Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Cấu trúc đề thi môn toán năm 2009 Cục khảo thí kiểm định chất lợng giáo dục - đào tạo Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT * Phần chung dành cho tất thí sinh: ( điểm) Câu I: ( điểm) - Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số - Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: Chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận( đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trớc, tơng giao hai đồ thị ( hai đồ thị đờng thẳng) Câu II: ( điểm) - Hàm số, phơng trình, bất phơng trình mũ lôgarit - Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân - Bài toán tổng hợp Câu III: ( điểm) - Hình học không gian ( tổng hợp): Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối chãp trßn xoay, khèi trơ trßn xoay, tÝnh diƯn tÝch mặt cầu thể tích khối cầu * Phần riêng ( điểm): Thí sinh học chơng trình đợc làm phần dành riêng cho chơng trình Theo chơng trình chuẩn: Câu IVa: ( điểm) Nội dung kiến thức: - Xác định toạ độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tơng đối đờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu V a( điểm) Nội dung kiến thức: - Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số thực âm Phơng trình bậc hai hệ số cã biƯt thøc ∆©m - øng dơng cđa tÝch ph©n: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Theo chơng trình nâng cao: Câu IV b( điểm) Nội dung kiến thức: Phơng pháp toạ độ không gian: - Xác định toạ độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách hai đờng thẳng Vị trí tơng đối đờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu V a ( điểm) Nội dung kiến thức: - Số phức: Môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số phức Phơng trình bậc hai với hệ số phức Dạng lợng giác số phức.Đồ thị hàm số hữu tỉ dạng y = ax + bx + c mét sè yÕu tè liªn quan px + q - Sự tiếp xúc hai đờng cong - Hệ phơng trình mũ lôgarit - ứng dụng hai tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Cấu trúc đề thi môn toán tuyển sinh ĐH CĐ 2009 Đề thi toán kì ĐH 2009, phần chung dành cho tất thí sinh chiếm điểm Phần riêng ( Gồm câu) chiếm điểm đề thi yêu cầu nhiều kiến thức mở rộng so với kì thi tèt nghiƯp CÊu tróc ®Ị thi thĨ nh sau: I Phần chung cho tất thí sinh( điểm) Câu 1( điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số - toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: Chiều biến thiên hàm số, cực trị, giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè, tiÕp tun, tiệm cận ( đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trớc, tơng giao hai đồ thị ( hai đồ thị đờng thẳng) Câu II ( điểm): - Phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đại số - Công thức lợng giác, phơng trình lợng giác Câu III ( điểm): - Tìm giới hạn - Tìm nguyên hàm Tính tích phân - ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu IV.( diểm); Hình học không gian( tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc đờng thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay, tÝnh diƯn tÝch mặt cầu thể tích khối cầu Câu V toán tổng hợp ( điểm) II Phần riêng ( điểm) Thí sinh đợc làm hai phần ( Phần phần 2) Theo chơng trình chuẩn: Câu VI.a ( điểm);Nội dung kiến thức: Phơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian - Xác định toạ độ điểm, vectơ - Đờng tròn, elip, mặt cầu - Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tơng đối đờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu VII a ( ®iĨm)Néi dung kiÕn thøc: - Sè phøc - Tỉ hợp, xác suất , thống kê - Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo chơng trình nâng cao: Câu VI b ( điểm) Phơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian: - Xác định toạ độ điểm, vectơ - Đờng tròn, ba đờng cônic, mặt cầu - Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách hai đờng thẳng Vị trí tơng đối đờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu VII b ( điểm)Nội dung kiến thức: - Số phức - Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ dạng y = ax + bx + c vµ mét sè yÕu tè liªn quan px + q - Sù tiÕp xóc cđa hai đờng cong - Hệ phơng trình mũ lôgarit - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Các toán tổ hợp nhị thức Niutơn Kiến thức bản: 1) Hoán vị: Định nghĩa: Cho tập A có n ( n 1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta đợc hoán vị phần tử tập A ( gọi tắt hoán vị A) Định lý: Số hoán vị tập hợp có n phần tử là: Pn = n! = n(n −1)(n − 2) 2) ChØnh hợp: a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k (1 k n ) Khi lÊy k phÇn tư cđa A xếp chúng theo thứ tự, ta đợc chỉnh hợp chập k n phần tử A ( gọi chỉnh hợp chập k A) k b) Số chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu là: An k An = n( n − 1)(n − 2) (n − k + 1), ( ≤ k ≤ n; n, k ∈ N ) Quy íc: A = tập không chứa phần tử n Chú ý: An = n! = Pn 3) Tổ hợp: a) Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với k n Mỗi tập A có k phần tử đợc gọi tổ hợp chập k n phần tử A A k n(n − 1) (n − k + 1) k b) Định lý: Số tổ hợp chập k n phần tử là: k n : C n = n = k! k! n k Víi < k < n ta cã thĨ biĨu diễn công thức dới dạng: C n = n! k!(n − k )! (*) k n TÝnh chÊt 1: Cho số nguyên dơng n số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi ®ã C n = C n −k k k k TÝnh chÊt 2: Cho số nguyên dơng n k với k ≤ n Khi ®ã C n +1 = C n + C n −1 4) NhÞ thøc Niut¬n: n ( a + b) n = C n0 a n + C n−1a n −1b + + C nk a n −k b k + + C nn b n = ∑ C nk a n −k b k k =0 (a ) = b0 = k Sè h¹ng thø k + cđa nhị thức Niutơn là: Tk +1 = C n a n −k b k C©u 1: Mét líp cã 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp thµnh tỉ, tỉ cã 10 häc sinh, tỉ cã 11 häc sinh, tæ cã 12 häc sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia nh vậy? Giải: Có trờng hợp: Trờng hợp 1: Tỉ cã n÷, nam ⇒ C C 26 Tỉ cã n÷, nam ⇒ C C19 10 Tỉ cã n÷, 10 nam ⇒ C C10 VËy ta cã: C C 26 C C19 cách Trờng hợp 2: Tổ cã n÷, nam ⇒ C 72 C 26 10 8 Tæ cã n÷, nam ⇒ C C18 , Tỉ cã n÷, 10 nam ⇒ C C10 VËy ta cã: C C 26 C C18 cách Trờng hợp 3: Tổ có n÷, nam ⇒ C 72 C 26 , Tỉ cã n÷, nam ⇒ C 52 C18 9 Tæ cã n÷, nam ⇒ C C , VËy ta cã: C C 26 C C18 c¸ch 8 Theo quy t¾c céng ta cã: C C 26 C C19 + C C 26 C C18 + C C 26 C C18 cách Câu 2: Cho hai đờng thẳng song song d1 d2 Trên đờng thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đờng thẳng d2 có n điểm ph©n biƯt ( n ≥ 2) BiÕt r»ng 2800 tam giác có đỉnh điểm đà cho Tìm n thoả mÃn điều kiện Giải: Số tam giác có đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 là: 10C n Số tam giác có đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: nC10 Theo ®Ị bµi ta cã: 10C n2 + nC10 = 2800 ⇔ n + 8n − 560 = ⇔ n = 20 Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Câu 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập đợc số tự nhiên chẵn có chữ số khác số lập đợc nhỏ 25000 Giải: Gọi n = a1 a a3 a a5 ch½n, ≠ a j ( i ≠ j , n < 25000) V× n < 25000 ⇒ a1 ∈ {1;2} ta có trờng hợp sau: Trờng hợp 1: a1 = Ta cã c¸ch chän a1 Ta có cách chọn a5 ( n chẵn) A5 c¸ch chän a a3 a VËy ta cã: 1.4 A5 = 240 sè n Trêng hỵp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ Ta cã c¸ch chän a1 Ta cã c¸ch chän a2 Ta cã c¸ch chän a5 A4 c¸ch chän a3a4 VËy ta cã: 1.2.2 A4 = 48 số n Trờng hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ Ta có cách chọn a1 Ta cã c¸ch chän a2 Ta cã c¸ch chän a5 A4 c¸ch chän a3a4 VËy ta cã; 1.2.3 A4 = 72 sè n Theo quy t¾c céng ta cã: 240 + 48 + 72 = 360 số n Câu 4: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập đợc số chẵn, số có chữ số khác có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh Giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh từ chữ số 1, 3, là: A5 = cách Ta xem cặp số lẻ nh phần tử x Vậy số cần lập gồm phần tử x chữ số chẵn 0, 2, 4, Gäi n = a a3 a a1 a ta có trờng hợp sau: Trờng hợp 1: a0 = Đa x vào vị trí đầu: Có cách Đa chữ số chẵn 2,4, vào vị trí lại có A3 cách Vậy có: A32 = 18 cách Trờng hợp 2: a0 chẵn khác x ë hai vÞ trÝ a3a4 Cã A32 = 18 cách Trờng hợp 3: a0 chẵn khác x hai vị trí a3a2 a2a1 Có 24 cách VËy ta cã: 6(18 + 18 + 24) = 360 số n Câu 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập đợc số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên Giải: Cách 1: Gäi n = a a3 a a1 a = a 10 + a 10 + a 10 + a110 + a số cần lập Ta có cách chän a4, c¸ch chän a3, c¸ch chän a2, c¸ch chän a1, c¸ch chän a0 VËy cã: 4.4.3.2.1 = 96 sè n C¸ch 2: Ta cã cách chọn 4! Cách xếp số l¹i VËy cã: 4! = 96 sè n * Tính tổng 96 số n lập đợc: Cách 1: Có 24 sè n n = a a3 a a1 a , cã 18 sè n = a a3 a a11 , cã 18 sè n = a a3 a a1 , cã 18 sè n = a a3 a a1 , cã 18 sè n = a a3 a a1 Tổng chữ số hàng đơn vị là: 18(1 + + + 4) = 180 Tơng tự: Tổng chữ số hàng choc 1800, tổng chữ số hàng trăm 18000, tổng chữ số hàng nghìn 180000 Có 24 sè n =1a3 a a1 a , cã 24 sè n = 2a3 a a1 a , cã 24 sè n = 3a3 a a1 a , cã 24 sè n = 4a a a1 a Tổng chữ số hàng chục nghìn 24(1 + + + 4).10000 = 2400000 VËy tỉng 96 sè n lµ: 180 + 1800 + 18000 + 180000 + 2400000 = 2599980 C¸ch 2: Cã 24 sè víi sè k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí a4 Cã 18 sè víi sè k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí ai, với i = 0, 1, 2, VËy tæng 96 sè n lµ: (1 + + + 4) 24.10 + 18(10 + 10 + 101 + 10 ) Câu 6: áp dụng khai triển nhị thøc Niu t¬n cđa ( x + x )100 , chøng minh r»ng: [ 99 1  100C100   2 100 1  −101C101   2 ] 198 99   + −199C100  Giáo viên : Lê Thị Thanh 199 100   + 200C100   2 k = ( C n tổ hợp chập k n phần tử) Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Giải: Ta có: ( x + x ) 100 100 = C100 x 100 + C100 x 101 + C100 x 102 + + C100 x 200 , lấy đạo hàm hai vÕ, cho x = − 99 ( -1), ta cã kÕt qu¶: 100C100     2 100 1  −101C101   2 198 99   + −199C100   2 nhân hai vế với 199 100  + 200C100   2 =0 C©u 7: Tõ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, lập đợc số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Gi¶i: Gäi n = a1 a a3 a a5 a số cần lập Yêu cầu toán: a3 + a + a5 = ⇒ a3 , a , a5 ∈ {1,2,5} hay a3 , a , a5 ∈{1,3,4} a) Khi a3 , a , a5 ∈ {1,2,5} Cã c¸ch chän a1; cã c¸ch chän a2 Cã 3! C¸ch chän a3, a4, a5 Cã c¸ch chän a6 VËy ta cã: 6.5.6.4 = 720 sè n b) Khi a3 , a , a5 ∈{1,3,4} t¬ng tù ta cịng cã 720 sè n Theo quy t¾c céng ta cã: 720 + 720 = 1440 sè n C¸ch kh¸c: * Khi a3 , a , a5 ∈ {1,2,5} Cã 3! = c¸ch chän a3 a a5 , cã A6 c¸ch chän a1, a2, a6 VËy ta cã: 6.5.6.4 = 720 sè n * Khi a3 , a , a5 ∈{1,3,4} , t¬ng tù ta cịng cã 720 sè n Theo quy t¾c céng ta cã: 720 + 720 = 1440 sè n Câu 8: Tìm hệ số x7 khai triĨn ®a thøc ( − x ) n , n số nguyên dơng thoả m·n: n +1 k C n +1 + C n +1 + C n +1 + + C n +1 = 1024 ( C n tổ hợp chập k n phần tử) Giải: n +1 Ta cã: (1 + x ) n +1 = C n +1 + C n +1 x + C n +1 x + C n +1 x + + C n +1 x n +1 + (1) Cho x = 1, ta cã: 2 n +1 = C n +1 + C n +1 + C n +1 + C n+1 + + C 22nn+11 n +1 ( 2) Cho x = -1, ta cã: = C n +1 − C n +1 + C n +1 − C n +1 + C n +1 − − C n +1 [ n +1 L©y (1) – (2) ⇒ 2 n +1 = C n +1 + C n +1 + C n +1 + + C 22n +1 2n =C n +1 +C n +1 +C n +1 + + C n +1 n +1 = 1024 = ] 10 VËy 2n = 10 10 10 k k 10 −k (3 x) k Ta cã: ( − x ) = ∑ (−1) C10 k =0 Suy hÖ sè cđa x7 lµ: − C10 37 hay C10 37 Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm ngời biết phải có nữ Giải: Ta có trờng hợp: * nữ nam: có C C10 = 2520 cách * nữ nam: Cã C 54 C10 = 1050 c¸ch * nữ nam: có C C10 = 120 cách Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách Câu 10: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập đợc số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, Giải: Gọi n = a1 a a3 a a5 lµ sè cần lập Ta xếp 1, vào vÞ trÝ ⇒ A52 = 4.5 = 20 c¸ch XÕp 1, råi ta cã c¸ch chän chữ số cho ô lại cách chọn chữ số cho ô lại thứ cách chọn chữ số cho ô lại thứ Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 * Theo quy tắc nhân ta có: A 5.4.3 = 20.60 = 1200 sè n C¸ch kh¸c: Bíc 1: XÕp 1, vào vị trí: Ta có: A52 = 4.5 = 20 c¸ch Bíc 2: Cã A5 = 3.4.5 = 60 c¸ch bèc số lại xếp vào vị trí lại Vậy có 20 60 = 1200 số n thoả mÃn yêu cầu toán k k { Câu 11: Tìm k 0;1;2; ;2005} cho C 2005 đạt giá trị lớn ( với C n tổ hợp chập k n phần tử) Giải: k  C2005 ≥ C2005+k C lín nhÊt ⇔  ( k ∈ N) k k−  C2005 ≥ C2005 2005!  2005!  k!(2005 − k)! ≥ (k + 1)!(2004 − k)!  k + ≥ 2005 − k  ⇔ ⇔  2005! ≥ 2005!  2006 − k ≥ k  k!(2005 − k)! (k − 1)!(2006 − k)! k 2005  k ≥ 10  k = 10 ⇔  ⇔ 10 ≤ k ≤ 10 3,k ∈ N ⇔   k ≤ 10  k = 10 2 Câu 12: Tìm số nguyên n lớn thoả mÃn đẳng thức: Pn + An − Pn An = 12 ( Pn lµ số hoán vị n phần tử k An số chỉnh hợp chập k n phần tử) Gi¶i: Ta cã: Pn + An2 − Pn An = 12 ( n ∈ N , n > 1) 6.n! n! n! 6.n! − n! = 12 ⇔ − 2(6 − n!) = ( n − 2)! (n − 2)! ( n − 2)! ( n − 2)! 6 − n!= n = n!= n = ⇔  n! ⇔ ⇔ ⇔ ( V× n ≥ )  −2 = n(n −1) − = n = n − n − =  (n − 2)! 2.n!