điểm đề toán nâng cao số Họ tên: Em dùng phơng pháp ngc t cui để giải toán sau đây: Bài 1: Tỡm mt s, biết giảm số lần, sau cộng với 5, nhân với cuối chia cho kết Gi¶i: ………………………………………………………………………………… Bµi 2: Tổng số ba số 96 Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ đơn vị sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối chuyển từ số thứ ba sang số thứ đơn vị số thứ gấp đôi số thứ hai 2/5 số thứ ba Tìm ba số đó? Gi¶i: Bµi 3: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua vua ban thưởng cho cam vườn thượng uyển, phải tự vào vườn hái Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào lúc ông phải biếu ta nửa số cam, thêm nửa quả” Qua cổng thứ hai thứ ba lính canh giao hẹn Hỏi để có cam mang viên quan phải hái cam vườn? Gi¶i: …………………………………………………………………………………………………… Bµi 4: người câu cá, câu bỏ vào xô Gần sáng hôm sau người thứ dạy chia cá làm phần dư nên ném xuống sông lấy phần về, người thứ dậy tưởng dạy sớm, nên chia phần dư ném xuống sông lấy phần Người thứ giống hệt người thứ 2, chia cá làm phần dư nên ném xuống sông lấy phần về, cuối cá xô Hỏi tổng số cá bao nhiêu? Gi¶i: …………………………………………………………………………………………………… PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI 1- D¹ng thø nhất: Dạng biến đổi phép tính đơn giản, trình tìm tòi cách giải dùng lợc đồ đa toán tìm x quen thuộc Ví dụ 1.1: Tìm số biết đem số cộng với 32, đợc đem chia cho 3, nhân với 120 Hớng dẫn giải: Với toán dạng này, ta sử dụng cách: + Dùng lợc đồ + Dùng sơ đồ đoạn thẳng + Đa toán " tìm x" ( Lập phơng trình ) Để phù hợp với nhận thức học sinh tiểu học ( đặc biệt em mức trung bình vơn lên giỏi ), ta nên hớng dẫn em sử dụng lợc đồ nh sau: + 32 :3 x B A? C - 32 x3 NÕu ta quay lợc đồ góc 90 dới lên A? + 32 - B x : x4 C 120 120 : : ta cã c¸ch nãi suy luËn từ Bằng dấu mũi tên ngợc với 32 trình biến đổi đề ta dễ dàng giúp em tìm kết toán C x = 120 VËy, muèn t×m C ta làm ? ( 120 : = 30 VËy C = 30 ) • B : = 30 VËy, muèn tìm B ta làm ? ( 30 x = 90 VËy B = 90 ) • A + 32 = 90 VËy, muốn tìm A ta làm bao nhiªu ? ( 90 - 32 = 58 VËy A = 58 - Đây số phải tìm toán ) Lu ý: Lợc đồ nên sử dụng phần nháp để tìm tòi cách giải Nếu vẽ vào làm rờm rà thời gian Bài giải cụ thể: Số trớc nhân víi lµ: 120 : = 30 Sè tríc chia cho lµ: 30 x = 90 Số phải tìm ( hay trớc cộng 32 ) là: 90 - 32 = 58 Đáp số: 58 Bài toán ta hớng dẫn học sinh giải phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nh sau: Số cần tìm : 32 Số sau cộng với 32: Sè sau chia cho 3: Cuèi cïng : 120 Lu ý: Sè sau céng víi 32 hay trớc chia cho * Giải cách đa toán tìm X ( tìm thành phần cha biết phép tính - lập phơng trình ) Gọi số cần tìm X ta có : ( X + 32 ) : x = 120 Gi¶i: ( X + 32 ) : = 120 : ( X + 32 ) : = 30 X + 32 = 30 x X + 32 = 90 X = 90 - 32 X = 58 Lu ý: toán tìm X dạng bản: X+a=b; Xxa=b; X-a=b; a-X=b, X:a=b; a:X=b