Đang tải... (xem toàn văn)
20 câu hỏi ôn tập hình học không gian có lời giải giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi, dể dàng và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Tác giả hy vọng tài liệu có ích cho các bạn tham khảo
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 1 BÀI 1 Câu 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : x y 2 0 2x z 6 0 sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) : 2 2 2 x y z 2x 2y 2z 1 0 là đường tròn có bán kính r = 1. Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'. GIẢI Câu 1: Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0 (P): (m 2n)x my nz 2m 6n 0 Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2. (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1 22 d(I; P) R r 3 2 2 2 m 2n m n 2m 6n 3 (m 2n) m n 22 4m 7n 3. 2m 5n 4m.n 22 5m 22m.n 17n 0 Cho 2 17 n 1 5m 22m 17 0 m 1 hay m 5 Vậy, có 2 mặt phẳng (P): 1 2 (P ): x y z 4 0 (P ) : 7x 17y 5z 4 0 Câu 2: . Cách 1: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông / / / / / / AB BC CA A B B C C A a các tam giác ABC, A / B / C / là các tam giác đều. Ta có: / / / / / B C // BC B C //(A BC) / / / / / / / d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC)) Ta có: / / / / BC FD BC (A BC) BC A D ( A BC cân tại A ) Dựng / FH A D Vì // BC (A BC) BC FH H (A BC) A / FD vuông có: 2 / 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 7 a 21 FH . 7 FH A F FD 3a a 3a A / B / C / C B A H F D Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 2 Vậy, / / / a 21 d(A B; B C ) FH 7 Cách 2: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông ABC, A / B / C / là các tam giác đều cạnh a. Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), / // a a 3 a a 3 B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a), 2 2 2 2 a a 3 a a 3 B ; ; a , C ; ; a 2 2 2 2 Ta có: / / / / / B C // BC, B C //(A BC) / / / / / / / / d(B C ; A B) d(B C ; (A BC)) d(B ; (A BC)) // a a 3 a a 3 A B ; ; a , A C ; ; a 2 2 2 2 2 / / 2 2 2 a 3 3 [A B; A C] 0; a ; a 0; 1; a .n, 22 với 3 n 0; 1; 2 Phương trình mp (A / BC) qua A / với pháp vectơ n : 3 0(x 0) 1(y 0) (z a) 0 2 / 3 a 3 (A BC) : y z 0 22 // a 3 3 a 3 a3 .a a 21 2 2 2 2 d(B (A BC)) . 7 37 1 42 Vậy, / / / a 21 d(A B; B C ) . 7 BÀI 2 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng () : x 1 y 2 z 3 2 1 2 1. Tìm điểm M thuộc () để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 2. Tìm điểm N thuộc () để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất. A / C / B / A B C D x a z y Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 3 Câu 2: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau. GIẢI Câu 1: 1. Phương trình tham số của (D): x 1 2t y 2 t z 3 2t M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t) AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1) [AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n , với n (1; 2; 2) Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0. 2 2 2 ABC 1 1 9 S [AB; AC] ( 3) ( 6) 6 . 2 2 2 Đường cao MH của tứ diện MABC là khoảng từ M đến (ABC): 1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11 MH d(M(ABC)) 3 1 4 4 Thể tích tứ diện MABC bằng 3 4t 11 19 V . . 3 3 2 3 5 17 4t 11 6 t hay t . 44 Vậy, có 2 điểm M cần tìm là: 3 3 1 15 9 11 M ; ; hay M ; ; 2 4 2 2 4 2 2. N ( ) N(1 2t; 2 t; 3 2t) 22 ABN 1 1 2 3 2 S [NA; NB] 32t 128t 146 (4t 8) 9 2 2 2 2 ABN 32 maxS 4t 8 0 t 2. 