+ Câu 13: Tìm x, y N Ax2 + C y3 = 22 tho¶ m·n hƯ:   Ay + C x = 66 Gi¶i: Víi ®iỊu kiƯn: x ≥ 2, y ≥ , ta có: Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009  Ax2 + Cy3 =  (xx − 1)+ (yy − 1)(y− 2) =  6x2 − 6x+ y3 − 3y2 + 2y = 132 (1) ⇔3 2 3 ⇔  Ay + Cx =  (yy − 1)(y− 2)+ (xx − 1) =  y − 3y + 2y 2+ x x =− 132 ( 2)  ( )  6x2 − 6x + y3 − 3y2 + 2y = 132  x = hay x −= ( loai) ⇔ ⇔3  x − x − 132 =  y − 3y + 2y = 60  x=  x= ⇔ ⇔  (y − 5)(y + 2y + 12) = y = Câu 14: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD lần lợt cho 1, 2, n điểm phân biệ khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm đà cho 439 Giải: Nếu n th× n + ≤ Do dã sè tam giác có đỉnh đợc lấy từ n + điểm không vợt C83 = 56 < 439 ( loại) Vậy n Vì tam giác đợc tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: (n + 4)(n + 5)(n + 6) (n − 2)(n − 1)n 3 C n +6 − C − C n = −1 − = 439 6 ⇔ ( n + 4)(n + 5)(n + 6) − ( n − 2)( n − 1)n = 2540 ⇔ n + 4n − 140 = ⇔ n = 10 hay n = 14 ( loai ) Đáp số: n = 10 Câu 15: Có số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau? Giải: Gọi n = a1 a a a số cần lập * Trờng hợp 1: a4 = 0, ta cã: c¸ch chän a1 ( Vì a1 ) cách chọn a2, c¸ch chän a3; c¸ch chän a4 VËy ta cã: 8 7.1 = 448 sè n * Trờng hợp 2: a a4 chẵn Ta cã: c¸ch chän a4; c¸ch chän a1; c¸ch chän a2; c¸ch chän a3 VËy ta cã: = 1568 sè n Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Vậy hai trêng hỵp ta cã: 448 + 1568 = 2016 sè n C©u 16: Chøng minh r»ng: 1 n −1 2 n k ( n số nguyên dơng, C n tổ hợp C n + C n + C n + + C2n = 2n 2n + chËp k cña n phần tử) Giải: 1 Ta có: (1 + x ) n = C n + C n x + + C 22nn x n , (1 − x ) n = C n − C n x + + C 22nn x n ⇔ (1 + x ) ⇔∫ * ⇔∫ (1 + x) 2n * ∫ (C 2n 2n 2n − (1 − x) n = 2( C n x + C n x + + C n −1 x n −1 ) (1 + x ) n − (1 − x) n 2n = ∫ ( C n x + C n x + + C n −1 x n −1 )dx − (1 − x) n (1 + x) n +1 + (1 − x) n +1 = 2(2n + 1) = 2n − 2n + (1)  x2  1 n −1 2n x 2n x + C n x + + C n −1 x n −1 dx =  C n + C2n + + C n x n  = C n + C n + + C 2n  0 2 4 2n   ) ( 2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 17: Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức: x(1 x ) + x (1 + x)10 Gi¶i: HƯ sè cđa x5 khai triĨn cđa x(1 − x) lµ ( −2) C HƯ sè cđa x5 khai triĨn cđa x (1 + x )10 lµ 33.C10 HƯ sè cđa x5 khai triĨn cđa x (1 − x) + x (1 + 3x)10 ( 2) C5 + 33.C10 = 3320 Câu 18: Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niu tơn (2 + x) n , biÕt n k n C n − n −1 C n + n −2 C n − n −3 C n + + ( −1) n C n = 2048 (n số nguyên dơng, C n tổ hợp chập k n phần tử) Giải: n Ta cã: n C n − n −1 C n + n −2 C n − n −3 C n + + ( −1) n C n = (3 − 1) n Tõ gi¶ thiÕt suy n = 11 Ta cã: ( + x ) 10 11 lµ: C 11−10 11 11 k = ∑ C11 21−k x k Suy hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x10 khai triển nhị thức Niutơn ( + x) x k =0 = 22 C©u 19: Cho khai triÓn (1 + x ) n = a0 + a1 x + + a n x n , n N * hệ sè a0, a1, ….,an tho¶ m·n hƯ thøc a a a0 + + + n = 4096 Tìm hệ số lớn số a0, a1, …., an 2n Gi¶i: a a 1 n n n Đặt f ( x) = (1 + x ) = a + a1 x + + a n x ⇒ a + + + n = f   = n 2 2 n 12 Tõ gi¶ thiÕt suy ra: = 4096 = ⇔ n = 12 k k { Víi mäi k ∈ 0;1;2;3 ;11} ta cã: a k = k C12 , a k +1 = k +1 C12−1 k ak k C12 k +1 23 < ⇔ k +1 k +1 < ⇔ ⇔ k > Do ®ã a8 > a9 > ….> a12 a k +1 Sè lín nhÊt c¸c sè a0, a1, ……, an lµ: a8 = C12 = 126720 Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 C©u 20: Chøng minh r»ng: n +1  1  k  k + k +1  = k ( n, k số nguyên dơng, k n , C n tổ hợp chập k cña C  C n +  n +1 C n +1 n n phần tử) Giải: Ta cã: n +1  1  n + k!(n + − k )!+(k + 1)!( n − k )!  k + k +1  = n +  C n +1 C n +1  n + (n + 1)!   k!(n − k )! = [ (n + − k ) + (k + 1)] = k!(n − k )! = 1k n+2 n! n! Cn k Câu 21: Tìm số nguyên dơng n tho¶ m·n hƯ thøc: C n + C n + + C nn −1 = 2048 ( C n tổ hợp chập k n phần tử) Giải: 2n 2n (1 + x) n = C n + C n x + C n x + C n x + + C n −1 x n −1 + C n x n * x = : 2 n = C 20n + C n + C 22n + C n + + C 22nn −1 + C 22nn (1) * x = −1 : = C n − C n + C 22n − C n + − C nn −1 + C 22nn ( ) LÊy (1) – (2): 2 n = 2(C n + C n + + C 22nn −1 ) = 4096 = 212 ⇔ n = 18  Câu 22: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn x +    x  ( x > 0) Gi¶i:  2x +  x  18     18 k = ∑C ( x) k =0 k 18 18 −k 18 18 − k  −1  k  x  = ∑C18 218−k x   k =0  Yêu cầu toán 18 k = ⇔ k = 15 15 VËy sè hạng không chứa x là: 3.C18 = 6528 Câu 23: Cho khai triĨn nhÞ thøc: −x −  x2 2 +2   n   x−  =C n 2     n   x−  +C n 2     n−     x  −3 2     x− n  + +C n − 2      x  −3       n−      −x n +C n 2   n     ( n lµ số nguyên dơng) Biết khai triển C n = 5C n số hạng thứ 20n, tìm x n Giải: Tõ C n = 5C n ta cã: n ≥ vµ Víi n = ta cã:  x− C 2    x  −3       n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 ⇔ = 5n ⇔ n − 3n − 28 = ⇔ 3!