Trong a, b số biết X số cần tìm Hầu hết toán tìm X tiểu học ( giải phơng trình bậc có ẩn số ) không dạng bản, qua số biến đổi tơng đơng đợc đa dạng Ví dụ 1.2: Tìm số biết số nhân với cộng với 45, đợc nhân với chia cho cuối trừ 17 đ ợc kết 2073 Hớng dẫn giải: Dùng lợc đồ: x5 + 45 x4 :2 - 17 X? + 17 A :5 B C - 45 D :4 2073 x2 Bài giải: ( Nên hớng dẫn học sinh trình bày theo kiểu dới đây) Số trớc trừ 17 : 2073 + 17 = 2090 Sè Sè Sè Sè tríc chia cho lµ : 2090 x = 4180 tríc nhân với : 4180 : = 1045 tríc céng víi 45 lµ : 1045 - 45 = 1000 phải tìm : 1000 : = 200 Đáp số: 200 Dùng SĐĐT Dạng tìm tòi cách giải phơng pháp sử dụng SĐĐT đợc nhng phải vẽ phiền phức Cách vẽ cách trình bày tơng tự ví dụ 1.1, nên không trình bày Sử dụng cách đa toán tìm X Việc sử dụng cách đa toán tìm X đơn giản, tơng tự ví dụ 1.1, việc đa giải phơng trình nh cha thật phù hợp với học sinh tiểu học Bên cạnh cần lu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc đơn cách hợp lý Cụ thể: Gọi số phải tìm X ta có: (X x + 45 ) x : - 17 = 2073 Giải toán ta tìm đợc X = 200 Cách giải tơng tự ví dụ 1.1 trình bày 2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( phép chia phức tạp ) trình tìm tòi cách giải giải nên sử dụng SĐĐT ( Sơ đồ đoạn thẳng ) , phơng pháp đặc biệt phù hợp với häc sinh tiĨu häc VÝ dơ 2.1: Mét ngêi ®em bán số cam Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam lại, lần thứ ba bán 20 56 Hỏi lúc đầu ngời có tất cam ? Hớng dẫn giải: Dùng lợc đồ: Dạng dùng lợc đồ khó khăn việc biểu diễn phần lại sau lần bớt Cơ thĨ: Bít 1/3 cđa X X? A Bít 1/3 cña A B - 20 56 ( Suy luËn theo đờng mũi tên có nét đứt để giải toán ) + Bán 20 quả, 56 Vậy, muốn tìm số cam trớc bán 20 ta cã thĨ lµm nh thÕ nµo? ( lÊy 56 céng víi 20, ta cã 56 + 20 = 76 Nh B = 76 ) + Bớt 1/3 cđa A th× b»ng B, tøc b»ng 76 VËy, mn tìm A ta làm nh ? Hớng dẫn cách nghĩ: A bớt 1/3 2 A, mà A 76 , vËy A = 76: 2/3 = 114 ( cã thÓ trình bày A 3 = 76 : x = 114) VËy A = 114 + Bít ®i 1/3 cđa X th× b»ng A, tøc b»ng 114 VËy, muốn tìm X ta làm nh ?Tơng tự nh cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) 171 Cách giải cụ thể: Trớc bán 20 , ngời số cam: 56 + 20 = 76 ( ) Số cam lại trớc bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( ) Số cam ngời đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( ) Đáp số 171 Dùng SĐĐT ( Phơng pháp chủ công loại ) Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt học sinh cha học phép tính phân số ) Nên hớng dẫn HS sử dụng phơng pháp dùng SĐĐT Ta có SĐĐT nh sau: Số cam cần tìm: Số cam lại sau bán lần I: Số cam lại sau bán lần II : Cuối 20 56 Hớng dẫn giải: Tìm số cam lại sau bán lần thứ hai ( hay trớc bán lần thứ ba ) Số cam lại sau bán lần thứ hai đợc biểu diễn hai đoạn thẳng: đoạn cuối 56 đoạn biểu diễn 20 Nh vậy, muốn tìm số cam lại sau lần bán thứ hai ta làm nh thÕ nµo? ( 56 + 20 = 76 ) Tìm tiếp số cam lại sau bán lần thứ Số cam đợc biểu diễn đoạn thẳng có phần nhau, mà phần 76 Vậy, muốn tìm số cam lại sau lần bán thứ ta làm nh nào? ( lấy 76 chia để tìm phần, nhân với để có phÇn thĨ 76 : x = 114) Tìm số cam ngời đem bán Toàn số cam đợc biểu diễn đoạn thẳng chứa phần nhau, mà có phần 114 Vậy, muốn tìm số cam ngời đem bán ta làm nh ? ( lấy 114 chia để tìm phần, nhân với để tìm phần - Cụ thể : 114 : x = 171) Bài giải cụ thể: Số cam lại sau bán lần thứ hai : 65 + 20 = 76 ( quả) Số cam lại sau bán lần đầu là: 76 : x = 114 (qu¶) Sè cam lúc đầu : 114 : x = 171 ( quả) Đáp số: 171 cam Sử dụng cách đa toán tìm X: Với dạng này, ta hớng dẫn học sinh giải cách đa toán tìm X gặp số khó khăn học sinh tiểu học học sinh cha học phép tính phân số Ta đa toán tìm X không thuộc dạng nh sau: Gọi số cam cần tìm X ( X số tự nhiên lớn - đơn vị : ) X- 1 x X - x ( X - x X ) - 20 = 56 3 Ví dụ 2.2: Một ngời đem bán số trứng nh sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng biếu khách Lần thứ hai bán 1/2 số trứng lại lại biếu khách Lần thứ ba bán 1/2 số trứng lại sau hai lần trớc lại biếu khách Cuối ngời 10 trứng Hỏi lúc đầu ngời có trứng đem bán ? Hớng dẫn giải: Dùng sơ đồ đoạn thẳng Nh loại này, sử dụng phơng pháp dùng SĐĐT để giải tối u Vẽ sơ đồ: Một nửa Số trứng ?: Số trứng lại sau lần bán thứ nhất: Một nửa Số trứng lại sau lần bán thứ hai : 10 Một nửa Cuối : Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngợc từ dới lên ): + Một nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai gồm đoạn thẳng biểu diễn 10 trứng Muốn tính nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai ta lµm thÕ nµo ? ( 10 + = 11 ) Muốn tính số trứng lại sau bán lần thứ hai ta làm ? ( 11 x = 22 ) + Mét nöa sè trøng lại sau bán lần thứ gồm 22 Từ dễ thấy cách tính số trứng lại sau bán lần thứ lµ: ( 22 + ) x = 46 + Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 Từ dễ thấy cách tính số trứng ngời đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Bài giải cụ thể: Số trứng lại sau bán lần thứ hai là: ( 10 + ) x = 22 ( ) Số trứng lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 ( qu¶ ) Sè trứng ngời đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Đáp số: 94 qu¶ trøng Lu ý: Cã thĨ híng dÉn häc sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho em: 94 : - = 46 , 46 : - = 22 Dùng lợc đồ: X- X-1 A- ; 22 : - = 10 A-1 B- B2 A X? B 10 ( Suy luận theo đờng mũi tên có nét đứt ) + Tìm B: B - B - = 10 B - = 10 A - = 22 A - = 22 B = 11 B = 11 x = 22 + T×m A: A = 46 + T×m X: X - X - = 46 X - = 46 A = 23 A = 23 x X = 47 X = 47 x = 94 NhËn xÐt: Víi c¸ch rõ ràng học sinh phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với t học sinh tiểu học Đa toán "tìm X ": Trong trờng hợp này, đa toán " tìm X " phức tạp học sinh tiểu học Để cho học sinh nắm