PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức:    1 1 1 + 2+ = + + a b c Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: a b c � �� � xy  x xy  x A  � x 1   1�� : 1  x 1 � � xy  1  xy �� xy  xy  � � �� �với x, y > 0; xy≠ Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A  6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn biểu thức A Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: 12x  3x   3x  2 � �x  xy  2y  �2 x  5y   � Giải hệ phương trình: Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x  4x  19  3y Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A không trùng với B C) Kẻ AH  BC (H �BC);HM  AB (M�AB); HN  AC (N �AC) CN �AC �  � � 2� 2� Chứng minh: sin AMN  cos OAC  BM �AB � Gọi D điểm nằm O C;Kẻ DE  AB (E �AB);DF  AC (F �AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1   1  x  y  z Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: x  y  z � xyz Chứng minh rằng: …………….Hết …….…… Họ tên thí sinh:……………………………… Số báo danh:………………………………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Chữ ký giám thị 1:………………… Chữ ký giám thị 2:………………… HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018 - 2019 Nội dung Điể m Câu ( 6, 0điểm) (1,0 đ).Rút gọn    Ta có 2  2   42  42  (  1)  (  1) 0,5 0,5 (    1)   � 2  2  2 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Ta có 1 1 � �1 1 � �1    �   � �   � a b c �a b c � �ab bc ca � 0,5 0,5 0,5 �1 1 � �a  b  c �  �   � � � �a b c � � abc � �1 1 �  �  � �a b c � (do a  b  c  ) 1   =a b c 0,5 � �� xy  x � xy  x A  � x 1   1�� : 1  x 1 � � xy  1  xy �� xy  xy  � � �� � 3.(3,0 đ) Cho biểu thức với x, y > 0; xy ≠ a) Rút gọn biểu thức A  6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn A a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có:   xy  1   xy  1   xy  :  xy  1   xy   xy  1   xy    xy  x   xy  1   x  1   xy    xy  1   xy   x  1   xy    xy  x   xy  1   xy  1   xy     xy  1   xy    xy  x   xy  1   x  1   xy  A      x  1  xy  xy  x 22 x  2x y  xy xy ; b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x y , ta có: https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 1,0 0,5 �1 x y xy xy  6 y (do x ) �1  � y �x � �1   x y � Dấu xảy  �  x = y = (thỏa mãn) Vậy giá trị lớn A x = y = Câu 2.( 5,0 điểm) 0,5 1.(2,5đ) Giải phương trình 12x  3x   3x  x � Đ: 0,25 0,5 12x  3x   3x    � 12x  3x   x  1( ÐK :12x  3x  �0) � 144 x  x   72 x  24 x  x  3x  � 144 x  72 x  15 x  3x  � x 144 x  72 x  15 x   0,5 x  0(ktm) � �� 144 x  72 x  15 x   0(1) � (1) �  x  1  36 x  27 x  3  0,5đ   � x   (tm) � � � 36 x  27 x   0(2) � Giải (2) tìm hai nghiệm KL nghiệm pt… 27  297 27  297 (tm); x2  (ktm) 72 72 x1  0,5 0,25 � �x  xy  2y  �2 x  5y    * � 2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình x  xy  y  �  x  y   x  y   2 c x = y x = -2y 0,5 0,5 ta đượ Với x = y thay vào phương trình (*) ta pt y2 +5 y +4 = 0,5 Giải phương trình, tìm y = -1; y = -4 Từ tìm x 0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta 4y + 5y + = Chứng minh 0,5đ phương trình vơ nghiệm KL nghiệm hệ 0,25đ Câu (2,0 điểm) 2 Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x  x  19  y https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x  x  19  y x  x   21  y � 2( x  1)  3(7  y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1) chia hết từ (1) có: 0,5 3(7  y )M2 �  y M2 � y lẻ 2 2 Ta lại có  y �0 nên y  Khi 2( x  1)  18 0,5 Ta được: x + = �3 , đó: x1  2; x2  4 Các cặp số (2 ; 1), ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25 0,25 Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A không trùng với B C) Kẻ AH  BC (H �BC);HM  AB (M �AB); HN  AC (N �AC) CN �AC �  � � 2� 2� sin AMN  c os OAC  BM �AB � Chứng minh: Gọi D điểm nằm O C; Kẻ DE  AB (E�AB);DF  AC (F � AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1.(2đ) Chứng minh Do sin2 = + cos2 (= = sin2 0,5 ) + cos2 CM AC = CH.BC ; AB = BH.BC Do 0,25 =1 ⇒ 0,5 (1) CM CH2 =CN.AC ; BH2 = BM AB Kết hợp với (1) ⇒ 0,5 0,25 ⇒ (đpcm) 2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí Talet ta có https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ( CM DF = AE)(2) 0,5 CM tương tự có: Nhân vế (3) (2) (3) ta 0,5 có Áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 0,25 Từ CM DB.DC = EA.EB + FA.FC.(đpcm) 0,25 3.(1,5đ) CM AMHN hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25 CM AH2 = AM.AB ⇒ AM = CM tương tự có AN= Từ (4),(5),(6) có 0,5 (5) (6) SAMHN 0,5 = Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác AMHN đường tròn (O), cho ABC vng cân A Khi điểm A thuộc 0,25 1   1  x  y  z Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: Chứng minh rằng: x  y  z � xyz 1  a,  b, c 1 y 1 z Ta đặt  x (ĐK: a, b, c  ) 1 a b  c 1 b a  c 1 c a  b �x  ,y  ,z   a a b b c c a b b c c a 3   � x  y  z � xyz ca ab a  b b  c (*) � bc ca Do CM : a b 1� a b � � �  � b  c c  a �a  c b  c � b c 1�b c � � �  � c  a a  b �b  a c  a � c a 1� c a � � �  � a  b b  c �c  b a  b � https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 0,5 Do 0,5 a b b c c a 1�a b b c c a �   � �      � bc ca ca ab a  b b  c �a  c b  c b  a c  a c  b a  b � Vậy BĐT(*) đúng, suy đpcm PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài (5 điểm ): Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị A c, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Bài (4,5 điểm ): a, Chứng minh b, Giải phương trình c, Tìm số tự nhiên có chữ số vừa số phương vừa lập phương Bài (4 điểm ): a, Tìm số thực x để đồng thời số nguyên b, Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (6,5 điểm ): https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ +3 1, Cho ABC vng A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Bx, Cy vng góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt Bx Cy P Q Chứng minh: a, AP = BP AQ = CQ b, PC qua trung điểm AH c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động cho góc BAC 90 Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn 2, Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ TỰ Ý ĐIỂM , 0,5đ Rút gọn được: 1,5đ b thỏa mãn ĐK (1,5đ ) Thay vào A tính 0,5đ a (2đ) Bài (5đ) NỘI DUNG ĐKXĐ: 1đ 0,5đ (1)  c (1,5đ )  0,5đ 0,5đ Mà  Thay A vào (1) tìm Bài (4,5đ) a (1,5đ )   Lập luận  Mà hai số nguyên tố  Vậy https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5đ 0,5đ 0,5đ  ĐK b (1,5đ ) Chuyển vế, vế không âm bình phương ta có   Để PT có nghiệm  Đối chiếu ĐK => x = thỏa mãn tốn  Gọi số phương cần tìm c (1,5đ ) Vì =>  Vì vừa số phương vừa lập phương với => y số phương Mà 1000  10 9999 y phương  Tìm y=16 => 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ = 4096 0,5đ  Đặt Từ (1) => a (2đ) Thay vào (2) =>  Biến đổi đưa Vì => =>  Với m = n =4 => 0,5đ => m = n  m=n=  Vì a,b,c số thực dương a + b + c = Bài (4đ)   Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ +3 b (2đ) ( Do a + b + c = ) Bài (6,5đ) 0,5đ 1a (2đ)  => Vẽ hình  Do ABC vuông A nên MA=MB=MC https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5đ 0,5đ 0,5đ  Từ cặp tam giác vng sau nhau: (cạnh huyền-cạnh góc vng)  => PA=PB; QA=QC Gọi giao điểm PC AH I  Vì IA//QC QA=QC nên ta có: 1b (1,5đ ) 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ  Mặt khác ta có: ( Vì AI//QC );  Từ ta có: ( Vì IH//PB) 0,5đ , suy IH=IA (vì PA=PB) 0,25đ  Ta có 0,25đ   Lại có vng A có AH đường cao  ( Hệ thức tam giác vuông ) 0,5đ  => 1c (1,5đ )  0,25đ 0,25đ  Suy  Giá trị lớn BH = 3HC hay  Vẽ tam giác ABC đường cao BH 2, (1đ)  Gọi A góc nhỏ =>  Ta có  Do Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1đ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ... tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018- 20 19 THỨ TỰ Ý ĐIỂM , 0,5đ Rút gọn được: 1,5đ b thỏa mãn ĐK (1,5đ ) Thay vào A tính 0,5đ a (2đ)... Vì vừa số phương vừa lập phương với => y số phương Mà 1000  10 99 99 y phương  Tìm y=16 => 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ = 4 096 0,5đ  Đặt Từ (1) => a (2đ) Thay vào (2) =>  Biến đổi đưa Vì... giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x  x  19  y https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x  x  19  y x  x   21  y � 2( x  1)  3(7  y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1)