Đang tải... (xem toàn văn)
MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG
MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN KHOA CNHH & MT HỌC PHẦN MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Sinh viên: Nguyễn Thị Hằng Ngân Lớp: 116151 Giảng viên: Đặng Xuân Hiển Hưng n, tháng 12, năm 2018 MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG 5.3.2 Đa thức nội suy Newton Từ bảng số 1: Với mức nội suy xi, v = , đưa thêm mốc nội suy x thuộc [a,b] (bất kì) gần x0 tính: f [x,x0] = => f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] (2) Ta lại có: f [x,x0,x1] = Hay f [x, x0] = f [x0, x1] + (x – x1)(x,x0,x1) (3) Thay (3) vào (2) ta được: f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] + (x – x0)(x – x1) f[x,x0,x1] Lặp lại trình tỷ hiệu cấp 3,4 ….cuối ta được: f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] + (x – x0) (x – x1) f[x,x0,x1] +… + (x – x0)(x – x1) (x – xn-1) f[x0,x1,…xn] + … + (x – x0)(x – x1) …(x – xn) f[x,x0,…xn] (4) Trong (4) đặt: Pn(x) = f(x0) + (x – x0) f[x0,x1]+… + (x – x0)(x – x1)… (x – xn-1) f[x0,x1,…xn] Và: Rn(x) = f[x,x0,…xn] Thì f(x) = Pn(x) + Rn(x) (5) (6) (7) Nhận thấy: Pn(x) xác định theo (5) P n(x) đa thức bậc n sinh từ bảng số (1) Ở ta cần đa thức cần thỏa mãn điều kiện: yi= Pn(x) , i = Pn(x) đa thức Thực vậy, từ (7) ta có: MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MÔI TRƯỜNG yi = f(xi) = Pn(xi) + Rn(xi) Do Rn(xi) = (i = ) {theo (6)} nên ta có: yi = f(xi) = Pn(xi), i = Nhận xét: Biểu thức (5) đa thức nội suy Newton (dạng tiến, x phát từ x0) Nếu mốc nội suy đánh theo thứ tự: xn, xn-1, xn-2,…x1, x0 đa thức xuất phat từ xn có dạng: Pn(x) = f(xn) + (x – xn) f[x1,xn-1] + (x – xn)(x – xn-1) f[x,xn-1,xn-2] +…+ (x – xn)(x – xn-1)… (x – x1) f[xn,xn-1…x1,x0] (8) Nhận xét: +) Biểu thức (8) đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn +) Cả hai đa thức (5) (8) chung bảng tỷ hiệu +) Trong thực hành, cần tính giá trị nội suy hàm Y = f(x) điểm , gần x0 áp dụng cơng thức (5), gần xn áp dụng cơng thức (8) 5.3.3 Đa thức nội suy có mốc cách Nhận thấy: +) Các đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton áp dụng cho trường hợp +) Nếu mốc nội suy cách đều, tức ta có khoảng cách h = xi+1 – xi , với i = đưa thuật toán thuận lợi a) Sai phân hữu hạn (hay gọi hiệu hữu hạn) Cho hàm y = f(x) [a,b] MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Tỷ hiệu ∆x = h (h > 0): số gia Ta có: +) ∆f(x) =f(x+h) – f(x) gọi sai phân cấp I f(x) x +) Sai phân sai phân cấp gọi sai phân cấp II ∆2f(x) = ∆(∆f(x)) = ∆[f(x+h) – f(x) = f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x) +) Sai phân sai phân cấp m-1 gọi sai phân cấp m ∆mf(x) = ∆m-1f(x) ; m = 2, 3,… Nhận xét: Từ định nghĩa này, xem ∆ tốn tử độc lập, từ hàm f(x) tương ứng, nghĩa ∆ tác động lên f cho: ∆ = f(x) = f(x+h) – f(x) b) Bảng sai phân hữu hạn Giả sử hàm y = f(x) cho dạng bảng số: yi = f(xi) ; i = Các mốc nội suy xi = x0 + ih , i = [h = ∆x = xi – xi-1 với i = Sai phân cấp xác định theo công thức: ∆yi = yi+1 – yi ; i = , sai phân cấp I ∆yi = ∆(∆yi) = ∆yi+1 - ∆yi ; i = , sai phân cấp II Tổng quát: Sai phân cấp ∆n yi = ∆(∆n-1 yi) = ∆n-1 yi+1 - ∆n-1yi Công thức (6) mô tả bảng tính sau: MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Nhận xét: +) Để có sai phân cấp I cần mốc nội suy +) Để có sai phân cấp II cần mốc nội suy +) Để có sai phân cấp n cần n+1 mốc nội suy c)Liên hệ sai phân tỷ hiệu Ta có: f[x0,x1] = = = f[x0,x1,x2] = == ∆2y0 Ta có cơng thức tổng quát: f[x0,x1,… xk] = ∆k y0 , k = 1, 2,… (7) d) Đa thức nội suy Newton có mốc cách Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0: f(x) = Pn(x) f(x) + (x – x0) f[x0,x1] + (x – x0)(x – x1) f[x0,x1,x2] MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG +…+ (x – x0) (x – x1)…(x – xn-1) f[x0,x1,…xn] Đặt x = x0+ ht (8) x – x0 = ht x – x1 = (x – x0) + (x – x1) = ht – h = (t – 1)h x – xk = (t – k)h , k = 0, 1, 2,… Cùng với (7) thay vào (8) ta có: f(x) Pn(x) = Pn(x0 + ht) = y0 + + + t(t – 1) +…+ t(t – 1)… (t – nt) (9) Nhận xét: +) Công thức (9) công thức nội suy Newton có mốc cách đều, hệ số sử dụng từ hàng đầu bảng sai phân phần trước +) Tương tự ta xây dựng cơng thức nội suy Newton có mốc cách xuất phát từ mốc xn f(x) Pn(x) = f(xn) + (x – xn) f[xn,xn-1,…x0] (10) 5.4 Nội suy hàm Spline Nhận xét: +) Phương pháp nội suy đa thức: phương trình khơng q phức tạp, song nhược điểm số mốc nội suy tăng bậc đa thức nội suy tăng làm phức tạp cho trình tính tốn +) Phương pháp tiếp cận hàm Spline Xét thuật toán: từ n + mốc nội suy ta xây dựng đa thức bậc thấp n khúc, mà nối chúng với đạt dộ trơn cao: gọi pp nội suy phép ghép trơn khúc 5.4.1 Khái niệm phép ghép trơn spline MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Xét cách chia đoạn [a,b] sau: < j = + Khi x = xj mj = jhj => j = Vậy S”(x) = (xj – x) + (x – xj-1) , j = (3) Tích phân (3) lần: S(x) = (xj – x)3 + (x – xj-1)3 + j(xj – x)+ j(x – xj -1) (4) S(xi) = yi Để xác định j j ta cho x = xj-1 x = xj + Khi x = xj S(xj) = j3 – j hj mà S(xj) = yj MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Vậy j = (yj – hj2) + Khi x = xj-1 j = (yj-1 – hj2) Thay vào (4) ta đoạn j = [xj-1, xj] , j = S(x) = (xj – x)3 + (x – xj -1)3 + (yj-1 – hj2)(xj – x) + (yj – hj2) (x – xj -1) ; x = [xj-1, xj] (5) Bây sử dụng điều kiện ghép đơn điểm (điểm nội suy) khúc (các điểm xj, j = ) để xác định hệ số mj (j = ) Từ (5) ta có: S’(x) = (xj – x)2 + (x – xj -1)2 – (yj-1 – hj2), với x = [xj-1, xj], j = Buộc điểm x = xj S’(xj+0) = S’(xj-0) S’(xj-0) sử dụng S(x) [xj-1, xj] S’(xj+0) sử dụng S(x) [xj, xj+1] S’(xj-0) = hj - (yj-1 – hj2) + (yj – hj2) = h j + hj + Từ S’(xj-0) = S’(xj+0), j = ta thu hệ (n – 1) phương trình với n+1 ẩn (m0, m1,… mn) Chia vế (6) cho ta có: mj-1 + 2mj + mj+1 = (*) Đặt MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Phương trình (*) ta viết lại sau: j mj-1 + 2mj + j mj+1 = dj , j = Nhận xét: Hệ (8) gồm n – phương trình, n + ẩn: phương trình thiếu bổ sung từ điều kiện biên a b hay từ điều kiện x0 = a xn = b (1) Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp II x = a x = b, tức f”(a) = f”(b) = dn Khi ta buộc hàm nội suy Spline phải thỏa mãn điều kiện: m0 = S”(a) = f”(a) = d0 mn = S”(b) = f”(b) = dn Vậy để thêm điều kiện biên này, ta có hệ phương trình: (2) Nếu hàm f(x) có đạo hàm cấp I biên x0 = a, xn = b Như vậy: (10) Từ đẳng thức S’(x), x = x0 + ta được: = - h1 - (y0 - h12) + (y1 - h12) = - h - h1 + Mà ta có: = Từ ta có 2m0 + m1 = ( – ) Đặt vế phải đẳng thức cuối d0 ta được: 2m0 + m1 = d0 (11) Hoàn toàn tương tự xn = b Từ ( = (xn) ta suy ra: MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG mn-1 + 2mn = dn với dn = ((xn) - (12) Vậy trường hợp ta hệ: , j= (13) Từ (9) (13) trường hợp ta viết dạng tổng quát sau: , j= (14) Trong đó: < ; < Hệ (14) hệ phương trình có ma trận hệ số đặc trưng dạng đường chéo có đường chéo trội nên giải phương pháp truy đuổi Từ (14) giải hệ ta thu nghiệm (j = ) Thay vào (14) ta hàm spline bậc đoạn [xj-1, xj] Trong trường hợp mốc nội suy cách (x j, j = ) thì: h = xj – xj-1 ; với x = thì: = = Hệ (14) viết sau: MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page 10 MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG , j= Bài tập: Lập hàm spline bậc III để xấp xỉ làm sinx đoạn cho với mốc nội suy x0 = 0; x1 = = Ứng dụng phương pháp số để tính đạo hàm tích phân 6.1 Tính đạo hàm nhờ cơng thức nội suy Lagrange Từ bảng số yi = f(xi) , i = (1) Từ sai số đa thức nội suy: R(x) = f(x) = P(x) sai số đạo hàm: r(x) = f(x) = P’(x) = R’(x) (2) (3) Đối với đạo hàm cấp cao ta có cơng thức tương tự Bằng đa thức nội suy Lagrange f(x) = P(x) = yj (4) ta suy ra: f’(x) = P’(x) = yj (5) tương tự ta suy ra: f’’(x) = f’’’(x),… Xét trường hợp mốc xi , i = cách đều: Do P(x) = yj = yi Trong đó: = ; x – x0 = th hay = hn+1 t(t – 1)(t – 2)… (t – n) = hn+1 (xi) = (xi – x0)(xi – x1)… (xi – xi-1)(xi – xi+1)… (xi – xn) = hn i(i – )(i – 2)… 2.1 (-1)(-2)…[-(n – 1)] MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page 11 MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG = hn (-1)n-1 i!(n – 1)! P(x) = yi Hay P(x) = P(xo+ht) = P(t) = yi (6) Vậy f’(x) = P’(x) = P’(x0 + ht) = P’t(t) Xét số trường hợp riêng: (1) Trường hợp n = (có điểm x0, x1, x2) Từ (6) ta có: P2(x) = (t – 1)(t – 2) y0 – t(t – 2) y1 + t(t – 1) y2 f’(x) = P’(x) = = [ (2t – 3) y0 – (2t – 2) y1 + (2t – 1) y2 ] (7) Đặc biệt đạo hàm tính mốc nội suy, từ (7) ta viết: (+) x = x0 > t = f’(x0) = P2’(x0) = [- y0 + 2y1 - y2 ] = [-y0 + 4y1 – y2 ] (+) x = x1 > t = f’(x1) = P2’(x1) = [- y0 + y2 ] = [-y0 + y2 ] (+) x = x2 > t = f’(x2) = P2’(x2) = [y0 + 4y1 + 3y2 ] Bằng khai triển taylor ta dễ dàng nhận thấy sai số công thức (7) đạt xấp xỉ Q(h2) Hoàn toàn tương tự ta suy giá trị f’ mốc x0, x1, x2, x3 sau: (9) Đạt sai số Q(h3) Nhận xét: Nếu mốc nội suy nhiều sai số đạt cao, tính phức tạp MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page 12 MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG 6.2 Tính gần tích phân xác định nhờ đa thức nội suy Lagrange Giả sử biết giá trị: yi = f(xi) , i = (1) Trong đó: a x0 < x1 < x2 < … < xn b Cần tính gần giá trị tích phân I= = (2) Thay vào giá trị bảng số (1) Ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange L(x): L(x) = yi (3) Trong đó: = , đồng thời L(xi) = yi , i = I = = + Rn(x) (4) Trong đó: Rn(x) sai số Từ từ (4), bỏ qua sai số ta phép viết: I= Với (5) Ai = dx (6) Nhận xét: +) Công thức (5) cơng thức gần tính tích phân xác định I (còn gọi cơng thức cầu phương) +) Bằng đa thức nội suy khác, suy ra công thức cầu phương khác 6.3 Công thức Newton – Côtet; Cơng thức hình thang; Cơng thức Simson để tính gần tích phân xác định Cần tính: I= = (7) Chia đoạn [a,b] thành n phần có h = điểm chia x0a, xnb, xi = x0 + ih (i = ) MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page 13 MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Đồng thời điểm xi ta có bảng số: yi = f(xi) , i = với Ai số khơng đổi Vấn đề: Ta tìm biểu thức Ai công thức (9) Nếu sử dụng công thức nội suy Lagrange: Ai = dx Do mốc xi cách nhau, với bước h = xi = xo + ht thì: Ai = d(x0 + ht) Hay Ai = h dt (i = ) Hay Ai = (b – a)Hi Với Hi = dt (10) (i = ) (11) Vì h = Hi gọi hệ số Côtet Vậy I = (b – a) (12) Trong đó: yi = f(xi) = f(a + ih) ; i = Từ (11) ta dễ dàng kiểm tra lại rằng: = Hi = Hn-i Nghĩa hệ số Côtet đối xứng qua mốc trung gian Nhận xét: Công thức (12) công thức Newton-Cotet với hệ số Hi tính theo (n) Ta xét trường hợp riêng a) Trong (12) xét n = Ta có: H0 = - dt = H1 = - dt = MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page 14 MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Vậy I= (y0 + y1) (13) Nhận xét: Công thức (13) gọi coogn thức hình thang b) Trường hợp (12) n = H0 = dt = H1 = - dt = H1 = dt = Do h = nên theo công thức (12) ta được: I = (y0 + 4y1 + y2) (14) Nhận xét: Công thức (14) gọi công thức Simson hay công thức Parabol c) Trường hợp (12) n = [ta có mốc: x0, x1, x2, x3] h= Theo công thức (11) (12) ta được: I = (y0 + 3y1 + 3y2 + y3) Nhận xét: +) Khi n lớn cơng thức phức tạp, kỹ thuật thường sử dụng cơng thức (13) (14) +) Hồn tồn tương tự, ta xác định cơng thức Cotet với n = 4,5 MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG Page 15