2 Vậy, điểm N cần tìm là N(-3; 0; 1). Câu 2: Cách 1: Gọi O là tâm của ABC Ta có: SA SB SC OA OB OC ( ABC đều) SO là trục của đường tròn (ABC) SO (ABC) Mà : AO BC; SO BC BC (SOA) BC SA S I A O B M C Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 4 Dựng BI SA , suy ra: SA (IBC) SA IC. BIC là góc phẳng nhò diện (B, SA, C). SOA vuông có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 3h a 3h a SA SO OA h SA 33 3 Gọi M là trung điểm BC Ta có: BM (SOA), BI SA IM SA (đònh lý 3 đường vuông góc) MIA SOA 2 2 2 2 AM a 3 3 3ah MI SO. h. . SA 2 3h a 2 3h a SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC cân tại I. (SAB) (SAC) IBC vuông cân tại I 1 IM BC 2 22 22 2 2 2 3ah 1 a 3h 3h a 2 2 3h a a6 9h 3h a h . 6 Vậy, a6 h. 6 Cách 2: Gọi H là tâm của ABC và M là trung điểm của BC Ta có: SA SB SC HA HB HC ( ABC đều) Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc A(0; 0; 0), a a 3 a a 3 a 3 a 3 B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h 2 2 2 2 2 3 . a 3 a a 3 a a 3 SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h 3 2 6 2 6 2 1 ah 3 ah a 3 a a [SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n , 2 2 6 6 6 với 1 n (3h 3; 3h; a 3) 2 2 ah 3 ah a 3 a a [SA; SC] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n , 2 2 6 6 6 với 2 n (3h 3; 3h; a 3) . Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SB nên có pháp vectơ 1 n . S z A z H B M y C Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 5 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SC nên có pháp vectơ 2 n . 12 (SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0 2 2 2 22 3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 27h 9h 3a 0 a6 18h 3a h . 6 Vậy: a6 h. 6 BÀI 3 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S): 2 2 2 2x 2y z 1 0 (d) : ; (S):x y z 4x 6y m 0 x 2y 2z 4 0 Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho MN = 8. Câu 2: Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a 0) và đường cao OA a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. GIẢI Câu 1: Mặt cầu (S): 2 2 2 (x 2) (y 3) z 13 m có tâm I(-2; 3; 0), bán kính R IN 13 m , với m < 13. Dựng IH MN MH HN 4 22 IH IN HN 13 m 16 m 3 , với m < -3. Phương trình tham số của đường thẳng (d): xt 1 y 1 t 2 z 1 t (d) có vectơ chỉ phương 11 u 1; ; 1 (2; 1; 2) 22 và đi qua điểm A(0; 1; -1) H N M I Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 6 AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6) Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d): 222 2 2 2 [AI; u] 3 6 6 81 h 3. u 9 2 1 2 Ta có: IH = h m 3 3 m 3 9 m 12 (thỏa điều kiện) Vậy, giá trò cần tìm: m = -12. Câu 2: Cách 1: Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) OM // (ABN) d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)). Dựng OK BN, OH AK (K BN; H AK) Ta có: AO (OBC); OK BN AK BN BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH Từ các tam giác vuông OAK; ONB có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15 OH 5 OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a Vậy, a 15 d(OM; AB) OH . 5 Cách 2: Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), a a 3 M ; ; 0 22 và a 3 a 3 N 0; ; 22 là trung điểm của AC. MN là đường trung bình của ABC AB // MN AB // (OMN) d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)). a a 3 a 3 a 3 OM ; ; 0 , ON 0; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a a 3 a 3 a 3 a 3 [OM; ON] ; ; 3; 1; 1 n 4 4 4 4 4 , với n ( 3; 1; 1) z A a3 a3 y C N O M a x B Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 7 Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ n : 3x y z 0 Ta có: 3.a 0 0 a 3 a 15 d(B; (OMN)) 5 3 1 1 5 Vậy, a 15 d(AB; OM) . 5 BÀI 4 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của () và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng 36 125 . Câu 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác đònh giá trò của x để góc phẳng nhò diện (B, SA, C) bằng 60 o . GIẢI Câu 1: Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0 Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác đònh bởi () và (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0 (P): 2mx my (m n)z 5m 0 Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ: 5 5m A ; 0; 0 , B(0; 5; 0), C 0; 0; 2 m n Thể tích tứ diện OABC bằng 125 36 1 1 5 5m 125 V .OA.OB.OC . .5. 6 6 2 m n 36 m n 3m m 1, n 2 m n 3 m m n 3m m 1, n 4 Vậy, có 2 phương trình mặt phẳng (P): 1 2 (P ): 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2) (P ): 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4) Câu 2: . Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC AM BC (ABC vuông cân) Ta có: SG (ABC) SG BC . G M C S I A Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 8 Suy ra: BC (SAM) Dựng BI SA IM SA và IC SA BIC là góc phẳng nhò diện (B; SA; C). SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC cân tại I. 1 a 2 a 2 BC a 2; AM BM MC BC ; AG 2 2 3 2 2 2 2 AM a 2 1 ax 2 AIM ~ AGS IM SG. x. . AS 2 SG AG 2a 2x 9 22 3ax 2 IM 2 9x 2a . Ta có: o BIC 60 oo 22 a 2 3.3ax 2 BIM 30 BM IM.tg30 2 2 9x 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9x 2a 3x 3 9x 2a 27x a 18x 2a 9x a x . 3 Vậy, a x. 3 Cách 2: BC a 2 Gọi M là trung điểm BC a 2 a 2 AM ; AG 23 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông a AG AE 2 AE AF . 3 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), a a a a G ; ; 0 , S ; ; x 3 3 2 2 . a a 2a a a 2a SA ; ; x , SB ; ; x , SC ; ; x 3 3 3 3 3 3 2 1 aa [SA; SB] 0; ax; a 0; x; a.n 33 , với 1 a n 0; x; 3 2 2 aa [SA; SC] ( ax; 0; ) a x; 0; a.n , 33 với 2 a n x; 0; 3 . Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SB nên có pháp vectơ 1 n z x x y C B A E F G M Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 9 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SC nên có pháp vectơ 2 n Góc phẳng nhò diện (B; SA; C) bằng 60 o . 2 o 22 22 22 aa a 0.x x.0 33 9 cos60 9x a aa 0 x x 0 9 99 2 22 1a 2 9x a 2 2 2 2 2 a 9x a 2a 9x a x . 3 Vậy, a x. 3 BÀI 5 Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : 2 2z 2 y 1 1x và mặt phẳng () : 2x – y – 2z = 0. Câu 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuông góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF. GIẢI Câu 1: Gọi A(a; 0; 0) Ox . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng () : 2 2 2 2a 2a d(A; ) 3 2 1 2 () qua 0 M (1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương u (1; 2; 2) Đặt 01 M M u Do đó: d(A; ) là đường cao vẽ từ A trong tam giác 01 AM M 01 2 0 AM M 01 [AM ; u] 2.S 8a 24a 36 d(A; ) M M u 3 Theo giả thiết: d(A; ) = d(A; ) Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 10 2 2 2 2 2 2a 8a 24a 36 4a 8a 24a 36 4a 24a 36 0 33 4(a 3) 0 a 3. Vậy, có một điểm A(3; 0; 0). Câu 2: Cách 1: Gọi M là trung điểm của BF EM // AF (SA; AF) (EM; AF) SEM SAE vuông tại A có: 2 2 2 2 2 SE SA AE a 2a 3a SE a 3 2a 2. 3 AF a 6 2 a6 EM BM MF ; BF a 2 2 2 2 2 2 2 2 SB SA AB a 8a 9a SB 3a 2 2 2 2 2 2 SF SA AF a 6a 7a SF a 7 Áp dụng đònh lý đường trung tuyến SM trong SBF có: 2 2 2 2 1 SB SF 2.SM BF 2 2 2 2 2 2 2 1 15a 9a 7a 2SM .2a SM 22 Gọi là góc nhọn tạo bởi SE và AF Áp dụng đònh lý hàm Côsin vào SEM có: 22 2 2 2 2 3a 15a 3a ES EM SM 2 2 22 cos cosSEM . 2.ES.EM 2 2 a6 2. .a 3 2 o 45 . Dựng AK ME; AH SK. Ta có: a2 AK MF 2 và AH (SME) Vì AF// ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH. SAK vuông có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 a 3 AH 3 AH SA AK a a a Vậy, a3 d(SE; AF) 3 . Cách 2: Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), z a S A x E B M F y C C S F M B E K H A [...]... d(SE; AF) 00a 2 1 a 2 3 a 3 3 ĐỀ 6 Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): (P): 2x 2y z m2 3m 0 ; (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 9 Tìm m để (P) tiếp xúc (S) Với m tìm được xác đònh tọa độ tiếp điểm Câu : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung... 3 6 ĐỀ 9 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: x t x t ' (d1) : y 4 t ; và (d2) : y 3t ' 6 z 6 2 t z t ' 1 Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d 1) và cắt (d1) Câu 2: 1 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với... Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Câu 2: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: x 2 t x y 3 0 (d1) : y t ; (d2) : 4x 4y 3z 12 0 z 4 Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2) Trang 13 Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng GIẢI Câu 1: S Cách 1: ... và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) GIẢI Câu 1: / / (P) có pháp vectơ nP (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n P , với nP (1; 4; 1) (Q) có pháp vectơ nQ (3; 4; 9) (d1) có vectơ chỉ phương u1 (2; 4; 3) np P (d2) có vectơ chỉ phương u2 (2; 3; 4)... thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình: x 1 y 1 z 1 2 2 1 x 3 2x 2y z 10 0 Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: x 1 y 1 z 1 y 1 z 2 2 2 1 Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2) S Câu 2: Cách 1: Ta có: SA (ABC) SA AC Do đó SAC vuông tại A có AM là 1 trung tuyến nên MA SC 2 SA (ABC) Ta lại có: AB BC (ABC vuông tại B) M A H K B... M1 Câu 2: Cách 1: Gọi H là trung điểm BC AH BC M2 I M0 M Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a AH a và 2 a 3 BC a 3 2 IB/ C/ vuông có: a2 13a2 IB/ 2 IC/ 2 B/ C/ 2 3a2 4 4 BH AIC B/ C/ A/ a2 5a2 vuông có: AI IC AC a2 4 4 2 2 2 5a2 13a2 2 2a IB/ 2 Ta có: AI AB 4 4 (AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B... Câu 2: Cách 1: Dựng SH AB Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB) S SH (ABC) và SH là đường cao của hình chóp Dựng HN BC, HP AC SN BC, SP AC SPH SNH B H SHN = SHP HN = HP AHP vuông có: HP HA.sin 60o a 3 4 N C P A a 3 tg 4 1 1 a 3 a2 3 a3 tg tg Thể tích hình chóp S.ABC : V SH.SABC 3 3 4 4 16 Cách 2: Dựng SH AB Ta có: ... MM2 đạt giá trò nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1) và M2(7; 3; 9). Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC 120o , cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) GIẢI Câu 1: 1 x 3 7t1 (1 ) : y 1 2t1 có vectơ chỉ phương u1 (7; 2; 3) z 1 3t 1 x 7... sin 1 2 cos Câu 2: (d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương u1 (2; 1; 0) (d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương u2 (3; 3; 0) AB (3; 0; 4) AB.[u1; u2 ] 36 0 AB, u1 , u2 không đồng phẳng Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau x 3 t / (d2) có phương trình tham số: y t / z 0 Gọi MN là đường vuông góc chung của... h tg 16 4 1 1 a 3 a2 3 a3 tg tg Thể tích hình chóp S.ABC: V h.SABC 3 3 4 4 16 ĐỀ 10 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9 ; ( 2 ): (1) : 7 2 3 1 2 1 1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (3) đối xứng với (2) qua (1) 2 Xét mặt phẳng ( : x + y + z + 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu của (2) theo phương (1) lên mặt phẳng . tọa độ một tứ diện có thể tích bằng 36 125 . Câu 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S. BÀI 5 Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : 2 2z 2 y 1 1x và mặt phẳng () : 2x – y – 2z = 0. Câu 2: Cho hình
