Đang tải... (xem toàn văn)
Khi giải hệ phương trình, dù bạn có dùng cách gì biến đổi đi chăng nữa thì mục đích cuối cùng của bạn cũng chuyển về phương trình một biến và giải phương trình vừa thu được. Đó cũng là suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến là quy luật không chỉ trong toán học mà cả trong cuộc sống chúng ta vẫn thường làm. Tóm lại, khi giải hệ phương trình thì chúng ta phải tìm cách làm giảm số ẩn của hệ để thuận lợi trong việc giải nó. Sau đây tôi xin nêu một số kinh nghiệm mà tôi có được trong quá trình học tập và giảng dạy.
MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRAO ĐỔI MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Khi giải hệ phương trình, dù bạn có dùng cách biến đổi mục đích cuối bạn chuyển phương trình biến giải phương trình vừa thu Đó suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến quy luật khơng tốn học mà sống thường làm Tóm lại, giải hệ phương trình phải tìm cách làm giảm số ẩn hệ để thuận lợi việc giải Sau tơi xin nêu số kinh nghiệm mà tơi có q trình học tập giảng dạy 1) Từ phương trình rút ẩn (hoặc biểu thức) theo ẩn lại ( theo nhóm biểu thức khác) Nếu phương trình hệ mà có ẩn xuất dạng bậc nhất, ta rút ẩn theo ẩn cịn lại vào phương trình thứ hai hệ bạn đừng ngần ngại thấy sau thực phép thế, phương trình thu có bậc khơng nhỏ 2x + y(x + 1) = 4x2 Ví dụ Giải hệ phương trình 5x − 4x = y Lời giải Vì phương trình thứ hệ chứa y nên ta nghĩ đến việc rút y theo x vào phương trình thứ hai hệ 2x (2 − x) (Do x = −1 khơng nghiệm hệ) thay vào phương trình thứ hai x +1 hệ ta có : Ta có: y = ( ) x − 4x = 4x (2 − x)2 (x + 1)2 x = ⇔ 2 (5 − 4x )(x + 2x + 1) = 4(4 − 4x + x ) x = ⇒ y = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 2 4x + 8x + 3x − 26x + 11 = (x − 1)(2x − 1)(2x + 7x + 11) = 1 x = ⇒ y = 2 1 Vậy hệ cho có ba cặp nghiệm: (x; y) = (0; 0), (1; 1), ( ; ) 2 Bình luận: Cách giải có ưu điểm khơng cần phải mánh khóe mà cần biến đổi bình thường Tuy nhiên, có nhược điểm giúp giải tốn thơi, cịn đường để sáng tác tốn cách giải làm rõ được! Để hiểu rõ nguồn gốc tốn cách mà tác giả GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH sáng tác toán 2x + y(x + 1) = 4x Cách giải thứ Ta viết lại hệ sau y + 4x6 = 5x4 Nhận thấy x = ⇒ y = , hay (x; y) = (0; 0) nghiệm hệ y 2x + ( x + 1) = x y Đặt a = 2x, b = Với x ≠ ta có hệ ⇔ ta có hệ: x2 y + 4x = x a a + b( + 1) = a + b = Đây hệ đối xứng loại Việc giải hệ khơng khó khăn Quan lời giải trên, ta thấy đường để chế tác hệ kiểu xuất phát từ hệ biết thuật giải, thay hình thức biến có mặt hệ biến đổi rút gọn ta thu hệ có hình thức hồn tồn xa lạ với hệ ban đầu x + y + xy = (lưu ý hệ có cặp nghiệm (1; 2) ) Chẳng hạn: Từ hệ 2 x + y = Ta thay x y 2x y y ta có hệ: y y3 + y2 + =5 3 2x3 y(y + 2x y + 1) = 10x 2x ⇔ 2 6 y y (1 + 4x y ) = 20x +y =5 4x y(y + 2x y + 1) = 10x Vậy ta có hệ phương trình sau: y (1 + 4x6 y ) = 20x6 x − 2xy + x + y = Ví dụ Giải hệ phương trình : x − 4x y + 3x + y = (1) (2) Lời giải Nhận thấy phương trình thứ hệ phương trình bậc x nên ta rút x theo y vào phương trình thứ hai ta phương trình ẩn Từ (1), suy y = x2 + x ( x = không nghiệm hệ) thay vào (2) ta 2x − GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x2 + x x = x2 + x =0⇔ x − 4x + 3x + 2x − 2x − f(x) = Với f(x) = x (2x − 1)2 − 4(x2 + x)(2x − 1) + 3(2x − 1)2 + (x + 1)2 = 4x − 12x + 10x − 6x + Nên f(x) = ⇔ 2x − 6x3 + 5x2 − 3x + = ⇔ (x − 1)(x − 2)(2x + 1) = ⇔ x = 1, x = Vậy hệ cho có cặp nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) Bình luận: Cũng ví dụ 1, cách giải giải tốn khơng phải đường để sáng tác tốn Điều thơi thúc tìm lời giải khác cho toán Sự xuất x − 2xy x − 4x2 y gợi cho ta nghĩ đến đẳng (x − y)2 + x + y − y = thức: Ta viết lại hệ sau: (x − y)2 + 3x − 3y = Việc làm khơng khả quan, nhìn vào hệ chưa phát mối liên hệ Bắt chước cách làm ví dụ ta biến đổi sau: Nếu x = ⇒ y = nghiệm hệ y y x − 2y + + x = x + x = 2y + Nếu x ≠ , ta có hệ ⇔ ⇔ x − 4y + y + = (x + y )2 = 6y − x x Suy (2y + 1)2 = 6y − Đến tốn trở nên đơn giản Với cách giải trên, ta chế nhiều hệ phương trình khác Ở ý việc giải hệ cuối quy giải phương trình bậc hai nên chuyện hệ số nhận giá trị không quan trọng 2y x + x = 4x + Chẳng hạn từ: , biến đổi ngược ta có hệ: x + 2y = x − x y x − x = 4y − biến đổi ngược ta có hệ Hoặc x − y = 2y x Ở hai giải theo cách rút ẩn theo ẩn Dấu hiệu nhận thấy việc xuất phương trình phương trình bậc ẩn Bây chuyển qua xét số hệ mà thực rút mà phương trình ẩn phương trình khơng phải phương trình bậc GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x − 8x = y + 2y Ví dụ Giải hệ phương trình : x − = 3(y + 1) (1) (2) Lời giải Cách 1: Từ (2) ta suy ra: x = 3(y + 2) (3), thay vào (1) ta được: x = x2 ⇔ x(3x − xy − 24) = ⇔ x − 8x = y(y + 2) = y 3x − 24 y= x • x = thay vào (3) ta thấy phương trình vơ nghiệm 3x − 24 3x − 24 +6 thay vào (3) ta được: x = • y= x x x2 = x = ±3 ⇒ y = ±1 ⇔ 13x − 213x + 864 = ⇔ ⇔ 96 78 96 ⇒y=m x=± x = 13 13 13 96 78 Vậy hệ có cặp nghiệm là: (x; y) = ( ±3; ±1), ± ;m 14 13 Bình luận: Việc suy nghĩ đến rút nhận thấy phương trình thứ chứa y y ; phương trình thứ hai hệ lại chứa y nên ta thay y vào phương trình thứ phương trình thứ hệ trở thành phương trình bậc đổi với ẩn y ta thực rút y Tuy nhiên, có lẽ đường chế tác toán Từ nhận xét trên, ta thấy phương trình thứ hai biến x, y lệch bậc bậc ( x x ; y y ), đồng thời phương trình thứ hai lệch bậc bậc ( x , y số) Điều gợi ý ta tạo đồng bậc sau: x3 − y = 8x + 2y Cách 2: Hệ ⇔ , suy 6(x3 − y ) = (8x + 2y)(x − 3y ) Đây phương 2 6 = x − 3y trình đẳng cấp bậc Việc cịn lại để giải hệ khơng cịn khó khăn Với cách làm ta chế tác nhiều tốn hệ phương trình Chẳng han, từ phương trình : (x − 2y)(x + 3y)(x − 1) = nhân bung tách thành hai phương trình ta hệ GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x + 3xy = −49 Ví dụ Giải hệ phương trình x − 8xy + y = 8y − 17x (1) (2) Lời giải Cách 1: Ta thấy x = nghiệm hệ nên từ (1) ⇒ y = − x + 49 (*) vào 3x x3 + 49 = 8y − 17 ⇔ 24y(x + x) = 2x + 51x − 49 phương trình (2) ta được: x − 8xy − 3x x = −1 ⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔ 2x2 + 49x − 49 y= 24x • x = −1 vào (*) ⇒ y = ±4 • y= 2x2 + 49x − 49 vào (*), ta có: 24x x + 49 2x + 49x − 49 ⇔ −192x(x + 49) = (2x + 49x − 49)2 − = 3x 24x Biến đổi rút gọn ta được: 4x + 4x3 + 45x2 + 94x + 49 = ⇔ (x + 1)2 (4x − 4x + 49) = ⇔ x = −1 Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x; y) = ( −1; ±4) Cách 2: Lấy (1) + 3.(2) ta có được: x + 3x + 3xy − 24xy + 3y = 24y − 51x − 49 ⇔ x + 3x + 3x + + 3y (x + 1) − 24y(x + 1) + 48(x + 1) = ( ) ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 3y − 24y + 48 = ⇔ x = −1 Đến toán trở nên đơn giản Cách 3: Đặt a = x + y, b = x − y ⇒ x = a+b a−b ,y = 2 a + b + 98 = (3) Thay vào hệ ta có được: 3a − 5b − 9a − 25b = (4) Lấy (3) − 3.(4) ta có: a − 9a + 27a − 27 + b + 15b + 75b + 125 = ⇔ (a − 3)3 + (b + 5)3 = ⇔ a − = − b − Đến toán trở nên đơn giản GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cách 4: Vì x = không nghiệm hệ nên ta đặt y = tx x (1 + 3t ) = −49 Khi hệ trở thành: 2 x (1 − 8t + t ) = x(8t − 17) −49 −49 −49 = = x = + 3t 49 + 3(t − 16) 49 + 3a (Với: a = t − 16; b = 8t − 17 ) ⇔ 8t − 17 b x = 8t − 17 = = 2 t − 8t + (t − 16) − (8t − 17) a − b ⇒ −49 b3 = ⇔ 49 b3 + (a − b)3 + 3ab3 = 49 + 3a (a − b) ) ( a = ⇔ t = 16 49 b2 − b(a − b) + (a − b)2 + 3b = ⇔ ⇔a 49 b − b(a − b) + (a − b)2 + 3b3 = (*) ( ) ( ) • t = 16 vào hệ ⇒ x = −1 ⇒ y = ±4 • Khai triển rút gọn, ta có: (*) ⇔ 49t + 360t + 547t − 360t + 304 = ⇔ (t + 4)2 (49t − 32t + 19) = ⇔ t = −4 Bình luận: • Với cách giải thứ nhất, đòi hỏi kĩ tính tốn cách giải giải vấn đề giải tốn mà thơi • Cách giải thứ cách giải ngắn gọn nhất, nhiên để nghĩ cách giải cần có nhạy cảm định Nguồn gốc cách giải theo nghĩ xuất phát từ việc đốn hệ có nghiệm x = −1 nên tạo thừa số x + Ở phương trình thứ −8xy bắt cặp với −8y tạo thừa số x + Vấn đề lại 3xy y Hai đại lượng bắt cặp với để tạo thừa số x + bắt buộc ta nhân vào đại lượng y với số Đó lí mà ta nhân phương trình (2) với cộng với phương trình (1) Với cách giải này, giúp chế tác nhiều hệ Chẳng hạn, hai sau kết việc làm x + 2xy = Bài Giải hệ phương trình : 2x + xy + y = 4x + y GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x + y = (x − y)(xy − 1) Bài Giải hệ phương trình : x − x + y + = xy(x − y + 1) • Con đường để đến cách giải thứ có lẽ sau Do phương trình thứ có xuất x , 3xy phương trình thứ hai có xuất x , xy, y nên gợi ý cho phân tích qua hai đại lượng x − y x + y Ta có: x + 3xy = a(x + y)3 + b(x − y)3 Đồng hai vế ta có a = b = b = a + b = x − 8xy + y = a(x + y) + b(x − y) Đồng hai vế ta có: ⇔ a − b = −4 a = − 2 2 25 a = − a + b = −17 8y − 17x = a(x − y) + b(x + y) Đồng nhất, ta có ⇔ −a + b = b = − (x + y)3 + (x − y)3 = −98 Nên ta viết lại hệ sau: 2 −3(x + y) + 5(x − y) = −25(x − y) − 9(x + y) Và đến đây, để đơn giải mặt hình thức ta đặt a = x + y, b = x − y a + b + 98 = Ta có hệ: (*) 3a − 5b − 9a − 25b = Cách giải thứ dựa vào cách giải hệ đẳng cấp, nhiên giải với cách giải thứ giúp giải toán địi hỏi phải tính tốn nhiều Biến đổi phương trình tích Xuất phát từ phương trình cơng trừ hai phương trình hệ, dẫn tới phương trình tích Từ phương trình tích ta biểu diễn ẩn qua ẩn 2xy x + y + x + y = Ví dụ Giải hệ phương trình: x + y = x2 − y (1) (2) Lời giải: ĐK : x + y > Phương trình thứ hệ chứa ba biểu thức x + y ; xy; x + y , mà ba biểu thức quan hệ với đẳng thức: (x + y)2 = x + y + 2xy nên biến đổi (1) sau: GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ta có: (1) ⇔ x2 + y + ⇔ (x + y − 1)( (x2 + y )(x + y) − (x + y ) (x + y)2 − (x + y ) −1 = ⇔ + x + y −1 = x+y x+y x2 + y2 x2 + y + 1) = ⇔ x + y − = ⇔ y = − x ( Do >0) x+y x+y x = ⇒ y = Thay vào (2), ta được: x − (1 − x) = ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 ⇒ y = Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x; y) = (1; 0), ( −2; 3) xy + x + y = x − 2y Ví dụ Giải hệ phương trình : x 2y − y x − = 2x − 2y x ≥ Lời giải Điều kiện: y ≥ Phương trình thứ hệ ⇔ x − (y + 1)x − 2y − y = (*) Xem (*) phương trình bậc hai ẩn x, cịn y tham số, phương trình có biệt thức ∆ = (y + 1)2 + 4(2y + y) = (3y + 1)2 Do (*) có hai nghiệm x = 2y + 1, x = − y , ta loại nghiệm x = − y Thay x = 2y + vào phương trình thứ hai hệ ta tìm y = ⇒ x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (5; 2) Bình luận: Khi gặp phương trình hệ có dạng ax + by + cxy + dx + ey + f = , ta xem phương trình bậc hai với ẩn x (hoặc y ) y (hoặc x ) tham số Nếu biệt thức ∆ có dạng (my + n)2 ta rút x = αy + β Nếu gặp hệ phương trình gồm hai phương trình bậc hai, phương trình hệ khơng có tính chất nêu ta nhân vào phương trình số cộng chúng lại với để phương trình bậc hai có tính chất vừa nêu 2x + 2xy + y = ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình : y + xy + 5x = ( ) Lời giải Nhân phương trình thứ hai hệ với k ≠ cộng với phương trình thứ ta được: 2x + (2y + ky + 5k)x + ky + y − 7k − = (*) Xem (*) phương trình bậc hai ẩn x , phương trình có biệt thức GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ∆ x = (2 + k)y + 5k − 8(ky + y − 7k − 5) = (k − 2)2 y + 2(5k + 10k − 4)y + 25k + 56k + 40 Ta chọn k cho ∆ x = (ay + b)2 , tức k thỏa mãn ∆ 'y = (5k + 10k − 4)2 − (k − 2)2 (25k + 56k + 40) = (**) Ta thấy phương trình (**) có nghiệm k = , ta chọn giá trị Khi ∆ x = y + 22y + 121 = (y + 11)2 Suy phương trình (*) có hai nghiệm: x= −y + ; x = −y − Thay vào hệ ta tìm hai cặp nghiệm (1; 1),( −1; −3) x + 2xy = Ví dụ Giải hệ phương trình 2x + xy + y = 4x + y Lời giải ( ) Nhận thấy phương trình có nghiệm 1; ± , nên ta suy nghĩ đến việc tạo thừa số x − Chú ý đến số hạng chứa y hai phương trình, ta nghĩ đến lấy phương trình thứ trừ lần phương trình thứ hai ta có được: x − 4x + 8x − + 2y (x − 1) + y(x − 1) = ⇔ (x − 1)(x − 3x + 5) + 2y (x − 1) + y(x − 1) = ⇔ (x − 1)(x − 3x + 2y + y + 5) = (*) 2 3 1 21 Do x − 3x + 2y + y + = x − + y + + > 0, ∀x, y ∈ ¡ 2 4 ( ) Nên (*) ⇔ x = Từ ta tìm (x; y) = 1; ± nghiệm hệ Đặt ẩn phụ đưa hệ quen thuộc Việc đặt ẩn phụ làm cho cấu trúc hệ nhìn đơn giản hơn, từ có lời giải rõ ràng Để đặt ẩn phụ cần tạo nhón hạng tử đồng dạng với Để tạo nhóm hạng tử ta thường thực hiên chia ghép hạng tử với 1 + x3 y = 19x Ví dụ Giải hệ phương trình : y + xy = −6x GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải 1 + y = 19 a + y = 19 Vì x = không nghiệm hệ nên hệ ⇔ x ⇔ 2 y + y = −6 a y + y a = −6 x2 x (Với a = ) x S = a = a = −2 S(S − 3P) = 19 Đặt S = a + y,P = ay Khi đó: ⇔ ⇒ ∪ SP = −6 P = −6 y = −2 y = 1 Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = ( ; −2), ( − ; 3) Bình luận 1) Ngồi cách giải trên, ta giải theo cách sau Ta thấy x = không nghiệm hệ, ta biến đổi hệ sau 6(1 + xy)(1 − xy + x2 y ) = 6.19x3 19xy(1 + xy) = −19.6x Cộng hai phương trình hệ lại ta được: (1 + xy)(6x y + 13xy + 25) = Đến đây, toán trở nên đơn giản y + xy = 6x 2) Một ví dụ tương tự tốn 2 1 + x y = 5x (x + 1)y + = 2xy (y − 1) Ví dụ 10 Giải hệ phương trình 4 xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + Lời giải x y + 2xy + + y − 2xy = Hệ ⇔ 3x y6 − 2xy − x2 y − 2xy − = x x + − 2xy = −1 x + 2 + − 2xy = −1 y2 y y ⇔ ⇔ 2 2x 3x y − − x − 2xy − =0 3x y − 2xy − x + =0 y2 y4 y2 ( y = không nghiệm hệ) GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 10 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đặt a = x + a = 2b − b = a − 2b = −1 , b = xy , ta có hệ: ⇔ ⇔ y2 a = ±1 a − 3b2 + 2b = 3b2 − 4b + = −1 1+ x = x = − = x = x+ a = 2 y v • ⇔ ⇔ ⇔ y2 b=1 1+ y = − xy = y − y − = y = a = −1 x + = −1 x = y hệ vơ nghiệm • ⇔ ⇔ y b=1 xy = y2 + y + = −1 ± ± Vậy nghiệm hệ cho là: (x; y) = ; 2 6x y (x − 1)2 + = x2 + Ví dụ 11 Giải hệ phương trình 4x − 3x y − 9xy 3y − x = x + 3y 3y ≥ x Lời giải Từ phương trình thứ hai, ta có x + 3y ≠ Hệ cho tương đương với: (x − 2x + 4)(x + 2) = 6x y x6 + = 6x y 2 ⇔ ⇔ 4x 2 4x − 3x y − 9x y − 3xy (3y − x) = 9y − 6xy + x = x + 3y x + 3y x6 + = 6x5 y x6 + = 6x y ⇔ ⇔ (x − 3xy + 9y )(x + 3y) = 4x x3 + 27y = 4x 6y 1 + = x x Vì x = khơng nghiệm hệ, nên ta có: 1 + 27y = x3 x2 Đặt a = x2 > 0, b = 3y , ta thu hệ: x GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 1 + a = 2b 1 + b3 = 2a 11 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 + a = 2b a = b a = b ⇔ ⇔ ⇔ a − 2a + = (a − 1)(a + a − 1) = (a − b)(a + ab + b + 2) = a = b ⇔ −1 + a = 1,a = 2 x = x = − =1 x • a = b = , ta có: ⇔ v 3y = y = y = − 3 x 2 −1 x = = −1 + • a=b= ⇔ x ⇔ −1 3y y = x = x = − +1 −1 v y = − +1 ( ) +1 +1 ( ) −1 Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm hệ cho là: ( x; y ) = ± 2; ± 2 , − ( ( + 1; − ( − 1) +1 ) ) 6x − x − x y − ( y + 12 ) x = −6 Ví dụ 12 Giải hệ phương trình: 5x − x − y − 11x = −5 Lời giải Nhận thấy, x = không nghiệm hệ nên chia hai vế phương trình cho x ta được: 1 6 x + − x − y − y − 12 = x x 1 5 x + − x − x y − 11 = x 6 x − − x − y − y = x x ⇔ 2 1 1 x − − x − y2 − = x x GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 12 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đặt a = x − , ta có hệ: x 6a − ay − y = 2 5a − a y − = y2 y + =6 a a2 Chia hai vế hệ cho a ≠ ta có: y2 + =5 a2 Đặt u = , ta có hệ: a y2 u + u2 y = uy(u + y) = u + y = ⇔ ⇔ 2 (u + y) − 2uy = uy = u + y = u = u = Từ ta tìm được: y = y = • u = 1⇒ a = 1⇔ x− • u=2⇒a= 1± = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = x 1 1 ± 17 ⇔ x − = ⇔ 2x2 − x − = ⇔ x = x Vậy nghiệm hệ cho là: ( x; y ) = ±2 ;2, ± 17 ;1 Phương pháp hàm số Trong phương pháp này, dựa vào tính đơn điệu hàm số để thiết lập mối quan hệ ẩn ( 2 y(1 + x ) = x + y Ví dụ 13 Giải hệ phương trình: x + 3y = ) (1) (2) Lời giải Từ phương trình (2) ⇔ −1 ≤ x, y ≤ (*) Từ phương trình (1) ta thấy hệ có nghiệm (x;y) xy > (**) x,y ln dấu với (1) ⇔ + x2 + y t2 + = ⇔ f(x) = f(y) f(t) = với t ∈ [−1;1] x y t GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 13 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ta có f '(t) = t2 − t2 ≤ ⇒ f(t) nghịch biến khoảng[ − 1; 0) (0; 1] Vì x,y dấu nên ta có trường hợp sau: * Nếu x, y ∈ (0;1] ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y thay vào (2) ⇒ x = y = * Nếu x, y ∈ [−1; 0) ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y thay vào (2) ⇒ x = y = − 1 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm: (x; y) = ( ± ; ± ) 2 Bình luận: 1) Ngồi cách giải trên, ta biến đổi (1) sau: (1) ⇔ x + xy = y + x y ⇔ x − y + xy(y − x) = ⇔ (x − y)(xy − 1) = Từ kết hợp với (2) ta tìm x, y 2) Nếu hệ xuất phương trình dạng f(x; y) = f(y; x) ta có hai cách biến đổi phương trình Cách 1: Biến đổi dạng (x − y)g(x; y) = Cách 2: Biến đổi dạng h(x) = h(y) , ta sử dụng phương pháp hàm số Tuy nhiên trường hợp ta cần lưu ý tính chất sau hàm đơn điệu “Nếu hàm số y = f(t) (Có TXĐ Df ) đơn điệu tập xác định f(x) = f(y) ⇔ x = y Còn Df hợp khoảng ta kết luận hàm số y = f(t) đơn điệu khoảng xác định từ f(x) = f(y) ta chưa suy x = y ! mà ta suy x,y thuộc khoảng.” Chẳng hạn ta xét hàm f(x) = − x2 + 4x − có f '(x) = −1 − < x−2 (x − 2)2 f(1) = f(3) = ! 3) Trong cách tốn cần phải có hai nhận xét (*) (**) có (*) ta kết luận f(t) nghịch biến, có (**) ta xét hai trường hợp x, y < x, y > nên từ f(x) = f(y) có: x = y Trong số trường hợp, khơng có nhận GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 14 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH xét để đẩy hai biến khoảng xác định ta sử dụng cách biến đổi thứ 1 x − x = y − y Chẳng hạn, ta xét sau: x + = 2y x − y + 3y − 3x − = Ví dụ 14: Giải hệ phương trình : x + − x − 2y − y + = Lời giải −1 ≤ x ≤ Điều kiện: 0 ≤ y ≤ x − y + 3y − 3x − = x3 − 3x − = (y − 1)3 − 3(y − 1) − (1) Ta có ⇔ 2 x + − x − − (y − 1)2 + = (2) x + − x − 2y − y + = Ta có: y − 1, x ∈ −1;1 ( ) Xét hàm số f(t) = t − 3t − 2, t ∈ −1;1 có f '(t) = t − ≤ ⇒ (1) ⇔ x = y − Thay vào (2) ta được: x − − x + = ⇔ x = ⇒ y = x = Vậy nghiệm hệ: y = 2x + − 2y + = x − y Ví dụ 15: Giải hệ phương trình : 2 x − 12xy + 9y + = (1) (2) Lời giải ĐK: x, y ≥ − Từ (2) ta thấy hệ có nghiệm (x;y) x.y ≥ (*) (1) ⇔ 2x + − x = 2y + − y (3) Xét hàm số f(t) = 2t + − t , ta có: f '(t) = 2t + − ⇒ f '(t) = ⇔ t = ⇒ hàm f(t) đồng biến ( − ; 0) nghịch biến (0; +∞ ) GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 15 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Do (*) nên ta có trường hợp sau TH 1: x, y ∈ [− ; 0) ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y (do f(t) đồng biến) TH 2: x, y ∈ [0; +∞) ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y (do f(t) nghịch biến) Tóm lại hai trường hợp dẫn đến x = y , tức (1) ⇔ x = y thay vào (2) ta được: 2x = ⇔ x = (do x ≥ − ) Vậy hệ có cặp nghiệm : x = y = π Ví dụ 16: Giải hệ phương trình với x, y ∈ (0; ) : x − y sin x = e sin y 2 3 8x + + = 2y − 2y + + 8y Lời giải sin x ex ey ⇔ = ⇔ f(x) = f(y) , Ta có : e x − y = sin y sin x sin y Trong f(t) = f '(t) = et π π , t ∈ (0; ) Hàm f(t) liên tục (0; ) có sin t 4 e t cos t(tan t − 1) sin π π < ∀t ∈ (0; ) ⇒ f(t) hàm nghịch biến (0; ) 4 ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y thay vào phương trình thứ hai ta được: 8x + + = 2x − 2x + + 8x ⇔ 3( 8x + − 2x − 2x + 1) + 8x − = ⇔ 3(8x − 1) 8x + + 2x − 2x + + 8x − = ⇔ x = Vậy hệ có cặp nghiệm nhất: x = y = GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) π ∈ (0; ) 16 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp đánh giá Để giải hệ phương trình ta sử dụng phương pháp đánh giá Thông thường ta xuất phát từ phương trình kết hợp hai phương trình hệ để ta thiết lập phương trình mà trường hợp xảy dấu “=” bất đẳng thức Từ ta tìm mối quan hệ đơn giản hai ẩn Cách làm thường sử dụng yếu tố xuất phương trình khó có mối quan hệ biến đổi đại số 2 x + y + 2xy = 2 Ví dụ 17 Giải hệ phương trình : x+ y =2 (1) (2) Lời giải Điều kiện: x, y ≥ 1 Ta có: (x − y)2 ≥ ⇔ x + y ≥ (x + y)2 ⇔ x + y ≥ (x + y) 2 ⇒ x + y + 2xy ≥ (x + y + xy ) = ( x + y )2 = 2 (do x + y = 2) x = y Đẳng thức có ⇔ ⇔ x = y =1 x+ y =2 Vậy hệ cho có cặp nghiệm x = y = Chú ý: Ta giải hệ cho cách giải hệ đối xứng loại Tuy nhiên, việc biến đổi tương đối phức tạp 2xy = x2 + y x + x − 2x + Ví dụ 18 Giải hệ phương trình: 2xy y + = y2 + x y − 2y + Lời giải * Ta thấy x = ⇒ y = ⇒ x = y = nghiệm hệ * Với xy ≠ cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta 1 ≤ 2xy + = 2xy x + y = 2xy + 2 2 (x − 1)2 + (y − 1)2 + GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 17 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ⇒ x − 2x + y ≤ ⇔ (x − y)2 ≤ ⇔ x = y = Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm là: ( x; y ) = ( 0; ) , ( 1; 1) Ví dụ 19 Giải hệ phương trình : y − 8x + − xy + 12 − 6x ≤ 2(x − y)2 + 10x − 6y + 12 − y = x + (1) (2) Lời giải Ta có: (2) ⇔ 2(x − y)2 + 10x − 6y + 12 = y + x + y ≥ 0; x ≥ −2 ⇔ 2 (x − y) + 5x − 3y + = ( y + x + 2) (3) Ta có: TV(3) = x − 2xy + y + 5x − 3y + = (x + 2)2 − 2y(x + 2) + y + y + x + = (y − x − 2)2 + ( y) +( x+2 ) ≥ ( y + x + 2)2 = VP(3) Đẳng thức có ⇔ y = x + ⇒ (2) ⇔ y = x + Thay vào (1) ta được: x − 4x + 13 − x − 4x + 12 ≤ ⇔ t + − t + ≤ (4) Trong : t = x − 4x + 10 = (x − 2)2 + ≥ ⇒ t + ≥ ) ( ( ) ( ) ( ) 3 Ta có: t + = + t + = + t + + t + ≥ + t + + t + 2 ( ⇒ t + ≥ 1+ t + ) ⇒ t + − t + ≥ (5) Đẳng thức có t = Từ (4) (5) ta suy t+3 −3 t+2 =1⇔ t =6 ⇔ x = x = Vậy hệ cho có nghiệm y = GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 18 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH y + (4x − 1)2 = 4x(8x + 1) Ví dụ 20 Giải hệ phương trình 40x + x = y 14x − Lời giải: Đk : x ≥ 14 y + 16x2 − 8x + = 4x(8x + 1) Hệ ⇔ 80x + 2x = 2y 14x − Cộng hai phương trình hệ với ta được: y − 2y 14x − + 14x − + 96x − 20x + = 4x(8x + 1) ⇔ (y − 14x − 1)2 + 96x − 20x + = 4x(8x + 1) (1) 1 Ta có: VT(1) ≥ 96x − 20x + = [3(8x − 1)2 + 8x + 1] ≥ (8x + 1) 2 1 = [16x + 8x + + 2] ≥ 16x(8x + 1)2 = 4x(8x + 1) = VP(1) x = Suy (1) ⇔ Thử lại hệ ta thấy thỏa mãn y = 14x − = x = Vậy hệ cho có nghiệm y = Lời kết: Ngoài phương pháp trình bày trên, cịn có phương pháp khác lượng giác hóa, đặt ẩn phụ khơng triệt để…Nhưng lại để giải hệ phương trình ta tìm cách tìm quan hệ đơn giản ẩn để thực phép chuyển phương trình ẩn Hy vọng với viết nhỏ, góp phần giúp em học sinh khơng cịn lúng túng đứng trước hệ phương trình Những vấn đề đưa thân đúc rút q trình giảng dạy, nên mang tính chủ quan Cuối cùng, chúng tơi nêu lên số tập để bạn luyện tập Bài tập: Giải hệ phương trình sau GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 19 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 x − y = x − y 1) x + y = x + y + 3 x − y = x − y 2) x + − − y = − 2x x + y = 2xy 4) x + y = 2xy x y = 16 5) 3x + y = 1 x − x = y − y 6) = 3+ 2y x x x ( ) + ( y ) = 12 7) y (xy)2 + xy = 2x 2y + =3 8) y x − + x y xy = x x + + y = y 9) x + x + = y y x+ y + x− y =2 10) y+ x − y− x =1 x − xy + y = 3(x − y) 11) x + xy + y = 7(x − y)2 85 2 = 4xy + 4(x + y ) + (x + y)2 13) 2x + = 13 x+y x2 + y = 15) 3 3x − y = x+y 2x + y + − x + y = 3) 3x + 2y = x + y = 2xy + 12) x + y + = = 13 8(x + y ) + 4xy + (x + y)2 14) 2x + = x+y 5x y − 4xy + 3y − 2(x + y) = 16) xy(x2 + y ) + = (x + y)2 x + y + x + y − = 17) 2 2x + xy − y − 5x + y + = x + y + x − y = 18) y x − y = x + 2x y + x y = 2x + x + 3xy = 6xy − 3x − 49 19) 20) 2 x − 8xy + y = 10y − 25x − x + 2xy = 6x + x + y + x y + xy + xy = − 21) x + y + xy(1 + 2x) = − x − x3 y + x y = 23) x y − x + xy = −1 xy + x + y = x − 2y 22) x 2y − y x − = 2x − 2y 7x + y + 2x + y = 24) 2x + y + x − y = x + y +1 = 26) y + x +1 = GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 4x + y + 2x + y = 25) 2x + y + x + y = x + y ≥ 27) 4 7 11 11 (x + y )(x + y ) = x + y 20 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x + 32 − x − y = −3 29) x + 32 − x + 6y = 24 xy = y + 28) x + z = y( x − y + z) 2 y + x − 12y + = 12 (x + 17) 30) x + 2x = x + x − y 8y 3y 2 x + y = 32) 4x(x − x + x − 1) = y + 2xy − x + xy = y10 + y6 34) 4x + + y + = 2 + 2x y − x y + x (1 − 2x ) = y 31) 1 + + (x − y)2 = −x (x + − 2x2 − 2xy ) 2 y + y + 2x = xy − x y 33) 4xy + y + ≥ 2x2 + + (2x − y)2 3x + =2 x+y 35) 7y − = x+y 3 x(y − x ) = 37) 3 2 x + x y + 9y = y x + x y + 9x x( + 36) 4 y( − x+ y x+y x+ y x+y )=2 )=1 8xy x + y + x + y = 16 38) 2x x x2 y x + = + − 8y 3y x y +1 = (y + 1)x x − y = 240 39) 40) 2x − 9x + 3 2 = y +1 −4x + 18x − 20 + x − 2y = 3(x − 4y ) − 4(x − 8y) 2x − 9x + GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 21 ... 16 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp đánh giá Để giải hệ phương trình ta sử dụng phương pháp đánh giá Thông thường ta xuất phát từ phương trình kết hợp hai phương trình hệ. .. dụ Giải hệ phương trình : y + xy = −6x GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải 1 + y = 19 a + y = 19 Vì x = khơng nghiệm hệ nên hệ. .. mà phương trình ẩn phương trình khơng phải phương trình bậc GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x − 8x = y + 2y Ví dụ Giải hệ phương trình : x − =