đợc nên chuyển thành bớc nhỏ nh sau: Gọi số trứng ngời đem bán X ( X số tự nhiên lớn ), ta có: Số trứng lại sau lần bán thứ là: X- 1 X-1= X-1 2 Số trứng lại sau lần bán thø hai lµ: 1 1 X - - ( X - 1) - = X 2 Số trứng lại sau lần bán thứ ba là: 1 X- - ( X- )-1= X4 2 Theo toán ta cã: X - = 10 X= 94 ( tự giải ) Qua cách giải ta thấy với dạng này, sử dụng SĐĐT hợp lý VÝ dơ 2.3: An cã mét sè bi ®ùng hộp Lần đầu An lấy 1/3 số bi hộp bỏ trở lại bi Lần thứ hai An lấy 1/4 số bi lại lại bỏ lại bi Lần thứ ba An lấy 1/2 số bi lại hộp bỏ lại bi LÇn thø t An lÊy 2/3 sè bi lại lần lấy bỏ lại bi hộp có 15 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ? Hớng dẫn giải: Dùng SĐĐT (Phơng pháp chủ công loại này) phần ba Số bi ? Số bi lại sau lần lấy T1: bi bi Số bi lại sau lần lấy thứ hai: Số bi lai sau lần lấy thứ ba: bi bi Cuèi cïng: 15 bi Theo S§§T ta thấy: + Số bi lại sau lần lấy thứ ba cã mÊy phÇn b»ng ? (3 phÇn) Ta tìm đợc phần nh không ? Muốn tìm phần ta làm nh nào? (15 - = 10) Vậy số bi lại sau lần lấy thứ ba ? (10 x = 30 bi ) + Số bi lại sau lÇn lÊy thø hai chøa mÊy phÇn b»ng ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta làm nh ? ( 30 - = 26 ) VËy sè bi lại sau lần lấy thứ hai ? ( 26 x = 52 ) + Sè bi cßn lại sau lần lấy thứ chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta làm nh ? - Trớc hết phải tìm đợc giá trị phần Muốn tìm giá trị phần ta làm nh ? ? ( 52 - = 51 ) - §Ĩ tìm giá trị phần ta làm nh thÕ nµo ? ( 51 : = 17 ) Vậy, muốn tìm số bi lại sau lần lấy thø nhÊt ta cã thĨ lµm nh thÕ nµo ? ( 17 x = 68 ) + Sè bi lúc đầu hộp có phần ? ( phần ) Ta tính đợc giá trị phần trớc ? ( phần ) Muốn tính giá trị phần ta có thĨ lµm nh thÕ nµo ? ( 68 - = 66 ) Ta dễ dàng tính đợc phần.Vậy, muốn tính số bi hộp lúc đầu An ta cã thĨ lµm nh thÕ nµo ? ( 66 : x = 99 ) Bài giải thĨ ( Lu ý cã mét sè bíc cÇn làm gộp để giải không dài dòng ) Số bi lại sau lần lấy thứ ba : ( 15 - ) x = 30 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thø hai lµ: ( 30 - ) x = 52 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thứ là: ( 52 - ) : x = 68 ( bi ) Sè bi lúc đầu hộp An : ( 68 - ) : x = 99 ( bi ) Đáp số : 99 bi Dạng vận dụng lợc đồ đa toán "tìm X " để giải nhng có nhiều khó khăn học sinh tiểu học Tuy vậy, học sinh giỏi thật nên khuyến khích em giải theo nhiều cách khác Nhng rõ ràng cách giải SĐĐT hợp lý 3- Dạng thứ 3: Quá trình biến đổi việc thêm bớt từ phần qua phần số đơn vị số lần số phần địa cần đến Phơng pháp suy luận để tìm tòi cách giải chuẩn xác gần gũi, phù hợp với nhận thức em cách lập bảng biến đổi Ví dụ 3.1: Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển từ hộp A sang hép B 20 bi vµ tõ hép C sang hép B 15 bi LÇn thø hai chun tõ hép B sang hép C 40 bi vµ tõ hép C sang hép A 15 bi LÇn thø ba chun tõ hép B sang hép A 18 bi vµ tõ hép C sang hép B bi