Đang tải... (xem toàn văn)
XÁC SUẤTA BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁCBài toán 1. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác n n 4 . và có đúng 2 cạnh chung với đa giác n. và không có cạnh chung với đa giác 3 4 . C n n n nBài toán 2. Cho đa giác đều có 2n đỉnh.Số tam giác vuông có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác n n 2 2 .Bài toán 3. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là n chẵn 222. n Cn n lẻ 212. n CnBài toán 4. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác 3 Cn (số tam giác tù + số tam giác vuông) .Câu 1. Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạothành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằngA. 31212.8. CB. 81231212.8. CC C. 31231212 12.8. CC D. 31212 12.8. CLời giảiTa có 3 3 12 123 312 1212 12.8 . 12 8.12n C C Pn A C C Đáp án C Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh: 312 C . Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3 đỉnh liên tiếp cho 1 tamgiác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác. (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếpcủa đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác nàycó 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này) Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn 1 cạnhtrong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạonên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn) . Do đó trong trường hợp này có 8.12 tam giác.Câu 2. Cho đa giác H có n đỉnh n n , 4 . Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của H và không cócạnh nào là cạnh của H gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của H và có đúng 1 cạnh là cạnhcủa H . Khẳng định nào sau đây đúng?A. n 4;12 . B. n 13;21 . C. n 22;30 . D. n 31;38 .Lời giảiSố tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là 3 Cn .Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n .Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n 4 (điều kiện n và n 4 ) . số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là 3 4 C n n n n .Theo giả thiết, ta có 3 354 5. 4 .4 nnC n n n n nn thoûa maõnloaïiĐáp án DCâu 3. Cho đa giác lồi H có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của H . Chọnngẫu nhiên 2 tam giác trong X, xác suất để chọn được 1 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giácH và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của H bằngA. 69 . 70B. 23 . 17955C. 748 . 1995D. 35 . 10098Lời giảiTa có 322215401 122 18 1540 22 18 221540748 1185030 .1995444312X Cn C Pn A C C Đáp án CCâu 4. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh n n 2, . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác,xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 15. Tìm n .A. n 4. B. n 5. C. n 8. D. n 10.Lời giảiTa có 32 . n n C Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mútcủa một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số 2 2 n đỉnh còn lạicủa đa giác. Đa giác có 2n đỉnh nên có 22n n đường kính.● Số cách chọn 1 đường kính là 1 C n n .● Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong 2 2 n đỉnh là 12 2 2 2 C n n .Suy ra n A n n 2 2 .Theo đề bài ta có phương trình 322 2 1 8.5 nn nnC Đáp án CCâu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh được chọn là3 đỉnh của một tam giác vuông không cân làA. 3 . 19B. 2 . 35C. 8 . 57D. 17 . 114Lời giảiTa có 320 1140 160 8 . 10.18 10.2 160 1140 57n CPn A Đáp án C● Số tam giác vuông là 10.18.● Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân ( 2 điểm tạo nên tamgiác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường tròn) . Dođó có 10.2 tam giác vuông cân
XÁC SUẤT A - BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác n n có cạnh chung với đa giác n có cạnh chung với đa giác C n3 n n n khơng có cạnh chung với đa giác Bài toán Cho đa giác có 2n đỉnh n 2n 2 Số tam giác vng có đỉnh đỉnh đa giác Bài toán Cho đa giác có n đỉnh Số tam giác tù tạo thành từ n đỉnh đa giác n.C n22 n lẻ n.C n21 n chẵn 2 Bài toán Cho đa giác có n đỉnh Số tam giác nhọn tạo thành từ n đỉnh đa giác C n3 (số tam giác tù + số tam giác vng) Câu Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho A 12.8 C123 B C128 12.8 C123 C C123 12 12.8 C123 D 12 12.8 C123 Lời giải Ta có C123 12 12.8 n C12 P C123 n A C12 12 8.12 Đáp án C Số tam giác tạo từ đỉnh 12 đỉnh: C123 Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: đỉnh liên tiếp cho tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác có đỉnh đỉnh liên tiếp đa giác tức có cạnh cạnh liên tiếp đa giác, cạnh cắt đỉnh, mà đa giác có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này) Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: Trước tiên ta chọn cạnh 12 cạnh đa giác nên có 12 cách chọn; chọn đỉnh lại đỉnh (trừ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề với cạnh chọn) Do trường hợp có 8.12 tam giác Câu Cho đa giác H có n đỉnh n , n Biết số tam giác có đỉnh đỉnh H khơng có cạnh cạnh H gấp lần số tam giác có đỉnh đỉnh H có cạnh cạnh H Khẳng định sau đúng? A n 4;12 B n 13;21 C n 22;30 D n 31;38 Lời giải Số tam giác tạo thành có đỉnh đỉnh đa giác C n3 Số tam giác tạo thành có cạnh cạnh đa giác n Số tam giác tạo thành có cạnh cạnh đa giác n n (điều kiện n n ) số tam giác tạo thành khơng có cạnh cạnh đa giác C n3 n n n n 35 thỏa mãn Theo giả thiết, ta có C n3 n n n 5.n n n loaïi Đáp án D Câu Cho đa giác lồi H có 22 cạnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh H Chọn ngẫu nhiên tam giác X , xác suất để chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác H tam giác cạnh cạnh H A 69 70 B 23 17955 C 748 1995 Lời giải D 35 10098 Ta có X C 1540 22 748 P n C1540 1185030 1995 1 n A C 2218 C1540 2218 22 444312 Đáp án C Câu Cho đa giác gồm 2n đỉnh n 2, n Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh số 2n đỉnh đa