Đang tải... (xem toàn văn)
I. Tổng quát: 1. Cho . Vecto cùng phương với sao cho 2. Cho và không cùng phương. Vecto đồng phẳng với và sao cho 3. Cho ba vecto ; ; không đồng phẳng và vecto . Khi đó, tồn tại duy nhất bộ 3 số sao cho 4. Điểm G là trọng tâm 5. Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD 6. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( II. Vecto – Tọa độ vecto và các tính chất 1. Vecto: Trong không gian Oxyz có 3 vecto đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: , , • Cho điểm M(x;y;z) thì • Cho thì
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nguyễn Phú Hùng NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Tổng quát: k Cho a ≠ Vecto b phương với a ⇔ ∃ cho b = k a k Cho a b không phương Vecto c đồng phẳng với a b ⇔ ∃ , l cho c = k a +l b Cho ba vecto a ; b ; c không đồng phẳng vecto d Khi đó, tồn số ( x; y; z ) cho d = x a + yb + z c ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ ∀O, OG = (OA + OB + OC ) Điểm G trọng tâm ∆ Điểm G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC = ⇔ ∀O, OG = (OA + OB + OC + OD) OA − k OB Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠1) ⇔ MA = k MB ⇔ ∀O, OM = II Vecto – Tọa độ vecto tính chất Vecto: Trong khơng gian Oxyz có vecto đơn vị trục Ox, Oy, Oz là: 1−k i = 0;0) , j =(0;1;0) ( ; , k =(0;0;1) OM =x.i +y j +z.k • Cho điểm M(x;y;z) u =( a; b; c ) u = a.i +b j +c.k • Cho Tính chất vecto: Cho u =( x1 ; y1 ; z1 ) v =( x2 ; y2 ; z ) số thực k tùy ý, ta có tính chất sau: • • • • • x1 = x2 u = v ⇔ y1 = y2 z = z 1 u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z ) u −v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z ) k u =( kx1 ; ky1 ; kz1 ) ( Tích vơ hướng vecto ) u.v = x1.x2 + y1 y2 +z1.z • Độ dài vecto: • Góc hợp vecto : cos(u; v) = u = 2 x1 + y1 + z1 u.v u v = x1.x2 + y1 y2 + z1.z 2 2 2 x1 + y1 + z1 x2 + y2 + z 2 Lưu ý: góc ϕ hợp yếu tố có giá trị: ≤ ϕ ≤ 90o tính góc ta phải trị tuyệt đối phần tích vơ hướng ( Vì cos ϕ ≥ ϕ ∈[0o ;90o ] ) ≤ ϕ ≤180o tính góc qua cos ϕ ta khơng phải trị tuyệt đối ( Vì cos ϕ âm, dương ϕ ∈[0 o ;180 o ] • u ⊥ v ⇔u.v = ⇔ x1.x2 + y1 y2 + z1.z = Chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trước Cho điểm A( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; y B ; z B ) Điểm M ( xM ; y M ; z M ) chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k: Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian MA = k MB xác định công thức: Nguyễn Phú Hùng xM = yM = zM = x A − kxB 1− k y A − kyB 1− k z A − kz B 1− k *) Chú ý: _ Nếu M nằm khoảng AB k < _ Nếu M nằm khoảng AB k > _ Nếu M trung điểm AB k = −1 , đó: G trọng tâm ∆ABC G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ ⇔ x A + xB xM = y A + yB yM = z A + zB zM = x +x +x xG = A B C y A + yB + yC yG = z +z +z zG = A B C x +x +x +x xG = A B C D y A + yB + yC + yD yG = z +z +z +z zG = A B C D *) Ba điểm thẳng hàng: Ba điểm: A( x A ; y A ; z A ) ; B ( xB ; y B ; z B ) C ( xC ; yC ; z C ) thẳng hàng ⇔ AC = k AB x − x A yC − y A z C − z A ⇔ C = = xB − x A y B − y A z B − z A Tích có hướng vecto: Tích có hướng vecto u =( x1 ; y1 ; z1 ) v =( x2 ; y2 ; z ) vecto kí hiệu [u; v] xác định bởi: y [u; v ] = y z1 z1 ; z2 z2 *) Các tính chất tích có hướng vecto • u; v vecto cộng tuyến ( phương) ⇔ x1 x1 ; x2 x2 y1 y2 [u; v] =0 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ khơng gian • • • • • Nguyễn Phú Hùng u ⊥ u; v ] , v ⊥ u; v ] [ [ [u; v ] = v sin(u; v ) u [u; v ] = [v; u ] − [λ ; v ] = u ; λ ] = [u; v ] u [ v λ với λ ∈ R [u; v1 +v2 ] =[u; v1 ] +[u; v2 ] *) Ứng dụng: Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = [ AB; AC ] Tích hỗn tạp Tích hỗn tạp vecto u =( x1 ; y1 ; z1 ) ; v =( x2 ; y2 ; z ) [u; v ].w D (u; v; w) xác định bởi: [u; v ].w = w =( x3 ; y3 ; z3 ) y1 y2 z1 z x3 + z2 z2 kí hiệu x1 x y3 + x2 x2 y1 z3 y2 *) vecto đồng phẳng: vecto u =( x1 ; y1 ; z1 ) ; v =( x2 ; y2 ; z ) w =( x3 ; y3 ; z3 ) đồng phẳng ⇔ *) Ứng dụng: = AB; AD ] AA' [ • Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : V [u; v ].w =0 ABCD.A'B'C'D ' • Thể tích tứ diện ABCD: V ABCD = [ AB; AC ] AD - MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I Định nghĩa – Phương trình mặt cầu Định nghĩa Tập hợp tất điểm không gian cách điểm I cố định khoảng cách R, gọi mặt cầu tâm I bán kính R Phương trình a) Phương trình tắc mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) , bán kính R có dạng: (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R b) Phương trình tổng quát mặt cầu Phương trình: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu ⇔ a + b + c − d > Khi đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) bán kính R = a + b + c − d II Vị trí tương đối Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Gọi A ( x0 ; y0 ; z ) điểm khơng gian Ta có phương tích điểm A mặt cầu (S) là: 2 PA /( S ) = AI − R = x0 + y0 + z0 − 2ax0 − 2by0 − 2cz0 + d PA /( S ) < ⇔ M nằm mặt cầu PA /( S ) = ⇔ M nằm mặt cầu PA /( S ) > ⇔ M nằm ngồi mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu Cho mặt cầu không đồng tâm ( S1 ) ( S ) có phương trình là: ( S1 ) : x + y + z − 2a1 x − 2b1 y − 2c1 z + d1 = (a12 + b12 + c12 − d1 > 0) Có tâm I1 ( a1 ; b1 ;c1 ) bán kính R1 = a12 + b12 + c12 − d1 2 ( S ) : x + y + z − 2a2 x − 2b2 y − 2c2 z + d = (a2 + b22 + c2 − d > 0) 2 Có tâm I ( a2 ; b2 ;c ) bán kính R2 = a2 + b22 + c2 − d Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nếu Nếu Nếu Nếu Nếu Nguyễn Phú Hùng I1 I > R1 + R2 ⇔ ( S1 ); ( S ) khơng cắt ngồi I1 I < R1 − R2 ⇔( S1 ); ( S ) không cắt đựng I1 I = R1 + R2 ⇔ ( S1 ); ( S ) tiếp xúc với I1 I = R1 − R2 ⇔( S1 ); ( S ) tiếp xúc với R1 − R2 < I1 I < R1 + R2 ⇔( S1 ); ( S ) cắt theo giao tuyến đường tròn - MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Cặp vecto phương ĐN: vecto a; b gọi cặp vecto phương mặt phẳng (P) chúng không cộng tuyến đường thẳng chứa chúng song song với (P) nằm (P) Vecto pháp tuyến ĐN: Vecto n n ≠ vecto pháp tuyến mặt phẳng (P) ⇔ n ⊥ (P) NX: n vecto pháp tuyến (P) vecto k n với k ≠ vecto pháp tuyến mặt phẳng Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) có cặp vecto phương a; b n vecto pháp tuyến mặt phẳng (P) với : n =[ a, b] Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng (P) không gian Oxyz chứa điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vecto pháp tuyến n (A;B;C) có p/trình là: A.