Cuèi cïng hép A cã 140 bi, hép B cã 160 bi vµ hộp C có 180 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ? Hớng dẫn giải Để tìm tòi cách giải dạng có nhiều cách, nhng cách phù hợp với học sinh tiểu học lập bảng Việc lập bảng không yêu cầu trình bày vào giải mà cần thực nháp để có cách trình bày xác Ta lập bảng nh sau: Nội dung chuyển Lần 1: - Tõ A bi - Tõ C bi LÇn 2: - Tõ B bi - Tõ C bi LÇn 3: - Tõ B bi - Tõ C bi Cuèi cïng Sè bi hộp B 20 A B 20 Hàng C 15 B 15 C 40 A * 40 * 5 A 18 B * * * 18 140 bi 160 bi * 180 bi Lu ý: + C¸c dÊu * ë c¸c ô 2A, 2B, 2C số bi lại sau chuyển lần thứ + Các dấu * ô 3A, 3B, 3C số bi lại sau chuyển lần thứ hai + Khi nháp cần cột số bi hộp đợc Dựa vào bảng trên, phơng pháp suy luận từ dới lên ta tìm đợc * hàng hàng cuối hàng - số bi hộp phải tìm Tìm giá trị ô hàng ( số bi hộp trớc chuyển lần thứ ba hay sau chun lÇn thø hai ) - Sè bi hộp C ( ô 3C ) Bớt bi cßn 180 bi VËy, muèn tÝnh sè bi ë hép C tríc chun lÇn thø ba ta cã thĨ lµm nh thÕ nµo ? vµ b»ng bao nhiªu ? ( 180 + = 184) - Sè bi hộp B ( ô 3B ) Bớt 18 bi thêm vào bi 160 bi VËy, muèn tÝnh sè bi ë hép B tríc chuyển lần thứ ba ta làm nh ? bao nhiêu? ( 160 + 18 - = 174 ) - Sè bi ë hộp A ( ô 3A) Thêm vào 18 bi ®ỵc 140 bi VËy, mn tÝnh sè bi ë hép A tríc chun lÇn thø ba ta cã thĨ làm nh ? bao nhiêu? (140 - 18 = 122) Ta cã thÓ tÝnh sè bi hộp A cách khác: Việc luân chuyển luẩn quẩn ba hộp nên tổng số bi ba hộp không đổi Đã tính đợc hai hộp dễ dàng tính đợc hộp lại Cụ thể: Tổng số bi ba hộp lµ: 140 + 160 + 180 = 480 (bi) Sè bi ë hép A tríc chun lÇn thø ba là: 480 - 174 - 184 = 122 (bi) Tìm giá trị ô hàng ( số bi hộp trớc chuyển lần hay sau chuyển lần thứ ) Bằng phơng pháp suy ln nh trªn ta cã thĨ tÝnh sè bi hộp hàng cách đơn giản nh sau: - Số bi ô 2C là: 184 - 40 + = 149 ( bi ) - Sè bi ô 2B là: 174 + 40 = 214 ( bi ) - Số bi ô 2A là: 122 - = 117 ( bi ) Tìm số bi lúc đầu hộp ( số bi ô hàng ) Bằng phơng pháp suy luận tìm nh hàng 3, hàng ta dễ dàng tính đợc số bi lúc đầu hộp - Số bi lúc đầu hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Sè bi lúc đầu hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Sè bi lóc đầu hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi ) Nh vậy, với toán phức tạp ( với HS tiểu học ) phơng pháp dẫn dắt hợp lý, ta đa giải nhiều toán " " mà toán " " việc tìm thành phần cha biÕt phÐp tÝnh, häc sinh cã thĨ gi¶i đợc không khó khăn Bên cạnh suy luận tìm tòi theo kiểu " hàng ngang", ta hớng dÉn gióp häc sinh suy ln theo kiĨu " cét dọc " Cách hữu hiệu Đây thực chất ta lại sử dụng lợc đồ nhng đợc xÕp theo kiĨu cét Cơ thĨ nh sau: A B C - +20, + 20 A2 C2 B2 + + 40, - - 40 B3 A3 - -15 15 + C3 - 18, +4 18 160 140 180 Nhìn vào lợc đồ cột, thực theo chiều mũi tên "dài", ta dễ dàng tính đợc số bi hộp lúc đầu Chú ý xét " thêm ", " bớt" cột không cần biết đâu chuyển