Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi kiểm tra chất lợng học kì I Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2006 2007 --------***-------- Môn thi : Toán 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề -------------------------***----------------------------- Câu 1:(5 điểm) Cho hàm số: 1x m36x)m24(mx y 2 + = (1) a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị là (C). b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) đi qua điểm A(0;-1). c) Dựa vào đồ thi (C) biện luận theo k số nghiệm của phơng trình: 03k 1x 2 x =++ + d) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m R . Câu 2: (1 điểm) Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx (e sin2x)cosx+ . Tìm công thức của F(x) biết rằng F(3) = 1. Câu 3: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E): 1 4 y 9 x 22 =+ a) Xác định các tiêu điểm F 1 và F 2 , tâm sai và tiêu cự của (E). b) Hai đờng thẳng qua F 1 , F 2 và song song với Oy cắt (E) lần lợt tại A, D và B, C. Tính diện tích tứ giác ABCD. c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I(2; 1) biết rằng đờng thẳng đó cắt elip tại hai điểm MN mà I là trung điểm của đoạn thẳng MN. --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . Trờng thpt đông sơn i Kì thi kiểm tra chất lơng học kì I Năm học 2006 - 2007 Hớng dẫn chấm toán 12 Câu Nội dung Điểm 1a Với m = 1 thì 1x 2 1x 1x 3x2x y 2 += + = 1) Tập xác định : R \ {1} 0,25 2) Sự biến thiên: 2 2 ' )1x( 1x2x y = a, Chiều biến thiên: ' y 0 x 1 2,x 1 2= = = + Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1 2) và );21( ++ Hàm số nghịch biến trên các khoảng )1;21( và )21;1( + 0,25 b, Cực trị : 21x ĐC = và y CĐ y(1 2) 2 2= = 21x CT += và 22)21(yy CT =+= 0,25 c, Giới hạn : +) +== + 1x1x ylim,ylim , suy ra x = 1 là tiệm cận đứng +) 0 1x 2 lim)]1x(y[lim xx = = , suy ra y = x - 1 là tiệm cận xiên +) +== + xx ylim,ylim 0,25 d, Bảng biến thiên : x - 21 1 21 + + y + 0 - - 0 + y 22 - - + + 22 0,5 3) Đồ thị: Cắt trục tung tại điểm (0; -3), nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xứng 0,5 2 x O y 1 - 3 1b b) Gọi d là tiếp tuyến cần tìm, d có hệ số góc k và đi qua I(0; - 1) nên nó có phơng trình: y = kx - 1. 0,25 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phơng trình: = = + k )1x( 1x2x 1kx 1x 3x2x 2 2 2 0,25 1x )1x( 1x2x 1x 3x2x 2 22 = + x = 2 1 0,25 k = - 7. do đó d có phơng trình y = - 7x - 1 0,25 1c Ta có phơng trình : 03k 1x 2 x =++ + (2) 4k 1x 3x2x 2 = + 0,25 Số nghiệm của phơng trình (2) là số giao điểm của (C) với đờng thẳng y = - k - 4. Dựa vào đồ thị ta có 0,25 + với < +> > < 224k 224k 224k 224k thì (2) có 2 nghiệm phân biệt + với = += = = 224k 224k 224k 224k thì (2) có 1 nghiệm. + với 224k224224k22 +<<<< thì (2) vô nghiệm. 0,5 1d Gọi (x 0 ; y 0 ), x 0 1 là điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m. Khi đó 1x m36x)m24(mx y 0 0 2 0 0 + = với m R 0,25 6x4)1x(y)3x2x(m 0000 2 0 +=+ với m R =+ =+ 06x4)1x(y 93x2x 000 0 2 0 0,25 =+ = = 06x4)1x(y 3x (loại) 1x 000 0 0 = = 2 9 y 3x 0 0 . 0,25 3 Vậy đồ thị hàm số (1) có một điểm cố định là 2 9 ;3 0,25 2 Ta có dxxcosx2sindxxcosexdxcos)x2sine( xsin2xsin2 +=+ 0,25 = Cxcos 3 2 e 2 1 )x(cosdxcos2)xsin2(de( 2 1 3xsin22xsin2 += 0,25 Do đó F(x) = Cxcos 3 2 e 2 1 3xsin2 + , với C thỏa mãn 6 1 C1C)3(cos 3 2 e 2 1 33sin2 ==+ 0,25 Vậy F(x) = 6 1 xcos 3 2 e 2 1 3xsin2 0,25 3a Ta có elip (E): 1 4 y 9 x 22 =+ c 2 = a 2 - b 2 = 9 - 4 = 5 c = 5 0,5 )0;5(F 1 = , )0;5(F 2 = 0,5 Tâm sai 3 5 a c e == . Tiêu cự 2c = 2 5 0,5 3b Ta có x A = x D = 5x 1 F = , đo đó tung độ của A và D là nghiệm của phơng trình 3 4 y1 4 y 9 5 2 ==+ 0,5 Giả sử 3 4 yra suy 3 4 y DA == . Do đó 3 4 ;5D, 3 4 ;5A 0,25 Tơng tự ta cũng có 3 4 ;5C, 3 4 ;5B . 0,25 Ta thấy AB // CD, AD // BC, AB AC nên ABCD là hình chữ nhật. 0,25 ABCD có diện tích S = AB.BC = 3 516 3 8 .52 = (đvdt) 0,25 4 OOO A D C B y x F 1 F 2 3c Gọi là đờng thẳng cần tìm, có phơng trình += += bt1y at2x (a 2 + b 2 0) Do M, N là giao điểm của với (E) nên M = (2 + at 1 ; 1 + bt 1 ), N = (2 + at 2 ; 1 + bt 2 ) với t 1 , t 2 là nghiệm của phơng trình 0,25 Do 0 36 11 4 b 9 a 22 < + nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt t 1 , t 2 . theo định lí Viet ta có + +=+ 4 b 9 a 4 b 9 a2 2tt 22 21 0,25 Mặt khác do I là trung điểm của MN nên =+++ =+++ 2bt1bt1 4at2at2 21 21 0tt 0)tt(b 0)tt(a 21 21 21 =+ =+ =+ 0,25 Do đó 0b9a80 4 b 9 a2 =+=+ , chọn a = 9 suy ra b = - 8. có phơng trình = += t81y t92x 8x + 9y - 25 = 0 0,25 Chú ý : - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 5 . Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2006 2007 --------***-------- Môn thi : Toán 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề -------------------------***-----------------------------. i Kì thi kiểm tra chất lơng học kì I Năm học 2006 - 2007 Hớng dẫn chấm toán 12 Câu Nội dung Điểm 1a Với m = 1 thì 1x 2 1x 1x 3x2x y 2 += + = 1) Tập xác