( x − x0 ) + B.( y − y0 ) + C.( z − z0 ) = ⇔ Ax + By + Cz − Ax0 − By0 − Cz0 = Đặt − Ax0 − By0 − Cz0 = D , ta có phương trình tổng quát mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) *) Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) qua điểm A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c ) (P) có phương trình: x y z + + =1 a b c (gọi phương trình đoạn chắn mp (P)) Khoảng cách: a) Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho M ( x0 , y0 , z0 ) mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) xác định công thức: d ( M /(α )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C b) Khoảng cách mặt phẳng song song Cho mặt phẳng (α) qua M mặt phẳng ( β) qua N ⇒ d ((α ) /( β )) = d ( M /( β ) = d ( N /(α) Góc a) Góc mặt phẳng Cho nα; nβ vecto pháp tuyến mặt phẳng: (α); ( β) Gọi ϕ góc tạo mặt phẳng: (α); ( β) Ta có: b) Góc phẳng nhị diện cos ϕ= nα.nβ nα nβ Gọi ϕ góc phẳng nhị diện < ϕ < 1800 Vị trí tương đối a) Vị trí tương đối mặt phẳng Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nguyễn Phú Hùng (P): Ax + By + Cz + D = có nP = ( A; B; C ) A' x + B ' y + C ' z + D ' = (Q): có nQ =( A' ; B ' ; C ' ) ( P ) ∩(Q) ⇔nP , nQ không phương ( A:B:C # A’:B’:C’ ) Cho mặt phẳng: A B C = = ≠ A' B' C ' A B C ( P ) ≡ (Q ) ⇔ = = = A' B' C ' ( P ) //(Q) ⇔ D D' D D' b) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S(I; R) mặt phẳng (α) Gọi d khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α) Nếu d > R → (α) (S) khơng có điểm chung Nếu d = R → (α) (S) có điểm chung, (α) gọi tiếp diện (S) Nếu d > R → (α) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (H; r) đó: H hình chiếu I (α) r = R − d Chùm mặt phẳng Cho mặt phẳng: (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A' x + B ' y + C ' z + D ' = giao theo giao tuyến ∆ Phương trình mặt phẳng (R) qua ∆ có dạng: λ( Ax + By + Cz + D) + µ( A' x + B ' y + C ' z + D' ) = ( phương trình chùm mặt phẳng) Trong λ2 + µ ≠ - ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Vecto phương đường thẳng *) Định nghĩa: Vecto a a ≠ vecto phương đường thẳng d ⇔ a // d _ Nhận xét: a vecto phương đường thẳng d vecto k.a với k ≠ vtcp đường thẳng _ Chú ý: khơng gian Oxyz, đường thẳng có vecto phương mà khơng có vecto pháp tuyến II Phương trình đường thẳng 1) Phương trình tổng quát đường thẳng Vì đường thẳng d khơng gian xem giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đó, nên phương trình tổng qt d có dạng: Ax + By + Cz + D = (d ) : A' x + B' y + C ' z + D' = với điều kiện: A : B : C ≠ A': B ': C ' 2) Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng Đường thẳng d qua M ( x0 ; y ; z ) , nhận u ( a, b, c ) làm vtcp có phương trình: x = x0 + at y = y0 + bt z = z + ct ( phương trình tham số ) ⇔ x − x0 y − y z − z = = a b c ( phương trình tắc ) với a.b.c ≠ Chuyên đề: Phương pháp tọa độ khơng gian Nguyễn Phú Hùng III Vị trí tương đối Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho (α ) : Ax + By + Cz + D = có vtpt: n( A; B; C ) x − x0 y − y0 z − z0 (d ) : = = có vtcp: u ( a; b; c ) qua M ( x0 ; y0 ; z ) a b c u ⊥ n a) d ⊂ (α ) ⇔ M ∈ (α ) u ⊥ n b) d / (α ) ⇔ M ∉ (α ) c) d ∩(α) ⇔u.n ≠ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho đường thẳng ∆ mặt cầu S(I; R); d khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ Nếu d < R → ∆ ∩ (S ) tạo thành dây cung Nếu d = R → ∆ tiếp tuyến mặt cầu Nếu d > R → ∆ (S) khơng có điểm chung Vị trí tương đối đường thẳng Cho đường thẳng d qua M có vtcp u ; đường thẳng d’ qua N có vtcp v u d ≡d ' ⇔ ; v; MN phương ⇔[u; v] =[u; MN ] = d // d ' ⇔ v u; phương d ∩ ' ⇔ ; v; MN d u d d’ chéo u; MN đồng phẳng ⇔ ; v; MN u u; v [u; v] = không phương ⇔ [u; MN ] ≠ [u; v].MN = không phương ⇔ [u; v] ≠ không đồng phẳng ⇔ u; v ].MN ≠0 [ IV Khoảng cách Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho đường thẳng d qua M, có vtcp [u; MN ] u điểm N ⇒ Khoảng cách từ N đến d: d ( N / d ) = u Khoảng cách đường thẳng song song Cho đường thẳng song song: d qua M d’ qua N ⇒ d (d / d ' ) = d ( M / d ' ) = d ( N / d ) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng ⇒ d ( d /(α ) = d ( M /(α )) Cho đường thẳng d qua M mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng chéo Cho đường thẳng chéo nhau: d qua M có vtcp u d’ qua N có vtcp [u; v ].MN d v ⇒ (d / d ' ) = [u; v ] V Góc Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có vtcp u mặt phẳng (α) có vtpt n Gọi ϕ góc d (α) u đường thẳng d’ có vtcp v Gọi ϕ góc d d’ u.n ⇒ ϕ sin = u n Góc đường thẳng Cho đường thẳng d có vtcp u.v ⇒ cos ϕ = u v PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nguyễn Phú Hùng VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thơng thường ta dùng cách sau: Cách 1: Tìm điểm nằm mặt phẳng vecto pháp tuyến mặt phẳng Cách 2: Tìm điểm nằm mặt phẳng cặp vecto phương mặt phẳng (tích có hướng cặp vecto phương vecto pháp tuyến mặt phẳng cần tìm) Cách 3: Dùng phương trình chùm mặt phẳng VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thơng thường, ta có cách giải tổng quát sau: Cách 1: Tìm điểm thuộc đường thẳng vecto phương đường thẳng Cách 2: Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng Giao tuyến mặt phẳng đường thẳng cần tìm Cái khó phải xác định mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng cần tìm Thơng thường ta hay gặp giả thuyết sau: ) ) Đường thẳng (∆ qua điểm A cắt đường thẳng (d) : Khi đường thẳng (∆ nằm mặt phẳng qua A chứa (d) ) ) Đường thẳng (∆ qua điểm A vng góc với đường thẳng (d): Khi đường thẳng (∆ nằm mặt phẳng qua A vng góc với (d) ) ) Đường thẳng (∆ song song với ( d1 ) cắt ( d ) : Khi đường thẳng (∆ nằm mặt phẳng chứa ( d ) song song với ( d1 ) Một số dạng viết phương trình đường thẳng hay gặp: Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A cắt hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) cho trước Cách 1: • Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa ( d1 ) • Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A chứa ( d ) • d = ( P ) ∩ (Q) Cách 2: • Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa ( d1 ) • Xác định giao điểm B ( d ) (P) + Nếu không tồn giao điểm → Không có đường thẳng (d) thỏa mãn yêu cầu tốn + Nếu có vơ số giao điểm → (d ) ⊂ ( P ) → (d) thuộc chùm đường thẳng (P) qua A + Nếu có nghiệm nhất, tức giao điểm thực bước 3: • Viết phương trình đường thẳng (d): qua A có vecto phương