đến hay chuyển đâu Các bớc giải toán làm gộp ng¾n gän nh sau: Sè bi ë hép A lóc đầu là: 140 - 18 - + 20 = 137 ( bi ) Sè bi ë hép B lóc đầu là: 160 - + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi ) Sè bi hộp C lúc đầu là: 180 + + - 40 + 15 = 164 ( bi ) §¸p sè: Hép A: 137 bi; Hép B: 179 bi; Hép C: 164 bi VÝ dô 3.2: Cã hai thïng đựng dầu A B Lần đầu chuyển 26 l tõ thïng A sang thïng B LÇn thø hai chun tõ thïng B sang thïng A mét sè lÝt dÇu gÊp lÇn sè lÝt dÇu hiƯn cã ë thïng A LÇn thø ba chun tõ thïng A sang thïng B số lít dầu số lít dầu hiƯn cã ë thïng B th× ci cïng thïng A cã 48 l, thïng B cã 60 l Hái lóc đầu thùng có lít dầu ? Đây toán thuộc dạng thứ ba Trong cần lu ý, chuyển từ địa sang địa khác có cách: - Chuyển số đơn vị cụ thể ( tơng tự ví dụ 3.1) - Chuyển số lần có địa đợc chuyển đến Hớng dẫn giải: Lập bảng Nội dung chun LÇn 1: Chun 26 bi tõ A LÇn dầu Lần dầu Số bi hộp B 2: Chun tõ B A sè lÝt gÊp lÇn sè dÇu hiƯn cã ë A 3: Chun tõ A B số lít số dầu có B Cuèi cïng Hµng A 26 2A B 2B 3A 3B 48 lÝt 60 lÝt + TÝnh số lít dầu thùng trớc chuyển lần thứ ba ( ô 3A, 3B ) - Số lít dầu thùng B ( ô 3B) Sau chun lÇn thø ba ( ci cïng ), thïng B cã 60 l §· chun tõ thïng A sang thïng B sè dÇu b»ng sè dÇu thïng B hiƯn cã để đợc 60 l Vậy trớc chuyển lần thứ ba thùng B có lít dầu ? Muốn tính ta phải làm ? ( 60 : = 30 - cã thĨ minh ho¹ b»ng SĐĐT để em dễ hiểu ) - Số lít dầu thùng A ( ô 3A ) Bớt 30 48 Vậy, muốn tìm số lít dầu thïng A tríc chun lÇn thø ba ta cã thĨ lµm nh thÕ nµo ? ( 30 + 48 = 78 hc 48 + 60 - 30 = 78 ) + Tính số lít dầu thùng trớc chun lÇn thø hai - Sè lÝt dÇu ë thùng A ( ô 2A ) Đợc thêm lần chÝnh nã th× b»ng 78 VËy, muèn t×m "chÝnh nã" hay sè lÝt dÇu ë thïng A tríc chun lần thứ hai ta làm nh ? ( 78 : = 26 ) Nên mimh hoạ SĐĐT để học sinh dễ hiểu 78 có đợc thêm - Số lít dầu thùng B ( ô 2B ) Muốn tính số lít dầu ô 2B ta lµm nh thÕ nµo ? ( 48 + 60 - 26 = 82 ) + TÝnh sè lÝt dÇu ë thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay tríc chun lÇn thø nhÊt - Sè lÝt dÇu thùng B lúc đầu: Đợc thêm 26 82 Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu thùng B ta cã thĨ lµm nh thÕ nµo ? ( 82 - 26 = 56 ) - Từ tìm đợc số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l) • Sư dơng lợc đồ cột B A + - 26 + 26 2B 2A + thêm lần lần ( 2A ) :3 26 Bít ( gÊp lÇn ) 3A 3B Trừ lần ( 3B ) + 30 thêm lần 48 Bài giải cụ thể: 60 + Tổng số lít dầu hai thùng lµ: 60 + 48 = 108 ( l ) Sè lÝt dÇu ë thïng B tríc chun lÇn thø ba lµ: 60 : = 30 (l) (l) (l) Sè lÝt dÇu ë thïng A tríc chun lÇn thø ba lµ: 108 - 30 = 78 Sè lÝt dÇu ë thïng A tríc chun lÇn thø hai là: 78 : = 26 Số lít dầu thùng B trớc chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l ) Sè lÝt dÇu ë thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l ) Sè lÝt dÇu ë thïng A lóc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) §¸p