SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 1 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 2009 4 502 2009 4 502+ − − Câu 2 : (1,5đ) Cho α là góc nhọn. Rút gọn biểu thức M = sin 6 α + cos 6 α + 3sin 2 α cos 2 α Câu 3 : (1,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 2 –3x 6x 27+ + Câu 4 : (1,5đ) Giải hệ phương trình 2 2 4x + 9y = 72 xy = 6    Câu 5 : (1,5đ) Giải phương trình (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) = 12. Câu 6 : (1,5đ) Tam giác ABC vuông tại A có BC = 2AB. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, BO cắt AC tại M. Chứng minh: BM = ( 3 +1).OM Câu 7 : (1đ) Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương a và b thỏa mãn hệ thức ( ) ( ) – 2 2 a b a b 5ab+ + = thì một trong hai số sẽ gấp đôi số còn lại. Câu 8 : (1,5đ) Gọi S, p và r lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh : S = pr. Câu 9 : (1,5đ) Cho ba số không âm a, b và c. Chứng minh : a + b + c ≥ ab+ bc+ ca Câu 10 : (1,5đ) Cho tam giác ABC cân tại A ( µ A <90 o ), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H, biết DH = 2cm, BC = 8cm. Tính diện tích tam giác ABC. Câu 11 : (1đ ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH (H ∈ BC). Vẽ hình vuông MNPQ cạnh a thỏa mãn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và P, Q thuộc cạnh BC. Chứng minh : 1 1 1 AH BC a + = Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương. Câu 13 : (1,5đ) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + 3f( 1 x ) = 5x với mọi số thực x khác 0. Gọi M là điểm thuộc trục hoành với hoành độ bằng 3 . Chứng minh M thuộc đồ thị hàm số f(x). Câu 14 : (1,5đ) Gọi AB là một dây cố định của đường tròn (O; R) và M là một điểm thuộc đường tròn. Chứng minh khi M di động trên đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác ABM cũng di động trên một đường tròn cố định. ----------- HẾT ---------- HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : .Số báo danh Chữ ký giám thị 1 : . Chữ ký giám thị 2 . Trang 1/1 1 : (1,5đ) P = 2009 2 2008 2009 2 2008+ − − 0,25đ = ( ) ( ) 2 2 2008 1 2008 1+ − − = 2008 1 2008 1+ − − 0,75đ = ( ) ( ) 2008 1 2008 1+ − − = 2008 1 2008 1+ − + = 2 0,5đ Câu 2 : (1,5đ) M = sin 6 α + cos 6 α + 3sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α ) 3 + (cos 2 α ) 3 + 3sin 2 α cos 2 α 0,25đ = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 4 α – sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) + 3sin 2 α cos 2 α 0,25đ = sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α (vì sin 2 α + cos 2 α = 1) 0,5đ = (sin 2 α + cos 2 α ) 2 = 1 2 = 1 0,5đ Câu 3 : (1,5đ) Q = –3(x 2 – 2x – 9) 0,25đ = –3(x 2 – 2x + 1 – 10) = –3[(x – 1) 2 – 10] 0,75đ = –3(x – 1) 2 + 30 ≤ 30 Vậy max Q = 30 khi x = 1 0,5đ Câu 4 : (1,5đ) 2 2 4x + 9y = 72 (1) xy = 6 (2)    Từ (1) ⇒ 4x 2 – 12 xy + 9y 2 = 72 – 12xy kết hợp với (2) ⇒ (2x – 3y) 2 = 72 – 12.6 = 0 ⇒ 2x – 3y =0 ⇒ 2x = 3y 0,75đ ⇒ 2x 2 = 3xy = 3.6 = 18 