AB Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) cho trước Cách 1: • Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ( d1 ) • Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với ( d ) • d = ( P ) ∩ (Q) Cách 2: • Xác định vecto phương ( d1 ) , ( d ) u d u d • Gọi w vecto phương đường thẳng (d), ta có: w ⊥ ud w ⊥ ud2 ⇔w =[u d1 ; u d ] • Viết phương trình đường thẳng (d): qua A có vecto phương w Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, vng góc với ( d1 ) cắt ( d ) cho trước Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nguyễn Phú Hùng Cách 1: • Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ( d1 ) • Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A chứa ( d ) • d = ( P ) ∩ (Q) Cách 2: • Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ( d1 ) • Xác định giao điểm B ( d ) (P): + Nếu giao điểm → Khơng có đường thẳng (d) thỏa mãn u cầu tốn + Nếu có vơ số giao điểm → (d ) ⊂ ( P ) → có vơ số đường thẳng (d) (P) qua A cắt ( d ) + Nếu có giao điểm thực bước 3: • Viết phương trình đường thẳng (d): qua A có vecto phương AB Dạng 4: Viết phương trình đường vng góc chung ( ∆) đường thẳng chéo [ Cho đường thẳng chéo nhau: d có vtcp u đường thẳng d’ có vtcp v Gọi w = u; v] Cách 1: • Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d song song với w • Viết phương trình mặt phẳng ( β) chứa d’ song song với w • Phương trình đường vng góc chung d d’ ∆ = (α ) ∩ ( β ) Cách 2: • Chuyển d d’ dạng phương trình tham số theo “t” “u” Gọi M ( t ) ∈d ; N ( u ) ∈d ' • MN.ud = MN đoạn vng góc chung d d’ ⇔ ⇒ MN.ud ' = t, u ⇒ tọa độ M , N • Viết phương trình đường thẳng ( ∆): qua M có vecto phương MN Dạng 5: Cho đường thẳng (d) (d’) cắt Viết phương trình đường phân giác (d) (d’) • Xác định tọa độ giao điểm I (d) (d’) • Lấy A ∈ d (A≠I) • Chuyển (d’) dạng tham số Lấy B ∈d ' (theo tham số t) thỏa mãn: AI = BI ⇒ tọa độ điểm B1 B2 ( B1 B2 đối xứng qua I) • Ta có: Với B1 : Xác định tọa độ trung điểm I1 đoạn thẳng AB1 Khi phương trình đường phân giác thứ (∆1 ) xác định bởi: qua I có vtcp II1 Với B2 : Xác định tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB2 Khi phương trình đường phân giác thứ hai (∆2 ) xác định bởi: qua I có vtcp II *) Lưu ý: _ Nếu IA.IB1 > ⇒ (∆1 ) (∆2 ) theo thứ tự phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù góc tạo (d) (d’) _ Nếu IA.IB1 < ⇒ ( ∆1 ) (∆2 ) theo thứ tự phương trình đường phân giác góc tù, góc nhọn góc tạo (d) (d’) VẤN ĐỀ 3: HÌNH CHIẾU Tìm hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng (α) • Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với (α) • Gọi H hình chiếu M (α) ⇒ H = d ∩ (α ) Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nguyễn Phú Hùng Tìm hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng d Cách 1: _ Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M vng góc với d _ Gọi H hình chiếu M d ⇒ H = d ∩ (α ) Cách 2: _ Chuyển phương trình đường thẳng d dạng tham số _ Gọi I điểm thuộc d ⇒ tọa độ điểm I theo tham số “t” _ I hình chiếu vng góc M d ⇔ MI ⊥ d ⇔ MI ud = ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ I Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng (α) • Viết phương trình mặt phẳng ( β) chứa d vng góc với (α) • Gọi d’ hình chiếu d (α) ⇒ d ' = (α ) ∩ ( β ) Tìm hình chiếu H M theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α) • Viết phương trình đường thẳng ( ∆) qua M song song với (d) • Hình chiếu H giao điểm ( ∆) (α) Tìm hình chiếu ( ∆) đường thẳng (d) theo phương đường thẳng (D) lên mặt phẳng (α) • Viết phương trình mặt phẳng ( β) chứa (d) song song với (D) • Hình chiếu ( ∆) = (α) ∩ ( β ) VẤN ĐỀ 4: ĐỐI XỨNG Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d • Tìm hình chiếu H A d • H trung điểm AA’ Dùng công thức trung điểm ⇒ tọa độ điểm đối xứng A’ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (α) • Tìm hình chiếu H A mặt phẳng (α) • H trung điểm AA’ Dùng công thức trung điểm ⇒ tọa độ điểm đối xứng A’ Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng (α) Trường hợp 1: (D) cắt mặt phẳng (α) • Tìm giao điểm M (D) (α) • Lấy điểm A (D) • Tìm A’ đối xứng với A qua (α) • Đường thẳng (d) cần tìm đường thẳng qua M A’ Viết phương trình (d): qua M có vecto phương MA' Trường hợp 2: (D) song song với mặt phẳng (α) • Lấy điểm A (D) • Tìm A’ đối xứng với A qua (α) • (d) đường thẳng qua A’ song song với (D) Viết phương trình (d): qua A’ nhận vecto phương (D) làm vecto phương (d) Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng ( ∆) Trường hợp 1: ( ∆) cắt (D) • Tìm giao điểm M (D) ( ∆) • Lấy điểm A (D) khác M • Tìm điểm A’ đối xứng với A qua ( ∆) • (d) đường thẳng qua điểm M A’ Trường hợp 2: ( ∆) (D) song song • Lấy điểm A (D) • Tìm A’ đối xứng với A qua ( ∆) • (d) đường thẳng qua A’ song song với (D) Viết phương trình (d): qua A’ nhận vecto phương (D) làm vecto phương (d) Trường hợp 3: ( ∆) (D) chéo • Lấy điểm phân biệt A, B (D) • Tìm A’ đối xứng với A qua ( ∆), B’ đối xứng với B qua ( ∆) Chuyên đề: Phương pháp tọa độ khơng gian • • Nguyễn Phú Hùng (d) đường thẳng qua điểm A’ B’ Viết phương trình (d): qua A’ có vecto phương A' B ' VẤN ĐỀ 5: TAM GIÁC TRONG KHƠNG GIAN ABC Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A ∆ • Xác định tọa độ đỉnh A trung điểm E cạnh BC • Viết phương trình trung tuyến AE: qua A có vtcp AE Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A ∆ABC Cách 1: • Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H A lên cạnh BC • Viết phương trình đường cao AH: qua A có vtcp AH Cách 2: • Viết phương trình mặt phẳng (ABC) • Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với cạnh BC • Phương trình đường cao AH: AH = ( ABC ) ∩ ( P ) ABC Viết phương trình đường phân giác góc A ∆ • Gọi I chân đường phân giác góc A cạnh BC AB IB AB IB = =− hay ( vecto ngược hướng ) AC IC AC IC • Phương trình đường phân giác AI: qua A có vtcp AI Viết phương trình đường phân giác ngồi góc A ∆ABC • Theo tính chất tia phân giác ta có: • Gọi J chân đường phân giác ngồi góc A cạnh BC • Theo tính chất tia phân giác ta có: ⇒ tọa độ I AB JB AB JB = = hay ( vecto hướng ) AC JC AC JC ⇒ tọa độ J • Phương trình đường phân giác ngồi AJ: qua A có vtcp AJ ABC Viết phương trình đường trung trực đoạn BC ∆ • Viết phương trình đường cao AH • Xác định tọa độ trung điểm E cạnh BC ) • Do trung trực (∆ đoạn BC đường cao AH vng góc với BC mặt phẳng (ABC) nên ) phương AH phương (∆ ) • Phương trình trung trực (∆ đoạn BC: qua E có vtcp: AH Tính góc A tam giác Do góc tam giác tù nên ta có: cos A = AB AC AB AC VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = cho trước thỏa mãn điều kiện K • Gọi I ( a, b, c ) R tâm bán kính mặt cầu (S) • (S) tiếp xúc (P) ⇔ d ( I /( P )) = R • Sử dụng điều kiện K để lập phương trình theo a, b,c, R.Từ đó, xác định tọa độ tâm I bán kính R • Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R *) Lưu ý: Nếu giả thiết cho (S) bán kính R tiếp xúc với (P) điểm M ( x0 ; y0 ; z ) , ta thực bước sau: • Gọi I ( a, b, c ) R tâm bán kính mặt cầu (S) 10 Chun đề: Phương pháp tọa độ khơng gian • Nguyễn Phú Hùng Tâm I thuộc đường thẳng (d): qua M có vtcp vtpt mặt phẳng (P) x = x0 + At (d ) : y = y0 + Bt z = z + Ct Suy tọa độ tâm I theo tham số t: I = ( x0 + At ; y0 + Bt ; z0 + Ct ) • (S) tiếp xúc với (P) ⇔ IM = R ⇒ tọa độ tâm I → Viết phương trình (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 Viết phương trình mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = cho trước theo giao tuyến đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K • Gọi I ( a, b, c ) R tâm bán kính mặt cầu (S) • ( S ) ∩ ( P ) = (C ) tâm H bán kính r ⇔ R = r + d ; d = d ( I /( P )) • Sử dụng điều kiện K để lập phương trình theo a, b, c, R Từ xác định tọa độ tâm I b/kính R • Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R *) Lưu ý: Nếu d = d ( I /( P )) = ⇒ r = R I ≡ H Ta gọi C(I, R) đường tròn lớn mặt cầu S(I,R) Nếu giả thiết cho (C) có tâm H ( x0 ; y0 ; z ) ⇒ tâm I thuộc đường thẳng (d) qua H có vtcp vtpt (P) x = x0 + At ⇔ (d ) : y = y0 + Bt z = z + Ct ⇒ tọa độ tâm I theo tham số t: I = ( x0 + At ; y0 + Bt ; z0 + Ct ) Nếu giả thiết cho (C) ngoại tiếp ∆ABC , đó: Nếu ∆ABC H ( x0 ; y0 ; z ) trọng tâm ∆ABC Nếu ∆ABC vng A H ( x0 ; y0 ; z ) trung điểm BC Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a, b, c) tiếp xúc với đường thẳng (d) cho trước Cách 1: • Mặt cầu (S) tiếp xúc với (d) ⇔ d ( I /(d )) = R ⇒ bán kính R mặt cầu (S) • Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R Cách 2: • Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H I lên (d) • Mặt cầu (S) tiếp xúc với (d) ⇔ IH = R • Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R Viết phương trình mặt cầu (S) cắt đường thẳng (d) cho trước hai điểm A, B có độ dài l thỏa mãn điều kiện K cho trước • Gọi I ( a, b, c ) R tâm bán kính mặt cầu (S) • Dựa vào điều kiện K, xác định tọa độ tâm I ( a, b, c ) • Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H I lên (d) ⇒ độ dài IH • ( S ) ∩ ( d ) = { A, B} với AB = l ⇔ R = IA2 = IH + AH = IH + AB l2 = IH + 4 • Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Cách 1: • Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (*) • Do mặt cầu (S) qua đỉnh đa diện nên tọa độ đỉnh đa diện thỏa mãn phương trình (*) 11 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nguyễn Phú Hùng ⇒ hệ phương trình theo ẩn a, b, c, d ⇒ ẩn a, b, c, d • Viết phương trình mặt cầu (S): x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Cách 2: • Gọi I ( a, b, c ) tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện • Ta có khoảng cách từ tâm I đến tất đỉnh đa diện bán kính R ⇒ hệ phương trình theo ẩn a, b, c ⇒ ẩn a, b, c ⇒ I (a, b, c) ⇒ bán kính R khoảng cách từ I đến đỉnh thuộc đa diện • Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R Cách 3: Dựa vào đặc tính khối đa diện để từ tìm tâm bán kính R theo cách riêng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện • Gọi I ( a, b, c ) tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện • Do (S) nội tiếp khối đa diện nên (S) tiếp xúc với mặt khối đa diện Ta có khoảng cách từ I đến mặt bán kính r ⇒ hệ phương trình theo ẩn a, b, c ⇒ ẩn a, b, c ⇒ tọa độ tâm I (a, b, c) ⇒ bán kính r khoảng cách từ tâm I tới mặt khối đa diện • Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = r Tiếp tuyến mặt cầu Đường thẳng (d) tiếp tuyến mặt cầu ⇔ d ( I /(d )) = R Viết phương trình tiếp diện mặt cầu thỏa mãn điều kiện K cho trước Có khả xảy ra: Khả 1: Biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , phương trình tiếp diện (P) xác định: Đi qua M có vecto pháp tuyến MI Khả 2: Biết vecto pháp tuyến n =( A; B; C ) , ta thực bước sau: • Gọi (P) mặt phẳng có vecto pháp tuyến n =( A; B; C ) có phương trình là: Ax + By + Cz + D = (1) • (P) tiếp diện (S) ⇔ d ( I /( P )) = R ⇒ ẩn D, thay vào (1) ta phương trình tiếp diện (P) cần tìm VẤN ĐỀ 7: GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Việc sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian giải tốn hình học không gian cách hay lúc tỏ hiệu Ta nên dùng phương pháp toán khối đa diện có yếu tố đặc biệt chuyển vào hệ trục tọa độ Oxyz cách dễ dàng để từ đơn giản hóa cách giải tốn *) Ta thường thực bước sau: • Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết • Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm: Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng mặt phẳng Góc, khoảng cách hai đường thẳng chéo Tính độ dài đoạn thẳng *) Một số ý thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz: Với hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ta thường thiết lập hệ trục tọa độ dựa ba cạnh AB, AD, AA’ tương ứng với trục Ox, Oy, Oz Với hình chóp có SA vng góc với đáy ta thường thiết lập hệ trục tọa độ dựa SA ứng với trục Oz Với hình chóp có đáy hình thoi tâm O ta thường thiết lập hệ trục tọa độ dựa AC BD ứng với trục Ox trục Oy 12 ... thay vào (1) ta phương trình tiếp diện (P) cần tìm VẤN ĐỀ 7: GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Việc sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian giải tốn hình học. .. v PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Nguyễn Phú Hùng VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thơng thường ta dùng cách sau: Cách 1: Tìm điểm nằm mặt phẳng vecto pháp. .. dùng phương pháp tốn khối đa diện có yếu tố đặc biệt chuyển vào hệ trục tọa độ Oxyz cách dễ dàng để từ đơn giản hóa cách giải tốn *) Ta thường thực bước sau: • Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz thích![• Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ :V ABCD.A'B'C' D' =[ AB; AD ]. AA' - Lý thuyết và phương pháp giải toán hình học tọa độ oxyz lớp 12](https://media.store123doc.com/figures/000/264/the-tich-hinh-hop-abcd-abcd-ab-ad-264461.png)