giác, n xác suất ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông A n B n Tìm n C Lời giải D n 10 Ta có n C 23n Để ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông có hai đỉnh ba đỉnh hai đầu mút đường kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đỉnh lại số 2n 2 đỉnh lại 2n n C n1 n đa giác Đa giác có 2n đỉnh nên có đường kính ● Số cách chọn đường kính ● Số cách chọn đỉnh lại 2n 2 đỉnh C 21n2 2n Suy n A n 2n 2 n 2 n n Theo đề ta có phương trình C 2n Đáp án C Câu Cho đa giác có 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác đều, xác suất để đỉnh chọn đỉnh tam giác vuông không cân A 19 B 35 C 57 D 17 114 Lời giải n C 20 1140 160 Ta có P n A 10.18 10.2 160 1140 57 Đáp án C ● Số tam giác vuông 10.18 ● Số tam giác vuông cân: Cứ cách chọn đường kính có tam giác cân ( điểm tạo nên tam giác cân giao điểm đường thẳng qua tâm vng góc với đường kính chọn với đường tròn) Do có 10.2 tam giác vng cân Câu Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M , xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác A 91 B 18 91 C 20 91 D 73 91 Lời giải n C153 455 90 18 P Ta có n A 7.15 3.5 90 455 91 Đáp án B Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đa giác đối xứng với qua đường thẳng OA , hay có tam giác cân đỉnh A Như vậy, với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác 15 5 tam giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm lần Suy n A 7.15 3.5 90 Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Cơng thức tổng qt tính số tam giác tù: n.C n22 n lẻ n.C n21 n chẵn 2 Câu Cho đa giác 100 đỉnh nội tiếp đường tròn Số tam giác tù tạo thành từ 100 đỉnh đa giác A 44100 B 58800 C 78400 D 117600 Lời giải Đánh số đỉnh A1 , A2 , , A100 Xét đường chéo A1 A51 đa giác đường kính đường tròn ngoại tiếp đa giác chia đường tròn làm hai phần, phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 A52 đến A100 Khi đó, tam giác có dạng A1 Ai A j tam giác tù Ai A j nằm nửa đường tròn Chọn nửa đường tròn: có cách chọn Chọn hai điểm Ai , A j hai điểm tùy ý lấy từ 49 điểm A2 , A3 , , A50 có C 492 1176 cách chọn Giả sử Ai nằm A1 A j tam giác A1 Ai A j tù đỉnh Ai Mà A j Ai A1 A1 Ai A j nên kết bị lặp hai lần Có 100 cách chọn đỉnh Vậy số tam giác tù 2.1176.100 117600 Đáp án D Cách Áp dụng cơng thức nhanh ta có n.C n22 100.C 492 117600 Câu Cho đa giác 100 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác, xác suất để nhận tam giác nhọn A 11 B 11 C 33 D 25 33 Lời giải n C123 Ta có P n A 39200 33 Đáp án C Số tam giác tù 117600, Số tam giác vuông 50.98 4900 117600 4900 39200 Suy số tam giác nhọn: C100 Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Xét tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác n C n24 n 5 A có cạnh chung với đa giác n n 5 n n 5 B có cạnh chung với đa giác n C có cạnh chung với đa giác C n4 A B C khơng có cạnh chung với đa giác n C n4 A B C C n35 Và ta chứng minh Bài tốn Cho đa giác có 2n đỉnh C n2 Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT Bài tốn Cho đa giác có 4n đỉnh n Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH VNG Chứng minh Tứ giác có cạnh chung với đa giác Chọn cạnh n cạnh đa giác nên có n cách Chọn đỉnh lại n đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có C n24 đỉnh không liên tiếp nên trừ cho n (vì đỉnh liên tiếp tạo nên cạnh mà có n đỉnh lại nên có n cạnh) Vậy trường hợp có n C n24 n 5 tứ giác Tứ giác có cạnh chung với đa giác Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Vì hai cạnh kề cắt đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Chọn đỉnh lại n đỉnh (bỏ đỉnh tạo nên hai cạnh kề đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ) Do trường hợp có n n 5 tứ giác Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh đa giác Chọn cạnh n cạnh đa giác nên có n cách Trong n đỉnh lại (bỏ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề cạnh chọn, tham khảo hình vẽ) tạo nên n cạnh Chọn cạnh n cạnh nên có n cách Tuy nhiên trường hợp số tứ giác đếm đến lần n n 5 Do trường hợp có tứ giác Vậy có n n 5 n n 5 2 tứ giác thỏa mãn Tứ giác có cạnh chung với đa giác Đánh số thứ tự đỉnh đa giác, ta có n số: 1;2;3;4 , 2;3;4;5, , n 3; n 2; n 1; n , n 2; n 1; n;1, n 1; n;1;2, n;1;2;3 Vậy trường hợp có n tứ giác thỏa mãn Câu Cho đa giác có 20 đỉnh Có tứ giác tạo thành mà có đỉnh đỉnh đa giác có cạnh chung với đa giác ? A 1700 B 2100 C 2400 D 39520 Lời giải n 20 2100 Ta có n C n4 n 5 Đáp án B Bài tập tương tự Cho đa giác có 20 đỉnh Có tứ giác tạo thành mà có đỉnh đỉnh đa giác có cạnh chung với đa giác ? Đáp số: 450 Bài tập tương tự Cho đa giác có 20 đỉnh Tính xác suất mà hai đường chéo chọn cách ngẫu nhiên cắt bên đa giác Đáp số: 57 169 n C170 Đa giác 20 đỉnh có C 202 20 170 đường chéo Biến cố số tứ giác có đỉnh chọn từ 20 đỉnh đa giác (vì tứ giác tạo thành có cặp đường chéo cắt đa giác) nên n A C 204 Câu 10 Cho đa giác có 60 đỉnh Người ta lập tứ giác tùy ý có đỉnh đỉnh đa giác Xác suất để lập tứ giác có cạnh đường chéo đa giác cho gần với số số sau? A 13, 45% B 40, 45% C 80,70% D 85, 40% Lời giải n C 604 15.C 553 P 0,8070 Ta có n 60 n n A C 15.C C 604 n 5 55 Đáp án C Câu 11 Có 10 bạn ngồi xung quanh bàn tròn, bạn cầm đồng xu Tất 10 bạn tung đồng xu mình, bạn có đồng xu ngửa đứng, bạn có đồng xu xấp ngồi Xác suất để có người đứng có người đứng liền kề A 35 128 B 25 256 C 35 512 D 75 512 Lời giải n 25 P Ta có n A 10 C 62 5 256 10 Đáp án B Biến cố toán phát biểu lại sau: '' số tứ giác tạo thành từ đa giác có 10 đỉnh có cạnh chung với đa giác '' Câu 12 Có bạn ngồi xung quanh bàn tròn, bạn cầm đồng xu (cân đối đồng chất) Tất bạn tung đồng xu mình, bạn có đồng xu ngửa đứng, bạn có đồng xu xấp ngồi Xác suất để khơng có hai bạn liền kề đứng A 31 32 B 45 256 C 47 256 D 49 256 Lời giải n 28 47 Ta có P n A 20 16 256 Đáp án C Khơng có bạn đứng: có khả Có bạn đứng (7 bạn lại ngồi) : có khả Có bạn đứng không cạnh nhau: Đầu tiên chọn người người để đứng nên có cách; chọn người lại đứng (trừ người đứng trước hai người hai bên) nên có cách Hai người đứng khơng phân biệt nên trường hợp có 8.5 20 khả Có bạn đứng khơng có bạn bạn đứng cạnh Bài tốn quy cho đa giác có đỉnh, số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh chung với đa giác có C 83 8.4 16 khả Có bạn đứng khơng có bạn bạn đứng cạnh Bài tốn quy cho đa giác có có đỉnh, số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh chung với đa giác C khả Câu 13 Cho đa giác 12 đỉnh nội tiếp đường tròn Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác, xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật A 15 B 13 15 C 33 D 32 33 Lời giải Ta có n C12 P 33 n A C Đáp án C Đa giác cho có 12 6 đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có đỉnh đỉnh 12 đỉnh có đường chéo hai đường chéo lớn Suy số phần tử biến cố n A C 62 Bài tập tương tự Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh Tìm n Đáp số: n Câu 14 Cho đa giác có 20 cạnh Có hình chữ nhật tạo thành khơng phải hình vng, có đỉnh đỉnh đa giác cho ? A 35 B 40 C 45 D 50 Lời giải Số hình chữ nhật tạo thành (bao gồm hình vng) C102 45 Số hình vng tạo thành 20 Vậy số hình chữ nhật thõa mãn yêu cầu toán 45 40 Đáp án B B - XÁC SUẤT HÌNH HỌC Câu 15 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A 2;0, B 2;2, C 4;2, D 4;0 (hình vẽ) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ nguyên (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M x ; y mà x y A B C D 21 Lời giải Số điểm có tọa độ ngun thuộc hình chữ nhật 7.3 21 điểm x 2; 1;0;1;2;3; 4 y 0;1;2 Để châu chấu đáp xuống điểm M x , y có x y châu chấu nhảy khu vực hình x 2; 1;0;1;2 thang BEIA Để M x , y có tọa độ nguyên y 0;1;2 Nếu x 2;1 y 0;1;2 có 2.3 điểm Nếu x y 0;1 có điểm Nếu x y có điểm có tất điểm thỏa mãn Vậy xác suất cần tính P 21 Đáp án B Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên điểm mà tọa độ số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hay Nếu điểm có xác suất chọn nhau, xác suất để chọn điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ là: A 11 16 B 13 32 C 13 81 D 15 81 Lời giải x x 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4 Gọi tọa độ điểm M x ; y thỏa x , y nên y y 4; 3; 2; 1;0;1;2;3; 4 Suy n 9.9 81 x , y x y x y x 0; 1; 2 Gọi điểm M ' x ; y thỏa x , y OM x , y x , y y x y 0; 1; 2 Do có 15 cách chọn Nếu x y 0; 1 Do có 3 cách chọn Nếu x 1 y Do có 1 cách chọn Nếu x 2 Suy n A 13 Vậy xác suất cần tính P 13 81 Đáp án C Câu 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M 0;10, N 100;10 P 100;0 Gọi S tập hợp tất điểm A x ; y với x , y , nằm bên (kể cạnh) OMNP Lấy ngẫu nhiên điểm A x ; y S Xác suất để x y 90 A 169 200 B 845 1111 C 86 101 D 473 500 Lời giải Nhận thấy điểm cần tìm nằm đường thẳng y m với m 0;1;2; ;10 Ứng với đường y m, tương ứng có 101 giá trị x thỏa mãn ( x 0;1;2; ;100 ) Suy tập S có 11101 1111 phần tử n C1111 1111 86 Ta có P n A 946 101 Đáp án C Trên đường y có 91 điểm thỏa mãn ( x 0;1;2; ;90 ) Trên đường y có 90 điểm thỏa mãn ( x 0;1;2; ;89 ) Trên đường y 10 có 81 điểm thỏa mãn ( x 0;1;2; ;80 ) Suy n A 91 90 81 946 Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt; góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lấy 3, 4, điểm phân biệt (các điểm không nằm trục tọa độ) Trong 14 điểm ta lấy điểm Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm cắt hai trục tọa độ A 91 B 23 91 C 68 91 D 83 91 Lời giải Không gian mẫu số cách chọn điểm 14 điểm cho Suy số phần tử không gian mẫu C142 91 Gọi A biến cố '' Đoạn thẳng nối điểm chọn cắt hai trục tọa độ '' Để xảy biến cố A hai đầu đoạn thẳng phải góc phần tư thứ thứ ba phần tư thứ hai thứ tư ● Hai đầu đoạn thẳng góc phần tư thứ thứ ba, có C 21C 41 cách ● Hai đầu đoạn thẳng góc phần tư thứ hai thứ tư, có C 31C 51 cách Suy số phần tử biến cố A A C 21C 41 C31C51 23 Vậy xác suất cần tính P A A 23 91 Đáp án B Câu 19 Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 có điểm phân biệt, d2 có n điểm phân biệt n 3, n Tìm n , biết có 96 tam giác có đỉnh điểm cho A n B n C n D n Lời giải Cứ điểm không thẳng hàng tạo thành tam giác Do số tam giác tạo thành từ n điểm gồm: điểm (thẳng hàng) thuộc d1 n điểm (thẳng hàng) thuộc d C n36 C 63 C n3 n thỏa mãn Theo giả thiết, ta có C n36 C 63 C n3 96 n 8 loaïi Đáp án B Bài tập tương tự Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC , CD, DA lấy 1, 2, n điểm phân biệt n 3, n khác A, B, C , D Tìm n , biết số tam giác lấy từ n điểm cho 439 Đáp số n 10 Hướng dẫn Theo giả thiết, ta có C n36 C33 C n3 439 Câu 20 Trong không gian cho 2n điểm phân biệt 4 n , khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng khơng có điểm ngồi điểm n điểm đồng phẳng Tìm giá trị n cho từ 2n điểm cho tạo 505 mặt phẳng phân biệt A n B n C n 10 D n 16 Lời giải Ta có n điểm đồng phẳng tạo mặt phẳng n điểm lại giả thiết tạo C n3 mặt phẳng điểm n điểm đồng phẳng với n điểm lại tạo C n2 n mặt phẳng điểm n điểm lại với n điểm đồng phẳng tạo C n2 n mặt phẳng n Theo đề ta có phương trình: 2nC n2 C n3 505 Đáp án B C - BÀI TOÁN BỐC BI Câu 21 Một hộp chứa bóng đỏ (được đánh số từ đến 6) , bóng vàng (được đánh số từ đến 5) , bóng xanh (được đánh số từ đến 4) Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng A 43 91 B 48 91 C 74 455 D 381 455 Lời giải n C 74 P Ta có 1 1 455 n A C C C C C C C C C 3 4 4 Đáp án C C 42 C 31 C 31 cách xanh, vàng, đỏ C 41 C 42 C 31 cách xanh, vàng, đỏ C 41 C 41 C 42 cách xanh, vàng, đỏ Giải thích trường hợp 1: Khi bốc bốc bi trước tiên Bốc viên bi xanh từ viên bi xanh nên có C 42 cách, bốc viên bi vàng từ viên bi vàng (do loại viên số với bi xanh bốc) 15 nên có C 31 cách, cuối bốc viên bi đỏ từ viên bi đỏ (do loại viên số với bi xanh viên số với bi vàng) nên có C 31 