Đang tải... (xem toàn văn)
Tương giao của hai đồ thị hàm số là một trong các bài toán cơ bản của chương trình Giải tích 12. Bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi TN, ĐH, CĐ THPT Quốc Gia trong những năm gần đây. Lớp bài toán tương giao rất rộng nhưng theo xu hướng ra đề của một số năm gần đây tôi chỉ nghiên cứu một mảng nhỏ. Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán tương giao, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn. Vì vậy tôi viết chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.
SỞ GD&ĐT TRƯỜNG THPT ========== CHUN ĐỀ CHUN MƠN MỘT SỐ BÀI TỐN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Tổ chun mơn: Tốn – Tin Năm học Phần 1: MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tương giao hai đồ thị hàm số toán chương trình Giải tích 12 Bài tốn thường xun xuất đề thi TN, ĐH, CĐ THPT Quốc Gia năm gần Lớp toán tương giao rộng theo xu hướng đề số năm gần nghiên cứu mảng nhỏ Trước hết giúp thân hệ thống dạng toán tương giao, qua phục vụ tốt cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn Vì tơi viết chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày đạt hiệu hơn, đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tơi viết chun đề với mục đích thân có tài liệu phục vụ công tác giảng dạy mong muốn cung cấp cho thầy, giáo có thêm tài liệu tham khảo Các em học sinh THPT tài liệu học tập, tra cứu thơng dụng có hiệu giải toán tương giao hai đồ thị ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG Chuyên đề áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia PHẠM VI NGHIÊN CỨU Chương I chương trình Giải Tích 12 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1 Nghiên cứu lí luận Phân tích nội dung chương I phần Giải Tích 12 Nghiên cứu kỹ dạng toán tương giao tài liệu lý luận, sách tham khảo đề thi năm gần 5.2 Thực hành rút kinh nghiệm Thông qua buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp khảo sát học sinh qua kiểm tra để rút kinh nghiệm CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Nội dung chuyên đề chia làm hai phần: - Cơ sở lý thuyết - Các dạng tập THỜI LƯỢNG DỰ KIẾN Số tiết dự kiến dạy chuyên đề: tiết Phần NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT – Phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax bx c (a �0) a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > (hoặc ∆’ > 0) � � �P � b) Phương trình có hai nghiệm thoả mãn x < x < �S � � �P � c) Phương trình có hai nghiệm thoả mãn < x1 < x2 �S d) Phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1< < x2 P < - Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai Nếu phương trình : ax bx c (a �0) có hai nghiệm x1; x2 b � S x1 x2 � � a � �P x x c � a - Tính chất cấp số cộng uk u n k un k a) Cho cấp số cộng (un) với công sai d Khi ta có b) Cho cấp số cộng x1; x2; x3 Khi ta có x1 + x3 = 2x2 - Tính chất cấp số nhân a) Cho cấp số nhân (u ) với cơng bội q Khi ta có unk un k uk n b) Cho cấp số nhân x1; x2 ; x3 Khi ta có x1.x3 = x22 - Tương giao hai đồ thị Cho hàm số y f x có đồ thị (C), hàm số y g x có đồ thị (C’) Để xét tương giao hai đồ thị + Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’): f x g x (1) + Dựa vào số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) (C’) + Nghiệm phương trình (1) hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số 6- Cách vẽ đồ thị có chứa dấu trị tuyệt đối 6.1 - Từ đồ thị (C ) : y f ( x ) � (C1 ) : y f ( x) �f ( x) f(x) �0 (1) (C1 ) : y f ( x) � f ( x) f(x) (2) � B1 Ta có : B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C1) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) ) + Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) ) + Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C1) 6.2- Từ đồ thị (C ) : y f ( x ) � (C2 ) : y f ( x ) (đây hàm số chẵn) x �0 (1) �f ( x) (C2 ) : y f ( x ) � (2) �f ( x) x B1 Ta có : B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C2) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( (1) ) + Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy (do tính chất hàm chẵn) + Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta (C2) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình: F x, m 1.1 Phương pháp giải Bước 1: Biến đổi phương trình cho dạng f ( x) g (m) Bước 2: Vẽ đồ thị (C): y f ( x) (d ): y g m (trong (d ): y g m m m đường thẳng song song trùng với trục Ox Bước 3: Dựa vào số giao điểm (C) (dm) suy số nghiệm phương trình F x, m 1.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ : Cho hàm số y x 3x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm pt x x 2( m 1) Giải: a)Vẽ đồ thị (C) y b) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y x 3x đường thẳng 2m+2 y = 2m+2 y m 1 Dựa vào đồ thị ta thấy -2 2(m 1) m 1 � � �� � 2(m 1) m 1 phương � Nếu � trình có nghiệm -1 O x 2(m 1) m 1 � � �� � 2(m 1) m 1 phương trình có nghiệm phân biệt � Nếu � Nếu -1< m hay m > phương trình vơ nghiệm Nếu m +1 = hay m = phương trình có nghiệm phân biệt Nếu 1< m + 1< hay < m < phương trình có nghiệm phân biệt Nếu m +1 = hay m = phương trình có nghiệm phân biệt Nếu m + < hay m < phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Cho hàm số y x x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dùng đồ thị (C) hàm số tìm m để phương trình x x m có nghiệm phân biệt y Giải: a) Vẽ đồ thị (C) b) Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y m Để phương trình có nghiệm phân biệt đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x x điểm phân biệt Khi điều kiện m � m Ví dụ 4: Cho hàm số y x 3x y = m-1 - O a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 3 b) Tìm m để phương trình x 3x m 3m có ba nghiệm phân biệt Giải: x a) Vẽ đồ thị (C) 3 3 b) PT x x m 3m � x x m 3m Đặt k m 3m Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y k Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt � m3 3m � 1 k � � m 3m � � m �(1;3) \ {0;2} Ví dụ 5: Cho hàm số y x x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : Giải: a) Vẽ đồ thị (C) b) Ta có m x2 2x x 1 �x �1 �� x 2x 2 x m � Do số nghiệm phương trình số giao điểm y x x x , (C ') đường thẳng y m, x �1 Với m x 1 x2 2x y y=m 1- O 1+ x �f ( x) x y x2 2x 2 x � f ( x) x � nên C ' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x qua trục Ox Dựa vào đồ thị ta có: m < –2 m = –2 –2 < m < m≥0 vô nghiệm nghiệm kép nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Ví dụ 6: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để phương trình x x log12 m có nghiệm Giải: a) Vẽ đồ thị (C) b) Từ đồ thị hàm số (C) hàm số y x x ta vẽ đồ thị hàm số y y x x sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trục Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm trục Ox qua Ox + Bỏ phần đồ thị (C) phía trục Ox Khi đó, dựa vào đồ thị ta có PT có nghiệm 9 � log12 m � m 12 144 12 y = log12m -2 O -1 x Ví dụ 7: Cho hàm số y x x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 8cos x 9cos x m với x �[0; ] Giải: a) Vẽ đồ thị (C) y b) Xét phương trình 8cos x 9cos x m 1 với x �[0; ] -1 O Đặt t cos x , phương