Chương BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC Việc phân tích tín hiệu rời rạc theo miền thời gian miền tần số thông thường thực hiệu tiện lợi vi xử lý tín hiệu số Bộ vi xử lý máy tính sử dụng cho mục đích chung thiết bị số chuyên dụng Để thực việc phân tích rời rạc theo thời gian, tín hiệu x(n) cần chuyển từ miền thời gian sang miền tần số tương ứng thông qua biến đổi Fourier X(e jω) dãy Tuy vậy, X(ejω) hàm liên tục biến tần số nên thấy việc xử lý máy tính cách khơng thuận tiện Để tránh nhược điểm nêu đưa cách biểu diễn khác x(n) – Biểu diễn thông qua việc lấy mẫu phổ X(e jω) tín hiệu Như từ biểu diễn tín hiệu miền tần số liên tục ta đưa đến biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Biến đổi công cụ hiệu việc phân tích tín hiệu rời rạc theo thời gian Ta có mối quan hệ biến đổi Fourier rời rạc với biến đổi khác sau: Hình 4.1 Mối quan hệ biến đổi Fourier rời rạc với biến đổi khác Biến đổi Z ZT IZT Tín hiệu hệ thống miền thời gian rời rạc DFT IDFT Biến đổi Fourier miền tần số rời rạc k IFT FT Biến đổi Fourier miền tần số liên tục ω Nội dung chương bao gồm: - Biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hồn có chu kỳ N; - Biến đổi Fourier rời rạc dãy không tuần hồn có chiều dài N; - Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc với dãy tuần hoàn khơng tuần hồn; - Các phương pháp biến đổi nhanh Fourier (FFT) 4.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC ĐỐI VỚI CÁC DÃY TUẦN HỒN CĨ CHU KỲ N 4.1.1 Các định nghĩa Trước nghiên cứu DFT, ta xét việc lấy mẫu biến đổi Fourier dãy tín hiệu rời rạc theo thời gian khơng tuần hồn qua thiết lập quan hệ biến đổi Fourier lấy mẫu DFT a Lấy mẫu miền tần số khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian Nhắc lại rằng, tín hiệu lượng hữu hạn khơng tuần hồn có phổ liên tục Ta xét tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn x(n) có biến đổi Fourier là: X(e j  )  � �x(n)e  jn (4.1) Giả sử ta lấy mẫu X(e ) cách tuần hoàn miền tần số với khoảng cách lấy mẫu 𝛿𝛿 (radians) Vì X(ejω) tuần hồn với chu kỳ 2π nên cần khảo sát mẫu chu kỳ bản, ta lấy N mẫu cách khoảng -π ≤ ω ≤ 𝛿, khoảng cách lấy mẫu tương ứng δω (hình 4.2) n � jω |X(ejω)| X(kδω) -π δω π ω Hình 4.2 Lẫy mẫu miền tần số biến đổi Fourier Giá trị X(ejω) tần số ω k =2kπ/N : X(2k / N)  � �x(n)e  j2  kn N , k  0,1, , N  (4.2) Tổng biểu thức (4.2) chia thành tổng vô số tổng n � sau: kn kn kn 1 N 1 2N 1  j2   j2   j2  2k N N X( )   �x(n)e  �x(n)e  �x(n)e N N n  N n 0 nN kn � lN  N 1  j2  2k X( )  � � x(n)e N N l � n  lN Đổi biến m = n - lN hay n = m + lN, ta được: X( km km � N 1 � N 1  j2   j2  2 N  j2 kl N k)  ��x(m  lN)e e  ��x(m  lN)e N l �m  l �m 0 Hốn đổi vị trí tổng thay lại ký hiệu biến m n, ta được: X( km N 1 2k �� � j2  N )  �� x(n  lN) e � � N n 0 � l � � , với k = 0, 1, 2, , N-1 (4.3) Đặt: x P (n)  � �x(n  lN) l � (4.4) Tín hiệu xp(n) thu phép lặp tuần hoàn x(n) với đoạn N mẫu, rõ ràng tuần hồn với chu kỳ N Vì vậy, khai triển thành chuỗi Fourier N 1 x P (n)  �X k e j2  kn N , n  0,1, 2, , N  k 0 (4.5) Với hệ số chuỗi Fourier xác định : Xk  kn  j2  N 1 N x (n)e ; k  0,1, 2, , N  � P N k 0 (4.6) So sánh biểu thức (4.5) với biểu thức (4.6) ta thu được: Xk  2 X( k), k=0,1,2, ,N-1 N N (4.7) Do đó: x P (n)  kn j2  N 1 2 N X( k)e ;n  0,1, 2, , N  � N n 0 N (4.8) Quan hệ (4.8) cho phép ta khôi phục x p(n) từ mẫu phổ X(ejω) Tuy nhiên, chưa cho ta thấy khả khôi phục X( ejω) hay x(n) từ mẫu X(ejω) Để thiết lập công thức nội suy khôi phục X(ejω) x(n) từ mẫu jω X(e ) ta xét mối quan hệ x(n) x p(n) Vì xp(n) mở rộng tuần hồn x(n) từ biểu thức(4.4), nên ta khơi phục x(n) từ x p(n) khơng có tạo ảnh hay chồng lấp miền thời gian Xét trường hợp x(n) dãy có độ dài hữu hạn nhỏ chu kỳ N xp(n) Giả sử mẫu khác x(n) nằm khoảng ≤n ≤ L-1 L ≪ N thì: x(n) = xp(n) ; ≤ n ≤ N-1 Vì x(n) khôi phục từ x p(n) mà không bị nhầm lẫn Ngược lại L > N, chiều dài dãy x(n) lớn chu kỳ x p(n) ta khơng thể khơi phục x(n) từ x p(n) có chồng lấp miền thời gian Hình 4.3 Dãy mở rộng tuần hồn xp(n) từ dãy khơng tuần hồn x(n) Kết luận: Phổ tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn có độ dài hữu hạn x(n) hay x(n) khơi phục cách xác từ mẫu phổ tần số, chiều dài L x(n) nhỏ N, N số mẫu lấy khoảng tần số 2π Khi xp(n) tính từ phương (4.8) x(n) khôi phục sau: �x (n) n �[0, N  1] x(n)  � P n �[0, N  1] � (4.9) Sau X(ejω) tính từ biểu thức (4.1) Phổ X(ejω) xem tín hiệu liên tục theo ω, biểu 2 X( k) N diễn mẫu k = 0, 1, , N-1 Giả sử N ≫L, x(n) = xp(n) với ≤ n ≤ N-1, từ biểu thức (4.8) ta có: x(n)  N 1 �2 �j2  knN �X � k �e ;0 �n �N  N k 0 �N � (4.10) Thay biểu thức (4.10) biểu thức (4.1) ta được: �1 N 1 �2 �j2  knN � jn X(e )  �� �X � k � e e � N k 0 �N � n 0 � � N 1 j N 1 �1 N 1  j( 2 k/ N)n � �2 �  �X � k � �N �e � �N � k 0 � n 0 � (4.11) Tổng bên dấu ngoặc biểu thức (4.11) hàm nội suy dịch miền tần số Thật ta định nghĩa hàm: P()  N 1 N �e  jn   jN 1 e N  e  j n 0 � N� sin �  � �  j( N 1)/2 �  e � � N sin � � �2 � (4.12) Biểu thức (4.10) viết lại: N 1 X(e j )  �X( 2 2 k)P(  k) N N (4.13) Biểu thức (4.13) công thức nội suy dùng để khôi phục X(e ) từ mẫu Hình 4.4 Đồ thị hàm [sin(ωN/2)]/[Nsin(ω/2)] Ví dụ 4.1: Cho tín hiệu: k 0 jω x(n)  (0,5) n u(n), �n �9 Phổ tín hiệu lấy mẫu tần số ωk = 2πk/N , k = 0,1,2,…,N-1 Hãy xác định phổ sau khôi phục từ mẫu N = N = 50 Giải: Biến đổi Fourier chuỗi x(n) sau: � X(e j )  �u(n)e  jn  n 0 1  0,5.e j Giả thiết X(ejω) lấy mẫu N tần số cách ω k = 2πk/N , k=0, 1,…,N-1 Các mẫu phổ nhận là: 2k X(e j ) �X( ) , k =0,1, ,N-1 N  0,5.e  j2 k / N Phổ tín hiệu x(n) sau khơi phục từ mẫu với N = N = 50 hình 4.5 Với N = 5, khơi phục mẫu xảy hiệu ứng chồng phổ (hình 4.5b) giảm hiệu ứng chồng phổ với N = 50 (hình 4.5c) Hình 4.5 Phổ x(n) sau khôi phục từ mẫu với N = N = 50 Dãy tuần hoàn xp(n) tương ứng với mẫu X(2πk/N), k =0,1,2, ,N-1 nhận từ cơng thức (4.4) (4.8) Ta có: N 1 �2k �j2  knN x(n)  x p (n)  �X � � e ;n  0,1, , N  N k  �N � (4.14) b Biến đồi Fourier rời rạc (DFT) Để xây dựng biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn, xuất phát từ chuỗi Fourier hàm liên tục tuần hoàn xp(t) Xét hàm liên tục tuần hồn xp(t), có chu kỳ To  2 / o Nếu xp(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet, khai triển xp(t) thành chuỗi Fourier: x p (t)  * Ck  T0 T �x (t).e p � * �Ck e jk0t (4.15) k �  jk0 t dt T  Với hệ số : (4.16) Nếu hàm liên tục tuần hồn xp(t) có phổ hữu hạn f < fmax , rời rạc hóa xp(t) với chu kỳ T cho N.T = To , T thỏa mãn điều kiện định lý lấy mẫu T≤1/2 fmax Theo định lý lấy mẫu, hàm tuần hoàn xp(t) xác định giá trị rời rạc t = nT tạo thành dãy rời rạc tuần hồn xp(nT), viết lại (4.15) dạng: x p (t)  � * �C e k jk0 nT k � Vì T = T0/N = 2π/ω0N nên: x p (nT)  � * �Ck e jk0 n 2 N0  k � � * �Ck e jk 2 n N k � Khi thực chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu T = 1, xp(nT) = xp(n) chu kỳ dãy tuần hoàn xp(t) To = N, nên có: x p (n)  � * �C e k k � jk0 n 2 N0  � * �C e k k � jk 2 n N (4.17) Hay: x p (n)  � X p (k).e jk1n � N k � (4.18) Trong đó: * X p (k)  C k N (4.19) Ở đây, Xp(k) biên độ dao động điều hòa ứng với tần số góc ωk =kω1 dãy phức Còn 1 tần số góc rời rạc ứng với chu kỳ N dãy tuần 2 1  N hoàn xp(t): (4.20) jk1n Do dãy xp(t) hàm e tuần hồn với chu kỳ N nên viết lại (4.18) cho chu kỳ N: x p (n)  N 1 X p (k).e jk1n � N k 0 (4.21) Biểu thức (4.21) chuỗi Fourier rời rạc dãy tuần hồn xp(n) , hay gọi biến đổi Fourier rời rạc ngược Để tìm biểu thức biến đổi Fourier rời rạc thuận, nhân hai vế (4.21)  jm1n với thừa số e , sau lấy tổng theo n =  (N - 1): N 1 �x p (n)e jm1n  n 0 N 1 N 1 X p (k).e jk1n e  jm1n � � N n 0 k 0 N 1 N1 j(k m) 1n  �X p (k) �e N k 0 n 0 (4.22) Theo tính chất hàm trực chuẩn có: k=m N 1 j(k m) 1n � e � � k �m N k 0 � nên từ (4.22) nhận được: N 1 N 1 X p (k)  �x p (n).e  jk1n  �x p (n).e  jk 2 n N (4.23) Biểu thức (4.23) biến đổi Fourier rời rạc thuận dãy tuần hoàn xp(n) Kết hợp hai biểu thức (4.21) (4.23) nhận cặp biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hồn xp(n), Xp(k) dãy phức biến tần số góc rời rạc k  k1 với  xác định theo (4.20) n 0 n 0 Vậy cặp biến đổi Fourier rời rạc thuận ngược dãy tuần hoàn x p(n) là: N 1 x p (n) ��� � X p (k)  �x p (n).e DFT N IDFT X p (k) ��� � x p (n)  N j 2 kn N n 0 2 j kn N1 N X (k).e � p N k 0 (4.24) (4.25) Ta biểu diễn Xp(k) dạng Mô đun Argumen sau: X p (k)  X p (k) e j(k )  A p (k).e j (k ) (4.26) Trong đó: - Mô đun |Xp(k)| dãy biên độ tần số rời rạc - Argumen φ(k) dãy pha tần số rời rạc - Ap(k) dãy độ lớn, θ(k) dãy pha Ví dụ 4.1: Xác định Xp(k) dãy tuần hoàn xp(n) = n (0≤n≤4), chu kỳ N = Giải: Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận (4.23) có: N 1 X p (k)  �x p (n).e j 2 kn N n 0  �n.e j 2 kn N n 0 k  � X p (0)  �n  n 0 k  � X p (1)  �n.e  j n e j   2e  j2   3e  j3    2j n 0 k  � X p (2)  �n.e   j2 n      2 n 0 k  � X p (3)  �n.e   j3 n 0e  j3   2e   j3 2  3e   j3  j   3j  2  j n 0 Trên hình 4.6 đồ thị dãy xp(n) = n có chu kỳ N = 4, đồ thị dãy biên độ tần sốXp(k), pha tần số φ(k) Hình 4.6 Đồ thị dãy xp(n), Xp(k), �(k) ví dụ 4.1 Ví dụ 4.2: Tìm biến đổi Fourier dãy tuần hoàn xp(n) = rect5(n), N = 10 vẽ phổ biên độ, phổ pha Giải: Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận (4.23) có: N 1 X p (k)  �x p (n).e n0 j 2 kn N  �rect (n).e j 2 kn N n 0  sin(k )  j  k e  �e    2    j k  jk n0  e 10  e sin(k ) Phổ pha phổ biên độ tần số rời rạc xp(n) hình 4.7 j 2 kn N 1 e j 2 k5 10  e  jk Hình 4.7 Đồ thị dãy xp(n), Xp(k),�(k) ví dụ 4.2 c Quan hệ DFT với biến đổi khác Quan hệ với hệ số Fourier dãy tuần hoàn: Dãy tuần hồn {xp(n)} với chu kỳ N biểu diễn dạng chuỗi Fourier: N 1 x p (n)  �c k e j2 kn / N , � n  � (4.27) k 0 Ở hệ số chuỗi Fourier xác định công thức: ck  N 1 x p (n)e  j2 kn/ N , k  0,1, , N  � N n 0 (4.28) Nếu so sánh (4.27), (4.28) với (4.24), (4.25) ta nhận thấy công thức dùng để xác định hệ số chuỗi Fourier có dạng DFT Thật vậy, định nghĩa dãy x(n) = xp(n), 0≤n≤N-1 DFT dãy xác định theo công thức đơn giản: (4.29) X(k)  N.c k , k  0,1, , N  Ngồi ra, thấy (4.27) có dạng IDFT Như đến kết luận rằng, DFT-N điểm cung cấp cách xác phổ vạch dãy tuần hồn với tần số N Quan hệ với biến đổi Fourier với dãy khơng tuần hồn: Ta biết rằng, x(n) dãy khơng tuần hồn có lượng hữu hạn có biến đổi Fourier X(ejω) lấy mẫu N tần số cách ω k = 2πk/N, k=0,1,…,N-1 thành phần phổ: X(k)  X(e j ) | k/ N  � �x(n)e  j2 kn/ N , k  0,1, , N  (4.30) n � Chính hệ số DFT dãy tuần hoàn với chu kỳ N: x p (n)  � �x(n  lN) l� (4.31) Theo công thức xp(n) xếp chồng với chu kỳ N dãy x(n) dãy có độ dài hữu hạn: x p (n), �n �N-1 % � x(n) � 0, n� � Có thể sử dụng để xác định x(n) Cụ thể: % x(n)  x(n) �n �N-1 (4.32) (4.33) Khi độ dài chuỗi hữu hạn x(n) thỏa mãn điều kiện L ≤ N Chỉ thỏa mãn điều kiện khơng xảy tượng trùm thời gian từ IDFT {X(k)} ta khơi phục lại dãy {x(n)} Quan hệ với biến đổi Z: X(z)  � �x p (n)z  n n � Xét dãy xp(n) có biến đổi Z: , với ROC chứa vòng tròn đơn vị Nếu X(z) lấy mẫu N điểm cách vòng tròn đơn vị zk = ej2πk/N, k = 0, 1, 2, …, N-1, ta thu được: X p (k)  X(z) z  e j2 kn / N �  �x p (n)e  j2 nk / N (4.34) Ta thấy Xp(k) biểu thức (4.34) đồng dạng với biến đổi Fourier X(ejω) lấy mẫu N tần số cách ω k = 2πk/N, k = 0, 1, 2, …, N-1, ngoại trừ số tổng lấy khoảng vô hạn Nếu dãy xp(n) tuần hoàn với chu kỳ N, biến đổi Z biểu diễn hàm DFT Xp(k) Đó là: n � N 1 N 1 �1 N 1 � X(z)  �x(n)z  n  �� �X(k)e j2 kn/ N �z  n N k 0 n 0 n 0 � � N 1 N 1 n  �X p (k)�e j2 k/ N z 1 N k 0 n 0  N N 1 X p (k) 1 z X(z)  � N k 0  e j2 k/ N z 1   (4.35) Vì biến đổi Fourier biến đổi Z lấy vòng tròn đơn vị, ta có: X(e j )   e  jN N N 1 X p (k) �1  e  j(  k / N) (4.36) Công thức(4.36) cơng thức nội suy để khơi phục X(e ) từ DFT Ta thiết lập mối quan hệ DFT với chuỗi fourier, biến đổi Fourier biến đơi Z tín hiệu rời rạc theo thời gian DFT dạng biểu diễn đặc biệt biến đổi này, nên có tính chất tương tự biến đổi Fourier chuỗi Fourier, nhiên, tồn vài khác biệt quan trọng Quan hệ với hệ số chuỗi Fourier tín hiệu liên tục theo thời gian: Giả sử xa(t) tín hiệu tuần hồn liên tục theo thời gian với chu kỳ T p = 1/F0 Tín hiệu biểu diễn chuỗi Fourier: k 0 jω Ví dụ 4.5: Hãy tính DFT dãy bốn điểm: Giải: x(n)  [ � 4] � W kn � Bước cần phải xác định ma trận � � Bằng cách khai thác tính kn chất tuần hồn đáp ứngđối xứng W4 : WNk  N/2   WNk � W4kn � � �có thể biểu diễn dạng: Ma trận � W40 W40 W40 W40 � � � W W W W � � 4 4 � W4kn � � � � 6� W W W W 4 4 � � 9� � W W W W �4 4 � 1 1� � �  j 1 j � � �  �  1  1� � � j 1  j � � � � � 2  2j� kn � � X4  � W4 � x  � � � 2 � � � 2  j� � Sử dụng (4.81) ta có: � W kn � Bằng cách xác định giá trị liên hợp phần tử � �ta nhận * � W4kn � � � áp dụng công thức (4.83) ta xác đinh IDFT x4 DFT IDFT cơng cụ tính tốn giữ vai trò quan trọng nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu số phân tích tần số (phân tích phổ) tín hiệu, đánh giá phổ cơng suất lọc tuyến tính Vai trò khẳng định có xuất loạt thuật toán hiệu với tên gọi biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform- FFT) 4.2.2 Một số tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài hữu hạn a Tính tuyến tính Giả sử ta có biến đổi DFT sau: DFT a.x1 (n) ��� � aX1 (k) N DFT b.x (n) ��� � bX (k) N Tìm biến đổi DFT dãy: y(n)  ax1 (n)  bx (n) Ta có: N 1 Y(k)  � ax1 (n)  bx (n)  WNkn n 0 N 1 N 1 n 0 n 0  �ax1 (n)WNkn  �bx (n)WNkn  aX1 (k)  bX (k) (4.86) Như vậy, biến đổi DFT dãy tổng nhiều dãy thành phần tổng biến đổi DFT dãy thành phần Ví dụ 4.6: Cho dãy x1 (n)  rect (n) x (n) (n) Hãy tìm: Y(k)  DFT[rect (n)  2.(n)] , với N = Giải : Theo tính chất tuyến tính có: Y(k)  DFT[rect (n)]  2.DFT[(n)] X1 (k)  �rect (n).W4kn  W4k.0  W4k.1 n 0  1 e  j k X (k)  �(n).W4kn  W4k.0  n 0 Y(k )  X1 (k)  X  j k (k)   e b Trễ vòng DFT dãy dịch vòng Cho DFT-N điểm dãy x(n), với ≤ n ≤ N-1 X(k) Hãy tìm DFT-N điểm dãy y(n) = x(n-n0), với ≤ n-n0 ≤ N-1 Ta có: N 1 N 1 n 0 n0 Y(k)  �x(n  n ).WNkn  �x(n  n ).WNkn WN kn WNkn o N 1 Y(k)  WNkn �x(n  n ).WNk (n n ) n 0  WNkn N  n 1 � x(n  n n n0 ).WNk (n  n ) (Do y(n) = x(n-n0) với ≤ n-n0 ≤ N-1) Đặt: m = n - n0 ta được: N 1 Y(k)  WNkn0 �x(m).WNkm  WNkn0 X(k)  X(k) e j{ (k) k 2 n0} N (4.87) Biểu thức (4.87) có nghĩa: Nếu dãy x(n) dịch n mẫu biến đổi DFT-N 2 k no điểm có phổ biên độ khơng đổi, có phổ pha dịch lượng N m0 n.u(n), �n �5 � x(n)  � Các giá trị 0, n � � Ví dụ 4.7: Cho dãy khác n Tìm vẽ phổ DFT dãy x(n-2) Giải: Sử dụng cơng thức (4.87) ta có: Y(k)  W6k X(k)  W3k X(k) X(k)  �n.W kn n 0 e j k e j W e k Y(k)  e  jk e j k 4 k 2 j e e  jk e j k 4 e j k5  2 k j k5  e  j2k e j k7  Phổ biên độ phổ pha X(k) Y(k) hình 4.11 Hình 4.11 Phổ biên độ phổ pha DFT x(n) x(n-2) ví dụ 4.7 Dịch vòng tần số: Xét dãy x(n) có biến đổi DFT-N điểm X(k) Tìm biến đổi DFT-N điểm j 2 k0n N dãy: y(n)  x(n).e Ta có DFT-N điểm y(n): 2 N 1 � N 1 j k0n � Y(k)  �� x(n).e N � WNkn  �x(n).WN k0 n WNkn n0 � n 0 � N 1  �x(n).WN(k  k0 )n  X(k  k ) n0 Y(0)  X( k );Y(k )  X(0) Nếu k0 = N, ta được: (4.88) Y(k)  X(k  N) � Y(k  N)  X(k);Y(N)  X(0); Y(N  k)  X(  k) Điều có nghĩa: j (4.89) 2 k0n N - Nếu ta nhân tín hiệu đầu vào x(n) với giá trị e ta thu phổ rời rạc bị dịch k0 mẫu so với phổ X(k) ban đầu - Trong miền tần số rời rạc k, ta dịch mẫu X(k) khỏi đoạn [0,…,N-1] mẫu vòng trở theo giá trị N Do người ta gọi dịch vòng tần số c Tính đối xứng * Gọi x (n) liên hợp phức x(n) ta có DFT-N x(n) X(k) Tìm * DFT-N x (n) * Ta biểu diễn x(n) x (n) dạng số phức sau: x(n)  x r (n)  jx i (n) x * (n)  x r (n)  jx i (n) DFT-N x(n) là: N 1 X(k)  � x r (n)  jx i (n)  WNkn  X R (k)  jX I (k) n 0 N 1 2kn 2kn � � � X R (k)  �� x r (n) cos  x i (n)sin N N � � x 0 � N 1 2kn 2kn � � � X I (k)  �� x r (n)sin  x i (n) cos N N � � x 0 � � X* (k)  X R (k)  jX I (k) � X* ( k)  X R ( k)  jX I ( k)  X *R ( k)  jX *I ( k) N 1 2kn 2kn � � X*R ( k)  �� x r (n) cos  x i (n)sin N N � � x 0 � N 1 2kn 2kn � � X*I ( k)   j�� x r (n)sin  x i (n) cos N N � � x 0 � * Bây ta xét DFT-N x (n) : N 1 kn DFT � x * (n) � � � � x r (n)  jx i (n)  WN n 0 2 2 � �  �� x r (n) cos( kn)  x i (n)sin( kn) � N N � n 0 � N 1 2 2 � �  j�� x r (n)sin( kn)  x i (n) cos( kn) � N N � n 0 � N 1  X*R ( k)  jX*I ( k)  X* ( k) * * Như biến đổi DFT dãy x (n) dãy liên hợp x(n) X (  k) Bằng cách chứng minh tương tự ta thu số tính chất đối xứng DFT bảng 4.2 đây: Bảng 4.2 Các tính chất đối xứng DFT Dãy x(n), 0≤n≤N-1 x(n) DFT-N X(k) x * (n) X* ( k) x * (N  n) X* (k) � X(k)  X* (N  k) � � � X co (k)  � X(k)  X* (N  k) � � � X ce (k)  x r (n) jx i (n) X R (k) � x(n)  x * (N  n) � � � jX I (k) x co (n)  � x(n)  x * (N  n) � � � d Tích chập vòng Trong chương xét phương pháp tính tích chập hai dãy tín hiệu biểu thức sau: x ce (n)  y(n)  x(n) * h(n)  � �x(m).h(n  m) m � Với hai dãy x(n) h(n) có chiều dài hữu hạn N thì: N 1 y(n)  x(n) * h(n)  �x(m).h(n  m) (4.90) Bây ta xét cách tính tích chập hai dãy có chiều dài hữu hạn N thông qua biến đổi DFT chúng m 0 DFT DFT x(n) ��� � X(k) h(n) ��� � H(k) N N Giả sử: Tìm DFT-N y(n) = x(n)*h(n) Ta có: DFT-N y(n) tính thơng qua cơng thức (4.67) sau: N 1 N 1 � � kn Y(k)  �� WN � x(m).h(n  m) � n 0 � m 0 � N 1 N 1 � � km �� � x(m).WN � � h(n  m).WNk(n m) � � � m 0 n 0 � �� � � Y  k   X  k  H  k  (4.91) Như vậy, biến đổi DFT tích chập hai dãy có chiều dài hữu hạn N tích biến đổi DFT hai dãy Thực biến đổi IDFT Y(k) ta thu dãy y(n) có chiều dài hữu hạn N y n  N 1 Y  k  WN kn � N k 0 Dựa vào tính chất tích chập vòng, ta tìm tích chập hai dãy thông qua biến đổi DFT chúng Các bước thực sau: - Tìm DFT-N dãy thành phần: DFT[x(n)]  X(k) DFT[h(n)]  H  k  - Tính tích DFT: Y  k   X  k  H  k  y n  N 1 Y  k  WN kn � N k 0 - Tìm biến đổi IDFT Y(k) ta thu dãy y(n): Ví dụ 4.8: Hãy tính tích chập vòng y(n)  rect (n) * (n) với N = Giải: Tìm DFT hai dãy x(n) = rect3(n) h(n) = δ(n): X(k)  DFT[rect (n)]  3.(k) H(k)  DFT[(n)] 1  rect (k), �k �2 Tính tích Y(k) = X(k) H(k): Y(k)  X(k).H(k)  3.(k)rect (k)  3.(k) Tìm biến đổi IDFT Y(k): y(n)  IDFT[Y  k  ]  IDFT[3.(k)]  rect (n) Ví dụ 4.9: Hãy tính tích chập hai dãy: x (n)  x1 (n) * x (n)  rect (n) * rect (n) , với N = Giải: Tìm DFT x1(n) x2(n): X ( k )  X (k)  DFT[rect (n)]  5.( k) Tính tích X (k)  X1 (k).X (k)  25(k) Tìm IDFT X3(k) ta được: x3(n) = 5rect5(n) Chú ý (với hai dãy có chiều dài khác nhau): - Nếu hai dãy x(n) có chiều L h(n) có chiều dài M (L ≠ M) chiều dài dãy y(n) = x(n)*h(n) L+M-1 - Muốn tính tích chập dựa biến đổi DFT cần phải kéo dài dãy x(n) thêm (M-1) mẫu không h(n) thêm (L-1) mẫu khơng Tức ta có biến đổi DFT sau: X(k)  L  M 1 � x(n).WNkn H(k)  L  M 1 �h(n).W kn N n 0 (4.92) Khi thực IDFT {Y(k) = X(k).H(k)} thu dãy y(n) có chiều dài (L+M-1) e Quan hệ Parseval Năng lượng dãy tính thơng qua quan hệ Parseval sau: n 0 N 1 E  �x(n) (4.93) n 0 Ta có: x(n)  x(n).x * (n) DFT  N Theo tính chất đối xứng DFT: N 1 IDFT  N �1 N 1 * � E  �x(n)  �x(n).x (n)  �x(n) � �X ( k).WN kn � n 0 n 0 n 0 �N k 0 � Từ đây: Thực biến đổi tiếp ta được: E  N 1 ���� � X* (k) x* (n) ���� � * N 1 N 1 N 1 � �  kn � � x(n).W X* ( k) � � � N �� � N n 0 k 0 � � N 1 � � N 1 * X( k) � X (  k)  �X( k).X * ( k) � � N k 0 � � N k 0 N 1 N 1 2  �X( k)  �X(k) N n 0 N n 0 (4.94) Từ biểu thức (4.94) ta thấy lượng dãy x(n) tổng bình phương giá trị biên độ tần số rời rạc DFT 4.2.3 Tích chập nhanh a Tổng quan Trên thực tế, thơng thường tốn lọc tuyến tính tín hiệu thường có liệu đầu vào x(n) với độ dài lớn Điều lại vài ứng dụng xử lý tín hiệu thời gian thực có liên quan đến việc theo dõi phân tích tín hiệu Khi tín hiệu có độ dài q lớn rõ ràng việc sử dụng máy tính q trình xử lý theo phương pháp DFT gặp phải số khó khăn: - Việc xử lý đòi hỏi dung lượng nhớ lớn nhớ máy tính có hạn - Thời gian tính tốn q lớn vượt hẳn thời gian cho phép - Để có số mẫu phải đợi kết thúc tất cá tính tốn Để khắc phục nhược điểm tín hiệu đầu vào có độ dài lớn cần phải phân thành đoạn khác với độ dài định trước thực việc xử lý Bởi lọc tuyến tính việc xử lý dãy tín hiệu tiến hành thời điểm khác thông qua DFT Các tín hiệu đầu sau kết hợp với nau để nhận đầu tương đương với trường hợp lọc đầu vào tín hiệu đầu vào Dựa vào việc phân tích tín hiệu đầu vào thành đoạn có kích thước vừa phải, có hai phương pháp DFT hay sử dụng lọc FIR tuyến tính với tín hiệu vào có độ dài lớn Phương pháp thứ gọi phương pháp đặt kề nhau, phương pháp thứ hai gọi phương pháp xếp chồng Trong hai phương pháp ta giả sử lọc FIR có độ dài M, dãy đầu vào chia thành dãy với độ dài dãy L Ở khơng làm tính tổng qt ta giả sử L ≫ M b Phương pháp cộng xếp chồng Giả sử cần tính tích chập tuyến tính: y(n)  x(n) * h(n) đó: - x(n) dãy tín hiệu đầu vào có độ dài N, phân tách thành dãy có chiều dài L - h(n) đáp ứng xung lọc FIR với chiều dài M - y(n) đầu Theo phương pháp này, kích thước dãy thành phần L điểm độ dài DFT IDFT N = L + M -1 Đối với dãy thành phần ta đưa thêm M-1 mẫu không tính DFT-N điểm) Như dãy thành phần biểu diễn sau: � � � � x1 (n)  �x(0); x(1), , x(L 1),0,0, ,0 14 43 � � M-1M không 1kh� ng � (4.95) � � � � x (n)  �x(L); x(L  1), , x(2 L  1),0,0, ,0 14 43 � � 1kh� ng � M-1 M không (4.96) � � � � x (n)  �x(2 L); x(2L  1), , x(3L  1),0,0, ,0 14 43 � 1kh� ng � M-1Mkhông � (4.97) v.v… Hai DFT-N điểm nhân với để nhận được: Ym (k)  H(k)X m (k), k=0,1, ,N-1 (4.98) IDFT (4.98) có độ dài N không bị ảnh hưởng sai số kích thước DFT IDFT N = L +M -1 dãy tăng lên N điểm cách cộng thêm mẫu khơng vào dãy thành phần Bởi dãy thành phần kết thúc M-1 không M-1 điểm cuối dãy đầu tương ứng cần phải xếp chồng cộng với M-1 điểm dãy đầu tương ứng với dãy thành phần Đây nguyên nhân để phương pháp có tên gọi phương pháp xếp chồng Bằng cách cộng xếp chồng ta nhận dãy đầu ra: �y1 (0), y1 (1), , y1 (L  1), y1 (L)  y (0), y1 (L  1)  y (1), � y(n)  � � , y1 (N  1)  y (M  1), y (M), � (4.99) Việc phân đoạn dãy đầu vào thành dãy thành phần xếp dãy đầu tương ứng để nhận kết mô tả hình 4.12 c Phương pháp đặt kề Theo phương pháp này, độ dài đoạn liệu đầu vào N = L + M -1 độ dài DFT IDFT sử dụng N Như vậy, độ dài đoạn liệu đầu vào tăng từ L lên L+M-1 Trong trường hợp xem x(n) tổng dãy thành phần đặt kề M-1 điểm dãy có chứa M-1 điểm cuối dãy trước L điểm liệu Riêng dãy bổ sung thêm M-1 mẫu không Như cá liệu thành phần x(n) là: � � � � x1 (n)  � 0,0, ,0, x(0); x(1), , x(L  1) � 14 43 � M 1không kh� ng �M-1 (4.100) � � � � x (n)  �x(L  M  1), , x(L  1), x(L); x(L  1), , x(2 L  1) � 4 44 4 43 4 4 4 43 � � M-1 M điểm 1� i� m L� i� m li� umới m� i L điểm dữd� liệu � (4.101) � � � � x (n)  � x(2L  M  1), x(2 L  1), x(2 L); x(2 L  1), , x(3L 1) � 4 4 4 43 4 44 4 4 43 � � M-1 � i� m L điểm L� i� md� liệuli� u m� i M-1 điểm � (4.102) v.v… N L Dữ liệu vào x(n) L Dữ liệu y(n) L x1(n) x2(n) x1(n) (M-1) mẫu x3(n) v.v y1(n) (M-1) Cộng (M-1) điểm với (M-1) x2(n) Cộng (M-1) điểm với (M-1) mẫu x3(n) (M-1) y2(n) (M-1) (M-1) y3(n) (M-1) mẫu Hình 4.12 Phân đoạn dãy đầu vào x(n) xếp chồng dãy đầu y(n) DFT-N điểm tính dãy thành phần Độ dài đáp ứng xung lọc FIR tăng len L-1 mẫu không DFT-N điểm dãy tính lưu trữ lại Tích hai DFT-N điểm H(k) X m(k) dãy liệu cho kết quả: ^ Y m (k)  H(k).X m (k), k  0,1, , N  (4.103) IDFT-N điểm cho kết quả: ^  ^ ^ ^ ^ ^  y m (n)  y m (0), y m (1), , y m (M  1), y m (M) y m (N  1) (4.104) Bởi DFT IDFT sử dụng có độ dài độ dài chuỗi đầu vào M-1 điểm dãy kết bị loại bỏ, L điểm cuối ym(n) hoàn toàn trùng khớp với giá trị tương ứng tính theo tổng chập tuyến tính, nghĩa là: ^ y m (n)  y m (n), n  M, M  1, , N  (4.105) Việc phân đoạn liệu đầu vào xếp khối liệu đầu tương ứng với chúng để nhận dãy liệu đầu kết mơ tả hình 4.13 DFT phương pháp gián tiếp để tính đầu lọc tuyến tính thời điểm thấy phương pháp tương đối phức tạp tốn loạt thao tác cần phải thực dãy đầu vào cần phải chuyển đổi sang miền tần số thông qua DFT, nhân kết nhận với DFT lọc FIR sau nhận kết cuối lại phải thực biến đổi ngược IDFT sang miền thời gian Tuy vậy, phương pháp lại cho phép sử dụng số thuật toán hiệu (biến đổi nhanh Fourier) So với việc xử lý trực tiếp lọc FIR miền thời gian, thuật tốn biến đổi nhanh đòi hỏi phép tốn để nhận dãy đầu nguyên nhân chủ yếu dẫn tới việc sử dụng rộng rãi phương pháp DFT thực tế Hình N Dữ liệu vào x(n) Dữ liệu y(n) 4.13 L L L Phân (M-1) v.v (M-1) y1(n) x2(n) x3(n) x1(n) đoạn mẫu Loại bỏ M-1 điểm liệu đầu (M-1) (M-1) y2(n) x1(n) mẫu vào Loại bỏ M-1 điểm xếp (M-1) x2(n) mẫu x1 (M-1) y3(n) khối Loại bỏ M-1 điểm (M-1) liệu x3(n) mẫu x2 đầu 4.3 CÁC THUẬT TOÁN BIẾN ĐỔI NHANH FOURIER 4.3.1 Phương pháp tính trực tiếp DFT Như biết phần trước, x(n) dãy số thực, tính trực tiếp DFT theo (4.67): N 1 X(k )  �x(n)WNkn  X R ( k )  jX I ( k ) n 0 Hay: X( k )  DFT  x(n)   A( k )e j(k )  X( k) e j(k ) Trong đó: kn N W e j 2 kn N �2 � �2 �  cos � kn � jsin � kn � �N � �N � Nên: N 1 � � �2 � �2 � X( k )  �� x(n) cos � kn � jx(n)sin � kn � � �N � �N � n 0 � � N 1 �2  � X R (k )  �x(n).cos � kn � �N � n 0 Dãy phần thực: N 1 �2 � X I ( k )   �x(n).sin � kn � �N � n 0 Dãy phần ảo: Dãy mô đun: X( k )  X 2R ( k )  X 2I ( k ) �X (k ) � (k )  arctan � I � X R (k ) � � Dãy Argumen: Như vậy, để tìm X(k) cần phải tính dãy phần thực phần ảo, để từ tính mơ đun argumen X(k) , độ lớn A(k) pha (k) Tại mẫu �2 � �2  � cos � kn � sin � kn � �N �và �N � X(k) cần phải tính N lần , 2N phép nhân số thực, 2(N - 1) phép cộng số thực, phép bình phương, phép khai căn, phép chia, phép tính arctan Để nhận N mẫu X(k) phải thực gấp N lần số phép tốn Tức là, để tính trực tiếp DFT độ dài N cần: - 2N2 phép tính hàm số lượng giác - 2N2 phép nhân số thực - 2N(N - 1) phép cộng số thực Ngoài còn, 2N phép bình phương, N phép khai căn, N phép chia, N phép tính artan Trong trường hợp x(n) dãy phức: x (n)  x r (n)  jx i (n) , số lượng phép tốn phải tăng gấp đơi Như vậy, số lượng phép tốn để tính DFT lớn, nên N lớn tính DFT máy tính tốn nhiều thời gian Sau xét số trường hợp thực tế thường gặp a Tính DFT dãy x(n) thực, đối xứng, N lẻ Dãy x(n) thực, đối xứng, N lẻ nên trục đối xứng mẫu n = (N - 1)/2, có: x(N   n)  x(n) Theo biểu thức DFT có: N 1 X(k )  DFT[x(n)]  �x(n)WNkn n 0 Vì N lẻ nên khai triển biểu thức thành tổng ba thành phần: N1 1 � � � N 1  j  k N 1  � � N 1 � � � N kn kn � � X(k )  ��x(n)WN � � x� � e  x(n)W � � N N 1 �n  � �� � � � � � n 1 � � � Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = N- - n) 𝛿 n = (N - - m), �N  � n�  � m  N 11 � �thì , n  ( N  1) m  Ta có:   N 1 � n N 1 � x( N 1  m)W x(n)WNkn  N 1 m 1 k( N 1 m) N 1 Đổi lại biến m n đảo cận tổng trên, nhận X(k) có dạng: N1 1 N 1 � � �N 1 � k ( ) kn � � X(k )  �x(n)WN  x � � WN  �n  � �2 � � � N1 1 � � ��x( N 1  n )WNk( N 1n ) � �n  � � � Vì dãy x(n) đối xứng có x(n)  x( N   n) nên nhận được: �N 1 � k X( k )  x � � WN �2 � N 1  N 1  W �x(n) � � n 0 kn N  WNk( N 1n ) � � (4.106) Trong đó: N 1 N 1 k(  n) � �  k ( N21n ) � WN  WN � � � N 1 k � � 2 �N  �  2WN cos � k �  n� � � �N � � k WNkn  WNk ( N 1n )  WN Do (4.106) đưa dạng: �N 1 � k X(k )  x � � WN �2 � k  WN N 1 N 1 k  2WN � � �N 1 � �x � � 2 �� � N 1 N 1  � 2 �N  k� �x(n).cos � �N � n 0 � � n� � � � N 1  � � � 2 �N  � � x(n).cos k  n � � � �N � � � n 0 � � � � �N  � �N  � �N  �  n � n  �  m� m� � �2 �𝛿 �2 �, n  � �, m� Đổi biến, đặt �N  � n�  1� �2 �thì m  , ta được: � � N 1 2 � �N 1 � � � � X(k )  WN �x � � � x(  m).cos � km � � �N � � � � m  N 1 � � Đổi biến m trở n đảo cận dấu tổng, nhận được: k N 1 N 1 k N X(k )  W N 1 � � N 1 2 � � �N 1 � � �  n).cos � kn � �x � � �x( � �N � � � � n 1 � � (4.107) N 1 N 1 2 � � �N 1 � A(k)  x � � �x(  n).cos � kn � � � n 1 �N � Dãy độ lớn : (4.108) Dãy pha: (k)   N 1 k N (4.109) Theo (4.109) X(k) có pha (k) tuyến tính Theo (4.108) số phép tốn để tính A(k) điểm giảm gần nửa Hơn nữa, A(k) dãy đối xứng khoảng  k  (N - 1), nên để nhận A(k), cần tính A(0) A(1) đến A[(N- 1)/2] lấy đối xứng Vậy x(n) dãy thực đối xứng, N lẻ số phép tốn tính DFT giảm khoảng 1/4 Ví dụ 4.10: Tính DFT dãy x(n) thực, đối xứng, với N =   x(n)  0, 25;0,5;1;0,5;0, 25 � Giải: (N  1) (5  1) 4 ( k )   k  2 2 Với N = , theo (4.109) có: �2 n � A(k) = x(2) + �2 x  - n  cos � k � �5 � n=1 Theo (4.105) có : Vậy: �2 � �4  � A(k) = x(2) + 2.x(1) cos � k �+ 2.x(0) cos � k � �5 � �5 � 2 4   cos( k)  0,5cos( k) 5 Do tính đối xứng A(k) khoảng  k  (N - 1), nên ta có: � A(0)  2,5;A(1)  A(4)  0,9; A(2)  A(3)  0,35 b Tính DFT dãy x(n) thực, đối xứng, N chẵn Vì N chẵn, nên trục đối xứng hai mẫu [(N/2) - 1] (N/2) Biến đổi DFT là: N 1 X(k )  DFT[x(n)]  �x(n)WNkn n 0 Vì N chẵn nên khai triển biểu thức thành tổng hai thành phần : N 1 X(k )  �x(n)WNkn  n 0 N 1 �x(n).W n  N2 kn N Đổi biến tổng thứ hai biến đổi tương tự mục 4.3.1.a , nhận được: N ( N 1) k  �N � � � j N X( k )  �2.x �  n � cos � k(2n  1) � e �2 � �N � n 1 (4.110) N �N � � � A(k )  �2.x �  n � cos � k(2n  1) � �2 � �N � n 1 Dãy độ lớn : (4.111) (k)   Dãy pha : (N  1) k  N (4.112) Theo (4.112) X(k) có pha (k) tuyến tính Theo (4.111) số phép tốn để tính điểm A(k) giảm nửa Hơn nữa, A(k) phản đối xứng khoảng  k  (N - 1), nên để nhận A(k), cần tính A(0) đến A(N/2) lấy phản đối xứng Vậy x(n) dãy thực đối xứng, N chẵn số phép tốn DFT giảm khoảng 1/4 Ví dụ 4.11: Tính DFT dãy x(n), N =6   x(n)  0, 25;0,5;1;1;0,5;0, 25 � Giải: Dãy cho dãy thực, đối xứng N = chẵn Ta có: N 5  3 (k)   k Với N = 2 , theo (4.107) có:  � � A(k)  �2.x   n  cos � k(2n  1) � � � n 1 Theo (4.106) có: Vậy : � � �3 � �5 � A(k)  2.x(2) cos � k �  2.x(1)cos � k �  2.x(0) cos � k � �6 � �6 � �6 �  3 5  2cos( k)  cos( k)  0,5cos( k) 6 Tính A(k) (k) theo biểu thức trên, lập bảng 4.3: Bảng 4.3 Các giá trị A(k) (k) ví dụ 4.11 k A(k) 3,5 1,3 0,25 0,0 -0,25 -1,3 (k) 0,0 -2,6 -5,2 -7,9 -10,5 -13,1 c Tính DFT dãy x(n) thực, phản đối xứng, N lẻ Dãy x(n) thực, phản đối xứng có: x(n)   x( N   n) Vì N lẻ, nên tâm phản đối xứng mẫu n = (N - 1)/2, điểm x(n)= 0.Biến đổi DFT là: N-1 X(k) = DFT[x(n)]= �x(n).WNkn n=0 Vì N lẻ nên khai triển biểu thức thành tổng ba thành phần: N 1 1 � � � N 1  j  k  N 1  � � N 1 � � � N kn � � X(k )  ��x(n)WNkn � � x� e  x(n)W � � N � N 1 �n  � �� � � � � � n 1 � � � Do x(n) = tâm phản đối xứng mẫu (N- 1)/2, nên có: N 1 1 � � � N 1 � kn kn X( k )  ��x(n)WN � � � x(n)WN � N1 �n  � � � n 1 � � � � Đổi biến tổng thứ hai, biến đổi tương tự mục 4.3.1.a, nhận được: N 1  ( N 1) �  �N  � �2 � j� X(k )  �2.x �  n� sin � kn � e �2 �2 � �N � n 1 N 1 Dãy độ lớn: Dãy pha: A(k )  (k)  �N  �2.x � �2 n 1  (N  1)  k N � �2 �  n� sin � kn � � �N � N � k � � (4.113) (4.114) (4.115) Theo (4.115) X(k)có pha (k) tuyến tính (4.114) số phép tốn để tính A(k) điểm giảm gần nửa, A(0)= A(k) phản đối xứng khoảng  k  (N- 1), nên để nhận A(k), cần tính A(1) đến A[(N - 1)/2] lấy phản đối xứng Vậy x(n dãy thực phản đối xứng, N lẻ số phép tốn DFT khoảng 1/4 Ví dụ 4.12: Tính DFT dãy x(n), với N =5 ... tồn vài khác biệt quan trọng Quan hệ với hệ số chuỗi Fourier tín hiệu liên tục theo thời gian: Giả sử xa(t) tín hiệu tuần hoàn liên tục theo thời gian với chu kỳ T p = 1/F0 Tín hiệu biểu diễn. .. cụ tính tốn giữ vai trò quan trọng nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu số phân tích tần số (phân tích phổ) tín hiệu, đánh giá phổ cơng suất lọc tuyến tính Vai trò khẳng định có xuất loạt thuật toán hiệu. .. nghĩa: j (4.89) 2 k0n N - Nếu ta nhân tín hiệu đầu vào x(n) với giá trị e ta thu phổ rời rạc bị dịch k0 mẫu so với phổ X(k) ban đầu - Trong miền tần số rời rạc k, ta dịch mẫu X(k) khỏi đoạn [0,…,N-1]