cách Tương tự cho trường hợp lại Câu 22 Trong hộp có đựng 40 bóng, gồm 10 bóng xanh đánh số từ đến 10; 10 bóng đỏ đánh số từ đến 10; 10 bóng vàng đánh số từ đến 10 10 bóng trắng đánh số từ đến 10 Hai bóng màu mang số số 10 gọi '' cặp may mắn '' Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp bóng Xác suất để bóng lấy có '' cặp may mắn '' A 1633 9139 B 1408 45695 C 2447 63973 D 291484 3838380 Lời giải Ta có n C 40 291484 P n A C 43 C 42 C 362 C 21 C 41 C 384 C 31 C 362 C 21 C 32 3838380 Đáp án D Trường hợp Chọn '' cặp may mắn '' : có C 43 cách Trường hợp Chọn '' cặp may mắn '' : có C 42 C362 C 21 cách (Ở C 21 số cách chọn '' cặp may mắn '' từ '' cặp may mắn '' lại) Trường hợp Chọn '' cặp may mắn '' : có C 41 C 384 C 31 C 362 C 21 C 32 cách (Ở C 31 C 362 C 21 số cách chọn '' cặp may mắn '' từ '' cặp may mắn '' lại; C 32 số cách chọn '' cặp may mắn '' từ '' cặp may mắn '' lại) Câu 23 Các mặt xúc sắc đánh số từ đến Người ta gieo xúc sắc lần liên tiếp nhân số nhận lần gieo lại với Tính xác suất để tích thu số chia hết cho A 81 216 B 83 216 C 133 216 D 135 216 Lời giải Ta có 3 2;3 Số phần tử không gian mẫu n 63 Xét biến cố A : '' tích thu số chia hết cho '' Ta mô tả không gian biến cố đối A sau: có Khơng có số chia hết cho Khơng có số chia hết cho có 33 có Khơng có số chia hết cho Suy số phần tử biến cố đối A n A 33 23 Vậy xác suất cần tính P 33 23 133 63 216 Đáp án C Chú ý: Do trường hợp không chia hết cho trường hợp khơng chia hết cho bao trùm trường hợp không chia hết cho nên tính đến hai lần Câu 24 Mỗi lượt, ta gieo súc sắc (loại mặt, cân đối) đồng xu (cân đối) Tính xác suất để lượt gieo có lượt gieo kết súc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp A 12 B 11 12 C 397 1728 D 1331 1728 Lời giải Xét biến cố A : '' lần gieo thứ súc sắc xuất mặt chấm, đồng xu xuất mặt sấp '' 1 11 P A 1 12 12 12 11 397 toán P 12 1728 xác suất biến cố A P A Vậy xác suất cần tính Câu 25 Một chuồng có thỏ trắng thỏ nâu Người ta bắt ngẫu nhiên khỏi chuồng bắt thỏ trắng Xác suất để cần phải bắt đến thỏ A B 35 C 29 35 D 31 35 Lời giải Xét biến cố đối A : '' bắt thỏ trắng lần '' TH1) Bắt thỏ trắng lần đầu: Ta có n 7.6.5 n A1 3! Suy P A1 3! 7.6.5 TH2) Bắt thỏ trắng lần đầu: lần bắt trắng; lần 1, bắt trắng nâu T Ta có n 7.6.5.4 n A C 41 C 32 3! Suy P A Suy P A P A1 P A C 41 C 32 3! 7.6.5.4 31 P A 35 35 Đáp án D Cách Ta mô tả không gian biến cố A sau TTT; TNNN; NTNN; NNTN Suy P A 31 P A 35 35 D - BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ Câu 26 Cho tập hợp A 1; 2; 3; 4; 5 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt khơng lần Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để số chọn chia hết cho A B C D 15 Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde ● Sắp chữ số vào ba vị trí, có C 53 10 cách ● Còn lại hai vị trí, chọn số số 1; 2; 4; 5 xếp vào hai vị trí đó, có A42 12 cách Do tập S có 10.12 120 phần tử n C120 120 Ta có P n A 20 20 20 20 80 Đáp án C ● Hai chữ số lại , có C 53 2! 20 số ● Tương tự cho trường hợp ; ; Câu 27 Cho tập hợp A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số lập từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để số chọn chia hết cho A B C 26 D 11 26 Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde ● Ta có cách chọn vị trí cho chữ số , bốn chữ số lại có A64 cách chọn nên có 5A64 số ln có mặt chữ số (kể chữ số vị trí đầu tiên) ● Xét số có chữ số vị trí đầu tiên, có cách chọn vị trí cho chữ số , ba chữ số lại có A53 cách chọn nên có A53 số Do tập S có A64 A53 1560 phần tử n C1560 1560 Ta có P 3 26 n A A5 A5 540 Đáp án C ● e Khi có cách chọn vị trí cho số , ba số lại có A53 cách nên có 4.A53 số ● e Khi a có cách chọn; b , c , d có A53 cách chọn nên có 5.A53 số Câu 28 Cho tập hợp A 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để số chọn chia hết cho A B C 27 D 28 Lời giải Tập S có phần tử Ta có n 4 P n A 4.9 2.3 27 Đáp án C a1a2 a3 a4 Gọi số thỏa mãn biến cố a1a2 a3 a4 Do a1a2 a3 a4 Suy a4 2, 4, 6,8 : có cách; a1 , a2 có cách chọn a3 3; 6; 9 nên a3 có cách chọn Nếu a1 a2 a4 3k a3 2; 5; 8 nên a3 có cách chọn Nếu a1 a2 a4 3k a3 1; 4; 7 nên a3 có cách chọn Nếu a1 a2 a4 3k Vậy a3 ln ln có cách chọn nên n A 4.92.3 972 Câu 29 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập S , xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị A 200 B 1287 90000 C 1286 90000 D 500 Lời giải n 9.10 Số số tự nhiên có chữ số là: 9.10 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị abcd Ta có abcd 10abcd 3.abcd 7.abcd chia hết cho 3.abcd chia hết cho Đặt 3.abcd 7h abcd 2h h 1 số nguyên h 3t 1000 7t 9999 Khi abcd 7t 998 9997 t t 143,144, ,1428 7 Suy số cách chọn t cho số abcd chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 hay nói cách khác n A 1286 Vậy xác suất cần tìm P 1286 90000 Đáp án C Câu 30 Gọi S tập tất số tự nhiên có chữ số chia hết cho Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để chữ số đơi khác A 171 3125 B 198 3125 C 207 6250 D 396 6250 Lời giải Số có chữ số, chữ số sau có 10 cách chọn, chữ số đầu phụ thuộc vào tổng chữ số sau nên Không gian mẫu: n 10 có cách chọn Vì tổng chữ số từ đến 45 chia hết cho 9, nên muốn viết số có chữ số đơi khác chia hết cho ta cần bỏ chữ số chữ số từ đến cho tổng số chia hết cho Các ba số có tổng chia hết cho là: 0;1;8, 0;2;7, 0;3;6, 0;4;5, 1;2;6, 1;3;5, 1;8;9, 2;3; , 2;7;9, 3;6;9, 3;7;8, 4;5;9, 4;6;8, 5;6;7 Trường hợp Bỏ số: 0;1;8, 0;2;7, 0;3;6, 0;4;5 : có cách chọn Trong chữ số lại khơng có chữ số 0, nên số lại viết được: 7! số Do trường hợp có 4.7! số Trường hợp Bỏ số: 1;2;6, 1;3;5, 1;8;9, 2;3; , 2;7;9, 3;6;9, 3;7;8, 4;5;9, 4;6;8, 5;6;7 : có 10 cách chọn Với cách bỏ ba số đi, số lại viết được: 6.6! số Do trường hợp có 10.6.6! số Suy n A 4.7! 10.6.6! Vậy xác suất cần tính P 4.7! 10.6.6! 