trình (1) trở thành: 8t 9t m Vì x �[0; ] nên t �[ 1;1] , x t có x y=1-m tương ứng đối một, số nghiệm phương trình (1) (2) Ta có: (2) � 8t 9t m 3 Gọi (C1): y 8t 9t với t �[1;1] (d): y m Phương trình (3) phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (d) Chú ý (C1) giống đồ thị (C) miền 1 �x �1 Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: m0 m0 vơ nghiệm nghiệm Ví dụ 8: Cho hàm số y 81 81 m 32 32 nghiệm nghiệm m 1 �m nghiệm x 1 x 1 81 32 vô nghiệm m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số x 1 m x 1 b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình Giải: a) Vẽ đồ thị (C) x 1 x 1 m y x 1 x 1 b) Số nghiệm số giao điểm đồ thị (C): y m x 1 y x ta Từ đồ thị hàm số (C) hàm số y y x 1 x 1 vẽ đồ thị hàm số sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy + Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy + Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta (C’) Dựa vào đồ thị (C’) ta suy m 1; m m 1 nghiệm nghiệ m y=1 -1 O x y=m x=-1 x=1 1 m �1 vô nghiệm 1.3 Bài tập tương tự x4 y 3x 2 Bài 1: Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x x m x4 y 2x2 Bài 2: Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để phương trình : x x m có nghiệm phân biệt Bài 3: Cho hàm số y x x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm tham số m để phương trình: x x 3m có nghiệm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y x x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 3x m Bài 5: a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x x 4 b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x x m 2m x4 y x2 4 Bài 6: a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận số nghiệm theo m phương trình x x m Bài 7: a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x 3x b) Tìm m để x x m có nghiệm phân biệt 3x y x có đồ thị (C) Bài 8: Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số � 2 � 0; � � 3� � b) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm đoạn sin x cos6 x m (sin x cos x) Bài 9:(ĐH Khối B -2009) Cho hàm số y x x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số x2 x2 m b) Tìm m để PT có nghiệm thực phân biệt Dạng 2: Bài toán tương giao dựa vào số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Bài tốn tương giao hai đồ thị hàm số đa dạng khn khổ dạng tốn tơi nghiên cứu số toán mà quy phương trình bậc hai định lý Vi – et Đó lớp phù hợp với xu hướng đề số năm gần 2 Sự tương giao đồ thị hàm số y ax bx cx d với đường thẳng 2.1.1.Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y ax bx cx d ( với a, b, c, d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị tham số để đồ thị cắt đường thẳng y x (hoặc trục Ox) điểm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: ax3 bx cx d x � ax bx c x d (*) Ta xét toán TH phương trình (*) nhẩm nghiệm x = x0 xx � x x0 Ax Bx C � � g ( x) Ax Bx C � Khi (*) trở thành Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng ba điểm phân biệt PT g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác x0 g � � g ( x ) �0 Điều kiện là: � Giả sử đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt A(x0; y0); hai điểm B, C nghiệm PT g(x) =0 Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng tích từ dẫn đến phương trình bất phương trình theo tham số Giải tìm tham số, đối chiếu với điều kiện kết luận 2.1.2.Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y m( x 2) cắt đồ thị (C) điểm phân biệt Giải: PT hoành độ giao điểm (C) d: x 3x m( x 2) x2 � � g ( x) x x m (1) � 4m � � m �0 � g (2) m �0 Để (C) cắt d điểm phân biệt � m �0 Vậy d cắt (C) ba điểm phân biệt y x3 x m x m Ví dụ 2:(ĐH Khối A-2010).Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x13 x23 x33 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số trục Ox x3 x m x m � x 1 x x m x 1 � � �2 x x m (*) � Để đồ thị cắt trục hồnh ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 � 0 4m m � � � �� �� � m �0 m �0 � � � m �0 � Điều kiện Giả sử x1 1; x2 , x3 hai nghiệm PT (*) Vậy 2.1.3 Bài tập tương tự y x 1 x mx m Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (C) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt y x 3mx m 1 x (ĐH Khối D-2013) Cho hàm số Bài 2: Tìm m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt Bài 3: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) k Gọi d đườngthẳng qua điểm M(0;-1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Gọi d đườngthẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm phân biệt y x 1 x mx m Bài : Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ dương Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số y x 2m 1 x x cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài 7: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) đường thẳng d: y mx m Tìm m để d cắt (C) M(–1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với Bài 8: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Gọi d k đường thẳng qua điểm A(1;0) với hệ số góc k (k ��) Tìm k để đường thẳng d k cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài 9: Cho hàm số y (2 m) x 6mx 9(2 m) x (C ) m Tìm m để đường thẳng d : y 2 cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 2) , B C cho diện tích tam giác OBC 13 Bài 10: Cho hàm số y x 3x (C) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng d: y m( x 1) cắt đồ thị (C) điểm M cố định xác định giá trị m để d cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với yd 2.2 Sự tương giao đồ thị hàm số y ax bx c với đường thẳng 2.2.1 Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y f ( x ) ax bx c ( với a, b,c, d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị tham số để đồ thị cắt đường thẳng 15 : y d điểm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước 2.2.2 Phương pháp: Bước 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số là: ax bx c d (1) Đặt t x , t �0 Khi ta phương trình at bt c d (2) Để hai đồ thị cắttại điểm phân biệt PT (1) có nghiệm phân biệt Khi PT(2) có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn t1 t2 � � �P �S � Điều kiện Từ có giá trị tham số thuộc miền D Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng tích từ dẫn đến Bước 2: phương trình bất phương trình theo tham số Giải tìm tham số, đối chiếu với điều kiện kết luận Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương ( t1 t2 ) Ứng với giá trị dương t ta hai giá trị đối x tức x � t Khi PT (1) có nghiệm phân biệt nghiệm xếp theo thứ tự t2 t1 t1 t2 ( Do tính chất đối xứng hàm số chẵn) 2.2.3 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số y x mx m có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Giải: PT hoành độ giao điểm Cm với trục hoành: x mx m (1) t 1 � � 2 t m 1 Đặt t x , t �0 Khi đó: (1) t mt m (2) � YCBT (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm dương phân biệt m 1 � m �1 � � m �2 � Ví dụ 2: Cho hàm số y x (3m 2) x 3m có đồ thị (Cm) Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt có hồnh độ m nhỏ Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y 1 : 16 x (3m 2) x 3m 1 x �1 � � x (3m 2) x 3m � �2 x 3m (*) � Đường thẳng y 1 cắt (C ) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ m phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ �1 m 1 m � � � � � � 3m �1 � �m �0 Ví dụ 3: Cho hàm số y x 2(m 1) x 2m có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x 2(m 1) x 2m (1) 2 Đặt t x , t �0 (1) trở thành: f (t ) t 2(m 1)t 2m Để (C ) cắt Ox điểm phân biệt f (t ) phải có nghiệm dương phân biệt m � ' m2 � m � � �S m 1 � � �P 2m � m �0 � Khi � (*) Với (*), gọi t1 t2 nghiệm f (t ) , hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox là: x1 t2 ; x2 t1 ; x3 t1 ; x4 t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng � x2 x1 x3 x2 x4 x3 � t2 9t1 � m m m m � m m 1 m4 � 5m 4m � � �� � � m m m � � � 4� m �� 4; � � Vậy (thoả mãn (*)) Ví dụ 4: Cho hàm số y x 2(m 1) x 2m có đồ thị (Cm) Tìm giá trị m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C, D có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 ( x1 x2 x3 x4 ) cho tam giác ACK có diện tích S , biết K (3; 2) Giải: PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục Ox: x 2(m 1) x 2m (1) 17 2 Đặt t x , t �0 (1) trở thành: t 2( m 1)t 2m (2) Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt (2) có nghiệm dương phân biệt � � (m 1) (2m 1) � � m � �S 2(m 1) � �P 2m � m �0 ĐK � � Khi (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự là: t1 ; t2 ; t2 ; t1 , với t1 t2 AC.d ( K , AC ) Ta có: (3), với d ( K , AC ) yK Khi đó: (3) t1 t2 t1 t2 t1t2 16 2(m 1) 2m 16 m S ACK Vậy m = giá trị cần tìm 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y x (m 10) x có đồ thị (Cm) Tìm giá trị m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 cho x1 x2 x3 x4 Giải: 2 PT hoành độ giao điểm (Cm) với trục Ox: x (m 10) x (1) 2 Đặt t x , t �0 (1) trở thành: t (m 10)t (2) Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt (2) có nghiệm dương phân biệt � ( m2 10) 36 m m 16 0, m � � S 90 � P m 10 � ĐK Khi (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự là: t1 ; t2 ; t2 ; t1 , với t1 t2 Vì hàm số hàm số chẵn nên x1 x2 x3 x4 � t1 t2 � t1 t2 t1t2 16 (*) � t1 t m 10 � tt 9 Theo ĐL Vi-et ta có �1 2 Thay vào PT (*) ta m 10 10 � m Vậy m giá trị cần tìm 2.2.4 Bài tập tương tự Bài 1: Cho hàm số y x mx m có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt 18 Bài 2: Cho hàm số y x 2(m 2) x 2m có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ĐS: m 3, m Bài 3: 13 2 Cho hàm số y x 2(m 1) x m m có đồ thị Cm Giả sử đồ thị Cm cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 Chứng minh rằng: T x1 x2 , x1 x3 , x2 x4 x3 x4 �0 Bài 4: Cho hàm số y x x có đồ thị C m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số C điểm phân biệt A, B, C, D Tìm cho AB = BC = CD m ĐS: y x 1 m 1 m 2 Bài 5: Cho hàm số Xác định giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ tương ứng lập thành cấp số cộng m � ;m � 5 ĐS: Bài 6: Cho hàm số y x 2(m 1) x 2m có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ m ڳ m ĐS: ax b cx d với đường thẳng Sự tương giao đồ thị hàm số ax b y cx d có đồ thị (C) (với a, c ≠ 0, a, b, c, 2.3.1 Bài toán tổng quát: Cho hàm số d phụ thuộc vào tham số thực) đường thẳng d: y = αx + β (với α ≠ 0, α, β phụ thuộc vào tham số thực) Tìm giá trị tham số để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện cho trước 2.3.2 Phương pháp y Bước 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d 19 d � ax b �x � c x � � cx d � cx c d a x d b � Đặt g ( x) cx c d a x d b (*) d c Để d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt PT(*) có hai nghiệm phân biệt khác � � c �0 � � 0 � � d � �g � ��0 � ĐK � � c � Gọi A(x1; y1), B(x2; y2); với x1; x2 nghiệm phương trình (*) y1 = αx1 + β; y2 = αx2 + β Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng tích nghiệm thay tổng tích vào từ dẫn tới phương trình bất phương trình theo tham số Giải phương trình ta tham số sau đối chiếu với điều kiện kết luận Nhận xét: Với hai giao điểm A, B ta đưa nhiều dạng tập có liên quan đến yếu tố hình học giúp học sinh rèn tư sau: - Tìm điều kiện tham số để AB k - Tìm điều kiện tham số để AB có độ dài nhỏ - Tìm điều kiện tham số để AB trung trực đường thẳng d cho trước AB nhận I(a;b) trung điểm - Tìm điều kiện tham số để u uu r uuu r OA OB k - Tìm điều kiện tham số để - Tìm điều kiện tham số để ABC có diện tích k - Tìm điều kiện tham số để ABC tam giác vuông, cân, đều,… - Tìm điều kiện tham số để ABC có góc nhọn góc tù, góc có số đo cho trước (Với C điểm có toạ độ cho trước) Tất cách hỏi biến đổi sử dụng ĐLVi-et phương trình bậc hai 2.3.3 Ví dụ minh hoạ 2x y x có đồ thị (C) Ví dụ 1: Cho hàm số Chứng minh đường thẳng d: y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Giải: PT hoành độ giao điểm �x �2 2x x m � � x2 �f ( x) x (4 m) x 2m (1) 20 (C) d: Để d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 � m 12 � m � ( 2) (4 m ).( 2) m � Điều kiện � Vậy với m �� d cắt (C) điểm phân biệt x 1 y x (C) đường thẳng d : y mx Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm tham số m để d cắt (C) điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích 2 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x �x �1 mx �� x 1 � mx m 3 x 2 Để d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B PT (2) phải có nghiệm phân biệt khác -1 Từ ta tìm m �0 A x1; mx1 ; B x2 ; mx2 Gọi toạ độ hai giao điểm Ta có AB m 1 x2 x1 biến đổi áp dụng Vi-et ta độ dài m 2m m2 Gọi h khoảng cách từ O đến đường thẳng AB (đường thẳng AB đường h m2 thẳng d ) Diện tích tam giác OAB là: 1 m 2m m 2m AB.h m m2 2 m2 m2 AB m2 1 m 2m 2 2 m 2 Theo giả thiết diện tích tam giác OAB nên ta có: m 1 � 2 � m 2m 8m � 7m 2m � � � m � m 1; m giá trị cần tìm Vậy y x3 x có đồ thị (C) Ví dụ 3: Cho hàm số Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (1;1) cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I trung điểm đoạn MN 21 Giải: Phương trình đường thẳng d : y k ( x 1) Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): �x �1 x 3 kx k � � x 1 kx 2kx k (*) � Để d cắt (C) điểm phân biệt M, N PT (*) có nghiệm phân biệt khác 1 k �0 � � 4k � k � � Điều kiện �f (1) �0 Mặt khác: xM xN 2 xI � I trung điểm MN với k Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm y kx k với k 2x x có đồ thị (C) Ví dụ 4: Cho hàm số Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB Giải: �x �1 2x 2x m � � x 1 x mx m (1) � PT hoành độ giao điểm: Để d cắt (C) điểm phân biệt A, B (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác –1 y ĐK m 8m 16 0 (2) m � x x � � � �x x m 2 Gọi A x1;2 x1 m , B x2 ;2 x2 m Khi ta có: � 2 2 Theo ta có AB � ( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) � ( x1 x2 ) 4x1 x2 m 10 � � m 8m 20 � � m 2 � Vậy: m 10; m 2 thoả mãn x 1 x m có đồ thị (C) Ví dụ 5: Cho hàm số Tìm giá trị tham số m cho đường thẳng d: y x cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm A B cho AB 2 Giải: y 22 �x �m x 1 x � �2 xm �x (m 1) x 2m (*) PT hoành độ giao điểm: Để d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác m �� m 3 �� � m 6m � �� � �� � m 3 x � m m � � � � m �1 � ĐK (**) �x1 x2 (m 1) � x x 2m x , x Khi gọi nghiệm (*) ta có �1 Các giao điểm d đồ thị hàm số (C) A( x1; x1 2), B( x2 ; x2 2) AB 2( x1 x2 ) � ( x1 x2 ) x1 x2 � 2( m 6m 3) � � Suy m 1 � 2(m 6m 3) � m 6m � � m7 � Theo giả thiết ta Kết hợp với điều kiện (**) ta m giá trị cần tìm y 2x x có đồ thị (C) Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm giá trị tham số k cho đường thẳng (d): y kx 2k cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Giải: �x �1 2x kx 2k � � x 1 kx (3k 1) x 2k (*) � PT hoành độ giao điểm: Để d cắt (C) hai điểm phân biệt A B (*) có nghiệm phân biệt khác -1 k �0 k �0 � � � � � k 6k � k 2 �k (**) � ĐK Khi đó: A( x1; kx1 2k 1), B ( x2 ; kx2 2k 1) Ta có: d ( A, Ox) d ( B, Ox) � kx1 2k kx2 2k � k ( x1 x2 ) 4k � k 3 (thoả mãn (**)) Vậy k = -3 giá trị cần tìm 2x y x có đồ thị (C) Ví dụ 7: Cho hàm số Tìm m để đường thẳng d : y mx m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho độ dài AB ngắn 23 Giải: �x �1 2x mx m � � x 1 g ( x ) mx 2mx m (2) � PT hoành độ giao điểm: Để d cắt (C) điểm phân biệt A, B (2) có nghiệm phân biệt khác ĐK m 2 Khi đó: A( x1; mx1 m 2), B( x2 ; mx2 m 2) AB (1 m) ( x2 x1 ) x1 x2 2; x1 x2 m2 � 1� AB �m ��16 � m� m Theo định lí Vi-et, ta có: Dấu "=" xảy m Vậy M in AB m 2x 1 y x có đồ thị (C) Ví dụ 8: Cho hàm số Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O Giải: �x �1 �2 x (m 3) x m * PT hoành độ giao điểm (C) d: � (*) có m 2m 0, m �R (*) khơng có nghiệm x = �x A xB m � �x A xB m (*) ln có nghiệm phân biệt x A , xB Theo định lí Vi-et: B ; xB m Giả sử A x A ; x A m , B xu uu r uuu r OA OB � x A xB x A m x B m Để OAB vuông O � x A xB m x A xB m � m 2 Vậy m = –2 giá trị cần tìm 2x x có đồ thị (C) Ví dụ 9: Cho hàm số Tìm giá trị m cho đường thẳng d: y x m cắt (C) điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN (I tâm đối xứng (C)) Giải: Tâm đối xứng (C) I(1; 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x �1 � 2x xm�� x 1 �f ( x) x (m 3) x m Để d cắt (C) điểm phân biệt M, N f ( x) có hai nghiệm phân biệt xM , xN y khác 24 � m 2m 13 m � f (1) � ĐK � Tọa độ giao điểm M ( xM ; yM ), N ( x N ; y N ) d d (I , d ) m 1 MN � ( xM xN ) xM xN � � � 2(m 2m 13) ; S IMN � MN d � m m 2m 13 � m 3; m 1 Vậy m 3; m 1 2x y x có đồ thị (C) Ví dụ 10: Cho hàm số Tìm giá trị m để đường thẳng d: y 3 x m cắt (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x y (O gốc tọa độ) 2 Ta có: Giải: �x �1 2x � � 3x m x (1 m) x m 1 � x PT hoành độ giao điểm: m 11 � � m 1 Để d cắt (C) A B (1) có nghiệm phân biệt khác ĐK � (*) Gọi x1 , x2 nghiệm (1) Khi A( x1; 3x1 m), B ( x2 ; 3 x2 m) x1 x2 m m 1 , yI 3 xI m Gọi I trung điểm AB uuur uur 1 m m 1� � � OG OI � G � ; � � � Gọi G trọng tâm tam giác OAB 1 m 11 �m � 11 G �d � 2.� m � � m (thoả mãn (*)) Vậy �3 � x3 y x có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng Ví dụ 11: Cho hàm số d : y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho � AOB nhọn � xI Giải: PT hoành độ giao điểm �x �2 x3 x m � �2 x2 �x (m 2) x 2m (*) (C) � m 4m 16 � � m �2 2( m 2) m � Để (*) có nghiệm phân biệt khác � Gọi A( x1; x1 m 1), B( x2 ; x2 m 1) giao điểm (C) d 25 d: 2 � Ta có: AOB nhọn AB OA OB 2 2( x2 x1 ) ( x1 m 1) ( x2 m 1) 2 x1 x2 (m 1)( x1 x2 ) (m 1) m 3 Vậy m 3 giá trị cần tìm 3x y x có đồ thị (C) Đường thẳng y x cắt (C) hai Ví dụ 12: Cho hàm số điểm phân biệt A, B Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt (C) hai điểm C, D cho ABCD hình bình hành Giải: x 1 � 3x x�� x2 x2 � Hoành độ điểm A, B nghiệm PT: A(1; 1), B (2;2) � AB CD (Do ABCD hình bình hành) PT hoành độ giao điểm �x �2 3x x m � �2 x2 �x (m 1) x 2m * (C) d: �m � m 10m � � � m9 d cắt (C) điểm phân biệt �x �2 � Khi giao điểm C (c; c m), D(b; b m) với c, d nghiệm PT (*) m ( Lo¹i ) � m 10 m � � m 10 � Do CD � 2(c d ) Vậy: m 10 giá trị cần tìm x2 y x có đồ thị (C) Ví dụ 13: Cho hàm số Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho AM 2AN Giải: PT đường thẳng d: y k ( x 1) PT hoành độ giao điểm (C) d: �x �1 x2 k ( x 1) � � x 1 kx (2k 1) x (1) � Đặt t x � x t Khi (*) trở thành kt t (2) d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác (1) có nghiệm x1 , x2 thoả x1 x2 (2) có nghiệm t1 , t2 thoả mãn t1 t2 3k � k uuuu r uuur AM AN x1 x2 (3) AM 2A N Vì A nằm đoạn MN nên 26 2k k 2 (4), x1 x2 (5) k k Áp dụng định lí Vi-et cho (1) ta có: k2 k 1 x1 ; x2 k k k Thay vào (5) ta được: (thoả mãn) Từ (3), (4) y ( x 1) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm 2.3.4 Bài tập tương tự x 3 y x có đồ thị (C) Bài 1: Cho hàm số x1 x2 m để đường thẳng d : y x 3m cắt (C) hai điểm phân biệt Tìm 3x x Bài : Tìm k để đường thăng d : y kx cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt A, B cho tam giác ABC có diện tích ; biết C 2; 1 2x y x có đồ thị (C) Bài 3: Cho hàm số Gọi d đường thẳng qua A(1; 1) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) hai điểm M, N cho MN 10 C : y 3 41 3 41 ;k 16 16 ĐS : x2 y 2x có đồ thị (C) Bài 4: Cho hàm Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho 37 OA2 OB m ;m2 ĐS: x y x có đồ thị (C) Bài 5: Cho hàm số Tìm m để đường thẳng d : y mx m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho AM AN đạt giá trị nhỏ nhất, với A(1;1) k 3; k 2 ĐS: M in( AM AN ) 20 m 1 x m y x có đồ thị (Cm) Bài 6: Cho hàm số Tìm giá trị m để đường thẳng d : x y cắt (Cm) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) 27 ĐS: m 2x x có đồ thị (C) Bài 7:(ĐH Khối B -2010) Cho hàm số: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y 2 x m cắt (C) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) 2x m y mx có đồ thị (Cm) Bài 8: Cho hàm số Chứng minh với m 0, đồ thị hàm số (Cm) cắt đường thẳng d : y x 2m hai điểm phân biệt A, B thuộc đường (H) cố định Đường y thẳng d cắt trục Ox, Oy điểm M, N Tìm m để SOAB 3SOMN m� ĐS: x 1 y x có đồ thị (C) Bài 9:(ĐH Khối A-2011) Cho hàm số: Chứng minh với m đường thẳng y x m cắt đồ thi (C) hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, B Tìm m để k1 k đạt giá trị lớn 28 Phần KẾT LUẬN Tương giao hai đồ thị hàm toán bản, quan trọng Trong khuôn khổ chuyên đề đề cập đến lớp toán thường xuất đề thi năm gần Chuyên đề nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác Tuy thời gian có hạn, kinh nghiệm cịn hạn chế nên chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp để chuyên đề thực tài liệu có ích cho thân em học sinh q trình học tốn ôn thi THPT Quốc Gia Xin chân thành cảm ơn ! Tam Dương, ngày 25 tháng 10 năm 2015 Người thực Nguyễn Thị Thanh Hòa 29 ... n b) Cho cấp số nhân x1; x2 ; x3 Khi ta có x1.x3 = x22 - Tương giao hai đồ thị Cho hàm số y f x có đồ thị (C), hàm số y g x có đồ thị (C’) Để xét tương giao hai đồ thị + Lập phương... Cho hàm số y x 3x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm pt x x 2( m 1) Giải: a)Vẽ đồ thị (C) y b) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị. .. Cho hàm số y x x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dùng đồ thị (C) hàm số tìm m để phương trình x x m có nghiệm phân biệt y Giải: a) Vẽ đồ thị (C) b) Số nghiệm PT số giao điểm đồ