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = 3 y = 2 x = 3 y = 2 ⇒   − ⇒ −  Vậy hệ có hai nghiệm (3; 2) và (–3; –2) 0,75đ Câu 5 : (1,5đ) (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) = 12 Đặt x 2 + x + 1 = t ⇒ t(t+1) = 12 ⇒ t 2 + t –12 = 0 0,5đ ⇒ 2 2 4 t = 3 x + x + 1 = 3 x= 1 ; x = 2 t = x + x + 1 = 4 (voâ nghieäm)  ⇒ ⇒ −  − ⇒ −  1,0đ Câu 6 : (1,5đ) Kẻ OH ⊥ AB ⇒ BM BA OM HA = (định lý Talet) = BH HA HA + = BH 1 HA + 0,75đ Chứng minh · o HAO 45= ⇒ HA = HO; 0,25đ Chứng minh · o HBO 30= ⇒ o BH cotg30 HA = = 3 0,25đ Vậy BM 3 1 OM = + ⇒ BM = ( 3 1+ ).OM (đpcm) 0,25đ Câu 7 : (1,0đ) (a + b) 2 + (a – b) 2 = 5ab ⇒ a 2 + 2ab + b 2 + a 2 – 2ab + b 2 = 5ab 0,25đ ⇒ 2a 2 + 2b 2 – 5ab = 0 ⇒ 2a 2 – 4ab + 2b 2 – ab = 0 0,25đ ⇒ 2a(a – 2b) + b(2b – a) = 0 ⇒ 2a(a – 2b) – b(a – 2b) = 0 0,25đ ⇒ (a – 2b)(2a – b) = 0 ⇒ a = 2b hoặc b = 2a (đpcm) 0,25đ Câu 8 : (1,5đ) Trang 1/1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN 45 ° 30 ° H O M C B A O A B C r r r Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp S ABC = S OAB + S OBC + S OCA = 1 1 1 r.AB+ r.BC+ r.CA 2 2 2 0,75đ = 1 r(AB+BC+CA) 2 = 1 r.2p 2 = pr (đpcm) 0,75đ Câu 9 : (1,5đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có: a b ab 2 + ≤ ; b c bc 2 + ≤ ; c a ca 2 + ≤ 0,5đ Công vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được: ab+ bc+ ca ≤ a b b c c a 2 2 2 + + + + + ab bc ca a b c⇔ + + ≤ + + (đpcm) 1,0đ Câu 10 : (1,5đ) Chứng minh ∆ DEH đồng dạng ∆ DAE 0,5đ ⇒ DE 2 = DA. DH mà DE = 4 (trung tuyến ứng cạnh huyền trong ∆ BEC) 0,5đ ⇒ DA = 8 ⇒ S ABC = 1 2 AD.BC = 1 2 8.8 = 32 (cm 2 ) 0,5đ Câu 11 : (1,0đ ) Gọi K là giao điểm AH và MN Chứng minh được AK MN = AH BC ⇔ AH KH MN = AH BC − 0,5đ ⇔ AH a a = AH BC − ⇔ 1= a a BC AH + ⇔ 1 1 1 a BC AH = + (đpcm) 0,5đ Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương. Vì a + 16 và a – 73 là các số chính phương Đặt a + 16 = 2 m , a – 73 = 2 n với m, n ∈ N. 0,25đ ⇒ m 2 – n 2 = 89 ⇔ (m – n)(m + n) = 89 0,25đ Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên m n 1 m n 89 − =   + =  ⇔ m 45 n 44 =   =  0,75đ a +16 = 45 2 ⇒ a = 2009 0,25đ Câu 13 : (1,5đ) Lấy x = 3 ⇒ f( 3 ) + 3f( 1 3 ) = 5 3 (1) 0,5đ Lấy x = 1 3 ⇒ f( 1 3 ) + 3f( 3 ) = 5 1 3 ⇒ 3f( 1 3 ) + 9f( 3 ) = 15 1 3 = 5 3 (2) 0,5đ Trừ vế với vế (2) cho (1) ⇒ 8f( 3 ) = 0 ⇒ f( 3 ) = 0 ⇒ đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm M( 3 ; 0) (đpcm) 0,5đ Câu 14 : (1,5đ) AB cố định ⇒ trung điểm D của AB cố định 0,25đ Lấy I thuộc đoạn OD sao cho DI = DO/3 ⇒ I cố định 0,5đ Chứng minh IG = OM/3 0,5đ ⇒ G thuộc đường tròn (I, R/3) 0,25đ Chú ý: Nếu HS giải bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm. ----------- HẾT ---------- Trang 1/1 4 4 H E A B C D 4 2 Q P N A H B M C K G I M O A B D . (1,5đ) P = 2009 2 2008 2009 2 2008+ − − 0,25đ = ( ) ( ) 2 2 2008 1 2008 1+ − − = 2008 1 2008 1+ − − 0,75đ = ( ) ( ) 2008 1 2008 1+ − − = 2008 1 2008 1+ −. gồm 1 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát