨu thøc: N =   40 2  57 a  a  a a     a    a   a) Rót gọn biểu thức N b) Tìm giá trị a ®Ĩ N = - 2004 Bµi 43 Cho biĨu thøc: A =    x1     :  x   x 1 x  x 2  x   a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) So sánh A với c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình A.x = m có nghiệm Bµi 44 Cho biĨu thøc: M =     x1  x 1 x 1   . x    x x   a) Tìm điều kiện xác định rút gọn M 19 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 Giáo viên sọan : 20 Vũ Thành Trung b) Chứng minh M > với giá trị x thuộc tập xác định c) Tìm giá trị x để: M x < d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình M = 2m cã hai nghiƯm Bµi 45 Cho biĨu thøc: P = x2 x 1   x x  x  x 1  x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Chøng minh r»ng P < víi mäi gi¸ trị x thuộc tập xác định c) Tìm giá trị tham số m để phơng trình m.P = có nghiệm 20 Chuyên đề rút gọn biểu thức- ôn vào 10 ... 3x   x  x  1    x 3x  3x  Vị Thµnh Trung (vì  x  nên x  và 3x   ) BÀI TẬP PHAN RUT GOẽN Bài : 1) Đơn giản biểu thøc : 2) Cho biÓu thøc : P = 14   14   x 2 x   x 1  