CHUN ĐỀ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương pháp chung: - Đưa số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,… - Lơgarit hóa, mũ hóa - Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu hàm số, định lý Lagrange,… Phương trình mũ lơgarit - Dạng: a x  b  a  0, a �1 Nếu b �0 , phương trình vơ nghiệm Nếu b  , phương trình có nghiệm x  log a b - Dạng: log a x  b ( a  0, a �1 ) Phương trình ln có nghiệm x  a b a f  x  a g x   a 1 � a �1, f  x   g  x  �  a  0 � � � �f  x   hay g  x   log a f  x   log a g  x  ,  a  0, a �1 � � �f  x   g  x  Bất phương trình mũ lơgarit a x  m � x  log a m (với m  a  ) a x  m � x  log a m (với m   a  ) log a x  m �  x  a m (với a  ) log a x  m � x  a m (với  a  ) f x g x a    g   � f  x  g  x Nếu a  : f x g x a    a   � f  x  g  x  a  Nếu : log a f  x   log a g  x  �  f  x   g  x  Nếu a  : log a f  x   log a g  x  � f  x   g  x   Nếu  a  : Hệ phương trình mũ lơgarit Việc giải hệ phương trình mũ lơgarit giống giải hệ phương trình đại số rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu hàm số, … phối hợp với biến đổi biểu thức mũ lơgarit, mũ hóa, lơgarit hóa www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 CÁC BÀI TỐN Bài tốn 5.1: Giải phương trình sau: x 1 x a)  18.3  29  x x x b) 27  12  2.8 Hướng dẫn giải a) Đặt t  , t  PT: x 3t  18  29 t � 3t  29t  18  � t  2 t Giải nghiệm x  c  log3  x x 12 � �27 � � � � � � x b) Chia vế cho  PT: �8 � �8 � 3x x x �3 � �3 � �3 � � � �  � �  t  � �, t  �2 � �2 � �2 � Đặt PT: t  t   �  t  1  t  t    � t  � x  Bài tốn 5.2: Giải phương trình sau: 4x a)  3x x b) x x1  36 Hướng dẫn giải a) Hai vế dương, lơgarit hóa theo số 10: x �4 � log 4 log  log � � � � x  log  log  �3 � log 3 x x x b) PT: 3x x 1 x 2  � 2 x2 x 1 1 x 2 � x11 � �� 3.2 �  � x   x1 � � 3.2  � x  x 1  � x2 x  1  log Bài tốn 5.3: Giải phương trình sau:  cos 72�   cos36�  3.2 x a) x x b) e � � sin �x  � � 4�  tan x Hướng dẫn giải  2cos 72�   2cos36�  Phương trình: x a) www.LuyenThiThuKhoa.vn x Phone: 094 757 2201 Vì: 2cos 72� 2cos36� 2sin 36� cos36� cos72� 1 sin 36� t  3 t   2cos 72� ,t   t Đặt PT: � � �1 � � t  3t   � t  � � � � Ta có: 1 suy nghiệm x  �2 2cos 72� 2sin18� b) Điều kiện cos x �0 , sin x  không thỏa mãn nên PT:  sin x cos x  e Đặt cos x u  sin x, v  cos x, u , v � 1;1 , u.v  2u e PT: sin x sin x e e  �  cos x sin x cos x u  e 2v v Xét � 2t � 22t e �  1� �  y'  � t y  f  t  e  2t  2t  e 2t 2t t , với t � 1;0  � 0;1 0 suy hàm số nghịch biến khoảng  1;0   0;1  1;0   0;1 PT: Vì u , v dấu nên u , v thuộc khoảng f  u   f  v  � u  v � tan x  � x    k (chọn) Bài tốn 5.4: Giải phương trình sau: a) x.2 x  x   x    x  1 x b)  x  Hướng dẫn giải a) PT: x.2 x  x   x   2.2 x  � x  x    x  3x   � x  x     x  1  x    �  x    x  x  1  � x   x  x  � x  x  (Vì f  x   2x  x f  0  đồng biến � ) x f  x   2x  x  D  � b) PT   x   Xét , Ta có: f '  x   x.ln  f ''  x   x.ln x  0, x www.LuyenThiThuKhoa.vn , Phone: 094 757 2201 f  x  Vậy f    f  1  có tối đa nghiệm mà nên tập nghiệm S   0;1 Bài toán 5.5: Giải phương trình sau: a) x  x  x   x.5x  x   52 x b) x  x 1   x  1 sin  x  y  1   Hướng dẫn giải a) Điều kiện x  Phương trình tương đương với   1  � 2log x  x � xx    1  1   � x � 1 � � x 1  x �  x log x log x     1  log x � � �    x  1 1 log x   x  1 log x 1   x  1 log x 1  1 1  1    1� � � log x  log x log x   x  1 1 log x log x ab � a2  b2   �  a  b   ab  1  � � ab  a b � Ta có: - Nếu  � 1 � � log x x   1 log x � log x  log    log x � log x  � x  : chọn - Nếu x   1 log x � log x �  log �   � log x  log x.log   1    � � log x  � x  � : chọn Vậy phương trình cho có nghiệm x  Cách khác: đặt Phương trình: b) 2 PT: 2x t   1 log x  xt   x  1 t  x   1 log x  x t  2.2 x  1   x  1 sin  x  y  1   �  x  1   x  1 sin  x  y  1  sin  x  y  1  cos  x  y  1  www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 x �� x   sin  x  y  1 � � � cos   y  1  � x  sin  x  y  1  � �� cos  x  y  1  � � Vì cos  x  y  1  � sin  x  y  1  �1 - Nếu sin  x  y  1  - Nếu sin  x  y  1  1 Suy x  , vơ nghiệm x  � x  sin  y  1  1 � y   Vậy nghiệm là: x  1, y      k 2    k , k � Bài tốn 5.6: Giải phương trình:  cos x    4cos x   3.4cos x  a) b)   2 sin x   2  cos x   2  cos x cos x � 2� � 1 � � � Hướng dẫn giải a) Đặt cos x  y; 1 �y �1 Phương trình: 1 y   y  f ' y   Ta có: 3.4 y f  y   y 1   3.4 f  y   4y hay với y 6.ln 4.4 y 24  y  1, f '  y   � 6ln 4.4 y    y  y Đây phương trình bậc hai theo nên có khơng q hai nghiệm Theo định lý Rolle phương trình f  y  có không ba nghiệm Mặt khác ta thấy x  k , x  Suy PT cho có nghiệm b) PT:  2 2 sin x   2  cos2 x y  0, y  , y  ba nghiệm f  y      k , x  �  2k  k �� cos x � 2� � 1 � � �   2  cos x 2 - Nếu cos x  � cos x  sin x ,   nên www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 VT   2  sin x   2 cos x � 2� 1 � � � � VP =    2 cos x  cos x 0 0 : loại - Nếu cos x  , lập luận tương tự trường hợp trên: loại - Nếu cos x  PT thỏa mãn phương trình cho có nghiệm x    k , k �� Bài tốn 5.7: Giải phương trình sau: a) x  x  3x  x  1  x  x  x  x  x  16 x x x x x b)    Hướng dẫn giải �1 1 � f  x   x  x  3x  x  � x  x  x � x  x  x  16, x �� �2 � a) Xét �ln ln ln � f '  x   x ln  x ln  3x ln  x ln  � x  x  x � 12 x  x   � �2 Nên f đồng biến f  1  nên phương trình cho có nghiệm x  x x x x x x x x b) Ta có    �    a a a a Gọi a nghiệm phương trình có    f  t    t  1  t a a Xét hàm số f ' t   a �  t  1 � a 1 , a 1  2;5  2;5 tồn số c thuộc  2;5 cho f ' c   c a 1 � � � a   c  1 Vì c thuộc liên tục  t a 1 � � Ta có f    f   Áp dụng định lý Rolle a�  c  1 � f  t  2;5  a 1  c a 1 nên a  a  Thử lại đúng, phương trình có nghiệm x  x  Bài toán 5.8: Giải phương trình: a) ln x 1 6 ln x ln x   2.3 log x  0 b) log x  3  x Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 ln x  6ln x  18.32 ln x  a) ĐK: x  , PT: 4.2 ln x �2 � t  �� ln x �3 � PT: Chia hai vế cho , đặt 4t  t  18  Chọn nghiệm t � x  e 2 t b) ĐK: x  , đặt t  log x x  3.3t  PT: t  2t � 4.3t  3.2t t �3 � log � � � � t  log �2 � x  Vậy Bài toán 5.9: Giải phương trình: x2 log �  x    x  3 � � � log x   a) log x log 27 x  b) log 3x log81 27 x Hướng dẫn giải �  x    x  3  �x  3 � �� �x  x2  � � a) ĐK: �x  x  2� � log �  log 16 � x   16  x    x  3 � x  3� � PT: � x  20 � x  �2 (chọn) 1 x � ,x � 27 , đặt t  log x PT: b) ĐK: x  , 2  t  t  � t  3t   � t  1  t 3  t  Suy nghiệm x  x t  4 81 Bài toán 5.10: Giải phương trình sau: a) log1 x  x   log x   x      2log  1  log 3x 1 b) 3 x Hướng dẫn giải a  log   x  , b  log x a) Điều kiện  x  Đặt Ta có www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 a  b log �2� x  �1 � log � x  x  � log � � �4 � log x � a  b  �0 PT: � log 2  log x log 2  log   x   0 log   x  log x 1 b 1 a   � a  b2  a  b  a b �  a  1   b  1  a  b �0 2 �  a  1   b  1  � a  b  1 � log   x   log x  1 � x  1 x Vậy nghiệm x a  log 3, y  x b) Điều kiện   � x  Đặt 3 PT: x  1 log   x  1 log3 1 �  y a  1   y  1 a  � a Xét hàm số  f  t   t a  1, t  Khảo sát hàm số  a y a  1    y a PT f  t   t  t a  t  1, t    f f  f  y   y ta suy f  t   t , t  2; f  t   t ,0  t  2; f    Suy phương trình   f f  f  y   y có nghiệm y  , suy x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 5.11: Giải phương trình a) log x  log  x    b)   log  x  x  log x Hướng dẫn giải f  x   log x  log  x   f  x   f  3  a) ĐK: x  Ta có hàm đồng biến nên với x  f  x   f  3  với  x  Vậy x  nghiệm 12 y b) ĐK: x  , đặt x  PT: log   26 y  24 y   log 26 y � log   26 y  y   y www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 y � 1  6y 4y 3 4y y y 16 � �1 � �64 � � � � � � � � �  �81 � �81 � �81 � y y y 16 � �1 � �64 � � f  y   � � � � � � �81 � �81 � �81 � nghịch biến � nên y  Ta có y  thỏa mãn hàm số 12 nghiệm nhất, PT cho có nghiệm x  Bài toán 5.12: Giải phương trình sau: a) b)      log x  x   log x  x   log x  x   log  log  log x    log  log  log x   Hướng dẫn giải t  x  x2  � x  x2   a) Điều kiện x �1 Đặt t 1 log t  log  log � log t  log t  log t  t t PT: � log t   log  log   � log t  � t  Do đó: x  x   � x   x2  � x  x   x  � x  : chọn Vậy nghiệm x  b) Điều kiện x  Phương trình tương đương với log  log  log x    log  log  log x   �  log3  log x    log  log x  �  log  log x    log  2log x  2 �  log3  log x    log  log x   log  � log  log x   �  4log 2 Từ suy nghiệm x Bài tốn 5.13: Giải phương trình sau:  a) b)  1 log x x   1 log2 x  x2   x  2 � log  x  3  log  x   � � � 15  x  1 Hướng dẫn giải a) Điều kiện 5x �2 x, x � x Đặt a   x , b  x  1, a, b �0 Ta có www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 a  x  x, b  x  � a  b  x  x  1, a  b  5x  a Do PT:  b   a  b    x  1  x  x  1  52 x  x.5 x  x    a  b   a  b2   a  b2  �  a  b    a  b2   a  b   x x - Nếu a  b  � a  b  x  x  �  x  f  x   x  x  1, D  � Xét f '  x   x.ln  4, f ''  x   x.ln  Do phương trình có tối đa nghiệm mà f    0, f  1  nên phương trình có hai nghiệm x  0, x  a - Nếu  b   a  b   �  x  1   5x  x  x   x  x  x  �  x  x    x  1  x  Vì x   nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  b) Điều kiện x  PT: Xét hàm số vế trái f ' x   log  x  3  log3  x    f  x 15 x  0 x2 , ta có: 1 15    0, x  ln  x  3 ln  x    x   Do f hàm số đồng biến f  11  nên phương trình cho có nghiệm x  11 Bài toán 5.14: Giải phương trình sau: a)  x  1 log x  x log  x  x1  b) log 2 x  x  11  log 2 x  x  12  Hướng dẫn giải a) PT: x log x 1  x log  x  x 1  � x  Xét hàm số x 1 x 1 hay  x  f  x   x 1  x 1  x, x ��, f '  x   x 1.ln  x 1.ln  x1 f ' x   Vì P  nên phương trình có nghiệm  x0 Vì f ''  x   x 1 ln  x 1 ln  www.LuyenThiThuKhoa.vn x0 điểm cực tiểu hàm số 10 Phone: 094 757 2201 b) Điều kiện x, y   Xét hàm số f  x   t  3t  ln  2t  1 , t   f '  t   2t   2  0, t   2t  nên f hàm đồng biến f  y  �f  x  Giả sử x �y từ hệ suy Do  x, y  y x x  x  ln  x  1  nghiệm hệ x  y nên có phương trình Vì vế trái hàm đồng biến x  thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm x  y  Bài toán 5.30: Giải hệ phương trình: �1   � �x  y  xy  � x y � log log3  � b) �  1  2 � y 6 � � log x y  log y x  � x3 a) � log3 x log3  1  2 Hướng dẫn giải log x y  a) Điều kiện  x, x �1, y �x PT (2): Đặt t  log x y Ta có t 1 log x y   � t  4t   t 3 � t  , suy log x y  � y  x 1 � 2log x  2log x  Do đó: 3  � 2log3 x  22 log3 x  � 22 log3 x  2log3 x   � 2log3 x  � log x  � x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm b) Điều kiện x, y  PT  1 :  x; y    3;9  1   x  y  xy  �  xy  1  x  y     x  1  y  1 � xy  x  y   xy  x  y   x y   x  y   � xy  x  y    x  y  �  x  y  2  xy  1  - Nếu x  y x  y  nghiệm Xét trường hợp x  y �1 thì: www.LuyenThiThuKhoa.vn 22 Phone: 094 757 2201  1 :  log x  1  log3 x  1  � log x.log x  log x  log x � 1   � log x  log x  � log x  � x  log x log3 x - Nếu xy  y x x �1 , ta có x log log  �  log x  1  log x  1  1 3x � log x.log x  log x  log x � � log x  log x x  � log x 1  1 log x log x 2 1� x  3 3� � �3 �  1;1 ,  6;6  , � �; Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài tốn 5.31: Giải hệ phương trình sau: a) �y  x x  e  � y 1 � � 3log  x  y    2log  x  y    �  1  2 � log y  log y   x    log 3 y  log 3 y x  � � x cot x  cot y  log � y b) �  1  2 Hướng dẫn giải a) Điều kiện x  y   0, x  y    1 : e x Ta có x  1  e y y  1 Xét f  t   et  t  1 , t �0 f '  t   et  et  t  1  et  t    nên f hàm đồng biến Phương trình f  x2   f  y2  � x  y � x  �y 2 - Nếu x  y phương trình (2) trở thành 3log  x    2log  x    � log  x    log  x  1 Đặt log  x    log  x  1  t t t �2 � �1 � x   , x   �   � � � � � �3 � �3 � t t www.LuyenThiThuKhoa.vn t t 23 Phone: 094 757 2201 Vế trái hàm số nghịch biến t  thỏa mãn nên phương trình có nghiệm t  , suy x   � x  Suy y    � 3log3   x   2log 2  � log   x   - Nếu x   y �  x  � x  Suy y  3 b) Điều kiện  2 :  x, y  3, y �1,log y   x   0,log 3 y x  sin  y  x   log x  log y sin x.sin y a � 3;3 �  ;   �a 0,sin a Vì 3 �y  x �3 nên: sin a �۳ trình tương đương với x  y Thay vào nên a Do phương  1 : log3 x  log3 x x   log x  log x   x   � log 3 x  log 3 x x   log 3 x  log x   x   Đặt t  log 3 x x  PT: log 3 x x log 3 x t   log 3 x t t �  t  1 log3 x t  � log3 x t  � t  � log 3 x x  � x   x � x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x y Bài tốn 5.32: Giải hệ phương trình sau: � e x  e x y  y � �y e  e yz  z � �z e  ezx  x � a)  1  2  3 � x  y   2log  y  1 � �y  z   2log  z  1 � �z  x   2log  x  1 b) � Hướng dẫn giải 1 :1  e  y  y �  e  y  y   x  a) Nếu Bằng cách xét f  y    e y  y phương trình f  y  có nghiệm y  , x  y  z  t.et f  t  t e  , t �0 hệ: Nếu x �0 y �0, z �0 Đặt www.LuyenThiThuKhoa.vn 24 Phone: 094 757 2201 �x y.e y e  � ey 1 � ex  f  y  � � z.e z �y �y e  z �� e  f  z � � e 1 �z e  f  x � �z x.e x e  x � � e 1 f ' t   Ta có et  et  t  1  et  1  0, t �0 Lập BBT f  t   1, t  f  t   t  , nên hệ t tương đương x  y  z  t , e  t   (vơ nghiệm) Vậy hệ có nghiệm x  y  z  b) Điều kiện xác định: x, y, z � f  t  t Xét hàm số g  t   2t   log5  4t  1 , t   hai hàm số đồng biến �1 �  ; �� � �4 � �f  x   g  y  � �f  y   g  z  � f  z  g  x Hệ phương trình cho viết lại là: � Khơng tính tổng qt, ta giả sử x số lớn Khi x �y , x �z Do x y� f  x   f� y  Đưa PT: Đặt f  z f  y g  y g  z g  x z y x z x y z 5t  2t   2log  4t  1 s  log  4t  1 � 5s  4t  Suy ra: g  z t  2t  s  5s  5t   t  s  � 5t  2t  5s  s Vì hàm số h  y   5y  y t đồng biến nên t  s �  4t  Suy phương trình có hai nghiệm t  0, t  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  0;0;0  ,  1;1;1 Bài tốn 5.33: Tìm nghiệm dương hệ phương trình: www.LuyenThiThuKhoa.vn 25 Phone: 094 757 2201 �x  y  xy  z  z � �4 �x  y  z � z 1 x y  x  y    z  1 � Hướng dẫn giải Đặt z  a  Hai phương trình đầu hệ viết lại là: 2 � � x  1  y  1   a  1  �x  y  xy  a  2a � �� �4 4 4 �x  y  2a �x  y  2a x y �  1�  x  1  y  1 �� � � � Áp dụng bất đẳng thức: �x  y � 1 � 1�  a +�+ � � có: x  y �x  y � �� � � � có Và 2a x y �x  y � � ��a � x  y �2a �2 � suy 2a �x  y �2a nên đẳng thức bất đẳng thức phải xảy ra, tức 2a  x  y, x  y � x  y  a  x  y PT: z 1 �x  y  1� � �x  y  hay z   - Nếu x  y  x y 1 z2  � z  2 - Nếu z  a  � x  y  Vậy hai nghiệm là: 1 1� ; ; � � 2 �  1;1;1 , � � Bài toán 5.34: Giải hệ bất phương trình sau: � �x  y �2  log � x  y 1 ln   3.42 y 1  �ln � a) 4032 2016 �  20162 x  2016 x �x  x � 4030 x  x 2015  20152 x  2015 x � b)  1  2 Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: www.LuyenThiThuKhoa.vn ln �ln  x  y 1  3.42 y 1  26 Phone: 094 757 2201       �ln x  y 1.3.42 y 1  ln x 3 y 2ln �ln 40  ln Do dấu = xảy nên giải nghiệm: x 1 log 12, y  log 2 b) Đặt 2016  y  1 � x y  y x  x y  y x  �  x y  y x   x y  y x   x y  y x  �  x y  y z   x y  y x  1  � x y  y x � y ln x  x ln y � ln x ln y ln x ln 2016  �  x y x 2016 � x2z  x z  z 2x  z x Đặt 2015  z   ln x ln 2015  2015 Biến đổi tương tự ta được: x ln 2016 ln x ln 2015   x 2015 Do hệ tương đương: 2016 Xét hàm số f  t  ln t  ln t ,t  � f ' t    0, t  t t2 Suy hàm số nghịch biến  3;� ln 2016 ln x ln 2015   � 2015  x  2016 x 2015 Do đó, 2016 Đây nghiệm hệ phương trình cho Bài tốn 5.35: Cho x nghiệm PT:  3 2  Chứng minh x nghiệm PT:   x   x  x 1    2cos  Hướng dẫn giải Đặt t   x 1  Xét nghiệm thuộc Ta có: t   � t  3t   t  2;2 , đặt t  2cos  , � 0;   , 8cos3   6cos    � cos3   � 3  �  k 2  2 � � k , k �� www.LuyenThiThuKhoa.vn 27 Phone: 094 757 2201 Trong đoạn , 2cos  0;    5 7  , , 2cos , có giá trị  thỏa mãn 9 , tức phương trình có ba nghiệm 5 7  2cos 2cos  t , , có nên suy   x   2cos  Bài tốn 5.36: Chứng minh phương trình: a) x  x  1  b) x x 1   x  1 có ba nghiệm phân biệt x có nghiệm dương Hướng dẫn giải a) PT: x  x  1   Ta có Xét hàm số f  x   x  x  1  1, D  � f '  x   x ln  x  1  x.4 x  x � ln  x  1  x � � � f '  x   � ln  x  1  x  �  4ln  x  x  ln   * f  x PT (*) có biệt thức   nên có nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên suy phương trình f  x  có khơng q ba nghiệm phân biệt �1 � f � � 0, f    0, f  3 f  2   Mặt khác: �2 � Do phương trình f  x  có ba nghiệm phân biệt: x1  0, x2   , x3 � 3; 2   x  1 ln x  x ln  x  1 b) Với x  , PT: �  x  1 ln x  x ln  x  1  Xét hàm số f  x    x  1 ln x  x ln  x  1 , x  f '  x   ln x  x 1 x x 1  ln  x  1   ln   x x 1 x 1 x x 1 � � f ''  x   �  �  0, x  x �  x  1 �x  x nên f ' x   0;� , xlim �� nên f ' nghịch biến f '  x   x f  x f  x  , Do nghịch biến � nên có tối đa nghiệm Mà hàm f  x liên tục khoảng  0;� , f    3ln  2ln  ln  ln  f  3  4ln  3ln  ln 81  ln 64  � đpcm www.LuyenThiThuKhoa.vn 28 Phone: 094 757 2201 Cách khác: Xét hàm f  t  ln t ,t  t Bài tốn 5.37: Cho phương trình cos x  x  1 ;sin  cos x   x   ;cos  sin x   x  3 Chứng minh phương trình có nghiệm  ,  ,  thỏa mãn:  ln    ln    ln  Hướng dẫn giải Xét hàm số tương ứng với PT (1) Ta có Mà f '  x    sin x �0, x f    0, f  1  Bất đẳng thức Xét hàm số nên f hàm đồng biến f hàm liên tục nên phương trình Chứng minh tương tự ta có nghiệm � f  x   x  cos x, D  �  ,  ,  � 0;1 ln  ln  ln       g  t  f  x  có nghiệm  � 0;1  * ln t  ln t ,0  t  g ' t   0  0;1 t t2 Ta có nên hàm số đồng biến   sin  cos    cos  �cos    Giả sử  � , vơ lý nên      cos  sin    cos  �cos    Giả sử  � , vơ lý nên    ln  ln  ln      Vậy      hay  Bài toán 5.38: Chứng minh hệ phương trình � x  y  z  10 �x y z  30 � �xyz  a) � có nghiệm phân biệt y �x e  2016   1 � y  � � x � e y  2017   2 � x  b) � có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Xét số  x, y, z    log a,log b,log c  a, b, c hoán vị  2;3;5 Với số xyz  nên phương trình thứ ba hệ ln thỏa mãn x y z Ta có:    log a  3log3 b  5log5 c  a  b  c     10 www.LuyenThiThuKhoa.vn 29 Phone: 094 757 2201 log a x y z  5log c  abc  2.3.5  30 log b Do đó, xác định thỏa mãn hệ cho Vì có tất 3! hốn vị ứng có nghiệm hệ phương trình cho b) Điều kiện xác định Từ hai PT hệ, ta có Do x x2  t f  t   et  f '  t   et  t 1  t  1 t  g  t   et  t t 1 y  ey  y2 1 , t 1 f  x  f  y � x  y Hàm số nên tương x , y 1 ex  Xét hàm số  2;3;5 0 nên f hàm đồng biến ex  Ta có PT:  2017 , t 1 x x2   2017  , ta chứng minh g  t  có hai nghiệm khoảng  1;� Bài tốn 5.39: Tìm điều kiện để phương trình: a) b) log 32 x  log32 x   2m   log  x  3  log  ax  � 1;3 � � � có nghiệm thuộc đoạn có nghiệm Hướng dẫn giải a) Đặt t  �� log32 x 1, x � 1;3 � t � � 2 PT: t   t  2m   � t  t  2m  Xét f  t   t  t ,1 �t �2, f '  t   2t   Điều kiện có nghiệm: f  1 �2m  �f    ۣ� � ۣ2� 2m m b) PT: nên f đồng biến  1;2 2log  x  3  log  ax  � �x   �� �  x  3  ax, x   log  x  3  log  ax  � � x  x   ax, x  3 www.LuyenThiThuKhoa.vn 30 Phone: 094 757 2201 Xét x  : Loại Xét x �0 có: Đặt f  x  a x2  6x  , x  3 x x2  6x  x2  , x  3, x �0, f '  x   , f ' x  x x2 x  BBT: x −3 f' f 0 � − − � � + � 12 Điều kiện có nghiệm nhất: a  hay a  12 Bài tốn 5.40: Tìm điều kiện để bất phương trình: a) x   m  3 x  3m   m   log x có nghiệm cos x �2cos x có nghiệm với x b) a Hướng dẫn giải a) BPT: Để ý:  x  m   x  3   m  x  log x �  x  m   x   log x   f  x   x   log x, x  f ' x  1 0  0;� f    x ln nên đồng biến Do đó, bất phương trình tương đương: x  m, x   log x  x  m,0  x  � � �� � x  m, x   log x  x  m, x  � � Từ suy điều kiện có nghiệm m �2  x b) Điều kiện a  Đặt t �2cos cho a t 1 �t , t � 0;2 Yêu cầu toán tương đương với việc tìm a  t Với t  bất đẳng thức khơng phụ thuộc a �  t  1 ln a �ln t Với  t �2 bất đẳng thức - Nếu t  bất đẳng thức - Nếu t � 0;1 ln a �lim x �1 bất đẳng thức ۣ ln a ln t t  Bất đẳng thức phải với t � 0;1 nên ln t 1 t 1 www.LuyenThiThuKhoa.vn 31 Phone: 094 757 2201 - Nếu t � 1;2  ln t t 1 ۳ ln a bất đẳng thức Bất đẳng thức phải với t � 1;2  nên ln a �lim x �1 ln t 1 t 1 Do đó, ta cần phải có ln a  � a  e t  �ln t , t � 0;2 Thử lại, với a  e , ta cần chứng minh Xét hs f  u   u   ln u, u � 0; 2 f ' u    f ''  u   Ta có , ta có: u 1  , f ' u   � u  u u 0 f  u u2 nên đạt giá trị nhỏ u  f  u  �f  1    ln1  t  �ln t , t � 0;2  nên ta Vậy giá trị cần tìm a  e Bài tốn 5.41: Tìm m để hệ x �  x  y  x  2m � �2 �x  y  có nghiệm nhất: Hướng dẫn giải Giả sử  x; y  nghiệm   x; y  nghiệm, mà hệ có nghiệm nên x  Do đó:   y  2m �y  �1 � �� �2 �2m   y �y  Khi y  1 � m  Khi y  � m  Đảo lại, với m  hệ: x �  x  y  x2  � �2 �x  y  Hệ khơng nghiệm  0; 1 ,  1;0  x � �2  x  y  x �2 x  y2  Với m  hệ: � Từ  2 Và  1 : y  x  �x 1, y nghiệm  1  2 x  x   x   x  �2 �1 x x Do y  x  : nghiệm Vậy m  Bài tốn 5.42: Tìm m để hệ sau có nghiệm: www.LuyenThiThuKhoa.vn 32 Phone: 094 757 2201  1  2 � x  x 1  2 x 1  2017 x �2017 � �2 �x   m   x  2m  �0 Hướng dẫn giải  1 : 72 Điều kiện x �1 BPT x 1 7 x2  1 �2017   x  - Nếu x  bất phương trình thỏa x2   0,1  x  BPT thỏa - Nếu x  x 2   0,1  x  BPT khơng thỏa - Nếu x  - Nếu 1 �x �1 Xét f  x  Lập BBT x2  2x  x2  2 : m � x2  x  , x � 1;1 x2 f  x   2 nên bất phương trình có nghiệm m �2 Vậy điều kiện cần tìm m �2 BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 5.1: Giải phương trình: a)   15  tan x    15  tan x 8 sin b) 81 x  81cos x  30 Hướng dẫn a) Đặt ẩn phụ để ý   15   tan x  15  tan x 1  x  �  k , k �� Kết   x  �  k x  �  k b) Kết Bài tập 5.2: Giải phương trình sau: x 1 x 1 x x2 a)  8.4 b) x 4 �3 � ��  �5 � Hướng dẫn a) Lơgarit hóa Kết x  x   log x b) Lôgarit hóa Kết  log5   4log  www.LuyenThiThuKhoa.vn 33 Phone: 094 757 2201 Bài tập 5.3: Giải phương trình: a)   15   x   15   3    3 b) x x  x  13  4x Hướng dẫn a) Kết x  x b) Chia vế cho Kết x  Bài tập 5.4: Giải phương trình: a) cos x 2 cos x  cos x x x x1 b) cot  tan  tan Hướng dẫn giải a) Đặt t  cos x ,0 �t �1 dùng định lý Lagrange Kết x  k 2 b) Kết x    k  , từ suy nghiệm x tan x  � �1 Bài tập 5.5: Giải phương trình: a) 1 log  x     log x  b) log  x  12  log x  Hướng dẫn a) Đưa số Kết x  b) Đưa số Kết x  Bài tập 5.6: Giải phương trình: a) log log x  log log x  b) log x2 16  log x 64  Hướng dẫn a) Đưa số Kết x  16 x  4, x  b) Kết Bài tập 5.7: Giải phương trình: a) b)   log  x  log x log  cot x  tan x    log  tan x  Hướng dẫn www.LuyenThiThuKhoa.vn 34 Phone: 094 757 2201 a) Đặt   log  x  log x  t  x  2t x  3t t t Đưa phương trình   có nghiệm Kết x  x b) Kết  3  k x  k , k �� 8 Bài tập 5.8: Giải bất phương trình: x a) �3.2 x x  41 4x 4 x x  b) x Hướng dẫn x a) Chia vế cho  Kết �x �4 S   �;0  � 1; � b) Kết Bài tập 5.9: Giải bất phương trình: ln x   ln x  �3ln a) b) log x  log x Hướng dẫn a) Biến đổi tích Kết 1  17 �x �2 �x �1  17  x 1 b) Kết x  Bài tập 5.10: Giải hệ phương trình: � 9x2  y  � � log  3x  y   log  3x  y   a) � 2 � �x  y  � log  x  y   log3  x  y   b) � Hướng dẫn a) Phân tích x  y   3x  y   3x  y  Kết x  1; y  x  ;y  2 b) Kết Bài tập 5.11: Tìm điều kiện m để phương trình: sin a)  b) x  9cos  x x  m có nghiệm   2m   x   2x có nghiệm Hướng dẫn a) Đặt t  sin x,0 �t �1 xét hàm số VT Kết �m �10 www.LuyenThiThuKhoa.vn 35 Phone: 094 757 2201 b) Kết m �0 m Bài tập 5.12: Tìm tham số m để bất phương trình x x a) 49  5.7  m �0 có nghiệm b)  log  x  1 �log  mx  x  m  có nghiệm với x Hướng dẫn 25 m� a) Kết b) Đưa đánh giá tham số m bên Kết  m �3 www.LuyenThiThuKhoa.vn 36 Phone: 094 757 2201