(n − 3)! (n − 1)! n = n = −4    =140 ⇔35.2 x −2 −x =140 ⇔2 x −2 = x = Câu 24: Cho đa giác A1A2 A2n ( n nguyên) nội tiếp đờng tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n ®iĨm A1, A2, …., A2n nhiỊu gÊp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2, , A2n Tìm n Giải: Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1A2 A2n là: C 2n Gọi đờng chéo đa giác A1A2 A2n qua tâm đờng tròn (O) đờng chéo lớn đa giác đà cho có n đờng chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2, , A2n có đờng chéo hai đờng chéo lớn Ngợc lại, với cặp đờng chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đờng chéo lớn đa giác A1A2 A2n tức C n Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Theo giả thiết thì: C n = 20C n ⇔ (2n)! n! 2n.(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) = 20 ⇔ = 20 ⇔ 2n − = 15 ⇔ n = 3!( 2n − 3)! 2!(n − 2)! Câu 25: Tìm số nguyên dơng n cho: C n0 + 2C n + 4C n2 + + n C nn = 243 Gi¶i: n k k Ta cã: ( x + 1) = ∑ C n x n k =0 n n k k n Cho x = ta đợc: = ∑ C n ⇒ = 243 = ⇔ n = k =0 n C©u 26: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn + x  , biÕt r»ng:   x C n +1 n +4 −C n n +3 = 7( n + 3) ( n số nguyên dơng, x > 0, C k n tổ hợp chập k n phần tử) Giải: +1 +1 Ta có: C nn+ − C nn+3 = 7(n + 3) ⇔ ( C nn+3 + C nn+3 ) − C nn+3 = 7(n + 3) Số hạng tổng quát khai triển lµ: Ta cã: x 60 −11k = x8 ⇒ ( k C12 x − ) k  x   12 − k      k =C12 x (n + 2)(n + 3) = 7(n + 3) ⇔ n + = 7.2!= 14 ⇔ n = 12 2! 60 − k 11 60 − 11k =8⇔ k =4 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C12 = 12! = 495 4!(12 − 4)! C©u 27: Cho n số nguyên dơng Tính tổng: C n + n phần tử) Giải: Ta có: (1 + x ) n = C n + C n x + C n2 x + + C nn x n 2 2 −1 23 −1 2 n +1 − n k Cn + C n + + C n ( C n tổ hợp chập k 2 n +1 1 n Suy ra: ∫ (1 + x) n dx = ∫ ( C n + C n x + C n x + + C n x n ) dx n +1  2 x x n x 1 =  Cn x + Cn + Cn + + C n  n +1   n +1 n +1 n +1 −1 −1 2 −1 n − ⇔ Cn + Cn + C n + + Cn = 2 n +1 n +1 a n −3 lµ hƯ sè cđa x n khai triển thành đa thức Câu 28: Với n số nguyên dơng, gọi (x (1 + x) n +1 n +1 ) n +1 ( x + 2) n Tìm n để a3 n = 26n Giải: n n C¸ch 1: Ta cã: ( x + 1) = C n x n + C n x n −2 + C n x n −4 + + C n n ( x + 2) n = C n x n + 2C n x n −1 + 2 C n x n −2 + + n C n DƠ dµng kiĨm tra n = , n = không thoả mÃn đk toán Với n x 3n = x n x n −3 = x n −2 x n −1 1 Do ®ã hƯ sè cđa x3n-3 khai triĨn thµnh ®a thøc cđa (x2 + 1)n(x + 2)n lµ a3n −3 = 3.C n C n + 2.C n C n n = 2n( 2n − 3n + 4) VËy a3n− = 26n ⇔ = 26n ⇔ n = Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Vậy n = giá trị cần tìm (vì n nguyên dơng) n 3n C¸ch 2: Ta cã : ( x + 1) ( x + ) = x 1 +   n n n n n  n i  i n k   k    2 3n 3n  i −2i k k −k   1 +  = x ∑ C n   ∑ C n    = x ∑ C n x ∑ C n x  x x   k =0  i =0   i =0  x  k =0  x     Trong khai triĨn trªn , l thõa cđa x lµ 3n – -2i – k = -3 hay 2i + k = Ta có trờng hợp thoả mÃn đk i = , k = i = , k = 1 VËy hƯ sè cđa x3n-3 lµ a 3n −3 = C n C n + C n C n n = 2n( 2n − 3n + 4) Do ®ã a3n− = 26n ⇔ = 26n ⇔  n =  Vậy n = giá trị cần tìm (vì n nguyên dơng) 3 k k Câu 29: Giải bất phơng trình: ( n 5)C n4 + 2C n An (trong C n số tổ hợp chập k n phân tử An chỉnh hợp tập k n phân tử ) Giải : Điều kiện n N n ≥ ( n − 5)n! + n! ≤ n! ⇔ ( n − 5) ( n + 2n + 5) ≤ ⇔ n − ≤ ⇔ n ≤ (do BÊt ph¬ng trình đà cho có dạng : ( n 4)!4! ( n − 3)!3! ( n − 3)! n + 2n + 5) > , mäi n) KÕt hợp điều kiện đợc nghiệm bất phơng trình ®· cho lµ n = , n = C©u 30: TÝnh hƯ sè cđa x8 khai triĨn thành đa thức [1 + x (1 x ) ]8 Gi¶i: [1 + x (1 − x ) ]8 = C80 + C81 x (1 − x) + C82 x (1 − x) + C83 x (1 − x) + C84 x (1 − x) + C85 x10 (1 − x) + C86 x 12 (1 − x) + C87 x 14 (1 − x ) + C8 x 16 (1 − x ) Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bËc cđa x sè h¹ng ci lín h¬n VËy x8 chØ cã số hạng thứ 4, thứ với hệ số tơng ứng là: C8 C , C8 C Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238 Câu 31: Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đợc đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ không 2? Giải: Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ nên có trờng hợp sau: 2 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chän lµ: C15 C10 C = 23625 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: C15 C10 C 52 = 10500 1 * §Ị cã câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: C15 C10 C = 22750 Vì cách chọn đôI khác nên số đề kiểm tra lập đợc là: 23625 + 10500 + 22750 = 56875  C©u 32: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn x +  Gi¶i: 7   Ta cã:  x +  = ∑ C 7k   x k =0  ( x) 7−k k   k   = ∑ C7 x   x k =0  7−k x − k = ∑C x k =0 k 7   víi x > x 28 k 12 Số hạng không chứa x số hạng tơng ứng với k ( k ∈ Z ,0 ≤ k ≤ ) tho¶ m·n: 28 7k =0k =4 12 Số hạng không chứa x cần tìm là: C = 35 Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 n +1 2.2C + 3.2C − 4.2C + + (2 x + 1).2 n C n +1 = 2005 Câu 33: Tìm số nguyên dơng n cho: C k ( C n số tổ hợp chập k n phân tử) Giải: n +1 Ta cã: (1 + x) n +1 = C n +1 + C n +1 x + C n +1 x + C n +1 x + + C n +1 x n +1 ( ∀x ∈ R ) Lấy đạo hàm hai vế ta cã: ( x + 1)(1 + x) n = C n +1 + 2C n +1 x + 3C n +2 x + + ( 2n + 1)C n +1 x n ( ∀x ∈ R ) n +1 Thay x = - 2, ta cã: C n +1 − 2.2C n +1 + 3.2 C n +1 − 4.2 C n +1 + + (2n + 1).2 n C n +1 = 2n + Theo gi¶ thiÕt ta cã: 2n + = 2005 n = 1002 Câu 34: Một đội niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ? Giải: Có C C12 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ có C C8 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công niên tình nguyện tình thứ tỉnh thứ hai có C1 C cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ 1 Số cách phân công niên tình nguyện tỉnh theo yêu cầu toán là: C C12 C C84 C1 C = 207900 A + 3A 2 2 n M = n +1 Câu 35: Tính giá trị biÓu thøc: BiÕt r»ng C n+1 + 2C n +2 + 2C n+3 + C n +4 = 149 ( n số nguyên ( n + 1)! k k dơng, An chỉnh hợp tập k n phân tử C n số tổ hợp chập k n phân tử) Giải: Điều kiện: n Ta cã: n +1 2 n +1 n +1 n +1 2 2 C n +1 + 2C n +2 + 2C n +3 + C n +4 = 149 ⇔ (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)! (n + 4)! +2 +2 + = 149 2!( n − 1)! 2!n! 2!(n + 1)! 2!(n + 2)! n = ⇔ n + 4n − 45 = n = Vì n nguyên dơng nên n = 6! 5! + A + 3A 2! = M = = 2! 6! 6! 4 n C©u 36: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn + x  , biÕt r»ng   x  n 20 k C n +1 + C n +1 + + C n +1 = + ( n số nguyên dơng, C n số tổ hợp chập k n phân tử) 26 Giải: n Từ giả thiết suy ra: C n +1 + C n +1 + C 22n +1 + + C n +1 = 20 k n +1 V× C n +1 = C n +1 −k , ∀k ,0 ≤ k ≤ 2n +1 nªn: (1) (C 2n+1 + C 21n+1 + + C 22nn++11 ) Từ khai triển nhị thức Niutơn cña (1 +1) n +1 suy ra: n +1 C n +1 + C n +1 + + C n +1 = (1 + 1) n +1 = 2 n +1 ( 3) n C n +1 + C n +1 + C n +1 + + C n +1 = ( 2) Tõ (1), (2), (3) suy ra: 2 n = 20 hay n = 10 n 10 10 10 −k   k k Ta cã:  + x  = ∑C10 ( x −4 ) ( x ) k = ∑C10 x 11k −40 x  k =0 k =0 k 26 HÖ sè x C10 với k thoả mÃn : 11k − 40 = 26 ⇔ k = 6 VËy hệ số x26 là: C10 = 210 Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Câu 37: Cho tập hợp A gåm n phÇn tư ( n ≥ ) Biết số tập hợp gồm phần tư gÊp 20 lÇn sè tËp gåm { phần tử A Tìm k 1;2;3 n} cho sè tËp gåm k phÇn tư cđa A lớn Giải: k Số tập k phần tư cđa tËp hỵp A b»ng C n Tõ gi¶ thiÕt suy ra: C n = 20C n ⇔ n − 5n − 234 = ⇔ n = 18 ( v× n ≥ ) k C18+1 18 − k 9 10 18 = > ⇔ k < nªn C18 < C18 < < C18 ⇒ C18 > C18 > > C18 k k +1 C18 VËy sè tËp gồm k phần tử A lớn k = Câu 38: Đội niên xung kích trờng phổ thông có 12 häc sinh, gåm häc sinh líp A, häc sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn nh vậy? Giải: Số cách chọn học sinh 12 học sinh đà cho là: C12 = 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có nhấtmột em đợc tính nh sau: 1 - Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C C C = 120 - Líp B cã häc sinh, líp A, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C5 C C = 90 1 - Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C C C 32 = 60 Sè c¸ch chän học sinh mà lớp có häc sinh lµ: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 270 = 225 Do Câu 39: Chứng minh bất đẳng thức sau: + 1 1 (−1) n −1 n + + + + = C n − C n + C n + + Cn n n Giải: Xét tích phân: 1 (1 − x ) n (−1) n −1 n n dx = ∫ C n − C n x + + ( −1) n −1 C n x n dx = C n − C n + + Cn ∫ x n 0 ( ) (1) Mặt khác, đặt x = t, ta cã: 1 1 − (1 − x) n 1−tn t n −1 1 dx = ∫ (−1) dt = −∫ dt = ∫ + t + t + + t n −1 dt = + + + + ∫ x 1−t t −1 n 0 0 ( ) ( 2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh C©u 40: Rót gän tỉng: S = C19 − C19 + C19 − + 18 19 C19 C19 20 21 Giải: Theo nhị thức Niutơn thì: 18 19 18 19 x(1 − x )19 = x C19 − C19 x + C19 x − + C19 x18 − C19 x19 = C19 x − C19 x + C19 x − + C19 x 19 − C19 x 20 ( ) 20 21  x 1 x x 18 x 19 x 0 ⇒ ∫ x(1 − x )19 dx =  C19 − C19 + C19 − + C19 − C19  20 21    1 1 18 19 = C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 = S 20 21 Do ®ã S = 420 n C©u 41: TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ x(1 − x ) dx ( n ∈ N ) Tõ ®ã chøng minh r»ng: * 1 1 (−1) n n C n − C n + C n − C n + + Cn = 2(n + 1) 2(n + 1) Giải: Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 Ta cã; I = − ( 1− x2 2∫ ) n d (1 − x ) = − (1 − x ) n +1 n +1 = 2( n + 1) Mặt khác: 1 k k +2 n n Cn  n k n k k 2k  k k +1  k k x k k I = ∫  x.∑C n (−1) x dx = ∫ ∑C n (−1) x dx = ∑C n (−1) 2k + = ∑C n (−1) 2(k + 1) k =0 k =0    k =0  k =0 Tõ ®ã ta có điều phải chứng minh Câu 42: Cho ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, Hái cã cách viết số: 1) Có chữ số 2) Có chữ số đôi khác 3) Có chữ số 4) Có chữ số đôi khác 5) Chia hết cho có chữ số khác 6) Có chữ số khác số lẻ 7) Có chữ số khác lớn 3000 8) Có chữ số khác không lớn 243 9) Có chữ số khác nhỏ 243 Giải: 1) Để viết số có chữ số từ số đà cho, ta có cách chọn số hàng trăm nghìn, tơng tự với số hàng lại có cách chọn Theo quy tắc nhân ta lập đợc: 66 = 46656 số thoả mÃn điều kiện đề 2) Do yêu cầu chữ số đôi khác nên có cách chọn số hàng trăm nghìn, cách chọn số hàng vạn, cách chọn số hàng nghìn, ., cách chọn số hàng đơn vị Vậy có tất x x x x x = 720 ( số) thoả mÃn đề 3) Lập luận tơng tự câu ta lập đợc: 66 = 1296 số thoả mÃn đề 4) Lập luận tơng tự câu 2, có cách chọn số hàng nghìn, cách chọn số hàng trăm, cách chọn số hàng chục, cách chọn số hàng đơn vị Vậy có tất c¶: x x x = 360 ( số) thoả mÃn đề 5) Gọi abc số thoả mÃn đề bài, số chia hết có mọt cách chọn c = 5, số a, b đợc coi chỉnh hợp chập số lại sau đà chọn số c Vậy có tất A5 = 20 số 6) Do số đợc thành lập số lẻ nên số hàng đơn vị phải là: 1, 3, có cách chọn Các số lại đợc coi nh hoán vị năm phần tử Vậy có tất cả: 3.P5 = 3.5!= 360 ( số) 7) Gọi số có chữ số khác là: abcd { Do số lớn 3000 nªn a ≥ hay a ∈ 3;4;5;6} VËy có cách chọn a, số lại đợc coi nh mét chØnh hỵp chËp cđa phần tử Suy số thoả mÃn đề lµ: A5 = 240 ( sè) 8) Gäi sè có chữ số khác abc số không nhỏ 243 ( hay abc 243 ) nªn a ≥ VËy { a ∈ 2;3;4;5;6} + Víi a = ®Ĩ 2bc ≥ 243 ⇒b ≥ ⇒b ∈{4;5;6} NÕu b = 4, lập luận tơng tự, cần c 4, c có cách chọn c Vậy số có dạng 24c là: x = ( sè) NÕu b = 5, th× c cã thể chọn số lại số số có dạng 25c 26c là: x x = (sè) + Víi a = 3; 4; 5; ta cã thÓ chän b, c số số lại sau chọn a Tất dạng lµ: A5 = 80 ( sè) VËy tõ số đà cho, ta lập đợc + + 80 = 91 ( sè)cã ch÷ số khác không nhỏ 243 9) Ta có: abc < 243 (*) Tõ sè ®· cho, thành lập đợc A6 = 120 ( số) có chữ số khác Trong số số không nhỏ 243 91 số Vậy số số thoả mÃn (*) là: 120 91 = 29 ( sè) C©u 43: Mét líp 12 cã 15 häc sinh nữ 25 học sinh nam Hỏi có cách chọn tổ có ngời: 1) Nam, nữ tuỳ ý, không phân biệt nhiệm vụ 2) Có nam, không phân biệt nhiệm vụ 3) Có nữ, không phân biệt nhiệm vụ 4) Tổ trởng nữ, số lại không phân biệt nhiệm vụ Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 5) Tổ trởng nam có nam nữ 6) tỉ trëng, tỉ phã vµ tỉ viên 7) Mỗi ngời phụ trách đội thiếu niên cụ thể phờng Giải: 1) Số häc sinh líp lµ: 15 + 25 = 40 ( học sinh) Do số cách chọn tổ ngời theo yêu cầu đề là: C 40 = 658008 ( Cách) 2) Để chọn tæ cã ngêi: Gåm nam: cã C 25 = 2300 ( Cách chọn) 2 nữ: có C15 = 150 ( cách chọn) Theo quy tắc nhân, số cách chọn tổ là: C 25 C15 = 241500 ( cách) 3) Cách 1: Số học sinh nữ tổ là: 2, 3, Số cách chọn tổ gồm nữ, nam lµ: C15 C 25 = 241500 Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C15 C 25 = 136500 Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C15 C 25 = 34125 Sè c¸ch chän mét tỉ gồm nữ là: C15 = 3003 Cách 2: Tính số tổ có nữ số tổ nữ là: C 25 +15C 25 5 Số tổ phải tìm là: C 40 (C 25 + 15C 25 ) 4) §Ĩ tỉ trëng nữ, có C15 = 15 cách chọn Bốn tổ viên đợc chọn 39 học sinh lại, cã: C 39 = 82251 c¸ch chän VËy sè c¸ch chän tỉ lµ: C15 C39 = 1233765 ( cách chọn) 5) Để tổ trởng nam, có C 25 = 25 cách chọn Bốn ngời lại tỉ gåm: 2 + nam, n÷: C 24 C15 = 28980 ( c¸ch chän) + nam, n÷: C 24 C15 = 30360 ( c¸ch chän) + nam: C 24 = 10626 ( cách chọn) Tổng số cách chọn là: 25.( 28980 + 30360 +10626) = 1749150 6) Mét tæ trëng vµ mét tỉ phã cã thĨ coi lµ mét chØnh hỵp chËp cđa 40 häc sinh líp: A40 = 1560 ( cách chọn) Ba tổ viên tổ hợp chập 38 học sinh lại ( sau đà chọn tổ trởng tổ phã ) : C 38 = 8436 ( c¸ch chọn) Vậy số cách chọn tổ là: A C 38 = 13160160 40 7) Do ngời phụ trách đội thiếu niên khác nên tổ chỉnh hợp chập 40 học sinh Vậy số cách chọn tổ là: A40 = 78960960 Câu 44: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, viết đợc số? 1) Có chữ số khác 2) Có chữ số 3) Có chữ số khác 4) Có chữ số khác số lẻ 5) Có chữ số khác thiết có mặt chữ số Giải: 1) Gọi số có chữ số khác là: abcde a nên có cách chọn Bộ số bcde coi hoán vị số lại sau đà chọn số a, có P4 = 4!= 24 ( Số) Số cách thành lập số có chữ số khác là: x 24 = 96 ( cách) 2) Để thành lập số có chữ số, ta chọn lần lợt hàng, a nên có cách chọn a; c¸ch chän b; c¸ch chän c; c¸ch chän d; c¸ch chän e VËy sè c¸c số có chữ số thành lập từ chữ số đà cho là: 4.5 = 2500 ( số) Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn Ôn thi ĐH Tháng 5/2009 3) Gọi số có chữ số khác là: abc Vì a nên có cách chọn Bộ số bc coi chỉnh hợp chập 2 phần tử, số chỉnh hợp là: A4 = 12 Vậy số thoả mÃn đề bài: x 12 = 48 ( sè) 4) Gäi sè có chữ số khác abc , đề số số lẻ c {1;3} , có cách chọn c Còn lại số ( gồm số 0) để chọn a b; a nên có cách chọn số a, từ cách chọn b Vậy số số lẻ có chữ số khác là: x x = 18 (sè) 5) Gäi sè phải tìm abc , thiết có vị trí số 2: + Số vị trí a; số b, c chọn số lại nên chỉnh hợp chËp cđa sè nªn cã A4 = 12 số loại + Số vị trí số b; có cách chọn a; cách chọn c nên có x = số loại + Số vị trí c; tơng tự, ta đợc số Vậy có tất c¶: 12 + + = 30 sè tho¶ mÃn đề Câu 45: 1) Tính hệ số sè h¹ng chøa x3 khai triĨn cđa: P( x) = (2 x + 1) − (3 x + 1) + ( x + 1) n 2) Khai triĨn cđa  x −  cã tỉng hệ số số hạng đầu 28 tìm số hạng thứ khai triển x 10 3) Tìm số hạng không chøa x khai triĨn cđa  x −     x 4) XÐt khai triĨn cđa ( x + xy ) a) Tìm hai hạng tử b) Tính hệ số hạng tử chứa x 21 y 12 Giải: 1) Số hạng chứa x3 khai triĨn cđa ( x +1) lµ 8x3 Sè h¹ng chøa x3 khai triĨn cđa ( x +1) lµ: C (3 x) = 108 x Sè h¹ng chøa x3 khai triĨn cđa ( x +1) lµ: C x = 35x VËy hƯ sè cđa x3 đa thức P(x) là: 108 + 35 = - 65 15 n k n n 1 k k 2) Ta cã:  x −  = ∑(−1) k C n x n −k   = ∑(−1) k C n x n −2 k      x k =0 n x k =0 Theo gi¶ thiÕt ta cã: C − C + C = 38 n(n − 1) = 28 ⇔ n − 3n − 54 = §iỊu kiƯn: n ∈ N ( n ≥ ) Phơng trình có nghiệm n = thoả mÃn điều kiện Khi số hạng thứ cđa khai triĨn lµ: (−1) C9 x −2.4 = 126 x n n 10 k n n 1 k k 3) Ta cã:  x −  = ∑( −1) k C10 ( x)10 −k   = ∑(−1) k 210 −k C10 x10 −2 k      x x k =0 Do số hạng không chứa x t¬ng øng víi 10 − 2k = ⇔ k = 5 Vậy số hạng cần tìm là: ( −1) 5.C10 = −8064 k =0 4) Khai triĨn cđa ( x + xy )15 gåm 16 hạng tử: k k Số hạng tổng quát khai triĨn lµ: C15 ( x )15−k ( xy ) k = C15 x 45−2 k y k a) Hai hạng tử khai triển số hạng thø vµ thø d·y: C15 x 45−2.7 y = 6435.x 31 y ; C15 x 45−2.8 y = 6435.x 29 y 12 b) H¹ng tư chøa x 21 y 12 t¬ng øng víi k = 12 VËy hƯ sè hạng tử là: C15 = 455 Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn ... thức: - Số phức - Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ dạng y = ax + bx + c số yếu tố liên quan px + q - Sù tiÕp xóc cđa hai ®êng cong - Hệ phơng trình mũ lôgarit - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất... thi tốt nghiệp Cấu trúc đề thi cụ thể nh sau: I Phần chung cho tất thí sinh( điểm) Câu 1( điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số - to? ?n liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: Chiều biến thi? ?n... kiến thức: - Số phức - Tổ hợp, xác suất , thống kê - Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo chơng trình nâng cao: Câu VI b ( điểm) Phơng pháp to? ?? độ mặt phẳng không gian: - Xác định to? ?? độ điểm,