Đang tải... (xem toàn văn)
Giả sử hàm số f(x) xác định trên [a;+∞) và f(x) khả tích trên mỗi đoạn [a;b], với mọi b (a; +∞). Ta gọi và ký hiệu tích phân suy rộng với cận vô hạn của hàm số f(x) trên [a;+∞) là giới hạn (hữu hạn hoặc là vô hạn) dưới đây...
TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a ( ) lim ( ) b a a b f x dx f x dx +∞ →+∞ = ∫ ∫ gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +∞) Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr. Nhận dạng tpsr loại 1 ( ) a f x dx +∞ ∫ 2 2 1 dx x x +∞ − + + ∫ 0 sin x dx x +∞ ∫ VD: không là tpsr loại 1 2 0 1 2 3 x dx x x +∞ + + − ∫ 0 sin x dx x +∞ ∫ là tpsr loại 1 Nếu f(x) liên tục trên [a, +∞) hoặc chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +∞) thì là tích phân suy rộng loại 1 ĐỊNH NGHĨA ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx −∞ →−∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) a a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ∫ Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tp vế phải hội tụ. (chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân kỳ, không cần biết tp còn lại) Ví dụ 2 0 1 dx I x +∞ = + ∫ ( )b ϕ 2 b π →+∞ → Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ 2 0 1 dx x +∞ = + ∫ 2 0 1 b dx x = + ∫ 0 arctan b x= arctan b= 0 cosI xdx +∞ = ∫ ( )b ϕ 0 cos sin b xdx b= = ∫ Không có gh khi b →+∞ ln e x I x +∞ = ∫ ( )b ϕ ln b e x x = ∫ ln 1 b tdt= ∫ 2 1 ln 1 2 b = − b→+∞ →+∞ ⇒ Phân kỳ ⇒ Phân kỳ Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 1.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α > a ( )f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 2.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α ≠ 0 ( ) a f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f g dx +∞ ⇒ + ∫ ( ) a g x dx +∞ ∫ 3.f, g khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. hội tụ ( ) a f x dx +∞ ∫ hội tụ và phân kỳ ( ) a f g dx +∞ ⇒ + ∫ phân kỳ ( ) a f x dx +∞ ∫ ( ) a g x dx +∞ ∫ và hội tụ * * Công thức Newton-Leibnitz f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a, F là nguyên hàm của f trên [a, +∞), khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) a a f x dx F x F F a +∞ +∞ = = +∞ − ∫ trong đó ( ) lim ( ) x F F x →∞ +∞ = Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng. [...]... dấu tp liên tục trên [0, +∞), đây là tpsr loại 1 Lưu ý: 1 Hàm dưới dấu tích phân thay đổi dấu 2 Không thể so sánh I với +∞ dx ∫0 x2 +∞ x −1 3 I cùng bản chất với J = ∫ dx 3 1 x + 3x + 2 ⇒ I hội tụ Tính chất của tích phân suy rộng 1 f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a Khi đó ∀ α > a +∞ ∫a f ( x )dx và +∞ ∫α f ( x )dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) I=∫ +∞ 1 cos 1 − 1 dx x ÷ Tiêu chuẩn so... phân kỳ thì f ( x )dx hội tụ +∞ ∫a g ( x )dx phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a Đặt f (x) k = lim x →+∞ g ( x ) • 0 ≠k ≠ ∞ •k=0 •k=∞ ∫a +∞ ∫a +∞ ∫a +∞ f ( x )dx , ∫ +∞ a g ( x )dx g ( x )dx hội tụ ⇒ ∫ +∞ a g ( x )dx phân kỳ ⇒ f ( x )dx hội tụ +∞ ∫a Cùng hội tụ hoặc phân kỳ f ( x )dx phân kỳ Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1 f(x)... +∫ −e − x +∞ 0 =1 TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Cho f(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a Khi đó b ϕ (b) = ∫ f ( x )dx là hàm tăng theo biến b a ⇒ ϕ(b) hội tụ khi và chỉ khi ϕ(b) bị chận trên TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a Nếu +∞ ∫a +∞ ∫a f ( x ) ≤ kg ( x ), ∀x ≥ α ≥ a g ( x )dx hội tụ thì +∞ ∫a f ( x )dx phân kỳ thì f ( x )dx... ), ∀x > α ⇒ Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1 f (x) g (x) lim = ∞ ⇒ lim =0 x →+∞ g ( x ) x →+∞ f ( x ) Lưu ý: tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm Tích phân cơ bản +∞ dx ∫a x với α a>0 Hội tụ ⇔ α > 1 (Nghĩa là: α > 1 thì tp hội tụ, α ≤ 1 thì tp phân kỳ) Chứng minh: ϕ (b ) = ∫ b dx a x α ln b − ln a,α = 1 = 1 1 1 α −1 − α −1 ÷,α ≠ 1 α − 1 b a Nguyên tắc khảo sát sự hội tụ 1 Kiểm... +α x3 ,α > 0 1 I hội tụ ⇔ +α >1 3 (2) 1 1 f (x) : ,α < 0 2 1 x3 2 1 (3) f ( x ) : ,α = 0 5 1 x3 2 ⇔α > 3 ⇒ I phân kỳ ⇒ I phân kỳ I=∫ +∞ 1 2 −x x e dx (không thay tương đương được) 1 Xét g ( x ) = α x 2 −x 2 +α f ( x ) x e x = = x 1 g (x) e α x α ≤1 α >1 +∞ ∫1 +∞ ∫1 x →+∞ → 0, ∀α g ( x )dx phân kỳ Không có kết luận cho I g ( x )dx hội tụ ⇒ I hội tụ α >1 +∞ ∫1 g ( x )dx hội tụ ⇒ I hội tụ Vậy chỉ cần... )dx hội tụ ⇒ ϕg (b) bị chận trên ⇒ ϕf (b) bị chận trên ⇒∫ +∞ a f ( x )dx hội tụ Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1 f(x) ≤ kg(x) ⇔ ϕf(b) ≤ kϕg(b) +∞ ∫a f ( x )dx phân kỳ ⇒ ϕf (b) không bị chận trên ⇒ ϕg ( b ) ⇒∫ +∞ a không bị chận trên g ( x )dx phân kỳ Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2 f (x) lim = K ≠ 0, ∞ x →+∞ g ( x ) f (x) K ⇒ − K < , ∀x > α g (x) 2 K 3K ⇒ g (x) < f (x) < g ( x ), ∀x > α 2 2 ⇒ Kết luận... (x) = x ÷ 2÷ x 2x 2x 1 Chọn g ( x ) = x f (x) 1 x →+∞ 1 2 = x cos − 1÷→− g (x) x 2 f (x) 1 x →+∞ 1 2 = x cos − 1÷→− g (x) x 2 +∞ ∫1 f ( x )dx cùng bản chất với Vậy I phân kỳ +∞ ∫1 g ( x )dx = ∫ +∞ dx 1 x I=∫ +∞ 1 1 1 − sin ÷dx x x Khai triển Maclaurin cho f theo u = 1/x trong lân cận ∞ 1 1 1 1 1 : 1 1 f ( x ) = − − 3 + o 3 ÷÷ 6 x3 x x 6 x x ... ln x 1 x2 dx (không thay tương đương được) 1 Xét g ( x ) = α x ln x f (x) x 2 ln x = = 2 −α 1 g (x) x xα 0 nếu 2 − α > 0 (1) +∞ nếu 2 − α ≤ 0 (2) Lưu ý: phải chọn α sao cho có thể kết luận I hội tụ hay phân kỳ . TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a ( ) lim ( ) b. = ∫ ∫ gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +∞) Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Giới