TRUNG TÂM LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO SĐT: 01234332133 ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ Biên soạn: Ths Trần Đình Cư KĨ THUẬT GIẢI NHANH  Dành cho học sinh luyện thi THPT Quốc Gia  Bồi dưỡng học sinh giỏi 10, 11, 12  Giáo viên giảng dạy, dạy thêm luyện thi Quốc gia TÀI LIỆU DÀNH TẶNG HỌC SINH LỚP TỐN THẦY CƯ Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế MỤC LỤC CHỦ ĐỀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ Các tốn điển hình thường gặp VẤN ĐỀ Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian CHỦ ĐỀ MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 10 VẤN ĐỀ Viết phương trình mặt phẳng 11 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối hai mặt phẳng 14 VẤN ĐỀ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song Hính chiếu điểm đối xứng 16 VẤN ĐỀ Góc hai mặt phẳng 17 VẤN ĐỀ Ứng dụng giải toán hình học khơng gian 18 CHỦ ĐỀ MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 20 VẤN ĐỀ Viết phương trình mặt cầu 20 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 20 CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 28 VẤN ĐỀ Viết phương trình đường thẳng 28 Dạng Viết phương trình đường thẳng  (   (P) / / (P) ) qua điểm A vng góc với đường thẳng d 30 Dạng Viết phương trình đường thẳng  qua A, vng góc với d1 cắt d2 30 Dạng Viết phương trình đường thẳng  qua A, song song với (P) cắt d 31 Dạng Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 31 VẤN ĐỀ Vị trí tương đối đường thẳng không gian 32 Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng d1 , d2 32 Dạng Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1 , d2 33 Dạng Viết phương trình đường vng góc chung d hai đường thẳng chéo 34 VẤN ĐỀ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo 34 Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 34 Dạng Khoảng cách hai đường thẳng chéo 35 Dạng Ứng dụng tọa độ giải tốn khơng gian 35 VẤN ĐỀ Các toán liên quan đường thẳng mặt phẳng 36 Dạng Đường thẳng song song với mặt phẳng 37 Dạng Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng 38 Dạng Hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt phẳng 40 Dạng Hình chiếu điểm lên đường thẳng 43 VẤN ĐỀ Các toán liên quan đường thẳng mặt cầu 53 Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHÔNG GIAN 57 VẤN ĐỀ Góc tốn liên quan 57 VẤN ĐỀ Sử dụng tọa độ giải toán hình học khơng gian 58 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 59 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị hình học cách sử dụng bất đẳng thức hình học 59 VẤN ĐỀ Giải toán cực trị phương pháp hàm số cách sử dụng bất đẳng thức đại số 60 VẤN ĐỀ Giải toán cực trị phương pháp ứng dụng tâm tỉ cự 62 Dạng Cực trị độ dài vectơ 62 Dạng Cực trị độ dài bình phương vơ hướng vectơ 63 Dạng Cực trị dựa vào tính chất hình học 63 PHỤ LỤC 65 PHỤ LỤC MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRƯỚC KHI THI 65 PHỤ LỤC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀNG HAI CÁCH 76 Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế CHỦ ĐỀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT AB  ( x B  x A , yB  y A , zB  zA ) AB  AB  x  x A    yB  y A    zB  zA  B 2 a  b   a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  k.a   ka1 , ka2 , ka3  a  a12  a22  a32  a1  b1  a  b  a2  b2 a  b    a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3 | a | | b | cos a, b a a a a / / b  a  k b   a, b        b1 b2 b3 a  b  a.b   a1 b1  a2 b2  a3 b3  a 10 [a, b]   b  a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2  ,  b1 b1 b2        Trong không gian (Oxyz) cho A x A ; y A ; zA ; B xB ; yB ; zB ; C xC ; yC ; zC Ta có: AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA  AB  AB  x  x A    yB  y A    zB  zA  B 2  x A  xB x   I  y  yB  I trung điểm AB  yI  A  zA  zB  z   I   x A  x B  xC  xG   y  yB  yC  G trọng tâm tam giác ABC  yG  A  zA  zB  zC   zG   Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Tính chất tích có hướng a, b     b, a      a, b   a b sin a, b   a, b   a ; a, b   b       Ứng dụng tích có hướng a, b, c đồng phẳng   a, b  c    Diện tích tam giác ABC: S  1 AB, AC    Diện tích hình bình hành ABCD: S   AB, AD   Thể tích tứ diện ABCD: V   1 AB, AC  AD  6 Thể tích hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' : V   AB, AC  AA '   Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế VẤN ĐỀ Các tốn điển hình thường gặp      Ví dụ 1: a  1; m;2 ; b  m  2;2;1 ; c  0; m  2;2  a) Tìm m để a  b b) Tìm m để a, b, c đồng phẳng c) Tìm m để a  b  c ĐS: a) m   ; b)m   ; c)m  6  3       Ví dụ 2: Tìm x, y để ba điểm A 2;0;2 ; B 1;2;3 ; C x; y  3;7 thẳng hàng ĐS: x  13, y  13 Ví dụ Cho tam giác ABC có A(1;2;1), B(5;3;4); C(8;-3;2) a) Chứng minh ABC vng b) Tìm điểm M cho MA  MB  MC nhỏ 2 Hướng dẫn a) AB.BC  b) M ( x; y, z) ; x  4, y  4, z  1 Ví dụ Cho điểm A(1;-1;2), B(2;1;0); C(0;1;-1) Tìm điểm M thuộc trục Oz cho MA2  MB2  MC nhỏ Hướng dẫn: M (0;0; t ); , t  BTTT: Cho điểm A(1;-1;2), B(-1;2;0); C(3;-1;0) Tìm điểm M thuộc trục Oz cho MA2  MB2  MC nhỏ Hướng dẫn: M (0;0; t ); , t  Ví dụ Cho điểm A(1;-1;1), B(2;1;-2); C(0;0;1) Tìm tọa độ trực tâm ABC Hướng dẫn:  AH BC   AH  BC   5 8    BH AC  ÑS : H  ;  ;   BH  AC 9 9     BC , AC , CH đồ n g phẳ n g CH BC; AC      BTTT: Cho điểm A(4;-2;-1), B(1;4;-1); C(1;-2;-7) Tìm tọa độ trực tâm ABC Đáp số: H(3;-1;-2) Ví dụ Cho điểm A(1;2;-1), B(-2;1;3) Tìm M thuộc trục Ox cho AMB có diện tích nhỏ Hướng dẫn M (t;0;0) SAMB  1 1 AM; AB   17t  2t  75, t    2 17 Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Môn Tốn, TP Huế Ví dụ Cho tam giác ABC có A(-1;0;2), B(0;4;3); C(-2;1;2) Tính độ dài đường phân giác AD tam giác ABC, D  BC Hướng dẫn: DB AB   k roài suy DB  kDC Suy tọa độ D, sau tính DA DC AC  9 ÑS : D   ; ;   AD   4 BTTT: Cho tam giác ABC có A(1;2;-1), B(2;-1;3); C(-4;7;5) Tính độ dài đường phân giác góc B  17 26  ; ;7  3   Đáp số:   Ví dụ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(0;0;-2), B(1;-4;1); C(2;2;-1) Hướng dẫn:  IA  IB   IA  IB  IC    IA2  IC    AB; AC; MA đồng phẳng    AB; AC  MA   59 14 13  ÑS : I  ;  ;   30 15 30  1   x;3  x;  x  tam giác ABC với A(1;1;3), B(0;5;2);C(-1;3;4) 2  BTTT: Cho điểm M  a) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh với x  , đường thẳng MI vuông góc với (ABC) Hướng dẫn: a)Tam giác ABC vuông C  tâm trung điểm AB   MI AB  b)    MI AC    Ví dụ Cho điểm A(-2;2;-1); B(-3;-2;-4); C(5;1;2); D  Oxz Tìm D biết DA=DB VABCD  37 Hướng dẫn: D  (Oxz) neân D(x;0;z) 37 VABCD   15 x  29 z  35  37; DA  DB  DA2  DB  x  3z  10 ĐS : D(1;0; 3) D(4;0; 2) Ví dụ 10 a) Cho hai điểm A(1;2;-1); B(4;3;5) Xác định M thuộc Ox cho M cách A B b) Cho hai điểm A(-4;-1;2); B(3;5;-1) Tìm C biết trung điểm AC thuộc Oy trung điểm BC thuộc (Oxz) Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế Hướng dẫn: a) M (0;0;4) b) C(a; b; c) ÑS : a  4; b  5; c    Ví dụ 11 Cho điểm A(1;2;4); B(2;-1;0); C(-2;3;-1); M ( x; y; z)  ABC Tìm hệ thức liên hệ x, y, z Tìm tọa độ D biết ABCD hình bình hành diện tích hình bình hành ABCD Hướng dẫn: M   ABC    AB; AC  AM   19 x  17y  8z  29    D(1;0; 5); SABCD  714 Ví dụ 12 Cho tứ diện ABCD, có A(2;3;1); B(1;1;-2); C(2;1;0); D(0;-1;2) Đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao Hướng dẫn:  AH  BC   1  .H  3; ;   AH  BD  2   BH  BC ; BD    Ví dụ 13 Cho điểm A(3;2;-5); B(-2;1;-3); C(5;1;-1) a) Chứng minh ABC nhọn b) Tìm điểm D thuộc (xOy) cho tứ diện ABCD tứ diện trực tâm ( có cặp cạnh đối vng góc với nhau) Hướng dẫn: a)* Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác * Chứng minh AB2  BC  CA2 , AB  CA  BC , BC  CA  AB b) D( x; y;0)  AB  AC; AD       31 19   Điều kiện ABCD tứ diện trực tâm   AB.CD  .D  ; ;0   7   AB BD    Ví dụ 14 Tam giác ABC có đỉnh A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz có trọng tâm G(1;2;-1) Tính diện tích tam giác Hướng dẫn: x   A( x;0;0); B(0; y;0); C (0;0; z).G trọng tâm tam giác ABC neân  y   z  3  SABC  3VOABC 27 (h khoảng cách từ O đến (ABC))  h Ví dụ 15 Cho ba điểm A(2;0;0), B(1;1;2), C(3;-1;1) Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng b) Biết ABC.A’B’C’ hình lăng trụ đứng có cạnh bên AA’, BB’, CC’ A’ mặt   phẳng Oyz Tìm tọa độ A’,B’,C’ Hướng dẫn đáp số a) ABC tam giác vuông A b)A'   Oyz   A '(0; m; p) ABC.A'B'C' laø hình lăng trụ đứng nên   AB m  2  AA '.AB  AA '     B '(1; 1;2) vaø C '(1; 3;1) p  AA ' AC   AC    Ví dụ 16 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;2;-1); C(3;-4;1), B’(2;-1;3)., D’(0;3;5) a) Tính tọa độ đỉnh hình hộp b) Tính thể tích hình hộp Hướng dẫn đáp số: a)AC có trung điểm I(2;-1;0) B'D' có trung điểm I'(1;1;4); A'(x;y;z) AA '  II '  A '(0;4;3); BB '  II '  B(3; 3; 1) C '(2; 2;5); D(1;1;1;) b) VABCD A ' B 'C ' D '  AA '  AB, AD     BTTT: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1); B’(2;1;1), C(4;5;-5), D’(1;-1;1) Tính tọa độ đỉnh hình hộp Đáp số:  3  5  9  3 B  3; ;   ; D  2; ;   ; A '  0;  ;  ; C '  3; ;   ; 2  2  2  2  Ví dụ 17 Cho điểm A(2;-1;-4); B(-2;3;-4), C(2;m+1;-8) a) Tìm m để tam giác ABC tam giác b) Với giá trị m tìm được, xác định tọa độ điểm S thuộc (Oyz) cho S.ABC hình chóp Đáp số: a) m=2; b) S(0;1;-6) Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế VẤN ĐỀ Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian Bài Cho S.ABCD có ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA  ( ABCD), góc SB với mặt phẳng (ABCD) 600 Lấy M  SA, AM  a , (BCM) cắt SD N Tính VS BCNM     Bài Cho S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SAD đều, SAD  ABCD Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM  BP VCMNP   Bài Cho S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vng B, AB  a, BD  SA  2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh AMB cân M Tính SAMB Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông, AB  AC  a, AA '  a Gọi M, N trung điểm AA’, BC’ Chứng minh MN đường vng góc chung AA’ BC’ Tính VM A ' BC ' Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình bình thoi cạnh a, BAD  60 Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AA’, CC’ Chứng minh bốn điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài D2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a; AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC hình chiếu vng góc đỉnh S (ABCD) điểm H thuộc AC, AH  theo a Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế a a  a  SE   ; ;  a  ; AF  (a; a 6; 0), SM   ; a 6;  a      cos   cos(SE; AF)  a a  a 0(a) 3a2 2    45o   a 6.a a2 3a2  6a2    a2 2  a2 a2  a2 a2 [SE; SM]   ; 0; ( 2; 0; 1)  n, với n  ( 2; 0; 1)   2  2 Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM)  00a 1  2x  z  a  a Vì AF // EM  AF //(SEM)  d(SE; AF)  d(A; SEM) Vậy, d(SE; AF)  a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông theo a Hướng dẫn: Cách 1: Ta có: SA  (ABC)  SA  AC vng A có AM trung tuyến nên MA  S SC M SA  (ABC) Ta lại có:  AB  BC (ABC vuông taïi B)  SB  BC (định lý đường vng góc) tuyến nên MB  SC Suy ra: MA = MB  Dựng MH // SA HK // BC (H  AC; K  AB) A C H K M B  MH  SA  a  SA  (ABC) MH  (ABC)     vì:  BC  AB HK  AB HK  BC  a  z 2a S MK2  MH2  HK2  a2  a2  2a2  MK  a M H A a K x C Page 77 a B y Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế 1 a2 SMAB  MK.AB  a 2.a  2 AC2  AB2  BC2  a2  4a2  5a2  AC  a Cách 2: AB2 a2 a ;   AC a 5 2a  BH  Dựng BH  AC (H  AC), ta có: AH  1    2 2 BH AB BC 4a Dựng hệ trục tọa vng góc Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc  2a a  A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B  ; ; 0  5   Tọa độ trung điểm M SC M  0;   Ta có: MA   0;  a  ; a  a  3a 3a  2a 3a  ; a   MA  ; MB    ; ; a   MB   2 5   suy ra: MA = MB   a2 2a2  Ta có: [MA; MB]   ; ; a   [MA; MB]  a2   SMAB  1 a2 [MA; MB]  a2  2 Bài Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc  (0o    90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Cách 1: Gọi H trung điểm BC trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O nên chân đường cao đỉnh S Suy ra: BC  SH, BC  AH, nên SHA   Ta có: OH  a AH  SHO vng góc: SO  HO.tg  a HO a tg SH   cos  6.cos  1 a a2 a3tg tg  Thể tích hình chóp S.ABC: V  SO.SABC  3 24 a2 SSBC  SH.BC  12.cos  Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 3.V a3tg a2 a V  h.SSBC  h   :  sin  SSBC 24 12 cos  Page 78 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Môn Tốn, TP Huế Cách 2: Vì S.ABC hình chóp nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC) Gọi M trung điểm BC Ta có: z S a a OM  AO  AM  3 C AM  BC, SM  BC  SMA   : SO  OM.tg   M y A O a tg B x Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), a a   a a   a   a   a a  B ; ;  ,C   ; ;  ,M  0; ;  , O  0; ;  , S  0; ; tg  2   2        3           a3tg SO.SABC  24  a a a  Ta có: BS    ;  ; tg  , BC  (a; 0; 0) 6   Thể tích hình chóp: V   a2 a2  [BS; BC]   0;  tg;  n 6   Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :   a  a2 a  a2 a 0 x    tg  y  (z  0)   (SBC) : tgy  z  tg     2 6    tg.O  O  Khoảng cách d từ A đến (SBC): d  a tg tg2  a tg a   sin  cos  Bài Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) / / / / Cách 1: Bốn tam giác vuông AA M, BCM, CC N, A D N (c.g.c)  A/ M  MC  CN  NA/  A/ MCN hình thoi Hai hình chóp B/A/MCN B/.A/NC có chung đường cao vẽ từ D/ đỉnh B/ SA/ MCN  2.SA/ NC nên: VB/ A/ MCN  2.VB/ A/ NC Mà: 1 a3 VB/ ANC  VC.A / B/ N  CC/ SA /B/N  a .a.a  3 a  VB/ A/ MCN  A/ C/ N B/ D A M C B Page 79 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế Ta có: SA/ MCN  / A C.MN, với / / A C  a 3; MN  BC  a  SA/ MCN a2  Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB/ A/ MCN   B/ H  3.VB/ A/ MCN SA/ MCN  / B H.SA/ MCN a3 a2 a :  3 Cách 2: Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz đơi vng góc, A(a; 0; 0), B(a; a; / / / / D(0; 0; 0), A (a; 0; a), B (a; a; a), C (0; a; a), D (0; 0; a), 0), C(0; a; 0), z  a   a  M  a; ;  , N  0; ; a      / a D C/ N A/ Ta có: A/ C  (a; a;  a), MN  (a; 0; a) [A / C; MN]  (a2 ; 2a2 ; a2 )  a2 (1; 2; 1) C a y D  a2 n với n  (1; 2; 1) A a Phương trình mp (A MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ n : M B x / 1(x  0)  2(y  a)  1(z  0)   (A/ MCN) : x  2y  z  2a  Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN): d  a  2a  a  2a 1 1  2a a  Bài Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vuô Cách 1:Dựng SH  AB S Ta có: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  AB, SH  (SAB)  SH  (ABC) SH đường cao hình chóp Dựng HN  BC, HP  AC B  SN  BC, SP  AC  SPH  SNH   N H  HN = HP HP  HA.sin 60o  SH  HP.tg  a   C P A a tg 1 a a2 a3 tg  tg Thể tích hình chóp S.ABC : V  SH.SABC  3 4 16 Page 80 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế Cách 2: Dựng SH  AB Ta có: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  B, SH  (SAB)  SH  (ABC) Vì (SAC) (SBC) Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz đơi vng góc, H(0; 0; 0), a   a  A  ; 0;  ; B   ; 0;  , 2     a  C  0; ;  , S(0; 0; h), (h  0)   z h S Phương trình mp (ABC): z = 0, với pháp vectơ n1  (0; 0;1) Phương trình mp (SAC): B x y z   1 a a h  (SAC) : 2h 3x  2hy  a 3z  ah  A với n2  (2h 3; 2h; a 3) cos   C H x 00a   12h2  4h2  3a2  y a a a 16h2  3a2 16h2  3a2   tg   cos2  3a2 3a2 tg2 a h   h tg 16  Thể tích hình chóp S.ABC: V  1 a a2 a3 h.SABC  tg  tg 3 4 16 Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC  120o cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) Hướng dẫn: Cách 1: Gọi H trung điểm BC  AH  BC  AH  a a  BC  a IB/ C/ vng có: a2 13a2 IB/  IC/  B/ C/   3a2  4 B/ C/ A/ BH  a2 5a2 AI  IC  AC   a  4 2 I H B 30 C o A Page 81 Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế /2 Ta có: AI  AB a) /  5a2 13a2  2a2   IB/ (AB/ đường chéo hình vng AA/B/B cạnh 4 I vng A Ta có: SAB/ I  1 a a2 10 1 a a2 ; SABC  AH.BC  a  AI.AB/  a  2 2 I), theo công thức chiếu, ta có: / cos   SABC a2 a2 10 30  :  SAB/ I 4 10 Cách 2: Gọi H trung điểm BC  AH  BC a  AH  C/ z A/ B/ a a  BC  a BH  2 I C A Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0), z 60o H y B a a   a a  / a a  / a a  B ; ; , C  ; ;  , A (0; 0; a), B/  ; ; a , C   ; ; a ,  2   2   2   2           a a a I  ; ;   2 2   a a   a a a / AB   ; ; a  , AI    ; ;  2 2 2    / Ta có: AB AI  a  a 3 a a a 3a2 a2 2a2     a     0    2 4 /  AB  AI / I vng A Phương trình mp(ABC): z = có pháp vectơ n1  (0; 0; 1) / mp (AB/I) có cặp vectơ phương AB , AI , nên có pháp vectơ:  a2 3a2 2a2  a2 a2 [AB ; AI]    ;  ;    (1; 3;  3)   n 4  4  / với n2  (1; 3;  3) cos   002   1  27  12 /  I), ta có: 30  10 40 Page 82 ... tốn hình học khơng gian 58 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 59 VẤN ĐỀ Giải tốn cực trị hình học cách sử dụng bất đẳng thức hình học 59 VẤN ĐỀ Giải. .. SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRƯỚC KHI THI 65 PHỤ LỤC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀNG HAI CÁCH 76 Page Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư... giảng Hình Học Giải tích Khơng gian Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Luyện thi gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế MỤC LỤC CHỦ ĐỀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ Các tốn điển hình