sè: Thïng A: 52 l; Thïng B: 56 l Chú ý: Nếu xếp theo lợc đồ cột tính liên tục thùng nh ví dụ 3.1 4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối phần đợc chia Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trớc cuối" hay " áp chót" mối quan hệ gía trị " áp chót" gía trị cuối để suy kết toán Đây dạng tơng đối phức tạp toán giải phơng pháp suy luận từ cuối Những khó là: - Kết cuối thờng số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải đợc dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích tìm giá trị " áp chót" ( trớc cuối ) Từ tính đợc đáp số toán Ví dụ 4.1: Một tổ công nhân sau hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ đợc thởng số tiền Ngời tỉ trëng ®em chia sè tiỊn ®ã nh sau: - Tổ trởng đợc 100000 đồng 1/10 số tiền lại - Tổ phó đợc 200000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ đợc 300000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ hai đợc 400000 đồng 1/10 số tiền l¹i Cø tiÕp tôc chia nh ngời cuối số tiền thởng đợc chia cho tất ngời Hỏi số tiền thởng cho tổ ngời đợc thởng tiền ? Ví dụ toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cụ thể, mà biết đợc cách biến đổi nh cuối số tiền chia cho ngời nh Bằng cách giải nh với ví dụ trớc với loại thực đợc Để giúp HS giải đợc loại ta cần phân tích, xét phần " áp chót" phần "chót" để tìm cách giải Bằng SĐĐT ta có: " áp chót " cïng" " Cuèi 1/10 " Cuèi cïng " • Tríc hÕt ph¶i thÊy ngêi ci cïng nhËn sè tiỊn số nguyên trăm nghìn đồng vừa hết ( tức 1/10 phần lại 0) Nếu không ngời cha phải ngời cuối Theo sơ đồ ta thấy: Ngời " áp chót " đợc nhận số nguyên trăm nghìn đồng 1/10 số tiền lại Nh vậy, 9/10 số tiền lại ngời cuối Ngời cuối nhận số nguyên trăm nghìn ngời "áp chót" 100000 đ Vậy, 100000 đ ®ã chÝnh lµ 1/9 sè tiỊn ngêi ci cïng nhËn Tõ ®ã ta cã: + Sè tiỊn ngêi ci cïng nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng ) + Số ngời tổ là: ngời + Số tiỊn cđa toµn tỉ lµ: 900000 x = 8100000 ( đồng ) Cũng lập luận nh ta có cách trình bày thứ hai nh sau: Gọi số nguyên trăm nghìn đồng ngời " áp chót" nhận A, phần lại B đồng Từ ta có: Số tiền ngời "áp chót" nhận đợc biểu diễn theo A B nh thÕ nµo ? ( A + B) 10 Sè tiền ngời cuối nhận đợc biểu diễn nh ? ( B) 10 Theo toán, số tiền đợc chia cho ngời, có nghĩa sè tiỊn cđa ngêi " ¸p chãt" nhËn b»ng sè tiỊn cđa ngêi ci cïng nhËn, nªn ta cã thĨ biĨu diƠn quan hƯ sè tiỊn cđa hai ngêi nµy nh thÕ nµo ? ( A + A= B= B 10 10 B) 10 Mặt khác, ngời cuối nhận B vừa hết, nên số tiền ngời 10 cuối nhận số nguyên trăm nghìn ngời " áp chót" nhận thêm 100000 đ Tøc lµ: B = A + 100000 10 B= B + 100000 10 10 B = 100000 10 B = 100000 : 1/10 = 1000000 VËy, số tiền ngời nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ) Từ tính đợc số tiền tổ: + Cách 1: Theo quy luật cộng thêm số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có ngời Vậy : Tổng số tiền đợc thởng là: 900000 x = 8100000 ( đ ) + Cách 2: Từ chỗ ngời đợc thởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền lại = 900000 đ 1/10 số tiền lại 8000000 đ Vậy, tổng số tiền đợc thởng : 8000000 + 100000 = 8100000 ( ® ) Lu ý: VỊ c¸ch tÝnh sè ngêi cđa tỉ cã thĨ thùc hiƯn theo cách sau: Số ngời tổ là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + = ( ngêi ) VÝ dô 4.2: Mét ngời đem bán số cam nh sau: Ngời thứ mua 1/6 số cam lại Ngời thứ hai mua 18 1/6 số cam lại Ngời thứ ba mua 27 1/6 số cam lại Cuối số cam vừa hết số cam ngời mua Hỏi ngời bán cam ? Hớng dẫn giải: Tơng tự nh ví dụ 4.1, trớc hết ta cần khảng định số ®iỊu sau: + Ngêi thø nhÊt mua qu¶, ngêi thø hai mua 18 qu¶, ngêi thø ba mua 27 quả, Vậy, quy luật ngời mua sau ngời mua liền trớc + Ngời cuối mua số nguyên cam vừa hết, có nghĩa phần d lại + Ngời " áp chót" mua số nguyên cam 1/6 số cam lại 5/6 số cam lại số cam ngời cuối mua + Số cam ngời mua nh Ta sử dụng SĐĐT: Cuối "áp chót" (A) (B) Cuối Đặc biệt lu ý: Phần nguyên số cam ngời cuối mua phần nguyên số cam ngời " áp chót" mua thêm Vậy, 1/6 số cam lại sau ngời " áp chót" mua số nguyên cam Vậy, số cam ngời cuối mua là: x = 45 ( qu¶ ) Sè ngêi mua cam lµ: ( 45 - ) : ( 18 - ) + = ( ngêi ) Số cam ngời đem bán là: 45 x = 225 ( qu¶ ) Ta cã thĨ híng dÉn em giải theo cách khác: Gọi phần nguyên số cam ngời "áp chót" mua A, phần lại B ( xem hình vẽ ) Số cam ngời " áp chót" mua đợc biểu diễn theo A B : A + B B Theo A = B Tõ ®ã: BB= 6 6 Sè cam ngêi " cuối " mua đợc biểu diễn theo B là: toán ta có: A + B=9 B= B 6 B = 54 Mỗi ngời mua số cam : 54 : x = 45 qu¶, số cam ngời đem bán là: 45 x = 225 (quả) Khái quát vấn đề Mô hình chung loại toán giải phơng pháp suy luận từ cuối là: cần tìm + Một số + Nhiều số Kết sau biến đổi lần thứ (cha biết ) Kết sau biến đổi lần thứ hai (cha biết) Kết sau biến đổi lần thø ba (cha biÕt) … cuèi cïng ( ®· biÕt) Các bớc thực ngợc để giải Quy trình giải chủ yếu thực bớc theo chiều mũi tên ngợc với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào trình biến đổi Có việc biến đổi đơn giản, có biến đổi phức tạp Có số toán kết cuối số cụ thể mà lại toán, giải toán ta sễ tìm đợc kết cuối ( thông thờng toán Tổng - Tỉ, HiÖu - TØ … ) ... 171 cam Sử dụng cách đa toán tìm X: Với dạng này, ta hớng dẫn học sinh giải cách đa toán tìm X gặp số khó khăn học sinh tiểu học học sinh cha học phép tính phân số Ta đa toán tìm X không thuộc... cách rõ ràng học sinh phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với t học sinh tiểu học Đa toán "tìm X ": Trong trờng hợp này, đa toán " tìm... 20 = 137 ( bi ) Nh vậy, với toán phức tạp ( với HS tiểu học ) phơng pháp dẫn dắt hợp lý, ta đa giải nhiều toán " " mà toán " " việc tìm thành phần cha biết phép tính, học sinh giải đợc không khó