198 10 3125 Đáp án B E - BÀI TỐN VỀ NHĨM Câu 31 Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh số có An Bình Cơ giáo thực phân nhóm ngẫu nhiên thành nhóm, nhóm gồm thành viên để thực nhiệm vụ học tập Xác suất để An Bình nhóm A 3C102 C 84C 44 C124 C 84C 44 B 3C102 C 84C 44 C124 C 84C 44 C 3!C102 C 84C 44 C124 C 84C 44 D 3!C102 C 84C 44 C124 C 84C 44 Lời giải n C C C 3C C C Ta có P 4 C C C n A C C C 10 Đáp án A Đầu tiên có cách chọn nhóm An Bình vào nhóm đó, sau chọn An Bình chọn thêm bạn nên có C102 cách Chọn bạn cho nhóm nên có C 84 cách bạn lại vào nhóm cuối nên có C 44 cách Câu 32 Trong buổi sinh hoạt nhóm lớp, tổ có 12 học sinh gồm học sinh nữ có Hoa học sinh nam có Vinh Chia tổ thành nhóm, nhóm gồm học sinh phải có học sinh nữ Xác suất để Hoa Vinh nhóm 12 4 A 4 10 4 4 12 8 B C 32 D 25 32 Lời giải Không gian mẫu số cách chia 12 học sinh thành nhóm phải đảm bảo nhóm có học sinh nữ Giả sử ● Nhóm thứ có nữ nam, có C 42 C 82 cách ● Nhóm thứ hai có nữ nam, có C 21 C 63 ● Sau chia nhóm thứ thứ hai xong lại nữ nam nên nhóm thứ ba có cách Suy số phần tử không gian mẫu n C 42 C 82 C 21.C 63 6720 Gọi A biến cố '' Hoa Vinh nhóm '' Ta mô tả khả thuận lợi cho biến cố A sau: ● Trường hợp thứ Hoa Vinh với bạn nam bạn nữ thành nhóm nên có C 71.C 31 cách Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ nên có C 63 C 21 Cuối lại bạn nam bạn nữ nên có cách cho nhóm thứ ba Do trường hợp có C 71.C 31.C 63 C 21 840 cách ● Trường hợp thứ hai Hoa Vinh với bạn nam thành nhóm nên có C72 cách Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ nên có C 52 C 32 Cuối lại bạn nam bạn nữ nên có cách cho nhóm thứ ba Do trường hợp có C 72 C 52 C 32 630 cách ● Trường hợp thứ ba Hoa Vinh với bạn nam thành nhóm Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ Suy nhóm thứ ba có bạn nam bạn nữ Trường hợp trùng với trường hợp thứ hai nên ta khơng tính Suy số phần tử biến cố A n A 840 630 1470 Vậy xác suất cần tính P 1470 6720 32 Đáp án C F - BÀI TOÁN VỀ MÃ ĐỀ THI Câu 33 Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn có câu hỏi giống A 24 B 17 24 C 19 40 D 21 40 Lời giải Không gian mẫu tập hợp gồm cặp hai câu hỏi, mà vị trí thứ cặp câu hỏi thí sinh A chọn vị trí thứ hai cặp câu hỏi thí sinh B chọn ● Thí sinh A có C103 cách chọn câu hỏi từ gồm 10 câu hỏi ● Thí sinh B có C103 cách chọn câu hỏi từ gồm 10 câu hỏi Suy số phần tử không gian mẫu C103 C103 Gọi X biến cố '' câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn có câu hỏi giống '' Để tìm số phần tử X , ta tìm số phần tử X sau ● Giả sử A chọn trước nên có C103 cách chọn câu hỏi từ gồm 10 câu hỏi ● Để B chọn khác A B phải chọn câu hỏi lại từ 10 câu hỏi nên có C73 cách chọn Suy số phần tử biến cố X X C103 C73 Vậy xác suất cần tính P X X X C103 C103 C103 C107 17 3 C10 C10 24 Đáp án B Bài tập tương tự Với đề câu hỏi tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn có câu hỏi giống Đáp số: 21 40 Câu 34 An Bình tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, có mơn thi trắc nghiệm Vật lí Hóa học Đề thi môn gồm mã khác mơn khác có mã khác Đề thi xếp phát cho thí sinh cách ngẫu nhiên Xác suất để mơn thi An Bình có chung mã đề thi A 18 B 13 18 C 36 D 31 36 Lời giải n 6.6 6.6 Ta có P n A 6.6 1.5 18 Đáp án A ● Mỗi người có cách chọn mã đề cho môn nên n 6.66.6 ● Có trường hợp trùng mã đề (Vật lí Hóa học) Nếu An chọn đề trước An có 6.6 cách chọn Bình chọn đề sau mà để trùng với mã đề An mơn trùng có cách chọn (An chọn bắt buộc Bình chọn nấy) , mơn lại Bình phải chọn khác An nên có cách chọn (chọn mã đề lại trừ mã đề An chọn ra) Vậy n A 6.61.5 Câu 35 An Bình tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngồi thi ba mơn Văn, Tốn, Anh bắt buộc An Bình đăng ký thêm mơn tự chọn khác mơn: Hóa Học, Vật Lí, Sinh học hình thức trắc nghiệm Mỗi mơn tự chọn trắc nghiệm có mã đề thi khác mã đề thi môn khác khác Xác suất để An Bình có chung mơn thi tự chọn mã đề thi A B C 18 D 18 Lời giải Không gian mẫu số cách chọn môn tự chọn số mã đề thi nhận An Bình ● An có C 32 cách chọn mơn tự chọn, có C 61 C 61 mã đề thi nhận cho mơn tự chọn An ● Bình có C 32 cách chọn mơn tự chọn, có C 61 C 61 mã đề thi nhận cho mơn tự chọn Bình Suy số phần tử khơng gian mẫu C 32C 61.C 61 Gọi A biến cố '' An Bình có chung môn thi tự chọn mã đề thi '' Để tính số kết thuận lợi cho A , ta mô tả cách chọn mơn tự chọn An Bình cách nhận mã đề thi thỏa mãn yêu cầu toán ● Cách chọn môn Giả sử An chọn trước môn tự chọn mơn nên có C 32 cách Để Bình chọn mơn tự chọn có mơn trùng với An nên Bình phải chọn môn An chọn mơn lại An khơng chọn, suy Bình có C 21.C11 cách Do có C 32 C 21 C11 cách chọn mơn thỏa u cầu tốn ● Cách chọn mã đề Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề An C 61 C 61 Để Bình có chung mã đề với An mơn Bình chọn, mơn trùng với An phải chọn mã đề giống An nên có cách, mơn khơng trùng với An chọn tùy ý nên có C 61 cách, suy số cách chọn mã đề Bình 1.C 61 Do có C 61 C 61 1.C 61 cách chọn mã đề thỏa yêu cầu toán Suy số phần tử biến cố A A C 32 C 21 C11 .C 61 C 61 1.C 61 Vậy xác suất cần tính P C 32 C 21.C11 .C 61.C 61.1.C 61 C32C 61.C 61 Đáp án B G - BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI Câu 36 Một phiếu điều tra vấn đề tự học học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, câu có phương án trả lời Phiếu thu lại coi hợp lệ trả lời 10 câu, câu chọn đáp án Hỏi cần tối thiểu phiếu hợp lệ để số ln có phiếu trả lời giống hệt 10 câu hỏi ? A 41 B 10001 C 1048576 D 1048577 Lời giải Mỗi phiếu có phương án trả lời (hay nói cách khác phiếu có cách chọn đáp án) Do có 410 kết khác xảy phiếu hợp lệ 10 Vậy cần tối thiểu C 41 1048577 phiếu hợp lệ để có hai phiếu trả lời giống hệt 10 câu Đáp án D Câu 37 Từ ngân hàng 20 câu hỏi, có câu hỏi khó Người ta xây dựng hai đề thi đề thi gồm 10 câu câu đề đánh số thứ tự từ Câu đến Câu 10 Hỏi có cách xây dựng hai đề thi mà đề thi gồm câu hỏi khó A 77220 B 77221 C 5080320 D 10!2 C 42C168 Lời giải ● Chọn câu hỏi khó câu câu hỏi dễ 16 câu cho đề thứ nhất, sau xếp 10 câu theo thứ tự từ Câu đến Câu 10 có C 42 C168 10! cách ● 10 câu lại lấy làm đề thứ hai xếp theo thứ tự từ Câu đến Câu 10 có 10! cách Suy số phần tử biến cố A A C 42 C168 10!.10! 