Bài tập về công thức lợng giác A. Lý thuyết Công thức cộng Công thức nhân đôi cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos cos .sin sin( ) sin .cos cos .sin tan tan tan( ) 1 tan .tan tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = = + = + = + + + = 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan tan 2 1 tan a a a a a a a a a a a = = = = = Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 1 sin .sin cos cos 2 1 sin .cos sin sin 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = + = + + cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + = + = + + = + = Công thức hạ bậc nâng cung Hệ quả của công thức hạ bậc nâng cung 2 2 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos 2 a a a a a a a + = + = = + 2 2 1 cos 2 2cos 1 cos2 2sin a a a a + = = B. bài tập I. Bài tập về công thức cộng Bài 1. a. Cho 12 sin 13 3 2 2 a a = < < .Tính cos( ) 3 a b. Cho 3 5 sin = và 2 < < . Tính tan( 3 + ) c. Cho 3 a b = . Tính GT của biểu thức 2 2 (cos cos ) (sin sin )C a b a b= + + + Bài 2. a. Cho 2 góc nhọn a, b với 1 1 tan , tan 2 3 a b= = . Tính a+b b. Biết tan( ) , 1 4 m m + = . Tính tan theo m. c. Cho 1 sin 5 (0 , ) 21 sin 10 a a b b = < < = .Chứng minh rằng 4 a b + = d. Cho tanx, tany là nghiệm của phơng trình : at 2 + bt + c = 0 ( 0a ). Tính giá trị của biểu thức S = a.sin 2 (x + y) + b.sin(x + y).cos( x + y) + c.cos 2 (x + y ) e. Cho cos( ) . cos( ) a b m a b n + = Tính tana.tanb Bài 3. : Chứng minh rằng : a. cos( a + b)cos(a - b) = cos 2 a - sin 2 b b. sina.sin( b - c) + sinb.sin( c- a) + sinc.sin( a - b) = 0 c. cosa.sin(b - c) + cosb.sin( c - a) + cosc.sin( a - b) = 0 d. cos( a + b)sin(a - b) + cos( b + c)sin(b - c ) + cos( c + a)sin( c - a) = 0 e. sin( ) sin( ) sin( ) 0 cos .cos cos .cos cos .cos a b b c c a a b b c c a + + = Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC b. cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 cot cot A B C A B C + + = c. tan .tan t tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A an+ + = d. cotA. cotB + cotB. cotC + cotC. cotA = 1 Bài 5. Chứng minh rằng : sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b = . áp dụng tính 1 1 1 . cos .cos2 cos2 .cos3 cos( 1) .cos S a a a a n a na = + + + II. Bài tập về công thức nhân đôi và hạ bậc Bài 1. Cho 1 sin , 0 5 2 x x = < < . Tính a. sin2x, cos2x, tan2x, cot2x b. sin 2 x , cos 2 x , tan 2 x , cot 2 x Bài 2. Chứng minh rằng: 2 cot tan sin 2 x x x + = . áp dụng tính: A = 0 0 0 0 tan 9 tan 27 tan 63 tan 81 + Bài 3: Chứng minh rằng: cot tan 2 cot 2x x x = . áp dụng chứng minh: a. cot tan 2 tan 2 4 tan 4 8cot 8x x x x x = b. 8 4 tan 2 tan tan cot 8 16 32 32 + + + = Bài 4. Chứng minh rằng: 1 sin .cos .cos 2 .cos 4 .cos8 sin16 16 x x x x x x= . áp dụng tính: A = 2 cos .cos 5 5 D = 2 3 4 sin .sin sin .sin 5 5 5 5 B = 0 0 0 sin10 .cos 20 .cos 40 E = 0 0 0 0 sin6 .sin 42 .sin66 .sin78 C = 0 0 0 sin10 .sin 50 .sin 70 F = 4 5 cos .cos .cos 7 7 7 Bµi 5. Chøng minh r»ng: a. 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4 a a a+ = + b. 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 a a a+ = + c. 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) tan8 .cot cos cos2 cos4 cos8 2 a a a a a a + + + + = d. 1 1 cos 2 2 . 2 2 2 2 n π + = + + + + Bµi 6 : Chøng minh r»ng : a. NÕu cos 2 a + cos 2 b = m th× cos(a + b).cos( a – b) = m -1 b. NÕu sinb = sina.cos( a + b) th× 2tana = tan( a + b) c. NÕu 2sinb = sin(2a + b) th× 3tana = tan( a + b) d. NÕu m.sin(a + b) = cos(a – b) th× 1 1 1 .sin2 1 .sin 2 S m a m b = + − − kh«ng phô thuéc a,b III. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng,tæng thµnh tÝch Bµi 1: Rót gän biÓu thøc sau: a) cos 4 cos2 sin 4 sin 2 a a a a − + b) sin 3sin 2 sin 3 cos 3cos 2 cos3 a a a a a a − + − + c) 2 1 cos cos 2 cos3 2cos cos 1 a a a a a + + + + − d) sin 2 sin 4 sin 6 1 cos 2 cos 4 a a a a a + + + + Bµi 2. a. Rót gän biÓu thøc sau víi ®iÒu kiÖn cã nghÜa: sin 2 sin 1 cos 2 cos x x A x x + = + + B = 2 cos3 cos 2 cos 1 2cos cos 1 x x x x x + + + + − Bµi 3 : Rót gän biÓu thøc sau : sin sin3 sin5 sin 7 cos cos3 cos5 cos7 a a a a A a a a a + + + = + + + 2 2 sin sin sin( ) sin( ) a b B a b b a = + − − 2 2 2 2 2 2 sin ( ) sin sin sin ( ) cos cos a b a b C a b a b + − − = + − − 1 2cos 1 2cos a D a − = + 1 2sin 1 2sin a E a − = + 2 4 6 8 cos cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 5 5 5 5 F a a a a a π π π π = + + + + + + + + Bµi 4. Chøng minh r»ng a. 1 cos .cos( ).cos( ) cos3 3 3 4 x x x x π π − + = b. 1 sin .sin( ).sin( ) sin3 3 3 4 x x x x π π − + = áp dụng tính: A = 0 0 0 sin 20 .sin 40 .sin 80 B = 0 0 0 cos10 .cos 50 .cos 70 C = 0 0 0 0 cos10 .cos 20 .cos 30 .cos80 C = 0 0 0 0 cos5 .cos15 .cos 25 .cos85 Bài 5 : Chứng minh các đẳng thức sau : a. sin sin sin( ).sin( ) 2cos tan cot 2 2 x y x y x y x y x y y + + = + + b. 2sin sin3 sin5 2cos2 .cot cos 2cos2 cos3 2 x x x x x x x x + = + c. sin6a.sin4a sin15a.sin13a + sin19a.sin9a = 0 d. 3 - 4cos2a + cos4a = 8sin 4 a Bài 6 : Chứng minh rằng các biểu thức sau độc lập đối với x,y : A = 2 2 cos ( ) cos ( ) cos2 .cos2x y x y x y+ + sin cos .sin (tan tan ) 2 1 cos( ) cos .sin 2 x y x y x y B x y x y y + = + + + Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x 2 2 2 2 2 cos cos ( ) cos ( ) 3 3 A x x x = + + + B = sin 2 (a + x) sin 2 x 2sinx.sina.cos( a + x) ( a là hằng số) 2 2 2 2 4 sin sin ( ) sin ( ) 3 3 C x x x = + + + + Bài 8: Tính giá trị các biểu thức sau : 2 cos cos 5 5 A = 2 4 6 cos cos cos 7 7 7 B = + + 0 0 0 0 tan9 tan27 tan63 tan81C = + 2 3 cos cos cos 7 7 7 D = + 0 0 1 3 sin10 cos10 E = Bài 9: Cho tam giác ABC .Chứng minh rằng : a. sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C b. cos cos cos 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C A B C+ + = + c. sin2A + sin2B + sin2C = - 4sinA.sinB.sinC d. tan2A + tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C e. sin3A +sin3B + sin3C = 3 3 3 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C g. 3 3 3 cos3 cos3 cos3 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C A B C+ + = h. cos 4A + cos 4B + cos 4C = - 1 + 4cos2A.cos2B.cos2C Mai Duy Duân . tan63 tan81C = + 2 3 cos cos cos 7 7 7 D = + 0 0 1 3 sin10 cos10 E = Bài 9: Cho tam giác ABC .Chứng minh rằng : a. sinA + sinB + sinC = 4cos .cos. áp dụng tính: A = 0 0 0 sin 20 .sin 40 .sin 80 B = 0 0 0 cos10 .cos 50 .cos 70 C = 0 0 0 0 cos10 .cos 20 .cos 30 .cos80 C = 0 0 0 0 cos5 .cos15 .cos 25