10! C 42 C168 Đáp án D Câu 38 Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu Đề thi hình thành cách chọn ngẫu nhiên 10 câu 30 câu đề cương Một học sinh học thuộc 25 câu đề cương, xác suất để đề thi có câu hỏi nằm 25 câu mà học sinh học thuộc A 323 1827 B 3553 7917 C 4346 7917 D 8075 23751 Lời giải Ta có 10 10 C 25 C 51 C 25 3553 n C 30 P 10 10 7917 C 30 n A C 25C C 25 Đáp án B câu thuộc - câu khơng thuộc: có C 259 C 51 khả 10 câu học thuộc hết: có C 2510 khả Câu 39 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có mơn thi bắt buộc mơn Tốn Mơn thi thi hình thức trắc nghiệm với phương án trả lời A, B, C, D Mỗi câu trả lời cộng 0, điểm câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm Bạn Hoa học mơn Tốn nên chọn ngẫu nhiên 50 câu trả lời Xác xuất để bạn Hoa đạt điểm mơn Tốn kỳ thi 40 20 30 10 C 10 3 C 20 3 C 20 3 C 40 3 A 50 50 B 50 50 C 50 50 D 50 50 4 4 Lời giải Gọi x số câu trả lời đúng, suy 50 x số câu trả lời sai Ta có số điểm Hoa 0, 2.x 0,1.50 x x 30 Do bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu Không gian mẫu số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên Mỗi câu có phương án trả lời nên có 50 khả Suy số phần tử không gian mẫu 50 Gọi X biến cố '' Bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu '' Vì câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời Vì có C 5030 320 khả thuận lợi cho biến cố X Suy số phần tử biến cố X X C 5030 320 C 5030 3 20 Vậy xác suất cần tính P 50 C 5020 3 20 50 Đáp án B Câu 40 Một thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, câu có phương án trả lời Xác suất để học sinh làm thi câu hỏi A C108 40 B C108 410 C C108 32 410 D 109 262144 Lời giải n 109 Ta có P 10 262144 n A C C C 10 10 10 Đáp án B Mỗi câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời ● câu - câu sai: có C108 3 khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C109 khả thuận lợi ● 10 câu đúng: có C1010 khả thuận lợi Câu 41 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai mơn thi trắc nghiệm Vật lí Hóa học Đề thi mơn gồm 50 câu hỏi; câu hỏi có phương án lựa chọn; có phương án đúng, làm câu 0, điểm Mỗi mơn thi thí sinh A làm hết câu hỏi chắn 45 câu, câu lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên Xác suất để tổng điểm môn thi thí sinh A khơng 19 điểm 5 C 3 C 3 C 10 C 3 81922 A 10 B 10 10 C 10 10 10 D 10 10 40 4 Lời giải Thí sinh A không 19 điểm 10 câu trả lời ngẫu nhiên hai môn Vậy lí Hóa học phải câu Không gian mẫu số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên Suy số phần tử không gian mẫu n 410 Gọi X biến cố '' Thí sinh A làm câu 10 cho chọn ngẫu nhiên '' nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố X Mỗi câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời ● câu - câu sai: có C105 3 khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C106 3 khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C107 3 khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C108 3 khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C109 khả thuận lợi ● 10 câu đúng: có C1010 khả thuận lợi Suy n X C105 35 C106 34 C107 33 C108 32 C109 C1010 81922 Vậy xác suất cần tính P 81922 410 Cách Xác suất trả lời câu hỏi Ta có trường hợp: 5 1 3 C105 ; , trả lời sai ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu ; ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C106 4 1 3 ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C107 ; 4 4 1 3 ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C108 ; 4 4 1 ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C109 ; 4 1 10 ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 10 câu C1010 4 Cộng xác suất ta xác suất cần tính Câu 42 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi mơn thi trắc nghiệm Toán Đề thi gồm 50 câu hỏi; câu hỏi có phương án lựa chọn; có phương án đúng, làm câu 0, điểm Bạn An làm chắn 42 câu, câu lại có câu bạn loại trừ câu đáp án chắn sai Do khơng đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa câu lại Xác suất bạn An 9, điểm A 55 1536 B 455 3456 C 379 13824 D 499 13824 Lời giải Ta quan tâm câu lại Trong câu lại chia làm loại: Loại 1: gồm câu có đáp án A, B, C xác suất chọn đáp án , xác suất chọn đáp án Loại 2: gồm câu có đáp án A, B, C, D xác suất chọn đáp án , xác suất chọn đáp án Để bạn An đạt 9,4 điểm (tức cần thêm câu câu lại) xảy khả sau 2 1 Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: xác suất C 55 3 4 2 1 1 1 3 Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: xác suất C 31 . C 54 xác suất C 32 C 53 Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: 1 Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: xác suất C 33 C 52 Cộng xác suất lại ta xác suất cần tính P 499 13824 Đáp án D H - BÀI TỐN VỀ CẶP ĐƠI Câu 43 Một trường THPT có 10 lớp 12 , lớp cử học sinh tham gia vẽ tranh cổ động Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với (các học sinh lớp khơng bắt tay với nhau) Tính số lần bắt tay học sinh với nhau, biết hai học sinh khác hai lớp khác bắt tay lần A 405 C 432 D 435 Lời giải Mỗi lớp cử học sinh nên 10 lớp cử 30 học sinh Suy số lần bắt tay C 302 (bao gồm học sinh lớp bắt tay với nhau) Số lần bắt tay học sinh học lớp 10.C 32 Vậy số lần bắt tay học sinh với thỏa mãn yêu cầu C 302 10.C 32 405 Đáp án A Bài tập tương tự Có tất cặp vợ chồng thực việc bắt tay lẫn (tất nhiên người không bắt tay vợ chồng mình) buổi gặp mặt, biết có tất có 40 bắt tay Đáp số: cặp vợ chồng Câu 44 Trong buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, có cặp vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để biểu diễn tiết mục văn nghệ Xác suất để người chọn khơng có cặp vợ chồng A 72 1140 B 425 B 89 95 C 20 D Lời giải Ta có n C 20 1140 72 89 P 1 n A C 41 C181 72 1140 95 Đáp án B Biến cố A người chọn ln có cặp vợ chồng ● Chọn cặp vợ chồng cặp vợ chồng, có C 41 cách ● Chọn thêm người 18 người, có C181 cách Câu 45 Một chi đồn có 40 người, có cặp vợ chồng Ban chấp hành cần chọn người để bầu vào chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư Xác suất để người chọn khơng có cặp vợ chồng A 65 B 59 65 C 61 65 D 64 65 Lời giải Ta có n A40 59280 912 64 P 1 1 n A C C 38 59280 65 3! 912 Đáp án D Câu 46 Hai tổ chuyên mơn trường trung học phổ thơng có giáo viên nam 13 giáo viên nữ có cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn người số 22 người khơng có cặp vợ chồng ? A 24054 B 24072 C 24090 D 25704 Lời giải Ta có trường hợp sau TH1: chọn người từ 18 người: có C185 cách TH2: chọn người từ cặp vợ chồng người từ 18 người: có C 41 C184 cách TH3: chọn người từ cặp vợ chồng cho cặp người từ 18 người: có C 42 2.C183 cách Vậy có C185 C 41 C184 C 42 2.C183 24072 cách Đáp án B Cách Tính theo phần bù Tính số cách chọn người tùy ý (cách chọn người có cặp vợ chồng cách chọn người có cặp vợ chồng) Số cách chọn người tùy ý: có C 225 26334 cách Số cách chọn người có cặp vợ chồng: Chọn cặp vợ chồng có cách chọn, chọn người lại có hai khả Khả thứ nhất: người từ cặp vợ chồng lại người từ 18 người Khả thứ hai: người từ 18 người Do trường hợp có 2.C 21C182 C183 cách Số cách chọn có cặp vợ chồng: Chọn cặp vợ chồng có cách, chọn thêm người từ 18 người nên có 18 cách: có 1.18 18 cách Vậy có C 225 26334 2.C 21C182 C183 18 24072 cách Câu 47 Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đơi hồn hảo '' Trong giải lao, ban tổ chức chọn ngẫu nhiên người để tham gia văn nghệ Xác suất để người chọn cặp vợ chồng A 99 323 B 224 323 C 73 481 D 408 481 Lời giải n C 404 91390 408 P Ta có n A C C 4 77520 481 20 Đáp án D Số cách chọn cặp từ 20 cặp C 204 Mỗi cặp chọn người, cặp có nên có C 21 cách chọn K - BÀI TỐN VỀ XẾP VỊ TRÍ Câu 48 Có 12 người xếp thành hàng dọc (vị trí người hàng cố định) Chọn ngẫu nhiên người hàng Tính xác xuất để người chọn khơng có người đứng cạnh A 11 B 20 C 21 55 D 110 Lời giải Ta có n C12 P 11 n A C10 Đáp án A Biến cố cần tính số cách đặt người vào 10 khoảng trống tảo người (cứ đặt đâu lấy đó) nên có C103 cách Bài tập tương tự Một nhóm gồm 12 học sinh có Hoa, Anh, Vinh Hỏi có cách xếp 12 bạn thành hàng ngang mà khơng có hai bạn ba bạn Hoa, Anh, Vinh đứng cạnh nhau? Đáp số: 11 Hướng dẫn Thực chất tốn Ta có n 12! n A 9!.A103 Câu 49 Xếp 10 sách tham khảo khác gồm: sách Văn, sách tiếng Anh sách Tốn (trong có hai Tốn T1 Toán T2 ) thành hàng ngang giá sách Xác suất để sách tiếng Anh xếp hai sách Toán, đồng thời hai Tốn T1 Tốn T2 ln xếp cạnh A 120 B 210 C 300 D 450 Lời giải n 10! Ta có P n A 5!.2!.A43 210 Đáp án B Xếp toán (coi T1 T2 khối) nên có 5!.2! cách Tạo khoảng trống Tốn (khơng kể hai đầu) T T T T T Xếp sách tiếng Anh vào khoảng trống có A43 cách Xếp Văn vào vị trí lại (một khoảng trống mà tiếng Anh lại, với khoảng trống đầu Tốn) nên có cách Câu 50 Một tổ có học sinh gồm học sinh nữ có hai em Thảo, My học sinh nam Xác suất để xếp học sinh vào hàng dọc cho Thảo My đứng cạnh em nữ lại khơng đứng cạnh không đứng cạnh Thảo My A B C 63 D 67 Lời giải n 9! Ta có P n A 5!.A63 2! 63 Đáp án C Xếp bạn nam trước (tạo khoảng trống kể hai đầu) : có 5! cách Coi Thảo My khối bạn nữ lại ta xếp vào chỗ trống nên có A63 cách Giữa Thảo My đổi chỗ cho nên có 2! cách Câu 51 Một tổ có 10 học sinh có bạn gồm An, Bình Cúc Hỏi có cách xếp 10 học sinh vào ghế dài có 10 chỗ trống cho An Bình ln ngồi cạnh An Cúc không ngồi cạnh A 2!.9! 2!.8! B 2!.9! 3.8! C 2!.9! 3!.8! D 3.9! 2.8! Lời giải ● Vì An Bình ln ngồi cạnh nên xem khối, người đổi chỗ cho nên có 2! cách Một khối (An Bình) với người lại hốn đổi vị trí cho nên có 9! cách Nhưng đếm đếm ln trường hợp An Cúc ngồi cạnh ● Ta đếm xem có trường hợp An Cúc ngồi cạnh (dĩ nhiên An Bình ngồi cạnh nhau) Xem An, Bình Cúc khối để An ngồi cạnh Bình ngồi cạnh Cúc An phải ngồi Bình Cúc, Bình Cúc đổi chỗ cho nên có 2! cách Một khối (Bình, An, Cúc) với người lại hốn đổi vị trí cho nên có 8! cách Vậy có 2!.9! 2.8! cách thỏa mãn yêu cầu toán Đáp án A Câu 52 Sắp xếp 12 học sinh lớp 12A gồm có học sinh nam học sinh nữ vào bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện (mỗi dãy gồm có ghế) để thảo luận nhóm Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện cạnh khác giới A 462 B 924 C 99920 D 665280 Lời giải n 12! Ta có P n A 2.6!.6! 462 Đáp án A Đánh số thứ tự ghế từ đến 12 12 11 10 Chọn số chẵn lẻ xếp bạn nam vào, sau xếp bạn nữ vào ghế lại Câu 53 Có bi xanh, bi đỏ, bi trắng bi vàng (các viên bi màu giống nhau) Hỏi có cách xếp 12 viên bị thành hàng ngang cho bi màu không cạnh nhau? A 22 B 55 C 28512 D 35640 Lời giải Ta có 12! n 3!.3!.3!.3! P 55 3 3 n A 1.C C C10 2.C C Đáp án B Xếp bi xanh trước: có cách (tạo khoảng trống kể hai đầu) Tiếp theo xếp bi đỏ vào khoảng trống: có C 43 cách Bây có tất viên bi (gồm bi xanh bi đỏ) tạo nên khoảng trống, tiếp tục xếp bi trắng vào khoảng trống: có C73 cách Thời điểm có tất viên bi (gồm bi xanh, bi đỏ bi trắng) , tiếp tục xếp bi vàng vào 10 khoảng trống: có C103 cách Vậy có 1.C 43 C 73 C103 cách Tuy nhiên xếp bi xanh xong, xếp bi đỏ vào khoảng trống trình bày có trường hợp mà bi xanh cạnh Đ X X Đ X Đ Đ X Đ X X Đ Ứng với trường hợp kéo theo việc xếp bi trắng không thỏa mãn C 63 việc xếp bi vàng không thỏa mãn C103 Vậy số trường hợp không thỏa mãn (cần phải trừ ra) 2.C 63 C 93 cách Câu 54 Có viên bi gồm bi xanh, bi đỏ, bi vàng (các viên bi bán kính khác nhau) Tính xác suất để xếp bi thành hàng ngang khơng có hai viên bi màu đứng cạnh A B 15 C 15 D 15 Lời giải n 6! Ta có P n A 240 Đáp án A Trường hợp Có cặp cạnh nhau: có 3!.2!.2!.2! 48 cách Trường hợp Có cặp cạnh Khả thứ nhất: Cặp xanh cạnh cặp đỏ Ta xem cặp xanh vị trí, cặp đỏ vị trí với viên bi vàng nên có 4! cách xếp Hai viên bi cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách, hai viên bi cặp bi đỏ đổi vị trí nên có 2! cách Nhưng ta đếm thừa trường hợp cặp bi cạnh Do khả thứ có 4!.2!.2! 48 48 cách Khả thứ hai: Cặp xanh cạnh cặp vàng có 48 cách Khả thứ ba: Cặp đỏ cạnh cặp vàng có 48 cách Vậy trường hợp có 48 48 48 144 cách Trường hợp Có cặp cạnh Khả thứ nhất: Chỉ có viên bi xanh cạnh Ta xem cặp xanh vị trí, với viên bi đỏ viên bi vàng nên có 5! cách xếp Hai viên bi cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách Nhưng ta đếm thừa trường hợp cặp bi cạnh (cặp xanh cạnh cặp đỏ & cặp xanh cạnh cặp vàng) trường hợp cặp bi cạnh Do khả thứ có 5!.2!2.48 48 96 cách Khả thứ hai: Chỉ có viên bi đỏ cạnh có 96 cách Khả thứ ba: Chỉ có viên bi vàng cạnh có 96 cách Vậy trường hợp có 96 96 96 288 cách số cách xếp bi thỏa mãn toán 6! 48 144 288 240 cách Nhận xét Bài ta làm trước viên bi khác Câu 55 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh nam (trong có Hồng) học sinh nữ (trong có Lan) thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh khơng có hai học sinh giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng Lan không đứng cạnh A 350 B 450 C 1575 D Lời giải n 10! Ta có P n A 18432 1575 Đáp án D Chọn vị trí chẵn lẻ để xếp nam: có cách Ta xét trường hợp nam vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ) Khả 1: Hoàng đứng cùng: có cách Xếp Lan khơng cạnh Hồng: có cách Đổi vị trí nam: có 4! cách; Đổi vị trí nữ: 4! cách Do trường hợp có 2.1.4.4!.4! 4608 cách Khả 2: Hồng khơng đứng ngồi cùng: có cách Xếp Lan khơng cạnh Hồng (bỏ vị trí cạnh Hồng) : có cách Đổi vị trí nam: có 4! cách; Đổi vị trí nữ: 4! cách Do trường hợp có 2.4.3.4!.4! 13824 cách 10 1575 Câu 56 Có học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C xếp thành hàng ngang cho hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớpB Hỏi có cách xếp hàng ? D 80640 B 108864 C 145152 D 322560 Lời giải Gọi k số học sinh lớp C hai học sinh lớp A với k 0;1;2;3;4 .C A Trước tiên ta đếm cách tạo thành cụm ACC k Chọn học sinh lớp A xếp đầu có 2! cách Chọn k học sinh lớp C xếp vào hai học sinh lớp A C A có A4k cách Do có 2!.A4k cách tạo cụm ACC k .C A vị trí với k 2 học sinh lại thành k vị trí Xếp hàng cho Coi cụm ACC k vị trí có 8 k ! cách Vậy với k có 2!.A4k 8 k ! cách xếp hàng số cách xếp hàng thỏa mãn đề là: 2!.A 8 k ! 145152 k cách k 0 Đáp án C Câu 57 Có viên bi xanh, viên bi vàng viên bi đỏ (các viên bi có bán kính khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành hàng ngang cho viên bi màu không xếp cạnh ? A 72 B 120 C 196 D 432 Lời giải Ta đánh số thứ tự ô cần xếp bi I II III IV V VI ● Trường hợp thứ Bi màu đỏ vị trí I, III, V nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh vị trí lại II, IV, VI nên có 3! cách Do tường hợp có 3!.3! 36 cách ● Trường hợp thứ hai (như trường hợp thứ nhất) Bi màu đỏ vị trí II, IV, VI nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh vị trí lại I, III, V nên có 3! cách Do tường hợp có 3!.3! 36 cách ● Trường hợp thứ ba Bi màu đỏ vị trí I, III, VI nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh tùy ý vị trí lại có 3! cách có vị trí II x IV v V v không thỏa mãn Do tường hợp có 3!.3! 2 24 cách ● Trường hợp thứ tư (như trường hợp thứ ba) Bi màu đỏ vị trí I, IV, VI nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh tùy ý vị trí lại có 3! cách có vị trí II v III v V x không thỏa mãn Do tường hợp có 3!.3! 2 24 cách Vậy có tất 36 24 36 24 120 cách thỏa mãn toán Đáp án B Bài tập tương tự: Cũng câu hỏi bi màu giống Đáp số: 10 cách Câu 58 Một nhóm gồm 11 học sinh có bạn An, Bình, Cúc xếp ngẫu nhiên vào bàn tròn Xác suất để bạn An, Bình, Cúc khơng có bạn xếp cạnh A 10 B 15 C 15 Lời giải D 11 15 n 11 1! 10! Ta có P n A 7!.A83 15 Đáp án C Xếp ghế quanh bàn tròn xếp bạn vào (11 bạn trừ An, Bình, Cúc) : có 8 1! 7! cách bạn sinh khoảng trống, xếp bạn (An, Bình, Cúc) vào khoảng trống nên có A83 cách Câu 59 Có học sinh nam, học sinh nữ thầy giáo xếp ngẫu nhiên vào bàn tròn Xác suất để thầy giáo xếp hai học sinh nữ A 39 B 39 C 14 39 D 25 39 Lời giải n 14 1! 13! 14 Ta có P n A C 82 2!.11! 39 Đáp án C Bước Ta cố định thầy giáo Bước Chọn lấy học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có C 82 cách Bước Xếp học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách Bước Cuối xếp 11 người lại vào 11 vị trí lại có 11! cách Câu 60 Có cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào bàn tròn Tính số cách xếp cho có vợ chồng nhà A ngồi cạnh cặp vợ chồng khác hai người vợ chồng khơng ngồi cạnh A 240 B 244 C 288 D 480 Lời giải Có cách xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ơng chồng ngồi cố định, bà vợ có cách xếp) Ta lại xếp cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng đổi chỗ cho nên có 2! cách Bây có tất khe trống (vì cặp vợ chồng A khơng cho ngồi giữa) Ta xếp cặp vợ chồng khác vào khe nên có A32 cách Bây có tất khe trống Ta xếp cặp vợ chồng lại vào khe nên có A52 20 cách Vậy có 20 480 cách Đáp án D ... 4 1 ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C109 ; 4 1 10 ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 10 câu C1010 4 Cộng xác suất ta xác suất cần tính Câu 42 Trong kỳ thi THPT Quốc... khác mã đề thi môn khác khác Xác suất để An Bình có chung mơn thi tự chọn mã đề thi A B C 18 D 18 Lời giải Không gian mẫu số cách chọn mơn tự chọn số mã đề thi nhận An Bình ● An có C 32 cách... C1010 81922 Vậy xác suất cần tính P 81922 410 Cách Xác suất trả lời câu hỏi Ta có trường hợp: 5 1 3 C105 ; , trả lời sai ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu